(160)--第一章《行列式》习题册答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

第一章 行列式答案解析
1-1 基础过关
1.【答案】（1）  4 ；（2）0；（3） 0 ；（4） 1 6
【解析】（1）
2
1
 1

0
8
4
1

3
1
r1
r

2

2 r
3
r
3
0
0
 1
1 6
4
8
7
2
3
 (  1 ) 3  1 (  1 )
1 6
4
7
2
  (1 6  2  7  4 )   4 .
（2）
4 1 2 4
1 2 0 2
1 0 5 2 0
0 1 1 7
r1
r
3
r1
r
2




4 r
2
1 0 r
2
7 r
3
1 5 r
3
0
1
0
0

0
0
1


7
2
1 5
1
9
1 7
1
2
0
2
1
4 5
8 5
7



2
2
7
4
0
 9


(
1

7
1 )
0
0
1
2  1
1
1
1


7
1 5
1
5
5
7

2
2
1
0


4
2 0
7
（3）
2 1 4 1
3  1 2 1
1 2 3 2
5 0 6 2
r1
r
2
r
4
r1




2
3
5
r
2
r
3
r
3
r
3



0
0
1
0
1
7
1
0
0
 3
 7
2
 1 0
 9
 7
 9






3
2
7
9
8
5
8



2

0
3
5
8
 (  1 ) 3  1



3
7
1 0



2
7
9



3
5
8
1 2 3 4 1 2 3 4
r r 1 1 3 1 1 3
1 3 4 1 2 1 0 1 1 3 r 2r
（4） r r  2 2 2 2 1 0 4 4 16
3 1
1 4 1 2 0 2 2 2 r r
r r 1 1 1 3 1 0 0 4
1 1 2 3 4 1 0 1 1 1
2.【答案】（1） 3 a b c  a 3  b 3  c 3 ；（2）2(x3 y3)；（3）0；（4） ( a  b ) 3 ；（5）0
【解析】（1）方法一：a
b
c
b
c
a
c
a
b



(
a
3

(
a
1
b
b
1 )
c
c
 1


a
a
a
c
a
3 )
3 

a
b
b
b
(
3

b

(
2
c


3
1
a
1 )
c
 2
)
b

b
c
c ( a b
a
b


c
(
2

)
1 ) 1  3 c
b
c
c
a
方法二：
a b c abc bca cab 1 1 1
r r r
1 2 3
b c a b c a (abc) b c a
c a b c a b c a b
1 1 1
r br
2 1
(abc) 0 cb ab
r cr
3 1 0 ac bc
cb ab
(abc) (abc)[(cb)(bc)(ab)(ac)]
ac bc
(abc)[bcc2 b2 bca2 acabbc]
3abca3b3c3
（2）
x y x y 2(x y) 2(x y) 2(x y) 1 1 1
r r r
1 2 3
y x y x y x y x 2(x y) y x y x
x y x y x y x y x y x y
1 1 1
r
2
 yr
1
x x y
2(x y) 0 x x y 2(x y)
r (x y)r y x
3 1 0 y x
2(x y)[x2 (y)(x y)]2(x y)(xyx2  y2)
2(x3  y3)
【注】立方和公式： x 3  y 3  ( x  y ) ( x 2  x y  y 2 ) .
（3）
1 1 1 1 1 1 1 1 1
r r
3 2
a b c a b c (abc) a b c 0
bc ca ab abc abc abc 1 1 1
（4）2 a
2 a
1
a
a b

1
b
2 b
2 b
1
r1
r
2



( b
a
2

2
a
r
3
r
3
a )
0
0
1
2
a
1
a b
b
a


1

2
a
a
b
2

b
2
( b
2
( b



1
a
a
a
)
2
)
2 (

2 a
( b


a
a

)
b
2
)
0
0
1
 (
a
1
1
a  b
a
)

2
1
3
b
（5）
a
b
c
d
2
2
2
2
( a
( b
( c
( d




2 1 )
2 1 )
2 1 )
2 1 )
( a
( b
( c
( d




2 2 )
2 2 )
2 2 )
2 2 )
( a
( b
( c
( d




2 3 )
2 3 )
2 3 )
2 3 )
c
2
c
3
c
4
r
2
r
3
r
4

r
3
r
4







(


(
b
b
c
1
c
1
c
1
r1
r1
r1

r
2
r
2

a
b
c
d
b
c
d
a
( b
a
2 2 a
2 2 b
2 2 c
2 2 d
2 a
2 2  a
2 2  a
2 2  a
) ( c  a
 a ) ( c
) ( c  a




) (

) (
1
1
1
1
2
2 (
2 (
2 (
d
a
d
a
b
c
d

)

(
4
4
4
4




a
d
a
a
b
c
d
1
a
a
a
)

)
 4
 4
 4
 4
)
)
)
2 a
b 
c 
d 
a )
2 a
b 
c 
0
6
6
6
6
4 a
4 ( b
4 ( c
4 ( d
a
a
a
2 a
b 
c 
d 
a
b
a
b
c
d




2
a
b
b
2
 9
 9
 9
 9
4
a )
a )
a )
a  1
2
2
2
2 a
a  1
2
0
0
2
0
0
6
6
6

6 a
( b
( c
( d
4 a
1
4 a
 9
 a )
 a )
 a )
 4
4
4
4
4 a 
4
0
0
 4
4
0
0
6
4
6
a
a

6
6
6
6

6
0
0
9
a
9
6
0
0


9
0
3.【答案】（1） a b c d  a b  c d  a d  1 ； （2）a a xa x2 a x3 ；
0 1 2 3
（3） a n  2 ( a 2  1 ) ； （4）[x(n1)a](xa)n1；
（5）1a  a （或
1 n
1 
n
i
1
a
i
）； （6） a
1
a
2
a
n

1 
n
i
1
1
a
i

【解析】（1）方法一：a
 1
0
0
1
b
 1
0
0
1
c
 1
0
0
1
d





( 
a
a
a
a
1 1 )
b
 1
0

b 
( b c
b c d
b
 1 a 
0
1
c
 1
c
 1
d  b
 a b
1
1
d


0
1
d

d
a
1
c
 1

 1
0
) 
d 
0
1
d
c
 1
c d
c d
1
d



1
d

1
(
1


1
c
1 )
d
 2


0
0
1
1 1
c
 1
0
1
d
方法二：
a
 1
0
0
1
b
 1
0
0
1
c
 1
0
0
1
d





( 
a
a
a
a
1 1 )
0
 1
0
(  1
( b c
b c d
 1 a
1
2  1 )
d 
 a
b 1
 1 c
0  1
 b c b
c 1
 1 d
1 
(  1 )

d  b ) 
d  b c 
0
1
d

b c
1
c d
c d

c
 1
b
d
 1

(
1


1
1
d
1 )
( c

d
2
 1
0
0
 1 )
1
c
 1
0
1
d
（2）“么”型行列式按照“横”展开：
x 1 0 0
1 0 0 x 0 0
0 x 1 0
(1)41a x 1 0 (1)42a 0 1 0
0 0 x 1 0 1
0 x 1 0 x 1
a a a a
0 1 2 3
x 1 0 x 1 0
(1)43a 0 x 0 (1)44a 0 x 1
2 3
0 0 1 0 0 x
a a xa x2 a x3
0 1 2 3
（3）a 1
a
D 
n
1 a



a
a
a

n
a
a

n 
(
1


1
( 
2 n )
a
1
 1
n  1
1  n )
n  a


2
( 
( 

1  n 1 )
1  n  1 )
n  2 a (
1
1
a
a
2 
a
1 )
a
n
a
 1
n  2
【注】未显示的元素均为0
（4）
D
n

x
a
a
a
x
a
a
a
x
全 部
列
累


[
[
和
加
x
x


相
到
(
(
等
第
n
n


一
1
1
)
)
行
a
a
]
] (
x
1
a
a
x


(
1
x
a
a
n
a
a
n )

 1
1 ) a
1
a
x
x


[
(
x
n
x
a


(
1
n
)

a
1 ) a ]
1
0
0
x 
x
1

0
( n
a
x
a
 1 ) a
x
1
0
 a
（5）先转化为“爪”型行列式
1 
a
a
a
2
n
1
1
a

a
1
a
n
2
1
a
1
a
2
 a
n
c  c
2
c  c
n
c  a
1
c  a
1
 1 
1
1
1
c
2 2
c
n n
a 
1

a
a
1
a
1
2
n

a
2
a

1

1
0

1
a

2
0
0

a
n


0
1

1 
1
a
n
n
i
1

1
0
a
i
1 
0
1
1
（6）1a 1 1 1a 1 1
1 r r 1
2 1
1 1a 1 a a 0
2 1 2
r r
1 1 1a n 1 a 0 a
n 1 n
a a a
c  1 c 1a  1   1 1 1
1 a 2 1 a a
2 2 n
0 a 0
2
a
c  1 c
1 a n 0 0 a
n n
 a a  n
1a  1   1  a
1 a a i
 2 n  i2
 1 1 1  n  n 1  n
1     a 1  a
a a a i a i
 1 2 n  i1  i1 i  i1
4.【答案】（1） ( a  b  c ) ( c  b ) ( c  a ) ( b  a ) ；（2）
1 
i
j n  1
( j  i )
n
或 k!；
k1
（3）(abc)(cb)(ca)(ba)
【解析】（1）可转化为范德蒙德行列式
b 
a
2 a
c a 
b
2 b
c a 
c
2 c
b
r1


( b
r
2

b
c


c
a
a
a

2
) ( c
a
 a
a
)

( c
c
b
b

2

b
b
) ( b
a


a
b
c
c
)
2
 c
 ( b  c  a )
1
a
a 2
1
b
b 2
1
c
c 2
（2）此行列式与范德蒙德行列式形式不同，将 D
n
中第 n  1 行依次与上一行交换到第 1
行， 第n行依次与上一行交换到第 2 行， ， 经过
n  ( n  1 )  ( n  2 )   2  1 
n ( n
2
 1 )
次行交换， 与范德蒙德行列式建立关系.
D
n
 (  1 )
n (n 2 1 )
a
1
a
n
a

n
1 ( a
(
a

a
1

1

1
n )
1 )

n
1 ( a
(
a

a
1

n

n
)
n
n
)

n
1
，再将第n1列依次与前一列交換到第1
列， 第n列依次与前一列交换到第 2 列， ， 经过
n(n1)
n(n1)(n2) 21 次列交换，得
2D 
n
=
=
n
(  1 )
1
a 
( a  n
( a 

0  i j n
(n 2
n
n )
n )
( j
1 )
 1
n


i
(
)


1
1
a  n
n (n  1 )
) 2
n  1 ( a  n )
n ( a  n )
1 1
a  1 a

n  1 n  1 ( a  1 ) a
n n ( a  1 ) a
n ! ( n  1 ) ! 2 ! 1 !
0

( a
(

i j
n
k
 1
a

a
[
n
k
1
 1
n 1 )
 1 )
( a 
!

n
1
i )
a

1
a
n  1
n a
( a  j ) ]
（3）直接利用范德蒙得行列式可得
D 
1
a
a
a
2
3
1
b
b
b
2
3
1
c
c
c
2
3
1
x
x
x
2
3
 ( x  a ) ( x  b ) ( x  c ) ( c  a ) ( c  b ) ( b  a )
( x  a ) ( x  b ) ( x  c ) 中 x 2 的系数为  ( a  b  c ) ，故原行列式中 x 2 的系数为
 ( a  b  c ) ( c  b ) ( c  a ) ( b  a ) .
5.【答案】（1）  3 或  3 ； （2） 0 、 2 、 6
【解析】（1）
2
1
1 2
1
1
1
1
1
c
1
(
c
2
3
3 )
0
3
1
1
2
1
1
2
1
1
1
(
1
r
2
3 )
r1
( 2
0
0
3
3 ) 0
2
1
1 2
1
1
  
   
  

  




















 



解得3或  3 .
（2）2 0 2
0 2 2
2 2 4
c
1
(
(
c
2
2
2
2
)
)
0
(
2
2
2
2
6
0
2
)
2
4
4
(
2
2
4
(
r
2
2
)
2
(
)
r1
[ (
6
0
0
)
2
2 ) (
0
2
4
2
) 8 ]
2
4
4
  
   
  

   

    







































解得  0 、 2 、 6 .
6.【答案】（1）  6 4 ；（2） 2 4 .
【解析】（1）
3 1 1 2 0 2 4 1
r 3r 2 4 1
1 3
5 1 3 4 0 6 8 1
A  A  A  A  r 5r  6 8 1
31 32 33 34 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1
r r 6 2 4
1 5 3 3 4 3 0 6 2 4
2 4 1 2 4 1 0 14 1
12 6 8 1 2 0 4 2 2 0 4 2 64
3 1 2 1 9 0 1 9 0
（2）
M  M  M  M
1 4 2 4 3 4 4 4

=
=
 A
1
4
 6
3
1
(  1
4
)
 A
 4
6
 5
 5
3  2 (
2

4
2

2
0
4
3
)
A

4
3 4
0
0
0
1
6


A
2
0
4 4
4
 6
3


2 4
3

2
1

6

5
4
5
1
1
0

2
0
4
5

 1
3
1
3
4
 6
3

1

1
0
0

1
1
2
2
0
41-2 基础真题
1.【答案】  3
【解析】根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各行都加到第 1 行得:
D 

3
1
1
0
3  (
3
1
0
1
 1 )
3
0
1
1
4 2 3

3
1
1
1
(

 1
3
) 3
1
1
1
0
 1
1
1
0
1
 
1
0
1
1
3
1
1
1
1
 3
1
0
0
 1
1
0

0
1
1

0
0
1
1
0
0
0
2.【答案】 x 4
【解析】方法一：根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各列都加到第 1 列得：
原式


x
x
x
x
x  ( 


x

1
1
1
 1
1
4 
) 2
3

x
x
1

1
1
3
1
 x 4
x




1
1
1
1
 x
1
1
1
1
x



1
1

1
1
x
1

1
1
1
x




1
1
1
1
 x
1
1
1
1
0
0
x
0
0
x
0
0
x
0
0
0
方法二：第一行的  1
1 1 1 x1
0 0 x x
倍分别加到第二、三、四行，得爪型行列式： .
0 x 0 x
x 0 0 x
第一列、第二列和第三列依此加到第四列上消去一个侧爪得：
1 1 1 x
0 0 x 0 43
(1) 2 x4  x4.
0 x 0 0
x 0 0 0
3.【答案】B
【解析】将第一列的1倍依次加到第二、三、四列得：f ( x ) 

x 
2 x 
3 x 
4 x
x 
2 x 
2
2
3
2
2
1
1
1

1
1
3

x
x
x
x


0
0


2
7
2
7






1
6
1
1
2
3


5 x
x 
2 x 
3 x 
4 x
( x 
2
2
3
1 )
1
1
1
 3
x
x
0
0


2
7
0
0


1
6
由此可知 f ( x ) 是2次多项式，故应选（B）.
4.【答案】D
【解析】方法一：依次对换第二、四行，第二、四列化为分块行列式：
原 式 
 (
a
b
0
0
a
1
4
1
a
4
0
0
b
a

3
2
b
1
b
0
0
a
3
b
2
) (
4
a
2
b
a
0
0
a
1
4
3

 b
a
1
b
4
0
0
b
2 3
)
b
a
0
0
1
4
0
0
a
b
3
2
0
0
b
a
3
2

a
b
1
4
b
a
1
4

a
b
3
2
b
a
3
2
方法二：按第 1 行展开，得
a b 0 0 a b
2 2 2 2 a b a b
D a b a 0 b 0 b a 按第3行展开aa 2 2 bb 2 2
n 1 3 3 1 3 3 1 4 b a 1 4 b a
0 0 a b 0 0 3 3 3 3
4 4
(a a b b )(aa bb )
2 3 2 3 1 4 1 4
5.【答案】 a n  (  1 ) n  1 b n
【解析】属于么型行列式，按第1列展开，有
a b 0 0 0 b
0 a b 0 0 a b
D a b(1)n1 an (1)n1bn
0 0 0 a b b
0 0 0 0 a a b
所以Dan (1)n1bn.
6.【答案】 1  a  a 2  a 3  a 4  a 5
【解析】梭型行列式，按第一行展开D
5
 (1  a ) D
4
 a

0
0
0
1
1
a


0
1
a
1
0
a

 1
a
1
0
0
a
 a
 (1  a ) D
4
 a D
3
.
得到递推公式 D
5
 D
4
  a ( D
4
 D
3
)    a 3 ( D
2
 D
1
) .
由于 D
2

1 
 1
a
1
a
 a
 1  a  a 2 ， D
1
 1  a
于是得 D
5
 D
4
  a 5 ，D D a4，
4 3
D
3
 D
2
  a 3 ，容易推出
D
5
  a 5 + a 4  a 3  D
2
  a 5  a 4  a 3  a 2  a  1 .
1-3 拓展拔高
1.【答案】 k 2 ( k 2  4 )
【解析】观察行列式的性质，可以看出，行列式的每一列和相等. 因此可将第 2 , 3 , 4 行加
到第 1 行，提取 k ，再用行列式性质，有
k0
1
1
0k1
1
1k0 1 1
1
0k


k
k 2
10
1
1
k20
1k1
1
1
k 1 1
11k0
11 1
10k
1


k 2
k
k20
1000
2k0
1k20
k
 1
11
11k

1
k 2
1
1
1k
( k 2  4 )
2.【答案】 a  1 或 a  2
【解析】
原式
a1 a1 0 a1 0 0
 1 a 1  1 a1 1
1 1 a 1 2 a
(a1)[(a)2 (a)2](把(a)当成整体)
(a1)[(a2)(a1)]
(a1)2(a2)0
3.【答案】请参照解析【解析】方法一：用数学归纳法.
当 n  1 时，D  xa ；当
1 1
n  2 时， D
2

xa
2
a

1
1
x
 x 2  a
1
x  a
2
，结论成立；
假设当 n  k  1 时，结论成立，有D  xk1a x(k1)1a x(k1)2  a xa
k1 1 2 k2 k1
则当 n  k 时，将 D
k
按第1列展开，得
D  xD a  xk a xk1 a x2 a xa
k k1 k 1 k2 k1 k
故对任意正整数 n ，有 D
n
 x n  a
1
x n  1   a
n  1
x  a
n
，结论成立.
方法二：用递推法，将 D
n
按第1列展开，得 D
n
 x D
n  1
 (  1 ) n  1 a
n
 (  1 ) n  1  x D
n  1
 a
n
故D  xD a , ,D  xD a ,D  xD a  x2 a xa
x1 x2 x1 3 2 3 2 1 2 1 2
将其依次代入，得
D
n



x
x
D
2
n 
( x

1
D
x

x
n
a
 3

n

a

a
x
1
x (
x  2
n  1
x D
) 

x 
x
2
a


x
a
 1
a
n
x  1
 a
x
 1
)
n



a
a
n
3 x
,
n

D
x
x 
2
3
D

x 
x
2
2

a
x
x

a
2
x

 1
x

a
a
x 
n
1
 a
n
4.【答案】 n  1
【解析】 D
n
为三对角行列式，用递推法，将 D
n
按第1行展开.
D
D
D
n
n
n



2
D
D
D
n  1

n  1

n  1

D
1
( 
n 

1
1
(
)

D
 ( 
D
n
n  2
1
 2

)
1
1 

)
2
D

00
00
n
1
1


2

D
 1
2
1
00
D
n 
n
2
 3

02
00

2
1

 D

000
2
2
D
1

1
D

000
 1
2

1
( n 
 2
2
1
1 )
D

n  1
 1
2
2 


( n
D
2

n 

1
2
1
)
,
,
 n  1 .
5.【答案】B
【解析】4
i
1
4
j
1
A
ij






1100

A
A
1

1 1

3 1
1010
 1 
A
1
A
1001
1
2
3 2



1000
1
A

1 3
A
3



3
0100
4

A
1
A
0110
4
3

4

 
0101
 A

2
A
1100
1
4

1


A
0110
A
2 2
4

2
0010

A
2
A
0011
3
4

3

1010
A
2
A

4
4

4
0101

0011 0001 1001
6.【答案】 b n  1 ( b 
n
i
1
a 2i )
【解析】 D
n
除主对角线外，第i行(i 1,2, )元素分别是 a
1
, a
2
, , a
i 1
, a
i 1
, , a
n
的倍
数，即： (  a
i
) a
1
, (  a
i
) a
2
, , (  a
i
) a
i 1
, (  a
i
) a
i 1
, , (  a
i
) a
n
.
可考虑加边法，
D

n
1


D
( a
n  1
2 )
1
b


1
0
0
0
( a
2
baa
a
b


2 )
1
2
n
a
1
 a
a a
2
a a
n

21
1
1


b

(
a
a

a
a
2a
1
a
a
n
)
n
b
222
2
2
0
b0
0
0
0b
0


b
a
a
a

na
1
a
2
a
n
n
2n

0
00
b
1aa
a

1
2
n
b n
ab0
0

1
1 
a
2
0b
0
n
i
1
( a
i
b
) 2 
a
n
00
b
 b n  1 ( b 
n
i
1
a 2i )
7.【答案】

1 
n
i
1
a
b
i


n
j 1
b
j
【解析】方法一： D
n
中除主对角线外，各列元素分别相同，用加边法.
1 0 0 0 1 a a a
1 ab a a 1 b 0 0
1 1
D  D  1 a ab a  1 0 b 0
n n1 2 2
1 a a ab 1 0 0 b
n n
a a a
1    a a a
b b b
 1 2 0 n b 1 0 0   1 n a    n b .
0 0 b 0 b j
2  i1 i  j1
0 0 0 b
n方法二：
D
n







a
b
1
0
a
a b
a b
a b

1 
a
a
b
1
b
1
b
1


b
1
0b
2
a
2
2
2
a b
n
i
1
a
b
n
b
n
b
n
b
1 2
b
a
b
i
a
a
 1
 1
 1
n

 
b
2
00

a
 b ( a
n
 a b b
1
 a b b
1
b
n 
n
b .
j
j 1
a
b
2
2
a
1
b
a
 b
a
0
b
2
b
b
b
1 2
b
n
aa

1
n 
n 
 1
b
n
a
b
n 
b
2 n
b
2 n
b
n

a
0
2



a
b
2
 b
b
n
b
n
 b
1
a
a
D
n  1
b D
 1 n
b (
n  1
a

n
a
b
a
a 
a
aa
b
n
)
 2
n  2
b b1
2
b
1 2
b
2
b

2
b
a
b
n
b
1
n 

b
3
b
2

n
b
aa
a
b
b
n 
n  1

n
2
 1
D
a

n
b
 b
a
0
b
n
)
 3
( a
2
1
D

n 
b
a
1
1
a
0
)
b
2
aa
b
n
8.【答案】 ( a 2  b 2 ) n
【解析】方法一：
D
2 n



a
b
( a
( a


a
b
b
b
)
)
n
n
1
1
( a 
ab
1
1
b ) n
ba
 ( a
11
2 
ba
b
b
a
2 ) n
b
a
=
a
b
b
a


b
a
b
a

a
b
(


a
b
a
 b ) n
1
0
ab
1
0
 ba ba
10 ba

b
a
b
b
a
b
a  b
b
a  b
方法二：D
2 n




a
b
a
a
b0
2 a
2 ( a
a
b
a
b
 b 2 ) D
ab
2
ab
n
ab
 2
ba
ba
ba
b
a
b
a
b
a
0
a
 (
b
a


(
1

)
1
(1 
)
2
(2 n  1 )
n  1 ) b
b
2
0
b
a
b
a
b
ab
ab
ba
ba
b
a
b
a
D
2 n
 ( a 2  b 2 ) D
2 n  2
 ( a 2  b 2 ) 2 D
2 n  4
  ( a 2  b 2 ) n
9.【答案】C
【解析】
由于
x a a a 1 a a a
1 2 n 1 2 n
a x a a 1 x a a
1 2 n  n  2 n
f(x) a a x a  xa 1 a x a
 
1 2 n i 2 n
 
i1
a a a x 1 a a x
1 2 3 2 3
1 0 0 0
1 xa 0 0
n 1
(xa )1 a a xa 0
i 2 1 2
i1
1 a a a a xa
2 1 3 2 n
 n  n
  xa  (xa )
i i
 i1  i1
所以 f ( x )  0 有 n  1 个实根，故 f(x)0至少有 n 个实根，又因为 f(x)0是关于 x 的
一元n次方程，所以 f(x)0最多有n个实根，综上， f(x)0恰有n个实根，答案应选（C）.
10.【答案】请参照解析
1 1 1
a a a n
【解析】不失一般性，设| A| 21 22 2n A . 又因
1j
j1
a a a
n1 n2 nn
n
j
1
A
ij

a
a
1
2
1
n
1
1
a
a
1
2
1
n
2
2
a
a
1
2
1
n
n
n
 0 , i  2 , , n .
n n n n n n
故| A|A A A  A A .
1j 1j 2j nj ij
j1 j1 j1 j1 i1 j1