数学一试题_2024年2月_022月合集_2024届陕西省西安中学高三模拟考试（一）_陕西省西安中学2024届高三模拟考试（一）数学（理科）

西安中学高 2024 届高三模拟考试(一) 数学（理科） （满分：150分 时间：120分钟） 命题人：李晶 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合M =  x|x2−2x0  ，N =  x|x2−10  ，则M N =（ ） A．(−1,2) B．(−1,1) C．(0,2) D．(0,1) 2−z 2．已知 =−i，则 z= （ ） 1+i A．1+i B．1−i C．3−i D．3+i 3．ABC中，DC =2BD，P为线段AD中点，若BP=BA+BC，则+的 值为（ ） 1 1 2 3 A． B． C． D． 3 2 3 4 4．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的 5 AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行 1015次运算，用它处 4 理一段自然语言的翻译，需要进行2128次运算，那么处理这段自然语言的翻译 所需时间约为（ ）（参考数据：lg20.301，100.4312.698） A．2.6981022秒 B．2.6981023秒 C．2.6981024秒 D．2.6981025秒 5．已知a，b，cR，则下列选项中是“ab”的充分不必要条件的是（ ） c c A．  B．ac2 bc2 C．a2 b2 D．3a 3b a b 6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的 是（ ） ①若m//，n//，则m//n ②若//，m，那么m// ③若⊥，m，n，则m⊥n ④若m⊥，m//，则⊥ A．②④ B．①② C．②③ D．③④ 数学（理科） 第1页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}x2 y2 7．已知椭圆C: + =1(0b3)的左、右焦点分别为F,F ，点P为椭圆C上 9 b2 1 2 1 一点，若 PF = FF 且cosFPF = ，则b=（ ） 2 1 2 1 2 4 A． 2 B． 3 C．2 D． 5  1 n  1 2n 8．若  3 x −  的展开式的二项式系数之和为16，则  3 x+  的展开式中  x  x 1 的系数为（ ） x4 A．8 B．28 C．56 D．70  π  1 9．函数 f(x)=sin(x+) 0,  的图象经过点 0,−  ，将该函数的图象向右  2  2 π 平移 个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ） 3 5 8 7 A． B． C．3 D． 2 3 2 cos 1+sin  π 10．已知tan= ，tan(+)= ，若0,  ，则=（ ） 1−sin cos  2 π π π π A． B． C． D． 12 6 4 3 x2 y2 11．已知双曲线C: − =1（a0，b0）的离心率为 5，圆(x−a)2+y2 =9 a2 b2 与C的一条渐近线相交，且弦长不小于 4，则a的取值范围是（ ）  3  5 A．(0,1 B． 0,  C．(0,2 D． 0,   2  2 1 12．若函数 f (x)=alnx+ x2−2x有两个不同的极值点x,x ，且 2 1 2 t− f (x )+x  f (x )−x 恒成立，则实数t的取值范围为（ ） 1 2 2 1 A．(−,−5) B．(−,−5 C．(−,2−2ln2) D．(−,2−2ln2 二、填空题（本大题共 4小题，共20分） 数学（理科） 第2页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}13．已知数据15，14，14，a，16的平均数为 15，则其方差为 ． 14．函数 f (x)是定义在R上的函数，且 f (x+1)为偶函数， f (x+2)是奇函数， 当x0,1时， f (x)=3x−1，则 f (567)= ． 15．在ABC中，B=2A，点D在线段AB上，且满足2AD=3BD， ACD=BCD，则cosA等于 ． 16．如图，正方形ABCD 与正方形ABCD的中心重合，边长分别为 3和1， 1 1 1 1 P，P ，P ，P 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，把 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD，AB，BC， CD折起，使P，P ，P ，P 重合于P点，则四棱锥 1 2 3 4 P−ABCD的高为 ，若直四棱柱ABC D −ABC D 2 2 2 2 3 3 3 3 内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面 ABCD内，则该直四棱柱ABC D −ABC D 体积的最大值为 ． 2 2 2 2 3 3 3 3 三、解答题（本大题共 7小题，第17—21 题为必考题，第22、23题为选考题） （一）必考题（共60 分） 17．（12分）已知等差数列a 的首项为 1，公差为2．正项数列b 的前n项 n n 和为S ，且2S =b2 +b ． n n n n (1)求数列a 和数列b 的通项公式； n n a , n为奇数 (2)若c = n ，求数列c 的前2n项和． n  2b n , n为偶数 n 数学（理科） 第3页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}18．（12分）某班组织投篮比赛，比赛分为A，B两个项目．比赛规则是：① 选手在每个项目中投篮 5次，每个项目投中 3次及以上为合格；②第一个项目 投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进 入第二个项目后，投篮 5次，无论投中与否均结束比赛． 已知选手甲在A项 目比赛中每次投中的概率都是0.5． (1)求选手甲参加A项目合格的概率； (2)已知选手甲参加B项目合格的概率为0.6．比赛规定每个项目合格得 5分， 不合格得0分．设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择 先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？ 请说明理由． 19．（12分）如图，在三棱柱ABC ABC 中，直线CB⊥平面ABC，平面 1 1 1 1 AACC⊥平面BBCC． 1 1 1 1 (1)求证：AC⊥BB ； 1 (2)若AC=BC=BC =2，在棱AB 上是否存在一点P， 1 1 1 3 10 使二面角P−BC−C 的余弦值为 ？若存在，求 1 10 BP 1 的值；若不存在，请说明理由． AB 1 1 20．（12分）已知函数 f (x)=lnx−x+(x−2)ex． (1)求曲线 y= f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (2)若 f (x)m对任意的x   1 ,1   恒成立，求满足条件的实数m的最小整数 2  值． 数学（理科） 第4页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}21．（12分）已知抛物线E:y2 =2px(p0)的焦点为F,E上任意一点P到F 的距 离与到点Q (2,0)的距离之和的最小值为 3． (1)求抛物线E的标准方程． (2)已知过点Q且互相垂直的直线l , l 与E分别交于点A,C与点B,D，线段AC 1 2 与BD的中点分别为M,N．若直线OM,ON的斜率分别为k , k ，求k k 的取值 1 2 1 2 范围． （二）选考题（共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按 所做的第一题计分.） x=tcos 22．（10 分）在直角坐标系xOy中，直线C 的参数方程为 （t 为参数， 1 y=tsin π π 0 ），把C 绕坐标原点逆时针旋转 得到C ，以坐标原点 O为极点，x轴 2 1 2 2 正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)写出C ，C 的极坐标方程； 1 2 (2)若曲线C 的极坐标方程为=8sin，且C 与C 交于点A，C 与C 交于点B 3 1 3 2 3 （A，B与点O不重合），求AOB面积的最大值． 23．（10分）已知a0,b0,c0，函数 f (x)= x+a + x−2 ，不等式 f (x)5的 解集为x x−2或x3． (1)求实数a的值； 1 1 (2)若 f (x)的最小值为M, b+c=M ，求证： + 1． b+1 c 数学（理科） 第5页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}