文档内容
北京四中 2020-2021 学年度第一学期开学测试 初三年级（数学学科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1. 下列各式中，化简后能与 合并的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】分别化简，与 是同类二次根式才能合并.
【详解】因为
A. =2 ;
B. =2 ;
C. = ;
D. = .
所以，只有选项B能与 合并.
故选B
【点睛】本题考核知识点：同类二次根式.解题关键点：理解同类二次根式的定义.
2. 一元二次方程 配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把-1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成 (n≥0)的形式，这种解一
元二次方程的方法叫配方法．
3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形 的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. 方程 的解是（ ）
A. x =1 B. x = 2 C. x = 0，x = 1 D. x = 0，x = 2
1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x-1）=x，
∴x（x-1）-x=0，
∴x（x-1-1）=0，
∴x=0或x-1-1=0，
∴x=0，x=2．
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边都相等解答．
【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性
质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司6. 正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，三者都是平行四边形，从而得到答案．
【详解】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质．
7. 一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差 的特点即可得出答案．
【详解】解：一组数据中，改动一个数据，数据癖和发生变化，因此平均数一定发生变化；
众数、中位数和方差有可能发生变化，也有可能不发生变化，
故选：A．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
8. 如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点
为 ，连接 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中一定
正确的是（ ）
A. ③ B. ②③ C. ③④ D. ②③④
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，可判断①③，等腰三角形的性质可判断④，由
于∠A＋∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC＋∠CBE不一定等于90°，故②错误．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝ （180°−∠ACD），∠CBE＝ （180°−∠BCE），
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A＋∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC＋∠CBE不一定等于90°，故②错误；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9. 将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白
部分的面积之和为S，阴影部分的面积之和为S．若S＝ S，则a，b满足（ ）
1 2 1 2
A. 2a＝5b B. 2a＝3b C. a＝3b D. a＝2b
【答案】C
【解析】
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示出S 和S，再根据S＝ S 得到关于a、b的等式，整理即可．
1 2 1 2
【详解】由题意得：
S＝ ab×4＝2ab，
2
S＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，
1
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学科网（北京）股份有限公司∵S＝ S，
1 2
∴3S＝5S
1 2
∴3a2+3b2＝5×2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a＝b（舍），或a＝3b．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
10. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可
回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量 合
（千吨） 计
频数 1 2 3
频率 0.05 0.10 0.15 1
的
表中 组 频率 满足 ．
下面有四个推断：
①表中 的值为20；
②表中 的值可以为7；
③这 天的日均可回收物回收量的中位数在 组；
④这 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m的值；
②根据 的频率a满足 ，可求出该范围的频数，进一步得出b的值的范围，从而求
解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：①日均可回收物回收量（千吨）为 时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=
，推断合理；
②20×0.2=4，20×0.3=6，
1+2+6+3=12，故表中b的值可以为7，是不合理的推断；
③1+2+6=9，故这m天的日均可回收物回收量的中位数在 组，是合理推断；
④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断.
故选：D
【点睛】本题考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键.
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
11. 函数y= 中，自变量x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得， ，
解得 ．
12. 如图，正方形 的边长为 ，点 为对角线 上任意一点， ， ，垂足分
别是 ， ，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，先作辅助线，然后根据正方形的性质、矩形的性质和等腰三角形的性质，可以得到
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学科网（北京）股份有限公司PE+PF的值，本题得以解决．
【详解】解：延长EP交BC于点G，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴四边形EPFD是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴EP=DF，PF=FC，
∴EP+PF=DF+FC=DC，
∵DC=2，
∴PE+PF=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数
形结合的思想解答．
13. 如图，菱形 中， ， ， 交于点 ，若 是 边的中点， ，则
的长等于__________， 的度数为__________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据菱形的性质得出BO＝DO，∠ADO＝ ∠ADC，AB∥CD，由三角形中位线定理得出
OE∥AB，OE＝ AB＝5，根据平行线的判定与性质以及角平分线定义即可求出∠ADO的度数．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，∠ADO＝ ∠ADC，AB∥CD，
∵E是边AD的中点，BO＝DO，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，OE＝ AB＝5，
∴OE∥CD，
∴∠ADC＝∠AEO＝32°，
∴∠ADO＝16°．
故答案为：5，16°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行线的判定与性质，角平分线定义，证明出OE
是△ABD的中位线是本题的关键．
14. 若关于 的一元二次方程 有个根为 ，则 的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入 得关于a的一元二次方程，
且a+4 0，然后求解即可．
≠
【详解】解：把x=0代入 得a2-16=0，
解得a=-4，a=4，
1 2
又a+4 0，即a ，
所以，≠a的值为≠4-．4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
15. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为 ，正方形 ， ， 的顶点
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学科网（北京）股份有限公司都在格点上，则正方形 的面积为__________．
【答案】45
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，
∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 图 中菱形的两条对角线长分别为 和 ，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地
拼成如图 所示的图形，则图 中菱形的面积等于__________；图 中间的小四边形的面积等于
__________．
【答案】 ①. 24 ②. 1
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱
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学科网（北京）股份有限公司形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于 ×6×8＝24，
菱形的边长等于 ＝5，
∴图2中间的小四边形的面积等于25−24＝1．
故答案为：24，1．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17. 在矩形ABCD中，AD＞AB，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的
动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边
形EMFN可能是_____（只填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法逐一判断即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
当M,N分别为AB,CD的中点是，由勾股定理得
．
又∵ ，
．
同理可证 ，
，
∴四边形EMFN可能是菱形，故③正确；
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴四边形EMFN可能是平行四边形，故①正确；
若想为矩形，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
在矩形中，这两角不相等，所以不会是矩形，因为正方形是特殊的矩形，所以也不会是正方形，故②④错
误，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及判定，平行四边形，菱形，正方形的判定，掌握这些性质及判定方法
是解题的关键．
18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满
足条件__________时，四边形AEDF是菱形．（填写一个你认为恰当的条件即可）
【答案】答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD等
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法,找到最合适的即可解题,答案不唯一见解析.
【详解】解：若AB＝AC,
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE=AE,DF=AF,（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
∴DE=AE=DF=AF,
∴四边形AEDF是菱形（四边相等的四边形是菱形）
若∠B=∠C,
则AB＝AC,
接下来的证明同上,
综上,答案不唯一，如AB＝AC或∠B＝∠C或AD平分∠BAC或BD＝CD等
的
【点睛】本题考查了菱形 判定,属于简单题,熟悉菱形的判定方法是解题关键.
19. 如图所示，平行四边形 中，点 在边 上，以 为折痕，将 向上翻折，点 正好落
在 上的 处，若 的周长为8， 的周长为22，则 的长为__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】7.
【解析】
【分析】依据△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，即可得出DF+AD=8，FC+CB+AB=22，进而得到平
行四边形ABCD的周长=8+22=30，可得AB+BC=BF+BC=15，再根据△FCB的周长=FC+CB+BF=22，即可
得到CF=22-15=7．
【详解】解：由折叠可得，EF=AE，BF=AB．
∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，
∴DF+AD=8，FC+CB+AB=22，
∴平行四边形ABCD的周长=8+22=30，
∴AB+BC=BF+BC=15，
又∵△FCB的周长=FC+CB+BF=22，
∴CF=22-15=7，
故答案为：7.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴
对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
20. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有 名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀
率为 ，女生成绩的优秀率为 ：八年级男生成绩的优秀率为 ，女生成绩的优秀率为 对
于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数：
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率
所有合理推断的个数是__________个
【答案】0
【解析】
【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【详解】∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
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学科网（北京）股份有限公司∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，但是由于两个年级的男生人数不确定，故两个
年级的优秀人数无法确定；
故①错误，不合题意，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误，不合题意；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%
之间．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
故③错误，不合题意．
综上所述，合理推断的个数是0个．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确理解题意优秀率的计算方法是解题关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
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学科网（北京）股份有限公司=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
22. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法解一元二次方程．
【详解】 ，
解得： ．
23. 如图，将一张矩形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处， 与 交于点 ．
（1）求证：
（2）若将折叠的图形恢复原状，点 与 边上的点 正好重合，连接 ，试判断四边形 的
形状， 并说明理由
【答案】（1）见解析；（2）四边形 是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，
∠E=∠C=∠A=90°．再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF即可得到结论；
（2）利用折叠知识及菱形的判定可得出四边形BMDF是菱形．
【详解】（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．
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学科网（北京）股份有限公司在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（AAS），
∴BF=DF；
（2）解：四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．
【点睛】本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相
等），以及菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质的有关知识．
24. 先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发
展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图(数据分成6组：
）：
b．先进制造业城市发展指数得分在 这一组的是：71.1 75.7 79.9
c．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：
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学科网（北京）股份有限公司d．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第 ；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数
几个城市所对应的点位于虚线 的上方．请在图中用“○”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为
_______亿件．（结果保留整数）
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）31
【解析】
【分析】（1）根据北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9和统计图即可得出；
（2）直接在图象中圈出即可；
（3）直接根据图象读取数据即可．
【详解】（1）∵北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9，
∴由图象可看出北京的先进制造业城市发展指数排名第3；
（2）
；
（3）由30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图可得最小值约为
31亿件．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，统计图和近似数，读懂图象是解题关键．
25. 综合与实践
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学科网（北京）股份有限公司问题情境：
如图①，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到
（点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
猜想证明：
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）四边形 是正方形，理由详见解析；（2） ，证明详见解析；（3）
．
【解析】
【分析】（1）由旋转可知： ， ,再说明 可得四边形
是矩形，再结合 即可证明；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先根据等腰三角形的性质得到 ，再证
可得 ，再结合 、 即可解答；
（3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在
Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和
EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）四边形 是正方形
理由：由旋转可知： ， ，
又 ，
四边形 是矩形．
∵ ．
四边形 是正方形；
（2） ．
证明：如图，过点 作 ，垂足为 ，
则 ，
．
四边形 是正方形，
， ．
，
．
．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
；
（3）如图：过E作EG⊥AD
∴GE//AB
∴∠1=∠2
设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x
在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15
∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9
∴BE=9,AE=12
∴sin∠1= ,cos∠1=
∴sin∠2= ,cos∠2=
∴AG=7.2,GE=9.6
∴DG=15-7.2=7.8
∴DE= ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本
题的关键．
26. 如图，正方形 的两条对角线把正方形 分割成四个全等的等腰直角三角形，将他们分别
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学科网（北京）股份有限公司沿正方形 的边翻折，可得到一个面积是原正方形 面积 倍的新正方形，请你在图 ，图 ，
图 中完成，将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积 倍的三
个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形（非矩形、非菱形）
【答案】见解析
【解析】
【分析】如图1所示，矩形ABCD的两条对角线把矩形 分割成四个全等的等腰三角形，将他们分
别沿矩形 的边翻折即可得到菱形EFGH；如图2所示，连接矩形的对角线BD，分别过点A、C作
BD的垂线，此时将矩形ABCD分成四个直角三角形，将他们分别沿矩形 的边翻折，即可得到矩形
HIJK；如图3所示，连接BD，在BD上截取两点S和T，使DS=BT，且AS不与BD垂直，CT不与BD重
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学科网（北京）股份有限公司合、S与T不重合，把矩形 分割成四个三角形，将他们分别沿矩形 的边翻折，即可得出平
行四边形OMNP．
【详解】解：如图1所示，矩形ABCD的两条对角线把矩形 分割成四个全等的等腰三角形，将他
们分别沿矩形 的边翻折，
根据矩形的对角线相等且互相平分和折叠的性质，可得EA=AF=FB=BG=GC=CH=HD=DE，且四边形
EFGH的面积是矩形ABCD面积的2倍
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH为菱形
即可得到一个面积是原矩形 面积 倍的新菱形EFGH，如图所示，菱形EFGH即为所求；
如图2所示，连接矩形的对角线BD，分别过点A、C作BD的垂线，此时将矩形ABCD分成四个直角三角
形，将他们分别沿矩形 的边翻折，
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学科网（北京）股份有限公司由折叠的性质可得，∠H=∠I=∠J=∠K=90°，四边形HIJK的面积是矩形ABCD的面积的两倍
∴四边形HIJK是矩形，
即可得到一个面积是原矩形 面积 倍的新矩形HIJK，如图所示，矩形HIJK即为所求；
如图3所示，连接BD，在BD上截取两点S和T，使DS=BT，且AS不与BD垂直，CT不与BD重合、S
与T不重合，把矩形 分割成四个三角形，将他们分别沿矩形 的边翻折，
∴DS＋TS=BT＋TS
∴DT=BS
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠ADS=∠CBT
∴△ADS≌△CBT
∴AS=CT
由折叠的性质可得：OA=AS=AM，CN=CT=CP，MB=BS，BN=BT，OD=DS，DP=DT，且四边形OMNP
的面积是矩形ABCD面积的2倍
∴OM=2AS=2CT=NP，MN=MB＋BN=BS＋BT=DT＋DS=OD＋DP=OP
∴四边形OMNP为平行四边形
即可得到一个面积是原矩形 面积 倍的平行四边形OMNP，如图所示，平行四边形OMNP即为所
求；
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查 的是四边形的综合大题，掌握矩形的判定及性质、菱形的判定和平行四边形的判定是解
决此题的关键．
27. 如图， 在 中， ， 为 上一点且 ， 于点 ，点 关于点
的对称点为点 ， 交 于点 ．
（1）依题意补全图形
（2）求 的度数
（3）写出 、 、 之间的等量关系，并证明
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的特征补全图形；
（2）由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得出答案；
（3）在CD是取点P，使FP=FD，连接FP，证明△CPF≌△ADB（AAS），得出AD=PC，BD=PF，则可
得出答案．
【详解】解：（1）根据题意画出图形如图1，
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学科网（北京）股份有限公司（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF，
∴∠AGC=∠B+∠BCG=∠B+∠ACB-∠ACF=2∠B-2∠ECF，
∵∠ECF=90°-∠EFC，∠EFC=60°+∠BCG，
∴∠AGC=2∠B-180°+120°+2∠BCG，
∴∠AGC=60°；
（3）CD=AD+BD．
证明：如图2，在CD是取点P，使FP=FD，连接FP，
∵∠ADC=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴∠DPF=60°，
∴∠FPC=120°，
∴∠ADB=∠FPC，
又∵AC=CF，AB=AC，
∴AB=CF，
由（2）知，∠AGC=60°
∴∠AGC=∠B+∠BCG=60°，∠ADC=∠B+∠BAD=60°
∴∠BAD=∠BCG，
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学科网（北京）股份有限公司∴△CPF≌△ADB（AAS），
∴AD=PC，BD=PF，
∴CD=DP+PC=AD+BD．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判断
和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的综合运用；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的
关键．
28. 在 中，点 在 边上（不与点 重合）， ，垂足为点 ，如果以 为对角线的
正方形上的所有点都在 的内部或边上，则称该正方形为 的内正方形．
（1）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，画出 的内正方形，直接写出
此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．
①若 ，求 的内正方形的顶点 的横坐标的取值范围；
②若对于任意的点 ， 的内正方形总是存在，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）画图见解析； 的内正方形的面积为 ；（2）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半计算
即可．
（2）①如图2中，设E（m，0）．用m表示出点G的坐标，求出直线AC的解析式，当点G落在AC上
时，利用待定系数法求出m即可解决问题．
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学科网（北京）股份有限公司②观察图2可知，当t＝4或−4时，点G落在AC上，由此可以得出结论．
【详解】解：（1）如图．
∵ ， ，点 是 的中点，
∴ ．另一条对角线的长也=1,
∴ 的内正方形的面积= 对角线的乘积= ．
（2）①根据题意， ， ．
设正方形的对角线 ， 交于点 ，可知点 总在 边上，当 在 边上时，点 的横坐标取
得最大值，作 于点 ．
可知 ， ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
② 或 ．
由图形可知,当t=4时,点F落在AC上,
故t≥4时,△ABC的内正方形总是存在的,
根据对称性,t≤-4时,也满足条件,
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，一次函数的应用，待定系数法等
知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
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