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2023 年高考押题预测卷 03
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．设集合 ，1，2， ， ，则
A． B． ， C． ，1， D．
2．若复数 满足 ，则
A．7 B．10 C．11 D．25
3．一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
4． 的展开式中， 的系数等于
A． B． C．10 D．45
5．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．
它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2所示．
已知球的半径为 ，酒杯的容积 ，则其内壁表面积为A． B． C． D．
6．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，实数 的值
为
A．2 B．1 C． D．
7．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且当 ， 时，
．若 （4） ，则
A． B．0 C． D．
8．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 ，则
A． B． C． D．
10．已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成 ； 绩 近似服从正态分布
，则下列说法正确的有
（参考数据：① ；② ；
③
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
11．如图，正方形 的边长为 ，动点 在正方形内部及边上运动， ，则下列结论正确
的有（ ）
A．点P在线段BC上时， 为定值 B．点P在线段CD上时， 为定值
C．λ+μ的最大值为2 D．使 的P点轨迹长度为
12．已知 为双曲线 ： 上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ，记线段 ， 的
长分别为 ， ，则( )
A．若 ， 的斜率分别为 ， ，则 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数 的图象在点 ， （1） 处的切线的斜率为 ．14．如图过抛物线 的焦点 的直线依次交拋物线及准线于点 若
且 则 .
15．若 ，函数 在区间 上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的
取值范围是 ．
16．在侧棱长为2的正三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 、 分别为 、 的中点，
则三棱锥 的外接球的表面积为 ，若 为 上的动点， 是平面 上的动点，则
的最小值是 ．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ．
（1）求 的大小；（2）若 ，求 周长的最大值．
18．（12分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．19．（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 平面 ， ，
， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
20．（12分）
某大学有 ， 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近
100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（Ⅰ）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求 的分布列和数学期望 ；
（Ⅲ）假设 表示事件“ 餐厅推出优惠套餐”， 表示事件“某学生去 餐厅就餐”， ，
一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的
概率要大，证明： ．
21．（12分）
一束光线从点 出发，经直线 ： 上一点 反射后，恰好穿过点 ．
求点 的坐标；
求以 为焦点且过点 的椭圆 的方程；
设点 是椭圆 上除长轴两端点外的任意一点，试问在 轴上是否存在两定点 ，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
22．（12分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 在 ， 上的单调性；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
（参考数据：
