2025新教材数学高考第一轮复习
4.2 导数与函数的单调性、极值和最值
五年高考
考点1 导数与函数的单调性
1.(2014课标Ⅱ文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是
( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为
( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
3.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
3
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+ .
2
sinx ( π)
4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax- ,x∈ 0, .
cos2x 2
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.5.(2015课标Ⅱ文,21,12分,中)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
考点2 导数与函数的极(最)值
b c
1.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f(x)=aln x+ + (a≠0)既有极大值也有极小值,
x x2
则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 ( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
3.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
4.(2022全国乙理,16,5分,难)已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小
1 2
值点和极大值点.若x <x ,则a的取值范围是 .
1 2
3−2x
5.(2021北京,19,15分,中)已知函数f(x)= .
x2+a
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,并求其最大值与最小值.
6.(2019课标Ⅲ文,20,12分,中)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.7.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)
(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;
(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
三年模拟
综合基础练
3
1.(2023山东烟台开学考,3)函数f(x)=-2ln x-x- 的单调递增区间是( )
x
A.(0,+∞) B.(-3,1) C.(1,+∞) D.(0,1)
2.(2023吉林长春六中月考,9)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最
大值分别为( )π π 3π π
A.- , B.− ,
2 2 2 2
π π 3π π
C.- , +2D.− , +2
2 2 2 2
3.(2024届江苏无锡期中,5)当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上
的最大值为( )
A.8 B.12 C.16 D.32
a
4.(2024届湖南师大附中第4次月考,6)已知x=0是函数f(x)= x2ex-2xex+2ex- x3的一个极值
3
点,则a的取值集合为 ( )
A.{a|a≥-1} B.{0}
C.{1} D.R
5.(2024届河北石家庄二中月考,5)已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为单调递增函
数,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1) B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,3]
2
6.(2024届重庆长寿中学期中,7)已知函数f(x)=2x- -aln x,则“a>5”是“函数f(x)在(1,2)上
x
单调递减”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增
B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2, f(-2))处的切线方程为y=10
D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点
a
8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g(x)=2x+ln x- 在区间[1,2]上不单调,则实数a
x
的取值范围是 .
9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f(x)=x3-12x在区间(a,a+4)上存在最大值,则实数
a的取值范围是 .
10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f(x)=ax4-4ax3+b,x∈[1,4], f(x)的最大值为 3,最小值为-6,则a+b的值是 .
11.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f(x)=ax+b+cos x(a,b∈R),若曲线f(x)在点(0, f(0))处
1
的切线方程为y= x+2.
2
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的值域.
综合拔高练1
1.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0<x <x <1,则 ( )
1 2
A.ex 2−ex 1>ln x2−ln x1B.ex 2−ex 1<ln x
2
-ln x
1
C.x 2 ex 1>x1ex 2D.x2ex 1<x1ex 2
2.(多选)(2024届广东东莞月考,11)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x存在极值点,则实数a的值可
以是 ( )
1 1
A.0 B.-e C. D.
2 e
3.(2024届山东泰安月考,15)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范
围是 .
e
4.(2024届辽宁辽东教学共同体期中,19)已知函数f(x)=ex,g(x)= .
x
(1)直接写出曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公共点坐标,并求曲线y=f(x)在公共点处的切线方
程;
(2)已知直线y=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A,B,当a∈(0,e)时,设△OAB的面积为S(a),其中O是坐标原点,求S(a)的最大值.
1
5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函数f(x)=ax- -(a+1)ln x(a≠0).
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g(a),解不等式g(a)<2a-2.6.(2024届北京一零一中学测试,18)已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值-14.
(1)求a,b的值;
(2)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(3)求函数f(x)在[-3,3]上的最值.
综合拔高练2
ex 1 (1 )
1.(多选)(2024届湖北宜昌中学阶段练,12)已知函数f(x)=ax+ +aln 在x∈ ,2 上有
x x 2
三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
e2 7
A.-e B.-2√eC.− D.−
2 22.(多选)(2024届安徽池州一中阶段练,10)已知函数f(x)=x3-2x2+ax,则下列说法正确的是(
)
A.函数f(x)的极值点个数可能为0,1,2
4
B.若函数f(x)有两个极值点,则a<
3
[1 ] 1
C.若a=1,则函数f(x)在 ,2 上的最小值为
2 8
[1 ]
D.若a=1,则函数f(x)在 ,2 上的最大值为2
2
1
3.(2024届湖北黄冈中学月考,14)定义在R上的函数f(x)= x3-x+3.
3
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
f '(x)
②y= 在(0,+∞)上存在极小值.
x
③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=2x+2垂直.
④设g(x)=4ln x-m,若存在x∈[1,e],使得g(x)<f '(x),则m>5-e2.
以上描述中正确的是 .(填序号)
4.(2024届北京海淀北大附中校考,20)已知函数f(x)=eax(x-1)2.
(1)若a=1,求曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)的极大值与极小值.5.(2024届江苏镇江一中校考,19)已知函数f(x)=ex-x2-1.
(1)判断f(x)在定义域上是否存在极值,若存在,求出其极值;若不存在,说明理由.
(2)若f(x)≥ax在x∈[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
4.2 导数与函数的单调性、极值和最值
五年高考
考点1 导数与函数的单调性
1.(2014课标Ⅱ文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是
( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
答案 D
2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为
( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
答案 C
3.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
3
(2)证明:当a>0时, f(x)>2ln a+ .
2
解析 (1)由已知得函数f(x)的定义域为R,
f '(x)=aex-1.
①当a≤0时, f '(x)<0, f(x)在R上单调递减;1
②当a>0时,令f '(x)=0,则x=ln ,
a
1
当x<ln 时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
a
1
当x>ln 时, f '(x)>0, f(x)单调递增.
a
综上所述,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
( 1) ( 1 )
当a>0时, f(x)在 −∞,ln 上单调递减,在 ln ,+∞ 上单调递增.
a a
( 1) ( 1 )
(2)证明:由(1)知,当 a>0 时, f(x)在 −∞,ln 上单调递减,在 ln ,+∞ 上单调递增,则
a a
( 1) (1 ) 1
f(x) =f ln =a +a −ln =1+a2+ln a.
min a a a
3 3
要证明f(x)>2ln a+ ,只需证明1+a2+ln a>2ln a+ ,
2 2
1
即证a2-ln a- >0.
2
1 1 2x2−1
令g(x)=x2-ln x- (x>0),则g'(x)=2x- = .
2 x x
√2
当0<x< 时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
2
√2
当x> 时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
2
(√2) 1 √2 1 √2
∴g(x) =g = −ln − =−ln =ln√2>0,
min 2 2 2 2 2
∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
1
即a2-ln a- >0,
2
3
∴f(x)>2ln a+ .
2
sinx ( π)
4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax- ,x∈ 0, .
cos2x 2
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.
sinx ( π)
解析 (1)当a=1时, f(x)=x- ,x∈ 0, ,
cos2x 2
cos3x+2sin2xcosx cos3x−cos2x−2sin2x
f '(x)=1- =
cos4x cos3x
cos3x+cos2x−2
= <0,
cos3x
( π)
所以函数f(x)在 0, 上单调递减.
2
sinx sinx−sinxcos2x
(2)令g(x)= −sin x=
cos2x cos2x
sinx−sinx(1−sin2x) sin3x
= = ,
cos2x cos2x
3cos3xsin2x+2sin4xcosx 3cos2xsin2x+2sin4x
则g'(x)= = ,
cos4x cos3x
( π)
因为x∈ 0, ,所以3cos2xsin2x+2sin4x>0,cos3x>0,
2
( π)
则g'(x)>0,所以函数g(x)在 0, 上单调递增,
2
π
g(0)=0,当x→ 时,g(x)→+∞,
2
sinx ( π)
因为f(x)+sin x<0恒成立,所以 −sin x>ax在 0, 上恒成立,
cos2x 2
π
即直线y=ax在0<x< 时恒在g(x)的图象下方,如图所示,
2
由图及g'(0)=0可得a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].
5.(2015课标Ⅱ文,21,12分,中)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
1
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)= -a.
x
若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
( 1) (1 ) ( 1)
若a>0,则当x∈ 0, 时, f '(x)>0;当x∈ ,+∞ 时,f '(x)<0.所以f(x)在 0, 上单调递增,
a a a
(1 )
在 ,+∞ 上单调递减.
a
1
(2)由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时, f(x)在x= 处取得最大值,最大值
a
(1) 1 ( 1)
为f =ln +a 1− =-ln a+a-1.
a a a
(1)
因此f >2a-2等价于ln a+a-1<0.
a
令g(a)=ln a+a-1,a>0,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
考点2 导数与函数的极(最)值
b c
1.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f(x)=aln x+ + (a≠0)既有极大值也有极小值,
x x2
则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
答案 BCD
2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 ( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案 AC
3.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 1
4.(2022全国乙理,16,5分,难)已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小
1 2
值点和极大值点.若x <x ,则a的取值范围是 .
1 2
(1 )
答案 ,1
e
3−2x
5.(2021北京,19,15分,中)已知函数f(x)= .
x2+a
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,并求其最大值与最小值.
3−2x
解析 (1)当a=0时, f(x)= ,
x2
∴f(1)=1,
2x−6
f '(x)= ,故 f '(1)=-4,故曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y=-4(x-1)+1,即
x3
4x+y-5=0.
2x2−6x−2a
(2)由题意得f '(x)= ,且f '(-1)=0,
(x2+a) 2
3−2x
故8-2a=0,解得a=4,故f(x)= ,x∈R,
x2+4
2x2−6x−8 2(x+1)(x−4)
则f '(x)= = ,
(x2+4) 2 (x2+4) 2
令f '(x)>0,得x>4或x<-1;令f '(x)<0,得-1<x<4,
故函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(4,+∞),单调减区间为(-1,4).所以 f(x)的极大值为
1
f(-1)=1, f(x)的极小值为f(4)=- .
4
又当x∈(-∞,-1)时,3-2x>0,故f(x)>0;
当x∈(4,+∞)时,3-2x<0,故f(x)<0,1
∴f(x) =f(-1)=1, f(x) =f(4)=- .
max min 4
6.(2019课标Ⅲ文,20,12分,中)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.
解析 (1)第一步:求函数的定义域和导函数,并因式分解求出导函数的零点.
由题意知x∈R, f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
a
令f '(x)=0,得x=0或x= .
3
第二步:讨论a的取值,比较根的大小关系,写出单调区间.
(a )
①若a>0,则当x∈(-∞,0)∪ ,+∞ 时, f '(x)>0;
3
( a)
当x∈ 0, 时, f '(x)<0.
3
(a ) ( a)
故f(x)在(-∞,0), ,+∞ 单调递增,在 0, 单调递减;
3 3
②若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
( a)
③若a<0,则当x∈ −∞, ∪(0,+∞)时, f '(x)>0;
3
(a )
当x∈ ,0 时, f '(x)<0.
3
( a) (a )
故f(x)在 −∞, ,(0,+∞)单调递增,在 ,0 单调递减.
3 3
( a) (a )
(2)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在 0, 单调递减,在 ,1 单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小
3 3
(a) a3
值为f =− +2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
3 27
当0<a<2时, f(1)>f(0),最大值为f(1)=4-a.
a3
所以M-m=2-a+ ,0<a<2,
27a3 a2 a3 8 a3
对于函数 y= -a+2,y'= -1,当 0<a<2 时,y'<0,从而 y= -a+2 单调递减,此时 < -
27 9 27 27 27
( 8 )
a+2<2,即M-m的取值范围是 ,2 .(构造函数,利用函数单调性求值域)
27
a3 a3
当2≤a<3时, f(1)<f(0),最大值为f(0)=2,所以M-m= ,而函数y= 单调递增,所以M-m的
27 27
[ 8 )
取值范围是 ,1 .
27
[ 8 )
综上,M-m的取值范围是 ,2 .
27
易错警示
解题时,易犯以下两个错误:①对参数a未讨论或对a分类讨论不全面,尤其易忽略a=0的
(a )
情形而导致失分;②当a>0时, f(x)在(-∞,0), ,+∞ 单调递增,将这两个区间合并表示为
3
(a )
f(x)在(-∞,0)∪ ,+∞ 单调递增导致错误,从而失分.
3
7.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)
(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;
(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
解析 (1)证明:令 g(x)=x-x2-sin x,0<x<1,则 g'(x)=1-2x-cos x,令 G(x)=g'(x),得 G'(x)=-2+sin
x<0在区间(0,1)上恒成立,所以g'(x)在区间(0,1)上单调递减,因为g'(0)=0,所以g'(x)<0在区
间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即当0<x<1时,x-x2<sin
x.
令h(x)=sin x-x,0<x<1,则h'(x)=cos x-1<0在区间(0,1)上恒成立,所以h(x)在区间(0,1)上单调
递减,所以h(x)<h(0)=0,即当0<x<1时,sin x<x.
综上,当0<x<1时,x-x2<sin x<x.
(2)函数f(x)的定义域为(-1,1).
当a=0时, f(x)=1-ln(1-x2), f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,x=0不是f(x)的极大值点,所以a≠0.
2x
当a>0时, f '(x)=-asin ax+ ,x∈(-1,1).
1−x2
{1 }
(i)当0<a≤√2时,取m=min ,1 ,x∈(0,m),则ax∈(0,1),
a
2x 2x
x(a2x2+2−a2
)
由(1)可得f '(x)=-asin ax+ >−a2x+ = ,
1−x2 1−x2 1−x2
因为a2x2>0,2-a2≥0,1-x2>0,所以f '(x)>0,
所以f(x)在(0,m)上单调递增,不合题意.
( 1)
(ii)当a>√2时,取x∈ 0, ⊆(0,1),则ax∈(0,1),
a
2x 2x
由(1)可得f '(x)=-asin ax+ <-a(ax-a2x2)+
1−x2 1−x2
x
= (-a3x3+a2x2+a3x+2-a2),
1−x2
( 1)
设h(x)=-a3x3+a2x2+a3x+2-a2,x∈ 0, ,
a
则h'(x)=-3a3x2+2a2x+a3,
(1) ( 1)
因为h'(0)=a3>0,h' =a3-a>0,且h'(x)的图象是开口向下的抛物线,所以∀x∈ 0, ,均有
a a
( 1)
h'(x)>0,所以h(x)在 0, 上单调递增.
a
(1) ( 1)
因为h(0)=2-a2<0,h =2>0,所以h(x)在 0, 内存在唯一的零点n.
a a
当x∈(0,n)时,h(x)<0,又因为x>0,1-x2>0.
x
则f '(x)< (-a3x3+a2x2+a3x+2-a2)<0.
1−x2
即当x∈(0,n)⊆(0,1)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,n)上单调递减.
又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-n,0)上单调递增,
所以x=0是f(x)的极大值点.综合(i)(ii)知a>√2.
当a<0时,由于将f(x)中的a换为-a所得解析式不变,所以a<-√2符合要求.
故a的取值范围为(-∞,-√2)∪(√2,+∞).
三年模拟
综合基础练
3
1.(2023山东烟台开学考,3)函数f(x)=-2ln x-x- 的单调递增区间是( )
x
A.(0,+∞) B.(-3,1) C.(1,+∞) D.(0,1)
答案 D
2.(2023吉林长春六中月考,9)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最
大值分别为( )
π π 3π π
A.- , B.− ,
2 2 2 2
π π 3π π
C.- , +2D.− , +2
2 2 2 2
答案 D
3.(2024届江苏无锡期中,5)当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上
的最大值为( )
A.8 B.12 C.16 D.32
答案 C
a
4.(2024届湖南师大附中第4次月考,6)已知x=0是函数f(x)= x2ex-2xex+2ex- x3的一个极值
3
点,则a的取值集合为 ( )
A.{a|a≥-1} B.{0}
C.{1} D.R
答案 C
5.(2024届河北石家庄二中月考,5)已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为单调递增函
数,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1) B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,3]
答案 D
2
6.(2024届重庆长寿中学期中,7)已知函数f(x)=2x- -aln x,则“a>5”是“函数f(x)在(1,2)上
x
单调递减”的 ( )A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论错误的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增
B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2, f(-2))处的切线方程为y=10
D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点
答案 ABD
a
8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g(x)=2x+ln x- 在区间[1,2]上不单调,则实数a
x
的取值范围是 .
答案 (-10,-3)
9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f(x)=x3-12x在区间(a,a+4)上存在最大值,则实数
a的取值范围是 .
答案 (-6,-2)
10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f(x)=ax4-4ax3+b,x∈[1,4], f(x)的最大值为 3,最
小值为-6,则a+b的值是 .
10 19
答案 或−
3 3
11.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f(x)=ax+b+cos x(a,b∈R),若曲线f(x)在点(0, f(0))处
1
的切线方程为y= x+2.
2
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的值域.
解析 (1)因为f(x)=ax+b+cos x(a,b∈R),
所以f '(x)=a-sin x,
{ f(0)=b+cos0=2, {b+1=2,
1 1
由题意得 1 即 1 所以a= ,b=1,则f(x)= x+1+cos x.
f '(0)=a−sin0= , a= , 2 2
2 21 1
(2)由(1)得f(x)= x+1+cos x, f '(x)= -sin x,
2 2
π 5π [ π] [5π ]
由f '(x)≥0且x∈[0,2π]可得0≤x≤ 或 ≤x≤2π,函数f(x)在区间 0, 和 ,2π 上单调
6 6 6 6
递增,
π 5π (π 5π)
由f '(x)<0且x∈[0,2π]可得 <x< ,函数f(x)在区间 , 上单调递减.
6 6 6 6
π (π) 1 π π π √3 5π
因此当x= 时,函数取得极大值f = × +1+cos =1+ + ,当x= 时,函数取得
6 6 2 6 6 12 2 6
(5π) 1 5π 5π 5π √3
极小值f = × +1+cos =1+ − ,
6 2 6 6 12 2
1
又f(0)=2, f(2π)= ×2π+1+cos 2π=1+π+1=2+π,
2
5π √3 π √3
1+ − <2<1+ + <2+π,所以函数 f(x)在[0,2π]上的最大值为 2+π,最小值为 1+
12 2 12 2
5π √3 [ 5π √3 ]
− ,所以f(x)在[0,2π]上的值域为 1+ − ,2+π .
12 2 12 2
综合拔高练1
1.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0<x <x <1,则 ( )
1 2
A.ex 2−ex 1>ln x2−ln x1B.ex 2−ex 1<ln x
2
-ln x
1
C.x 2 ex 1>x1ex 2D.x2ex 1<x1ex 2
答案 C
2.(多选)(2024届广东东莞月考,11)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x存在极值点,则实数a的值可
以是 ( )
1 1
A.0 B.-e C. D.
2 e
答案 ABD
3.(2024届山东泰安月考,15)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范
围是 .
答案 (-∞,-1)e
4.(2024届辽宁辽东教学共同体期中,19)已知函数f(x)=ex,g(x)= .
x
(1)直接写出曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公共点坐标,并求曲线y=f(x)在公共点处的切线方
程;
(2)已知直线y=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A,B,当a∈(0,e)时,设△OAB的面积为S(a),
其中O是坐标原点,求S(a)的最大值.
解析 (1)易得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公共点坐标为(1,e).
因为f '(x)=ex,所以f '(1)=e,所以曲线y=f(x)在公共点处的切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
(2)因为直线y=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A,B,
(e )
所以A(ln a,a),B ,a .
a
1 1 |e |
S(a)= a·|AB|= a −lna ,a∈(0,e).
2 2 a
e e
因为a∈(0,e)时, >1,ln a<1,所以 >ln a,
a a
e 1
所以S(a)= − aln a,a∈(0,e),
2 2
1
求导得S'(a)=- (1+ln a),
2
1
令S'(a)=0,得a= ,所以S'(a),S(a)的变化情况如表:
e
( 1) 1 (1 )
a 0, ,e
e e e
S'(a) + 0 -
极
S(a) ↗ 大 ↘
值
(1) e 1
因此,S(a)的极大值也是最大值,为S = + .
e 2 2e
1
5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函数f(x)=ax- -(a+1)ln x(a≠0).
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g(a),解不等式g(a)<2a-2.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),对f(x)求导得
1 a+1 ax2−(a+1)x+1 (ax−1)(x−1)
f '(x)=a+ − = = ,
x2 x x2 x2
1
令f '(x)=0,则x =1,x = .
1 2 a
当a<0时,ax-1<0,
令f '(x)>0,解得0<x<1,令f '(x)<0,解得x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当a>0时,
1
①当 =1,即a=1时,f '(x)≥0恒成立,
a
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
1
②当 >1,即0<a<1时,
a
1 1
令f '(x)>0,解得0<x<1或x> ,令f '(x)<0,解得1<x< ,
a a
( 1) (1 )
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在 1, 上单调递减,在 ,+∞ 上单调递增;
a a
1
③当 <1,即a>1时,
a
1 1
令f '(x)>0,解得0<x< 或x>1,令f '(x)<0,解得 <x<1,
a a
( 1) (1 )
所以f(x)在 0, 上单调递增,在 ,1 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
a a
综上所述:当a<0时, f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
( 1) (1 )
当0<a<1时, f(x)在(0,1)上单调递增,在 1, 上单调递减,在 ,+∞ 上单调递增;
a a
当a=1时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;
( 1) (1 )
当a>1时, f(x)在 0, 上单调递增,在 ,1 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
a a
(2)由(1)知:a>0且a≠1,(1)
且g(a)=f +f(1)=1-a+(a+1)ln a+a-1=(a+1)ln a.
a
g(a)<2a-2等价于(a+1)ln a<2a-2(a>0且a≠1),
2(a−1)
等价于解不等式ln a- <0,
a+1
2(a−1)
令m(a)=ln a- (a>0),(构造函数m(a),结合函数的单调性以及特殊值m(1)=0,从而解
a+1
得不等式的解集)
1 4 (a−1) 2
m'(a)= − = >0,
a (a+1) 2 a(a+1) 2
所以m(a)在(0,+∞)上单调递增,且m(1)=0,
所以m(a)<0=m(1),即不等式的解集为{a|0<a<1}.
6.(2024届北京一零一中学测试,18)已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值-14.
(1)求a,b的值;
(2)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(3)求函数f(x)在[-3,3]上的最值.
解析 (1)因为f(x)=ax3+bx+2,所以f '(x)=3ax2+b,
又函数f(x)在x=2处取得极值-14,
{ f '(2)=12a+b=0, {12a+b=0, { a=1,
所以 即 解得
f(2)=8a+2b+2=−14, 4a+b=−8, b=−12,
经检验,a=1,b=-12符合题意,故a=1,b=-12.
(2)由(1)知:f(x)=x3-12x+2, f '(x)=3x2-12,
故f(1)=-9, f '(1)=-9.
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(-9)=-9(x-1),即9x+y=0.
(3)由(1)知: f(x)=x3-12x+2, f '(x)=3x2-12,
令f '(x)=0,解得x =-2,x =2,
1 2
x∈[-3,3]时,随x的变化f '(x), f(x)的变化情况如表:
x -3 (-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3
f '(x) + 0 - 0 +
1
f(x) 11 ↗ ↘ -14 ↗ -7
8
由表可知:当x=-2时,函数f(x)有极大值f(-2)=18;当x=2时,函数f(x)有极小值f(2)=-14;
因为f(-2)=18>f(3)=-7, f(2)=-14<f(-3)=11,
故函数f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-14,最大值为f(-2)=18.
综合拔高练2
ex 1 (1 )
1.(多选)(2024届湖北宜昌中学阶段练,12)已知函数f(x)=ax+ +aln 在x∈ ,2 上有
x x 2
三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
e2 7
A.-e B.-2√eC.− D.−
2 2
答案 BD
2.(多选)(2024届安徽池州一中阶段练,10)已知函数f(x)=x3-2x2+ax,则下列说法正确的是(
)
A.函数f(x)的极值点个数可能为0,1,2
4
B.若函数f(x)有两个极值点,则a<
3
[1 ] 1
C.若a=1,则函数f(x)在 ,2 上的最小值为
2 8
[1 ]
D.若a=1,则函数f(x)在 ,2 上的最大值为2
2
答案 BD
1
3.(2024届湖北黄冈中学月考,14)定义在R上的函数f(x)= x3-x+3.
3
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
f '(x)
②y= 在(0,+∞)上存在极小值.
x
③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=2x+2垂直.
④设g(x)=4ln x-m,若存在x∈[1,e],使得g(x)<f '(x),则m>5-e2.
以上描述中正确的是 .(填序号)
答案 ①④
4.(2024届北京海淀北大附中校考,20)已知函数f(x)=eax(x-1)2.
(1)若a=1,求曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)的极大值与极小值.解析 (1)当a=1时, f(x)=ex(x-1)2, f '(x)=ex(x2-1),
所以f '(0)=e0(02-1)=-1,又f(0)=e0(0-1)2=1,
所以切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.
(2)f '(x)=aeax(x-1)2+2eax(x-1)=eax(x-1)(ax-a+2),
当a=0时,令f '(x)=2(x-1)=0,解得x=1,
故x<1时, f '(x)<0, f(x)单调递减;
x>1时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
故x=1时, f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值.
2
当a>0时,令f '(x)=0,解得x =1,x =1- ,
1 2 a
2
故当x<1- 或x>1时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
a
2
当1- <x<1时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
a
( 2) 4ea−2
故f(x)的极大值为f 1− = ,极小值为f(1)=0.
a a2
2
当a<0时,令f '(x)=0,解得x =1,x =1- ,
1 2 a
2
故当x<1或x>1- 时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
a
2
当1<x<1- 时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
a
( 2) 4ea−2
故f(x)的极大值为f 1− = ,极小值为f(1)=0.
a a2
综上,当a=0时, f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值;
( 2) 4ea−2
当a≠0时, f(x)的极大值为f 1− = ,极小值为f(1)=0.
a a2
5.(2024届江苏镇江一中校考,19)已知函数f(x)=ex-x2-1.
(1)判断f(x)在定义域上是否存在极值,若存在,求出其极值;若不存在,说明理由.
(2)若f(x)≥ax在x∈[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)∵f(x)=ex-x2-1,∴f '(x)=ex-2x,
记h(x)=ex-2x,∴h'(x)=ex-2,
当x>ln 2时,h'(x)>0;当x<ln 2时,h'(x)<0,则f '(x)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,∴f '(x) =f '(ln 2)=2-2ln 2>0,
min
∴f(x)在R上单调递增,即在定义域R上不存在极值.
(2)因为f(x)=ex-x2-1≥ax在x∈[0,+∞)上恒成立,
所以ex-x2-ax-1≥0在x∈[0,+∞)上恒成立.
显然当x=0时不等式成立,
ex−x2−1
当x>0时,a≤ 恒成立,
x
ex−x2−1
令g(x)= ,x>0,
x
(x−1)(ex−x−1)
则g'(x)= ,
x2
记F(x)=ex-x-1,x>0,
∴F'(x)=ex-1,
当x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增,故F(x)>F(0)=0,
故当x>0时,ex-x-1>0,
当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以当x=1时,g(x) =e-2,所以a≤e-2.
min
故实数a的取值范围是(-∞,e-2].
