文档内容
湖北省部分市州 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两点𝐴(2,𝑡)，𝐵(1,0)，𝑡 ∈𝑅，直线𝐴𝐵的倾斜角为120∘，则实数𝑡等于( )
√ 3 √ 3
A. − B. −√ 3 C. D. √ 3
3 3
2.已知公差为正数的等差数列{𝑎 }，若𝑎 𝑎 =35，𝑎 +𝑎 =12，则𝑎 等于( )
𝑛 3 4 2 5 6
A. 11 B. 9 C. 7 D. 11或1
3.已知向量𝑎⃗⃗ =(−1,2,3)，向量𝑏⃗ =(4,−1,−2)，向量𝑐⃗ =(𝜆,3,1)，若𝑎 ，𝑏⃗ ，𝑐 三个向量共面，则实数𝜆等于( )
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
4.某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局(采取三局两胜制)，假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获
胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0∼9之间的随机数，当出现随机数0∼6时，表示一局
甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166根据随机数估计甲获胜的概率为( )
A. 0.9 B. 0.95 C. 0.8 D. 0.85
5.已知圆𝐶 :𝑥2+𝑦2+2𝑥+8𝑦+13=0与圆𝐶 :𝑥2+𝑦2−4𝑥−5=0，则圆𝐶 与圆𝐶 的公切线的条数有( )
1 2 1 2
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6.已知过点(0,1)的直线与双曲线𝑥2−𝑦2 =1的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为( )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞) B. (−1,1)
C. (−√ 2,−1)∪(1,√ 2) D. (1,√ 2)
第1页，共10页7.已知八面体𝐸𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹由正四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷与正四棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷构成(如图)，若𝐴𝐵 =𝐴𝐸 =2，𝐴𝐹 =√ 10，
点𝑀，𝑁分别为𝐵𝐸、𝐶𝐸的中点，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ ⋅𝐹⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =( )
5 7
A. 0 B. 2 C. D.
2 2
𝑥2 𝑦2
8.已知点𝐶是椭圆 + =1上的一点，设𝐴，𝐵是直线𝑦 =𝑥上任意两个不同的点，若|𝐴𝐵|=4时，则使得
24 8
△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形的点𝐶有( )
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件𝐴与事件𝐵相互独立，且𝑃(𝐴)=0.3，𝑃(𝐵)=0.4，则下列正确的是( )
A. 𝑃(𝐴)=0.7 B. 𝑃(𝐴𝐵)=0.12 C. 𝑃(𝐴𝐵)=0.88 D. 𝑃(𝐴∪𝐵)=0.7
10.如图，已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 中，𝐴𝐴 =𝐴𝐵 =𝐴𝐶 =1，∠𝐵𝐴𝐶 =90∘，𝑀为𝐵 𝐶 的中点，𝑁在线段
1 1 1 1 1 1
𝐴𝐴 上.则下列结论正确的是( )
1
第2页，共10页√ 5
A. 若𝑁为中点时，则|𝐵𝑁|=
2
B. cos<𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗ ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗ >= √ 30
1 1 10
C. 𝐴𝑀 ⊥𝐵𝐶
√ 6
D. 若直线𝑀𝑁与平面𝐴 𝐵𝐶所成的角为𝜃，则sin𝜃的取值范围为[ ,1]
1 3
11.在平面直角坐标系内，定义任意两点𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )“新距离”为：𝑑(𝐴,𝐵)=|𝑥 −𝑥 |+|𝑦 −𝑦 |，
1 1 2 2 1 2 1 2
在此距离定义下，点𝑃(𝑥,𝑦)到直线𝑙的“新距离”就是点𝑃与直线𝑙上所有点的“新距离”的最小值，记作符
号𝑑(𝑃,𝑙).已知点𝐶(1,0)，𝐷(2,4)，直线𝑙 :2𝑥+𝑦+2=0.( )
0
A. 𝑑(𝐶,𝐷)=5
B. 到点𝐶“新距离”等于1的点𝑃(𝑥,𝑦)所围成的图形的面积为4
C. 𝑑(𝐷,𝑙 )=5
0
D. 𝑑(𝐴,𝐵)≤𝑑(𝐴,𝐶)+𝑑(𝐵,𝐶)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线𝑙 :𝑥+𝑦−1=0，𝑙 :2𝑥+(𝑘−1)𝑦+3=0，(𝑘 ∈𝑅)，若𝑙 //𝑙 ，则𝑙 与𝑙 之间的距离为 ．
1 2 1 2 1 2
13.已知圆𝐶的直径为20，𝐴是圆𝐶内一个定点，且|𝐶𝐴|=6，𝑃是圆𝐶上任意一点，线段𝐴𝑃的垂直平分线𝑙和
半径𝐶𝑃相交于点𝑄，若点𝑃在圆上运动时，则点𝑄的轨迹的离心率等于 ．
14.已知𝑛(𝑛≥2)个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设𝑛个圆的交点总数为𝑎 ，
𝑛
1 1 1 1
记𝑇 = + + +⋯+ (𝑛≥2,𝑛 ∈𝑁∗)，则𝑇 = .(𝑛≥2,𝑛 ∈𝑁∗)
𝑛 𝑎
2
𝑎
3
𝑎
4
𝑎𝑛 𝑛
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球和2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个
球．
(1)求“摸到两个球颜色不同”的概率;
(2)求“至少摸到一个红球”的概率．
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且∠𝐵𝐴𝐷 =60∘，侧面𝐸𝐴𝐵为边长等于2的正三角形，平
第3页，共10页面𝐸𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹为𝐸𝐷的中点．
(1)求四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积;
(2)求平面𝐵𝐶𝐸与平面𝐴𝐷𝐸夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆𝐷圆心在𝑥轴上，且过点𝐴(2,1)，𝐵(0,1)两点．
(1)求圆𝐷的方程;
(2)设点𝑃(−3,𝑡)(𝑡 ∈𝑅)，以线段𝑃𝐷为直径的圆与圆𝐷交于𝐸，𝐹两点，求线段𝐸𝐹长度的最小值．
18.(本小题17分)
已知直线𝑙与抛物线𝐶:𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝>0)交于𝐴，𝐵两点．
(1)若𝑝=4，直线𝑙的斜率为1，且过抛物线𝐶的焦点，求线段𝐴𝐵的长;
5
(2)如图，若𝑝= ，𝑂𝐴⊥𝑂𝐵(𝑂为坐标原点)，点𝑀为线段𝐴𝐵的中点，点𝑁为直线𝐴𝐵与𝑥轴的交点，设线段𝐴𝐵
4
𝑆
的中垂线与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐺，𝐻两点.记△𝑂𝐺𝐻的面积为𝑆 ，△𝑀𝑁𝐺的面积为𝑆 ，求 1的取值范围．
1 2 𝑆
2
第4页，共10页19.(本小题17分)
已知数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，且𝑆 =𝑛2+2𝑛，𝑛 ∈𝑁∗，数列{𝑏 }是首项为1，且满足𝑏 =2𝑏 ，𝑛 ∈𝑁∗．
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛
(1)求数列{𝑎 }、{𝑏 }的通项公式;
𝑛 𝑛
(2)是否存在正整数𝑡，𝑠，使得数列{
𝑎𝑛
}第1项、第2项、第𝑠项成等差数列?若存在，求满足条件的所有𝑡、𝑠
𝑎𝑛+𝑡
的值;若不存在，请说明理由;
(3)类比教材等比数列前𝑛项和公式推导方法，探求数列{
𝑆𝑛−𝑎𝑛}的前𝑛项和．
𝑏𝑛
第5页，共10页1.【答案】𝐵
2.【答案】𝐴
3.【答案】𝐷
4.【答案】𝐴
5.【答案】𝐶
6.【答案】𝐵
7.【答案】𝐷
8.【答案】𝐶
9.【答案】𝐴𝐵
10.【答案】𝐴𝐶𝐷
11.【答案】𝐴𝐶𝐷
12.【答案】
5√ 2
4
3
13.【答案】
5
1
14.【答案】1− ，(𝑛∈𝑁∗,𝑛 ≥2)．
𝑛
15.【答案】解：(1)设事件𝐴=“摸到两个球颜色不同”，
红色球标号1、2、3，绿色球标号4、5，
从袋中随机摸出2个球包含的基本事件有：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，
事件𝐴包含基本事件有：{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，
6 3
∴𝑃(𝐴)= = ．
10 5
(2)设事件𝐵 =“至少摸到一个红球”则𝐵 =“摸到两个绿球”，
∵事件𝐵包含基本事件有：{4,5}
1 9
∴𝑃(𝐵)=1−𝑃(𝐵)=1− = ．
10 10
16.【答案】解：(1)取𝐴𝐵中点𝑂连𝑂𝐸，𝑂𝐷
∵𝐴𝐸 =𝐵𝐸，𝑂为𝐴𝐵的中点，∴𝑂𝐸 ⊥𝐴𝐵
又∵平面𝐸𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑂𝐸 ⊂平面𝐸𝐴𝐵
∴𝑂𝐸 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，
第6页，共10页易求𝑂𝐸 =√ 3，又∵∠𝐵𝐴𝐷 =60∘，𝐴𝐷 =𝐴𝐵，
∴𝑂𝐷 ⊥𝐴𝐵，𝑂𝐷 =√ 3，
1 1
𝑉 = 𝑆 ⋅𝑂𝐸 = ×2×√ 3×√ 3=2．
四棱维𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷 3 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 3
(2)由(1)知，以𝑂为坐标原点，分别以𝑂𝐵，𝑂𝐷，𝑂𝐸所在直线为𝑥，𝑦，𝑧轴，建立空间直角坐标系，
√ 3 √ 3
则𝐵(1,0,0)，𝐶(2,√ 3,0)，𝐴(−1,0,0)，𝐸(0,0,√ 3)，𝐷(0,√ 3,0)，𝐹(0, , )，
2 2
𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =(−2,− √ 3 , √ 3 )，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(−1,−√ 3,0)．𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =(−1,0,√ 3)，𝐷⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(−1,−√ 3,0)，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =(1,0,√ 3)
2 2
𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =0 −𝑥 −√ 3𝑦 =0,
设平面𝐵𝐶𝐸的法向量𝑚⃗⃗ =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，则{ 即{ 1 1
1 1 1 𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =0, −𝑥 +√ 3𝑧 =0,
1 1
令𝑥 =√ 3，则𝑦 =−1，𝑧 =1，即平面𝐵𝐶𝐸的一个法向量𝑚⃗⃗⃗ =(√ 3,−1,1)．
1 1 1
设平面𝐴𝐷𝐸的法向量𝑛⃗ =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，则
2 2 2
𝑛⃗⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =0 −𝑥 −√ 3𝑦 =0,
{ 即{ 2 2
𝑛⃗⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =0, 𝑥 +√ 3𝑧 =0,
2 2
令𝑥 =√ 3，则𝑦 =−1，𝑧 =−1，
2 2 2
即平面𝐴𝐷𝐸的一个法向量𝑛⃗⃗ =(√ 3,−1,−1)．
设平面𝐵𝐶𝐸与平面𝐴𝐷𝐸夹角为𝜃，
|𝑚⃗⃗⃗ ·𝑛⃗⃗ | |(√ 3,−1,1)(√ 3,−1,−1)| 3
则cos𝜃 = = = ，
|𝑚⃗⃗⃗ ||𝑛⃗⃗ | √ 5×√ 5 5
3
即平面𝐵𝐶𝐸与平面𝐴𝐷𝐸夹角的余弦值为 ．
5
17.【答案】解：(1)依题意，设圆𝐷的方程为(𝑥−𝑎)2+𝑦2 =𝑟2，
将点𝐴(2,1)，𝐵(0,1)代入圆方程得：
(2−𝑎)2+1=𝑟2 𝑎 =1
{ ，解得：{ ,
𝑎2+1=𝑟2 𝑟2 =2
即圆𝐷的方程为：(𝑥−1)2+𝑦2 =2；
(2)∵𝑃(−3,𝑡)，𝐷(1,0)，
以𝑃𝐷为直径的圆的方程为：(𝑥+3)(𝑥−1)+(𝑦−𝑡)𝑦=0，
整理得：𝑥2+𝑦2+2𝑥−𝑡𝑦−3=0， ①
由(1)知圆𝐷的方程为：(𝑥−1)2+𝑦2 =2，即𝑥2+𝑦2−2𝑥−1=0，
①− ②得直线𝐸𝐹的方程为：4𝑥−𝑡𝑦−2=0，
|4−2| 2
点𝐷到直线𝐸𝐹的距离为 = ，𝑡 ∈𝑅，
√ 16+𝑡2 √ 𝑡2+16
2 4
|𝐸𝐹|=2 2−( )2 =2√ 2− ，𝑡 ∈𝑅，
√ 𝑡2+16
√ 𝑡2+16
第7页，共10页4 1 1 4 7 4
∵𝑡2+16≥16，0< ≤ ，− ≤− <0， ≤2− <2，
𝑡2+16 4 4 𝑡2+16 4 𝑡2+16
7
∴当𝑡 =0时，|𝐸𝐹| =2√ =√ 7，
𝑚𝑖𝑛 4
即线段𝐸𝐹长度的最小值为√ 7．
18.【答案】解：(1)若𝑝=4，即𝑦2 =8𝑥，则抛物线𝐶的焦点为(2,0)，
所以直线𝑙的方程为：𝑦 =𝑥−2，
设𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )
1 1 2 2
𝑦2 =8𝑥
联立{ ，整理得：𝑥2−12𝑥+4=0，
𝑦 =𝑥−2
𝛥 =(−12)2−4×1×4=128>0，𝑥 +𝑥 =12，𝑥 𝑥 =4．
1 2 1 2
故|𝐴𝐵|=𝑥 +𝑥 +𝑝=12+4=16，
1 2
所以线段𝐴𝐵的长为16．
5
(2)由题意知𝑦2 = 𝑥，
2
设直线𝐴𝐵的方程为𝑥 =𝑚𝑦+𝑏，𝑏 ≠0，𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )，
1 1 2 2
当𝑚 =0，𝑂𝐺𝐻不能构成三角形，不符合题意;
5
𝑦2 = 𝑥 5 5
当𝑚 ≠0，联立{ 2 ，整理得：𝑦2− 𝑚𝑦− 𝑏 =0，
2 2
𝑥 =𝑚𝑦+𝑏
5 5
根据韦达定理有，𝑦 +𝑦 = 𝑚，𝑦 𝑦 =− 𝑏，
1 2 2 1 2 2
因为𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，所以𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =0，即𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 =0，
1 2 1 2
5
代入得𝑏 = 且满足上述方程△>0．
2
𝑦 +𝑦 5 𝑥 +𝑥 5 5
则 1 2 = 𝑚， 1 2 = 𝑚2+ ，
2 4 2 4 2
5 5 5
则点𝑀的坐标为( 𝑚2+ , 𝑚)，
4 2 4
5 5 5
因为𝑀𝐻 ⊥𝐴𝐵，所以直线𝑀𝐻的方程为：𝑦− 𝑚 =−𝑚(𝑥− 𝑚2− )
4 4 2
5 15 5 15
令𝑥 =0，𝑦= 𝑚3+ 𝑚，𝑦 =0，𝑥 = 𝑚2+ ，
4 4 4 4
由𝑅𝑡△𝑂𝐺𝐻∽𝑅𝑡△𝑀𝐺𝑁，
𝑆 |𝐻𝐺| 2 ( 5 𝑚2+ 15 ) 2 +( 5 𝑚3+ 15 𝑚) 2
得 1 = = 4 4 4 4
𝑆 2 |𝑁𝐺| 2 ( 5 𝑚2+ 5 )
4 4
(𝑚2+3) 2 +(𝑚3+3𝑚) 2
=
(𝑚2+1) 2
第8页，共10页4
=𝑚2+1+4+ ≥4+2√ 4=8，
𝑚2+1
4
当且仅当𝑚2+1= ，
𝑚2+1
即当𝑚 =±1时，等号成立．
𝑆
∴ 1的取值范围是[8,+∞).
𝑆
2
19.【答案】解：(1)∵𝑆 =𝑛2+2𝑛，令𝑛 =1，𝑆 =12+2=3=𝑎 ，
𝑛 1 1
当𝑛 ≥2时，𝑎 =𝑆 −𝑆 =𝑛2+2𝑛−(𝑛−1)2−2𝑛+2=2𝑛+1．
𝑛 𝑛 𝑛−1
显然𝑎 =3满足上式，∴𝑎 =2𝑛+1，𝑛 ∈𝑁∗，
1 𝑛
又∵𝑏 =1，且满足𝑏 =2𝑏 ，𝑛 ∈𝑁∗．
1 𝑛+1 𝑛
∴{𝑏 }是首项为1.公比为2的等比数列．
𝑛
𝑏 =2𝑛−1，𝑛 ∈𝑁∗．
𝑛
(2)假设存在𝑡，𝑠 ∈𝑁∗，使得
𝑎
1 ，
𝑎
2 ，
𝑎𝑠
成等差数列，
𝑎
1
+𝑡 𝑎
2
+𝑡 𝑎𝑠+𝑡
则
𝑎
1 +
𝑎𝑠
=2
𝑎
2 ，即
3
+
2𝑠+1
=2
5
，
𝑎
1
+𝑡 𝑎𝑠+𝑡 𝑎
2
+𝑡 3+𝑡 2𝑠+1+𝑡 5+𝑡
4 4
化简𝑠 =3+ ，又∵𝑡，𝑠 ∈𝑁∗，∴ ∈𝑍，∴𝑡+1=−4，−2，−1，1，2，4，
𝑡+1 𝑡+1
当𝑡+1=−4，−2，−1时，不符舍去;
当𝑡+1=2，𝑡 =1，𝑠 =5;
当𝑡+1=4，𝑡 =3，𝑠 =4．
𝑡 =1, 𝑡 =3,
∴存在满足要求的𝑡，𝑠，{ 或{
𝑠 =5 𝑠 =4.
(3)∵
𝑠𝑛−𝑎𝑛
=
𝑛2+2𝑛−(2𝑛+1)
=
𝑛2−1
，
𝑏𝑛 2𝑛−1 2𝑛−1
1
1−
1 1 1 1 𝑛 1
令𝑇 ′= + + +⋯+ = 2 =2− ，
𝑛 20 21 22 2𝑛−1
1−
1 2𝑛−1
2
12 22 32 𝑛2
令𝑇 = + + +⋯+ ， ①
𝑛 20 21 22 2𝑛−1
1 12 22 32 𝑛2
𝑇 = + + +⋯+ ， ②
2 𝑛 21 22 23 2𝑛
1 12 3 5 7 2𝑛−1 𝑛2
①− ②得： 𝑇 = + + + +⋯+ − ， ③
2 𝑛 20 21 22 23 2𝑛−1 2𝑛
3 5 7 2𝑛−1 𝑛2
𝑇 =2+ + + +⋯+ − ， ④
𝑛 20 21 22 2𝑛−2 2𝑛−1
1 2 2 2 2 2𝑛−1 𝑛2 𝑛2
④− ③得： 𝑇 =2+ + + +⋯+ − − +
2 𝑛 20 21 22 2𝑛−2 2𝑛−1 2𝑛−1 2𝑛
第9页，共10页1 2𝑛−1 𝑛2 𝑛2+4𝑛+6
𝑇 =2+2(𝑇 ′)− − =6− ，
2 𝑛 𝑛−1 2𝑛−1 2𝑛 2𝑛
𝑛2+4𝑛+6
即得：𝑇 =12− ，
𝑛 2𝑛−1
12−1 22−1 32−1 𝑛2−1 𝑛2+4𝑛+5
∴ + + +⋯+ =𝑇 −𝑇 ′=10− ，𝑛 ∈𝑁∗．
20 21 22 2𝑛−1 𝑛 𝑛 2𝑛−1
第10页，共10页
