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北京市第八十中学 2021-2022 学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】算术平方根 的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此定义求解即
可．
【详解】解： ，
的算术平方根为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的求解，牢固掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 点 所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点 在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】无理数是指无限不循环小数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含
有π的数，由此找出无理数的选项．
【详解】解：A． 开方开不尽，是无理数，故选项正确，符合题意；
B． 是有理数，故选项错误，不符合题意；
C． =4，是有理数，故选项错误，不符合题意；
D． 是有理数，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，以及无理数的识别，解题的关键是掌握立方
根、平方根以及无理数的定义．
4. 下面的四个图形中，能由原图经过平移得到的图形是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C【解析】
【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，
这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
【详解】解：根据“平移”的定义可知，
由题图经过平移得到的图形是 ，
故选：C．
【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是熟记平移的定义．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 相等的两个角互为对顶角
B. 垂直于同一直线的两条直线互相垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用对顶角以及邻补角、平行线的性质分别分析得出答案．
【详解】A．相等的角不一定是对顶角，故选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．故选项错误，不符合题意；
C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项错误，不符合题意；
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握定理．
6. 如图，点 ， ， 分别是三角形 的边 ， ， 上的点， ， ．图中与
不一定相等的角是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由DE BA，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠CED=∠A；由DF CA，利用“两直线
平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”可得出∠DFB=∠A，∠EDF=∠CED=∠A，再对照四
个选项即可得出结论．
【详解】解：∵DE BA，
∴∠CED＝∠A；
∵DF CA，
∴∠BFD＝∠A，∠EDF＝∠CED＝∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记各平行线的性质定理．
7. 如果 ，那么下列不等式变形正确的是（ ）
A. a＋5<b＋5 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，
不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同
时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．对各选项进行判断．
【详解】因为a＞b，所以
A．a＋5＞b＋5，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C．−4a＜−4b，故选项错误，不符合题意；
D．a−2＞b−2，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，特别是不等式的两边
同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8. 如果关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可．
【
详解】解：已知不等式移项得：3x≤a-1，
解得：x≤ ，
由数轴得：x≤-1，
∴ =-1，
解得：a=-2．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本
题的关键．
9. 已知二元一次方程组 ，则 的值为
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】原方程组的两个方程相加即可求解．
【详解】解：由二元一次方程组 ，
两式相加得： ，
则 ．故选： ．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答此题的关键．
10. 如图，在正方形网格中有两个等腰直角三角形，顶点都在格点上，把 先横向平移 格，再纵向
平移 格，就能与 拼合成一个四边形，那么 的值是（ ）．
A. 有一个确定的值 B. 有两个不同的值 C. 有三个不同的值 D. 有无数个不同的值
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个全等的等腰直角三角形可以组成一个正方形或一个平行四边形可得出答案．
【
详解】解：（1）如图1，当两斜边重合时可组成一个正方形，此时x=3，y=1，x+y=4；
图1
（2）当两直角边重合时有两种情况：
①如图2，当竖直方向上直角边重合，此时x=5，y=1，x+y=6；
②如图3，当水平方向上直角边重合，此时x=3，y=3，x+y=6．图2 图3
综上可得x+y=4或6．
故选：B．
【点睛】此题考查了平移的知识，解题的关键是数形结合，考虑所以可能情况，不重不漏．
二、填空题
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根
的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
12. 关于 的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是______．
【答案】x≥-2
【解析】
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【详解】解：∵-2处是实心圆点，且折线向右，
∴x≥-2．故答案为：x≥-2．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
13. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，若三角形 的面积为3，写出一个满足条件的
点 的坐标______．
【答案】(3，0)(答案不唯一，写一个即可)
【解析】
【分析】设点P到y轴的距离为t，利用三角形面积公式得到 ×t×2=3，然后求出t得到满足条件的一个P
点坐标．
【详解】解：设点P到y轴的距离为t，
∵三角形MOP的面积为3，
∴ ×t×2＝3，
解得t＝3，
即P点坐标可能为(3，0)．
故答案为：(3，0）．
【点睛】此题考查了直角坐标系中点的坐标及三角形的面积，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形的
面积公式．
14. 是二元一次方程 的一个解，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】将 代入二元一次方程2x+ay＝3，得2+3a＝3，
解得a＝ ；
故答案为∶ ．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是利用方程的解满足方程得出关于a的方程．
15. 图的框图表示解不等式 的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是______．
【答案】不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质3求解可得．
【详解】解：“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，
不等号的方向改变，
故答案为：不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意不等
式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16. 如果直线a，b交于点 ，其中一对对顶角互补，那么直线a与直线b的位置关系是______．
【答案】互相垂直
【解析】
【分析】根据对顶角相等，互为补角的两个角的和为180度来填空．
【详解】解：因为互为对顶角的两个角相等，又因为互为补角的两个角的和为180度，所以这两个角分别
为90度，所以直线a，b是互相垂直的位置关系．
故答案为：互相垂直．
【点睛】此题考查了对顶角和补角的定义．解题的关键是熟练掌握上述知识的定义．
17. 用一个实数 的值说明命题“ ”是假命题，这个 的值可以是__________．
【答案】-1（答案不唯一， 即可．）
【解析】
【分析】选取的 的值不满足 即可．
【详解】 时，满足 是实数，但不满足 ，
所以 可作为说明命题“如果 是任意实数，那么“ ”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一， 即可．）【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
18. 在平面直角坐标系 中，分别进行如下操作：把点 先向右平移1个单位，再向上平移1个
单位到达点 ；把点 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位到达点 ；把点 先向右平移3个单
位，再向上平移3个单位到达点 ；把点 先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点 ；依此
规律进行，点 的坐标为______，点 的坐标为______．
【答案】 ①. (2，3) ②. (﹣1012，﹣1011)
【解析】
【分析】根据题意分析：画出点A、A、A、A、A 的位置，即可观察到这些点的横坐标和纵坐标的规律，
1 2 3 4 5
即可解答本题．
【详解】解：如图：可知，A 的坐标为（2，3)，
5
观察点的坐标可知，当该点为奇数点时在第一象限，偶数点在第三象限，
设n为奇数时，第n个点的坐标为
m为偶数，第m个点的坐标为
而2022为偶数，点A 在第三象限
2022
点A 的横坐标为- =﹣1012
2022
纵坐标为－ =﹣1011
即点A 的坐标为（－1012，﹣1011)
2022
故答案为：(2，3)；(﹣1012，﹣1011)
【点睛】本题考查点坐标规律的探寻，找出横坐标和纵坐标的规律即可．
三、解答题
19. 计算下列各式：（1）
（2）
【答案】（1）-2 （2）11+
【解析】
【分析】（1）先求出立方根和算术平方根，然后利用有理数的混合计算法则求解即可；
（2）利用算术平方根和绝对值的计算方法求解即可．
【小问1详解】
解： ，
=-3+ +0.4，
=-2；
【小问2详解】
解： ，
=2×5+3-（2- ），
=13-2+ ，
=11+ ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是能够熟练掌握相关
知识进行求解．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】用代入消元法求解即可．【详解】解： ，
把①代入②，得：3x＋2（2x－4）＝6，解得：x＝2．
把x＝2代入①，得：y＝0．
故原方程组的解为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
21. 已知：实数 ， 满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数 的两个平方根分别为 和 时，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据二次根式和平方的非负性可得到 ， ，运算求解即可；
（2）根据一个正数的平方根为一对相反数，列式运算即可．
【详解】（1） ， ；
（2）依题意，得 ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，一个数平方根，熟悉掌握概念是解题的关键．
22. 解不等式 ＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．
【答案】1，2，3
【解析】【分析】由一元一次不等式解法知，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到原不
等式解集，进而可得正整数解．
【详解】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），
去括号，得1+2x＞3x﹣3，
移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，
合并同类项，得﹣x＞﹣4，
系数化为1，得x＜4，
则不等式的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式基本步骤是解题关键．
23. 如图， 内有一点 ，根据下列语句画图和回答：
（1）过点 画 的垂线段，垂足为 ；
（2）过点 画线段 交 于点 ，画直线 交 于点 ；
（3）如果 ，那么 ______°， ______°．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）40；50．
【解析】
【分析】（1）利用三角板的直角，过点P作PQ⊥OB即可；
（2）过点P画线段PC∥OB交OA于点C，画线段PD∥OA交OB于点D即可；
（3）利用平行线的性质即可求解．
【小问1详解】
如图所示：线段PQ即为所作，
小问2详解】
【如图所示：线段PC、PD即为所作，
【小问3详解】
∵∠O=40°，PC∥OB，PD∥OA，
∴∠ACP=∠O=40°，∠PDQ=∠O=40°，
∵PQ⊥OB
∴∠PQD=90°，
∴∠DPQ=90°-∠PDQ=90°-40°=50°，
故答案为：40；50．
【点睛】本题主要考查了基本作图的中的垂线和平行线的作法以及作一个角等于已知角，要求能够熟练地
运用尺规作图，并保留作图痕迹，也考查了平行线的性质．
24. 如图， 在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，
2），若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形 ，点A、B、
C的对应点分别为 ．
（1）在图中画出平移后的三角形 ；
（2）写出点 的坐标；（3）三角形ABC的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移规律确定 ， ， 的坐标，再连线即为平移后的三角形 ；
（2）根据平移规律写出 的坐标即可；
（3）可将三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去三个直角形的面积即可．
【详解】（1）如图所示，三角形 即为所求；
（2）若把三角形ABC向上平移 3 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形 ，点 的坐
标为（-3,1）；
（3）三角形ABC的面积为：4×5- ×2×4- ×1×3- ×3×5=7．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，以及三角形在坐标轴上的计算，切割法的运用，掌握平移规律和运
用切割法求面积是解题的关键．
25. 完成下面的证明．
的
已知：如图，BC∥DE，BE、DF分别是∠ABC、∠ADE 平分线．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE（ ）．∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
∴∠3＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ADE．
∴∠3＝∠4．
∴ ∥ （ ）．
∴∠1＝∠2（ ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠ADE，根据角平分线定义得出∠3＝ ∠ABC，∠4＝
∠ADE，求出∠3＝∠4，根据平行线的判定得出DF∥BE，根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE（ 两直线平行，同位角相等）．
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADE的平分线．
∴∠3＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ADE．
∴∠3＝∠4，
∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
故答案是：两直线平行，同位角相等；DF；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能综合运用平行线的性质和判定进行推
理是解此题的关键．
26. 小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究（1）如图（1），已知 ，小宋把三角板的直角顶点放在直线 上．若 ，直接写出 的度
数；若 ，直接写出 的度数（用含 的式子表示）．
（2）如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含
30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点 ，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边 重
合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边 上，求 的度数．
【答案】（1）130º，(90+m)º
（2）15º
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接
后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若 ，那么
∠2=（90+m）º
【小问2详解】
解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵ ，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在 中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
27. “说不完的 ”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1） 到底有多大？
下面是小欣探索 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是 ，且 ．设 ，画出如下示意图．
由面积公式，可得 ______ ．
因为 值很小，所以 更小，略去 ，得方程______，解得 ____（保留到0.001），即 _____．
（2）怎样画出 ？请一起参与小敏探索画 过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分
割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为 ．依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，解
得 ．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方
形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，
不要求写分析过程．
【答案】（1） ， ， ， ；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【小问1详解】
由面积公式，可得
∵ 值很小，所以 更小，略去 ，得方程 ，解得 （保留到0.001），即
．
故答案为： ， ， ， ；
【小问2详解】
小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解
题的关键．
28. 小燕对平面直角坐标系中的格点问题非常感兴趣，进行了深入探究．
在平面直角坐标系中，在 轴上有一点 ，过点 画 轴的垂线 ，在 轴上有一点 ，过点
画 轴的垂线 ，点 关于直线 对称点 ，线段 交于直线 点 ，
（1）当 ，直接写出点 ， 坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做格点．
①当 时，结合图形，直接写出 内（不包含边界）的格点坐标；②若 内（不包含边界）有且只有1个格点，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）点 （2，2），点D（2，4）
（2）①（2，4）②2<k≤3或-3≤k<-2
【解析】
【分析】（1）结合图像作答即可；
（2）①结合图像和题目所给信息作答即可；②结合图像和题目所给信息作答即可；
【小问1详解】
解：由图像知，点 （2，2）、点D（2，4
【小问2详解】
解：①由题意和图像知， 内（不包含边界）的格点坐标为（2，4）②解：∵A（k，0）、B（0，k），l⊥y轴，点 关于直线 对称点 ，线段 交于直线 点 ，
2
∴点D（k，2k）、点C（k，k）
又∵ 内（不包含边界）有且只有1个格点，
∴由上图知：2<k≤3或-3≤k<-2．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系和轴对称有关的信息题，解题的关键是熟知题意，数形结合．
