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第 38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 模拟基础练
【题型一】等效重力场
【题型二】力电综合
02 重难创新练
【题型一】等效重力场
1．如图所示，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带正电小球，置于水平向右的匀强
电场中。已知绳长L，小球质量为m，电荷量为q，现把小球从A点由静止释放，刚好能到达水平最高点B
处，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（ ）
A．小球所受的电场力大小为
B．从A到B过程中，小球的机械能增加了
C．从A到B过程中，小球的动能最大为
D．从A到B过程中，绳子的最大拉力为
2．如图所示，一光滑绝缘半圆轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于B点，半圆轨道的半径
为R。整个空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为 ，一带正电小球质量为m、电荷量为q，从
A点以一定的初速度向B点运动，经过B点后恰能不脱离轨道运动到轨道的最高点C，小球从轨道最高点
C飞出后落到水平面上的F点（图中未标出）。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以初始位
置为重力势能的零势能面，下列说法正确的是（ ）A．小球在C点的速度大小为
B．小球在B点对轨道的压力大小为
C．小球的机械能最小值为
D．F点与B点的水平距离为
3．（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q的小球，系在
一根长为R的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直
直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度 。若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，不
计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到C点时细线的拉力最大 B．小球运动到B点时的电势能最大
C．小球运动到B点时的机械能最大 D．小球运动过程中的最小速度为
4．（多选）如图所示，半径为R的光滑绝缘圆环固定于竖直平面内，a为圆环的最低点，c为圆环的最高
点，b点与圆心О等高，该空间存在与圆环平面平行的匀强电场。质量为m、带电量为+q的小球Р套在圆
环上，沿环做圆周运动，通过a、b、c三点时的速度大小分别为 、 、
（重力加速度为g，空气阻力不计）.下列说法正确的是（ ）A．匀强电场方向水平向左
B．匀强电场场强大小
C．小球运动过程中对圆环的最小压力为0
D．小球运动过程中在b处与地球组成的系统有最大的机械能
5．（多选）如图所示，在水平向左的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一
个质量为m、电荷量为q的带正电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度v，使其在竖
0
直平面内绕O点恰好做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知匀强电场的场强大小为 ，重力加
速度为g。当小球第二次运动到B点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，粒子初速度的最小值
B．细线断裂后，小球速度的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与B点动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与B点电势能相等的过程中，重力势能减少了2mgL
【题型二】力电综合
6．如图所示，半径R=0.2m的光滑 圆弧轨道竖直固定，与水平面相切于最低点B，空间中存在水平向右
的匀强电场，电场强度E=1×103V/m。带正电的物块甲质量m=0.2kg，电荷量q=1×10-3C；物块乙不带电，
1
其质量m=0.1kg，将乙静置于B点右侧L=0.5m处的C点。物块甲从与圆心O等高的A点以 = 的
2
初速度竖直下滑，甲与水平面间的动摩擦因数μ=0.4。甲、乙两物块均视为质点，忽略空气阻力，二者碰
撞时无机械能损失，且二者之间没有电荷转移，取g=10m/s2。求：
（1）在B处物块甲对轨道的压力；
（2）甲与乙第一次碰撞前的瞬间物块甲的速度大小；
（3）甲与乙第一次碰撞后的瞬间各自速度大小。7．如图所示，在竖直平面内的平面直角坐标系xOy中，x轴上方有水平向右的匀强电场，x轴下方存在竖
直向上、范围足够大的匀强电场，电场强度大小等于 。先有一质量为m、电荷量为+q的带电绝缘
小球，从y轴上的P（0，L）点由静止开始释放，运动至x轴上的B（L，0）点时，恰好无碰撞地沿切线方
向进入固定在x轴下方竖直放置的四分之一圆弧形光滑绝缘细管，BC=2L。小球第3次经过x轴时与x轴交
于D点（图中D点未画出），细管内径略大于小球外径，小球直径远小于细管轨道的半径，不计空气阻力，
重力加速度为g。求：
（1）匀强电场场强E 的大小；
1
（2）小球从P点至D点的时间；
（3）D点的位置坐标；
8．如图所示，MN为绝缘光滑水平平台的右边缘竖直分界线，两侧分布有图示水平方向的匀强电场 和
。平台上一质量为m、电荷量为q（ ）可视为质点的滑块，在左侧电场力的作用下，自距离MN为
l的O点由静止开始加速，从M点进入电场 ，恰好垂直落在水平地面上的P点（未画出）。已知电场强
度 ，平台高 ，重力加速度为g，求：
（1）滑块飞离平台的速度v；
（2）电场强度 的大小；
（3）从滑块离开平台到其动能最小所经历的时间 。9．如图所示，M、N是一方向竖直向上的匀强电场中的两点。从M点先后以不同速率沿水平方向抛出两个
质量均为m的小球A、B，A不带电，B带正电，电荷量为q。小球A从M点抛出时的速度大小为 ，到
达N点所用时间为t；小球B从M点抛出到达N点所用时间为2t，已知重力加速度为g，求：
（1）M、N两点的高度差h；
（2）电场强度E的大小；
（3）小球B运动到N点时的速度大小。
10．如图所示，一绝缘细直杆AC固定在水平向左、电场强度大小 的匀强电场中，直杆与
电场线成37°角，杆长 ，一套在直杆上的电荷量为 的带负电荷的小环，从杆顶端A
点以初速度 开始下滑，小环离开杆后恰好通过杆底端C点正下方的P点。已知小环的质量
，环与杆间的动摩擦因数 ，取重力加速度大小 ，求：
（1）小环在C点的速度；
（2）小环从C点到P点的时间；
（3）小环运动到杆下端C向正下方P点的动能。1．（多选）如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形光滑绝缘轨道，轨道的最高点为M，最低点为N，
轨道所在空间存在匀强电场，电场强度大小为 ，电场强度的方向与水平面夹角为30度，轨道内有一质
量为m、电荷量为q的带正电小球，给小球一个沿轨道切线的初速度，使小球恰能沿轨道做完整的圆周运
动，重力加速度为g，忽略一切阻力，则小球在运动过程中（ ）
A．在M点的速率最小 B．最大速率为
C．对轨道的压力最大为6mg D．电势能最小时，动能最大
2．（多选）如图所示，在竖直面内有一半径为R的圆环形轨道，轨道内部最低点A处有一质量为m的光
滑带正电的小球（可视作质点），其所带电荷量为q，在圆环区域内存在着方向水平向右的匀强电场，电
场强度 ，现给小球一个水平向右的初速度v，使小球开始运动，以下说法正确的是（ ）
0A．若v ，则小球可以做完整的圆周运动
0
B．若小球可以做完整的圆周运动，则轨道所给弹力的最大值与最小值相差
C．若 ，则小球将在轨道最高点B处脱离轨道
D．若 ，则小球机械能最大处的动能为
3．（多选）如图，倾角 的固定斜面与半径为r的四分之三圆弧形轨道ABC相切于A点，其中半圆
弧段AB是硬质细圆管。整个空间存在水平方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的带正电小球恰好静止
在斜面上。已知重力加速度大小为g，取 ，小球直径略小于圆管的内径，运动过程中小球所带
电荷量保持不变，并且斜面绝缘，忽略一切摩擦。现给小球一个沿斜面向下的初速度 ，则（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．小球能到达B点的条件为
C．小球可能在BC段某点脱离轨道（不包括BC两点）
D．小球经过C点的速度大小可能为
4．如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最
高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右
且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的
圆形轨道运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到的电场力大小为2mgB．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg
C．小球通过D点时的速度大小为
D．小球在运动过程中的最大速度为
5．如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置在水平方向的匀强电场中，一个质量为m，电荷量为＋q的小球位
于轨道内侧的最高点A处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O等高的B点，小球可视为质点。已知圆
轨道的半径为R，重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E 的大小；
1
（2）当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过A点时的
动能E。
k
（3）若电场方向不变，大小变为E 的一半，在A点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B点。
1
求初速度的大小。
6．如图所示，水平面上竖直固定绝缘的四分之一圆弧轨道BC，轨道AB和BC均光滑，水平面AB与圆弧
BC相切于B点，О为圆心，OB竖直，OC水平，BC轨道半径为R。整个空间有足够大、水平向右的匀强
电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离
为2R，匀强电场的电场强度 ，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）小球到达C点时对轨道的压力；
（2）小球从A点开始，经过C点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球电势能的变化量 E；
p
（3）小球离开圆弧轨道到落地前的最小速率，以及小球从离开圆弧轨道到最小速率时经历的时间。
7．如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，y轴正方向竖直向上，整个空间存在着匀强电场（电场强度E
的大小未知，方向平行于xOy平面）。为了确定场强的大小和方向，研究人员先后进行了两次操作。第一
次，将一带正电的小球从原点O处以速率 沿x轴正方向抛出，小球在y轴右侧运动中与y轴的最远距离
为 ；第二次，将该小球从原点O处以速率 沿y轴正方向抛出，小球在x轴上方运动中与x轴的最远距离为 。已知小球的质量为m、电荷量为 ，小球可视为质点，且 ，忽略空气阻力，
重力加速度为g，求场强E的大小和方向（结果用m、g、q表示）。
8．如图甲所示，两个半径为R的竖直固定的绝缘光滑 细圆管道与粗糙水平地面AB在B点平滑相切，
过管道圆心 的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A点所在位置为坐标原点，沿AB方向建立
坐标轴，电场强度大小随位置 变化如图乙所示。质量为 、带电量为 的小球P静止在A点，与
地面间动摩擦因数 。另有一光滑绝缘不带电小球Q，质量为 ，以速度 向右运动，与
小球P发生弹性正碰，碰撞时间极短，且P、Q间无电荷转移，碰后P球可从B点无碰撞进入管道。已知
A、B间距离为4R， 重力加速度为 ，不计空气阻力，小球P、Q均可视为质点。求：
（1）碰后小球P的速度大小 ；
（2）小球P从A点运动到管道最高点C点过程中电场力做的功 ；
（3）小球P再次到达水平地面时与B点的距离。
9．如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。
质量为m、电荷量为 的粒子从M点以速度v射入电场，速度方向与MN夹角 ，一段时间后粒子
运动到N点，速度大小仍为v，不计粒子重力。求：
（1）电场强度的方向；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子速度改变量的大小。10．如图所示，竖直面内存在直角坐标系xOy，平行于y轴的虚线MN、PQ将第一象限分为Ⅰ、Ⅱ两个区
域。区域Ⅰ的宽度为3d，在 的区域内存在竖直向上的匀强电场 ，在 的区域内存在竖直
向下的匀强电场 。区域Ⅱ的宽度为d，其内部存在平行于xOy平面且方向未知的匀强电场 。质量为
m、电荷量为 的带电小球由O点沿x轴正方向以 的速度射入Ⅰ区域，小球仅从直线
上的点A穿过后，经过点 垂直MN进入区域Ⅱ，经过PQ与x轴的交点C，速度大小
。 、 、 的大小均未知，小球重力不可忽略，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）区域Ⅱ中BC两点的电势差 ；
（2）区域Ⅰ中匀强电场 的大小；
（3）小球在区域Ⅱ中从B到C过程中所受电场力的冲量大小。
11．带电粒子在电场中的运动规律在近代物理实验装置中有着极其广泛的应用，这些应用涉及带电粒子的
测量、加速和约束问题。2023年诺贝尔物理学奖获得者就因其研究控制电子移动而获得。如图的电场模型
设计，可以通过改变电场的水平宽度控制带电小球间碰撞，从而模仿微观状态带电粒子的运动。如图所示，
电荷量为 、质量为 的小球B静置于光滑的水平绝缘板右端，板的右侧空间有水平
宽度一定、竖直高度足够高的匀强电场，方向水平向左，电场强度的大小 ，与球B形状相
同、质量为 的绝缘不带电小球A以初速度 向B运动，两球发生弹性碰撞后均逆着电
场的方向进入电场，在空中两球又发生多次弹性碰撞。已知每次碰撞时间极短，小球A始终不带电，小球
B的电量始终不变。两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取 。
（1）求第一次碰撞后瞬间A、B两小球的速度；
（2）如果两小球第二次、第三次碰撞都发生在电场中，则在第二次与第三次碰撞之间，有一个时刻球B
合力的瞬时功率为0，求从第二次碰撞后到此时刻的时间间隔。
