文档内容
2025-2026 学年山西大学附中高三（上）月考数学试卷（1 月份）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（5分）等差数列{an}中，a6 ＝3，则a3+a9 ＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平分圆（x+2）2+（y+1）2＝1的周长，则抛物线的焦点
坐标为（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
3．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A：“第一次抽
到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
1 3 1 5
4．（5分2）边长为2的等边三7角形ABC的外心为O，3则 （ ）7
→ →
A．﹣2 B．2 C． ⋅ = D．
5．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AA1 ，则2异3面直线AB1 与BC1 所−成3角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15 1 15 1
6．（5分−） 4 任何一个复数z＝a−+b4i（a，b R）都可以表 4 示成z＝r（cos +isin 4 ）（r≥0， R）的形式，通常
称为复数的三角形式．法国数学家棣∈莫弗发现：[r（cos +isin ）]nθ＝rn（θcosn +isinθn∈）（n Z），我们称
这个结论为棣莫弗定理，则 的值为（ ）θ θ θ θ ∈
2026
A． ( 3+ ) B．
2025 2026
C．2 ( 3+ ) D．2 ( 3− )
2025 2026
2 (1− 3 ) 2 (−1+ 3 )
7．（5分）已知双曲线 ＞ 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，P为双曲线右支上一点，△PF1F2
2 2
− 2 = 1( 0)
的内切圆圆心为I，连4接P I并延长交x轴于点Q，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
→ → → →
A． B． C． = 3 1 = D 2． 4 2
2 2 3 3
8．（5分）关于x的方程 有两个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
( + )=1−
A． ＜ B． C． ＜ D． ＜＜
1 1 1 1
二、多项0≤选 择题 （本大题共3 个≤小 题，每小题6分，0共 18 ≤分 ，在每小题给0出 的四 个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
第1页（共19页）（多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（ ）
A．“a＞b”是“ ＞ ”的必要不充分条件
1 1
B．若a＞b＞c＞ 0，则 ＞
+
C．若实数a，b满足2 a++b ＝2 ，则4a+2b的最小值为
D． ＜ ＜ 2 2
0.2 0.3
12 0.3 2
（多选）130．（6分）已知 ，则下列结论正确的
8 2 8
有（ ） (2 −1) = 0+ 1( −1)+ 2( −1) +⋯+ 8( −1)
A．a0 ＝1
B．a3 ＝494
C．
8
3 −1
D． a 1 i （+ i＝ 3 0 +， 1 5 ，+ 2 ， 7 ⋯ =，82）中，a5 与a6 最大
（多选）11．（6分）已知正项数列{an}满足 ， ， ，则下列
1 1 ∗
说法正确的是（ ） 1 = 3 2 = 5 +1 =(2 − +1) +2( ∈ )
A．
1
2026 =
B．存在n N 40*，53使得
2
∈ =1 +1 =
C． 15
1 2
=1 =2 − +2
D． ＜
三、填空 = 题 1 （ 本大 题2共 + 3小1 题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知集合 ＜ ，集合B＝{y|y＝4x，x A}，则A∩B＝ ．
+1
13．（5分）据调查，某 高=校{ 大| 2学 −生1每0个}月的生活费X（单位：∈元）服从正态分布X～N（2000，σ2），又P
（2000＜X＜2500）＝0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则
这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有 人．
14．（5 分）若△ABC 中， ，BC＞AB，点 D 满足 且 BD＝1，则 AC 的取值范围
→ →
2
为 ∠ ．= 3 =2
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且满足 ．
2 2
3[ −( − ) ]
=
第2页（共19页） 4（1）求角A的大小；
（2）若∠BAC的平分线交BC于点D，且 ，BC＝2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥ 平=面A 3 BCD，AD∥BC， ，PA＝AD＝3，AB＝2，
∠ =
2
BC＝4，E为线段PA上一点，且满足 ，记平面BCE∩平面PAD＝l．
1
（1）求证：BC∥l； = 2
（2）若直线PD与l交于点F，求直线BF与平面PCD所成角的正弦值．
17．（15分）函数f（x）＝sinx．
（1）令 ， ， ，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
( )= ( )+′ ( )− ∈ [− ]
（2）若 ， 2，2 ，求函数g（x）的值域．
( )=( +1) ( )− ∈[− ]
18．（17分）平面直角坐标系xOy中，A1 （22， ）2，A2 （2（1﹣ ），0），B1 （0，1），B2 （0，﹣1），其中0
λ λ
＜ ＜1，直线A1B1 与直线A2B2 交于点Q，Q的轨迹为椭圆E： ＞＞ 的一部分．
2 2
（λ1）求椭圆E的方程； 2 + 2 = 1( 0)
（2）过点P（﹣4，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与E交于A，B两点，
（i）若|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，求实数 的取值范围；
μ μ
（ii）已知点M（1，0），直线AM，BM与E分别交于另一点为C，D，令直线CD的斜率为k1 ，求
的值． 1
19．（17分）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包
入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n
次（n≥2且n N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者∈ 进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得﹣1分，当累计
得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，
第3页（共19页）且每次命中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
1
（1）当n＝4时，
3
记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n＝k（k≥2且k N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，投∈掷次数不超过4次的概率为p0 ；若乙同学获奖概率不小于p0 ，求p的最小值．
第4页（共19页）2025-2026 学年山西大学附中高三（上）月考数学试卷（1 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A D C C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABD
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．（5分）等差数列{an}中，a6 ＝3，则a3+a9 ＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据等差数列的性质求解即可．
【解答】解：等差数列{an}中，a6 ＝3，
则a3+a9 ＝2a6 ＝6．
故选：B．
2．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平分圆（x+2）2+（y+1）2＝1的周长，则抛物线的焦点
坐标为（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（2，0） D．（0，2）
【分析】求解圆的圆心，推出抛物线的准线方程，然后求解焦点坐标即可．
【解答】解：圆（x+2）2+（y+1）2＝1的圆心为（﹣2，﹣1），抛物线y2＝2px（p＞0）的准线刚好平分
圆的周长，
故抛物线准线为x＝﹣2，故焦点为（2，0）．
故选：C．
3．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件A：“第一次抽
到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，则P（B|A）＝（ ）
第5页（共19页）A． B． C． D．
1 3 1 5
【分
2
析】根据题意，由古典
7
概型公式求出P（A）
3
和P（AB），由条件概
7
率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，事件A：“第一次抽到的数字是奇数”，事件B：“第二次抽到的数字是偶数”，
P（A） ，P（AB） ，
4 4×3 2
= = =
故P（B|A 7） 7．×6 7
( ) 1
= =
故选：A． ( ) 2
4．（5分）边长为2的等边三角形ABC的外心为O，则 （ ）
→ →
A．﹣2 B．2 C． ⋅ = D．
2 3 − 3
【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得 ，利用向量的数量积的运算法则计算可
→ → →
1
=− ( + )
3
求得 ．
→ →
【解答 】⋅解 ：取BC边的中点D，连接AD，
因为O为边长为2的等边三角形的外心，
所以 ，所以 ，
→ → → → → → →
2 2 1 1
= = × ( + ) =− ( + )
所以 3 3 2 3
→ → → → → → → →
1 1
⋅ =− ( + )⋅ =− ( + ⋅ )
3 ． 3
1 2
=故−选3：(2 A．+2×2
3
)=−2
5．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB＝AA1 ，则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15 1 15 1
【分−析】建立空间直角坐标−系，求出两条直线的方向向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，
4 4 4 4
再求出这两条直线的夹角的余弦值．
【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，
第6页（共19页）不妨设AA1 ＝AB＝AC＝BC＝2，
则A（0，﹣1，2），B1 （ ，0，0），B（ ，0，2），C1 （0，1，0），
3 3
可得 （ ，1，﹣2）， （ ，1，﹣2），
→ →
1= 3 1= − 3
可得 1×1+（﹣2）×（﹣2）＝2，
→ →
1⋅ 1= 3×(− 3)+
| | 2 ，| | 2 ，
→ →
1= 3+1+4 = 2 1= 3+1+4 = 2
可得cos＜ ， ＞ ．
→ →
→ →
1⋅ 1 2 1
1 1 = → → = =
2 2×2 2 4
| 1|⋅| 1|
所以异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为|cos＜ ， ＞| ．
→ →
1
故选：D． 1 1 = 4
6．（5分）任何一个复数z＝a+bi（a，b R）都可以表示成z＝r（cos +isin ）（r≥0， R）的形式，通常
称为复数的三角形式．法国数学家棣∈莫弗发现：[r（cos +isin ）]nθ＝rn（θcosn +isinθn∈）（n Z），我们称
这个结论为棣莫弗定理，则 的值为（ ）θ θ θ θ ∈
2026
A． ( 3+ ) B．
2025 2026
C．2 ( 3+ ) D．2 ( 3− )
2025 2026
【分2析】(化1代−数3形 )式为三角形式，再由棣莫弗定理2求解(．−1+ 3 )
【解答】解：因为 ，
3 1
3+ =2( + )=2( + )
所以 2 2 6 6
2026 2026 2026 2026
( 3+ ) =2 ( + )
6 6
．
2026 2 2 2026 1 3 2025
=故选2 ：C(．−
3
−
3
)= 2 (
2
−
2
)= 2 (1− 3 )
7．（5分）已知双曲线 ＞ 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，P为双曲线右支上一点，△PF1F2
2 2
− 2 = 1( 0)
的内切圆圆心为I，连4接P I并延长交x轴于点Q，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
→ → → →
= 3 1 =2 2
第7页（共19页）A． B． C． D．4
2 2 3 3
【分析】由已知向量等式结合双曲线的定义求得|PF1|＝8，|PF2|＝4，再由 求得P点纵坐标，
→ →
然后利用等面积法求解c，则答案可求． = 3
【解答】解：由△PF1F2 的内切圆圆心为I，且PI的延长交x轴于点Q， ，
→ →
1 =2 2
由三角形内角平分线定理知： ，
| 1| | 1 |
= = 2
由双曲线定义知：|PF1|﹣|PF2|＝ | 22a| ＝4， | 2 |
故|PF1|＝8，|PF2|＝4，
又由 ，可得 （r为内切圆半径），
→ →
= 3 | |= ( 3+1)
由 ，得 ，
1 1
= ⋅(2 +12)⋅ = ⋅2 ⋅( 3+1) =2 3
所以 2 ． 2
= = 3
故选：C．
8．（5分）关于x的方程 有两个不同的解，则实数a的取值范围为（ ）
( + )=1−
A． ＜ B． C． ＜ D． ＜＜
1 1 1 1
0≤ ≤ 0 ≤ 0
【分析】利用 指对运算将方程 化为 ，设f （x）＝ex+x，x＞0，求
1
1
导确定单调性可得a＝﹣xlnx， x (＞ 0 +， 令 ) h（= x 1）−＝ ﹣xln x，+ x＞ 0 =， 求 导+确 定函数h（x）的单调性与最值，
从而得实数a的取值范围．
【解答】解：方程 可转化为 ，则 ，
1− 1 1 1
( + )=1− + = = − + = +
所以 ，
1
1
+ = +
设f（x）＝ ex+x， x R，则方程转化为 ，
1
∈ ( )= ( )
第8页（共19页）又f'（x）＝ex+1＞0恒成立，所以f（x）在R上为增函数，
所以 ，即a＝﹣xlnx，x＞0，
1
= =−
令h（ x）＝ ﹣xlnx，x＞0，所以h′（x）＝﹣1﹣lnx，则h′（x）＝0，可得 ，
1
=
当 ， 时，h′（x）＞0，函数h（x）在 ， 上单调递增，
1 1
∈ (0 ) (0 )
当 ， 时，h′（x）＜0，函数h（x）在 ， 上单调递减，
1 1
∈ ( +∞) ( +∞)
所以 ，
1 1 1 1
又x→ℎ( 0 +)时 ， = h（ℎ x (） )→= 0 −， x→ + ∞=时 ，h（x）→﹣∞，
若方程a＝﹣xlnx，x＞0有两个不同的解，则实数a的取值范围为 ＜＜ ．
1
故选：D． 0
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）下列命题中，正确的有（ ）
A．“a＞b”是“ ＞ ”的必要不充分条件
1 1
B．若a＞b＞c＞ 0，则 ＞
+
C．若实数a，b满足2 a++b ＝2 ，则4a+2b的最小值为
D． ＜ ＜ 2 2
0.2 0.3
12 0.3 2
【分析】3 选项A，分别判断充分性与必要性即可；选项B，利用作差法判断即可；选项C，利用基本不
等式即可求解；选项D，根据函数的单调性，即可判断大小．
【解答】解：对于A，a＞b时，不一定得出 ＞ ，如a＝1，b＝﹣1时；
1 1
＞ 时，不一定得出a＞b，如a＝﹣1，b＝ 1时 ；
1 1
所 以 ，a＞b是 ＞ 的既不充分也不必要条件，选项A错误；
1 1
对于B，因为a ＞b＞ c＞0，所以 ＞0，
+ ( + )− ( + ) ( − )
− = =
所以 ＞ ，选项B正确； + ( + ) ( + )
+
对于 C+ ， 因为 2a+b＝2，所以4a+2b≥2 2 4，
2 +
当且仅当4a＝2b，即2a＝b时取“＝”，4选⋅项2C=错误2； =
第9页（共19页）对于D，因为y x在（0，+∞）上单调递减，所以 2＜ 1＝0，
= 1 1 1
又因为y＝0.3x在R上3单调递减，所以0.30.2＜0.30＝1， 3 3
又因为y＝2x在R上单调递增，所以20.3＞20＝1，
所以 2＜0.30.2＜20.3，选项D正确．
1
故选：B2D．
（多选）10．（6分）已知 ，则下列结论正确的
8 2 8
有（ ） (2 −1) = 0+ 1( −1)+ 2( −1) +⋯+ 8( −1)
A．a0 ＝1
B．a3 ＝494
C．
8
3 −1
D． a 1 i （+ i＝ 3 0 +， 1 5 ，+ 2 ， 7 ⋯ =，82）中，a5 与a6 最大
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【解答】解： ，
8 2 8
令x＝1，可得(2a0 ＝−11，)故=A 正0+确 ；1( −1)+ 2( −1) +⋯+ 8( −1)
由于（2x﹣1）8＝[1+2（x﹣1）]8，故 ，令r＝3，可得 ，故B
3 3
错误； +1 = 8⋅2 ⋅( −1) 3 = 8⋅2 =448
令x＝2，可得38＝a0+a1+a2+
⋯
+a8 ，令x＝0，可得1＝a0 ﹣a1+a2 ﹣
⋯
+a8 ；两式相减得
1+ 3+ 5+ 7 =
，故C正确；
8
3 −1
由2 ，解得5 r 6，故D正确．
+1 +1 ⩽ ⩽
82 ⩾ 8 2
−1 −1
故选
：82 A
⩾
C
D8．
2
（多选）11．（6分）已知正项数列{an}满足 ， ， ，则下列
1 1 ∗
说法正确的是（ ） 1 = 3 2 = 5 +1 =(2 − +1) +2( ∈ )
A．
1
2026 =
B．存在n N 40*，53使得
2
∈ =1 +1 =
C． 15
1 2
=1 =2 − +2
D． ＜
=1 2 +1
第10页（共19页）【分析】由数列的递推式推得 ，由等差数列的通项公式，可判断A；运用数列的裂项
2 1 1
= +
相消求和，可判断B；由等差数 列+1的求 和 公 式 +，2可判断C；由lnx x﹣1可得 ，令 ，
⩽
1 2 +1
⩾1− =
可得 ，运用数列的裂项相消求和，可判断D． 2 −1
1 1
【解答 2 】 +1 解⩽： 2 由[ a ( n 2 a n+ + 1 ＝1（) − 2a n ﹣(2 a n+ − 1 ）1 a ) n ] +2 可知，anan+1 ＝2anan+2 ﹣an+1an+2 ，
两边同时除以anan+1an+2 ，可得 ，
2 1 1
= +
故数列 为等差数列， +1 +2
1
{ }
由a1 ， a2 ，可得公差 ，
1 1 1 1
= = = − =2
故 3 ， 5 3+2（n﹣1 ） 2 ＝ 2 1 n+1，即an ，故 ，故A正确；
1 1 1 1
= 2 +1 = = 2026 =
由 ， 2 +1 4053
1 1 1 1 1
+1 = ⋅ = ( − )
那么 2 +1 2 +3 2 2 +1 2 +3 ，解得n＝6，故B正确；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
=1 +1 = ( − + − +⋯+ − )= ( − )=
由等差数列前n项和2公3式得5：5 7 n 2（ + 3+ 1 2n+ 2 1 ）+＝3 n2+2 2 n，3故2 C +错3误；15
1 1
=1 =
2
对于D选项：由lnx x﹣1可得 ，化简为 ，
⩽
1 1 1
⩽ −1 ⩾1−
令 ，得 ，即 ，
2 +1 2 +1 2 −1 2 1 1
= ⩾1− = ⩽ [ (2 +1) − (2 − 1)]
则 2 −＜1 2 −1 2 +1 2 +1 2 +1 2 ，故D
1 1
正确 =．1
2
[ 3− 1+ 5− 3+⋯+ (2 +1)− (2 −1)]=
2
(2 +1)= 2 +1
故选：ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知集合 ＜ ，集合B＝{y|y＝4x，x A}，则A∩B＝ ＜＜ ．
+1 1 1
【分析】先求出集 合= A，{ | B2， −再1结合0}交集的定义，即可求解∈． { | 4 2 }
【解答】解：由题意可知， ＜ ＜＜ ，集合B＝{y|y＝4x，x A}＝{y| ＜＜}，
+1 1 1
={ | 0}={ |−1 } ∈ 2
故A∩B ＜＜ ． 2 −1 2 4
1 1
={ | }
故答案为： 4 ＜＜2 ．
1 1
13．（5分）据调{ 查| 4，某 高校2 }大学生每个月的生活费X（单位：元）服从正态分布X～N（2000，σ2），又P
（2000＜X＜2500）＝0.3，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则
第11页（共19页）这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有 8 人．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为X～N（2000，σ2），且P（2000＜X＜2500）＝0.3，
所以P（1500＜X＜2000）＝P（2000＜X＜2500）＝0.3，
所以P（X≥1500）＝P（1500＜X＜2000）+0.5＝0.8，
所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有10×0.8＝8人．
故答案为：8．
14．（5分）若△ABC中， ，BC＞AB，点D满足 且BD＝1，则AC的取值范围为 （ ，
→ →
2 3
3） ． ∠ = 3 =2 2
【分析】根据余弦定理，不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题知： ，两边平方得 ，
→ → → 2 2
1 2 4 + −2
= + 1=
3 3 9
又由余弦定理知b2＝a2+c2+ac，两式相除得
2 2 2 2
，
+ + ( ) + +1
= 2 2 = 2
9 4 + −2 4( ) −2 +1
令 ＞，上式化简为 ，
3
2 2
+ +1 1 4(2 +1)
= 1 = 2 = + 2
9 4 −2 +1 4 4 −2 +1
令m＝2t+1＞3，上式化为
3
，
2
1 4 1 3 1 1 3 1
= + −1 2 −2 = + ( 2 ) = + ⋅ 3
9 4 4( 2 ) −2( 2 )+1 4 4 −3 +3 4 4 + −3
由m＞3，可得 ＞，那么 ＜ ＜，即 ＜＜．
2
3 1 3
+ −3 1 1 3
故AC （ ，3）． 4 9 2
3
∈
故答案为：2（ ，3）．
3
四、解答题（共 277分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且满足 ．
2 2
3[ −( − ) ]
（1）求角A的大小； =
4
（2）若∠BAC的平分线交BC于点D，且 ，BC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解； = 3
（2）根据等面积法即可求解．
【解答】解：（1）由余弦定理知a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2+2bc＝2bc﹣2bccosA，
又由于 ，
1
=
2
第12页（共19页）那么 ，
化简为2 = 3(2 −2 ， 即 ) ，
= 3(1− ) + 3 = 3
那么 ，则 ，即 ；
3 2
（2） 根 (据 + S Δ3AB ) D = +S2ΔACD ＝ S Δ + AB3C =，3 = 3
则 ，
1 1 1
即 2b+ ⋅ c ＝ b ⋅ c ， 又⋅由 余∠弦 定 理+得 2 ⋅ a2 ＝ b ⋅2 +c 2﹣⋅ 2 b c ∠ c o sA ，=即 24 ⋅＝ b 2+ ⋅ c 2﹣ ⋅ bc ， ∠
联立方程可得b＝c＝2，所以 ．
1
= = 3
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，2 PA⊥平面ABCD，AD∥BC， ，PA＝AD＝3，AB＝2，
∠ =
2
BC＝4，E为线段PA上一点，且满足 ，记平面BCE∩平面PAD＝l．
1
（1）求证：BC∥l； = 2
（2）若直线PD与l交于点F，求直线BF与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）利用线面平行的性质证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量后计算．
【解答】解：（1）证明：因为AD∥BC，
且AD 平面PAD，
BC 平⊂面PAD，
所以⊄BC∥平面PAD，
又因为BC 平面BCE，
平面BCE∩⊂平面PAD＝l，
所以BC∥l．
（2）由题可知，PA，AB，AD两两相互垂直，
以A为原点建立空间直角坐标系，连接EF，BF，如图所示，
第13页（共19页）由 ，得PE＝1，AE＝2，
1
=
由（1）可2 知EF∥AD， ，
1
所以B（2，0，0），F（ 0 ，= 1，32 ） ，= P（1 0，0，3），C（2，4，0），D（0，3，0），
所以 ，， ， ，， ， ， ， ，
→ → →
=(−2 1 2) =(0 3 −3) =(−2 −1 0)
设平面PCD的法向量 ，， ，
→
=( )
则 ，即 ，
→ →
→ ⋅ → =0 3 −3 =0
−2 − =0
⋅ =0
设y＝2，则 （﹣1，2，2），
→
设直线BF与 平=面PCD所成角为 ，
θ
则sin ＝|cos＜ ， ＞ ．
→ → → →
⋅ 8
θ |= | → → |=
9
17．（15分）函数f（x）＝sinx．| |⋅| |
（1）令 ， ， ，若函数F（x）存在唯一零点，求实数a的取值范围；
( )= ( )+′ ( )− ∈ [− ]
（2）若 ， 2，2 ，求函数g（x）的值域．
( )=( +1) ( )− ∈[− ]
【分析】（1）求出F（x）解析式，将已知2转化2为函数 与y 的图象只有一个交点，利
= ( + ) =
用正弦函数的图象即可求解a的范围； 4 2
（2）求出g（x）解析式，对g（x）求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最值，从而可
得函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，
所以 ．
( )= + − = 2 ( + )−
由F（x）＝0，得 ， 4
( + )=
4 2
第14页（共19页）函数F（x）存在唯一零点，则函数 与y 的图象只有一个交点，
= ( + ) =
因为 ， ，所以 ， ， 4 2
3
∈[− ] + ∈[− ]
由正弦函数的2图象2 可知： 4 ＜4 或4 ，
2 2
解得﹣1≤a＜1或 ，−即2实≤数 2a的取2 值范
2
围=是1 [﹣1，1）∪{ }．
（2）由g（x）＝（ =x+1）2 f（x）﹣x＝（x+1）sinx﹣x， 2
，
′ ( )= + + −1= 2 ( + )+ −1
当 ， 时， ， ， 4 ，xcosx 0，
⩽
∈ [− 0] + ∈[− ] 2 ( + )⩽1
所以g′（2 x）＜0，故函4数g（x）4 在4 ， 上单调4递减；
[− 0]
2
当 ， 时， ， ， ，xcosx 0，
⩾
3
∈ [0 ] + ∈[ ] 2 ( + )⩾1
所以g′（x 2）＞0，故4函数4 g（x）4 在 ， 上单调4 递增．
[0 ]
又由于 ，g（0）＝0， 2 ，
(− )= −1 ( )=1
故g（x）的值2 域为[0， ﹣1]． 2
18．（17分）平面直角坐标π系xOy中，A1 （2， ），A2 （2（1﹣ ），0），B1 （0，1），B2 （0，﹣1），其中0
λ λ
＜ ＜1，直线A1B1 与直线A2B2 交于点Q，Q的轨迹为椭圆E： ＞＞ 的一部分．
2 2
（λ1）求椭圆E的方程； 2 + 2 = 1( 0)
（2）过点P（﹣4，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与E交于A，B两点，
（i）若|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，求实数 的取值范围；
μ μ
（ii）已知点M（1，0），直线AM，BM与E分别交于另一点为C，D，令直线CD的斜率为k1 ，求
的值． 1
【分析】（1）由题意表示出直线A1B1 的方程和直线A2B2 的方程，将两式相乘，化简即可求得答案；
（2）（i）设直线的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由|AP|+|BP|＝ |AP|•|BP|，可得
1
μ = +
，代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案； | |
1
|（ ii|）由A，B，P三点共线，推得y1x2 ﹣y2x1 ＝4（y2 ﹣y1 ），设直线AM（斜率不为0）的方程并联立椭
圆方程，结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出k1 ，结合y1x2 ﹣y2x1 ＝4
（y2 ﹣y1 ）化简，即可求得答案．
第15页（共19页）【解答】解：（1）因为A1 （2， ），A2 （2（1﹣ ），0），B1 （0，1），B2 （0，﹣1），
所以直线A1B1 ： ，直线λ A2B2 ： λ ，
−1 +1
= =
两式相乘得 −1 2 ，化简得： 1 2(1−， )
2 2 2
−1 2
= + = 1
即椭圆E的方 −程1为 4(1− ) ； 4
2
2
（2）（i）设直线l的
4
方+程 为=x＝1 ty﹣4，记A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），
联立 ，化简得（t2+4）y2﹣8ty+12＝0，
= −4
2
2
+ =1
则Δ＝464t2﹣48（t2+4）＞0，即t2＞12，
所以 ， ，
8 12
1+ 2 = 2 1 2 = 2
则 +4 ， +4 ，
2 2
又||A P ||+=|BP|＝1+|A P⋅|• |B1P|，| |= 1+ ⋅ 2
则 μ
1 1 1 1 1
= | | + | | = 2 +1 ( 1 + 2 )
1 1+ 2
= 2 +1 ⋅ 1 2
，
2 2 1
= 3 2 +1 = 3 1+ 1 2
又t2＞12，所以 ＜＜ ，
4 39 2
即 的取值范围是39 ， 3；
4 39 2
（μii）由于A，B，(P3 三
9
点共
3
线)，
所以kAP ＝kBP ，即 ，
1 2
=
变形得y1x2 ﹣y2x1 ＝ 14+（4y2 ﹣ y2 1+），4
设lAM ：x＝my+1，
联立 ，化简得（m2+4）y2+8my﹣3＝0，
= +1
2
2
+ =1
所以 4 ，又 ，
−3 1−1
1 = 2 =
+4 1
所以 ，
1 (−3) −3 1 −3 1
= 1 ⋅ ( 1 −1 ) 2 +4 = 1 2 +4 1 2 −2 1+1 = 5−2 1
1
第16页（共19页）所以 ，
1−1 (−3 1) 3( 1−1)
= +1= ⋅ +1=− +1
同理可得： 1 5−，2 1 5，−2 1
3( 2−1) −3 2
=− +1 =
5−2 2 5−2 2
那么 ，
−3 1 3 2
− 5−2 1 +5−2 2 6( 2 1− 1 2)+15( 2− 1)
1 = = 3( −1) 3( −1)=
− 1 2 9( 2− 1)
将y1x2 ﹣y2x1 ＝4（y −
2
﹣5−y1 2） 1代+入5−上2 式2 ：
，
24( 2− 1)+15( 2− 1) 13( 2− 1) 13
1 = = =
故 ．9( 2− 1) 3( 2− 1) 3
3
19．（ 117 =分） 13 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包
入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷n
次（n≥2且n N）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者∈ 进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得﹣1分，当累计
得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到﹣3分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，
且每次命中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为p（0＜p＜1）．
1
（1）当n＝4时，
3
记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望；
（2）当n＝k（k≥2且k N）时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）；
（3）记甲同学获奖时，投∈掷次数不超过4次的概率为p0 ；若乙同学获奖概率不小于p0 ，求p的最小值．
【分析】（1）写出X的取值可能为2，3，4，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案；
（2）计算出P（Y＝i） 的表达式，从而得到 的表达式，再利用错位相减法即可得到答案；
=2 ( = )
（3）记Z表示乙同学的得分，Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，计算出对应的概率，根据P（B）≥p0
得到不等式，解出即可得到最小值．
【解答】解：（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4，
，
1 1 1
( =2)= × =
3 3 9 ，
1 2 1 1 4
( =3)= 2× × × =
3 3 3 2，7
3 4 20
故(
X
=的4分)布=列1−为2：7 −
27
=
27
第17页（共19页）X 2 3 4
P
20
27
1 4
所以 9 ； 27
1 4 20 98
（2） 记( 事)=件9A ×：2甲+同2学7 ×获3奖+，27显×然4，= k≥272，
设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷i（2≤i≤k）次并获奖，
则 ，
1 2 −2 1 2 1 2
( = )= −1( ) ( ) = ( −1)( )
所以 3 3 4 3 ，
1 2 2 2 3 2
=2 ( = )= [( ) +2( ) +⋯+( −1)( ) ]
令 4 3 3 ， 3
2 2 2 3 2
=( ) +2( ) +⋯+( −1)( )
所以 3 3 3 ，
2 2 3 2 4 2 +1
= ( ) +2( ) + ⋯ +( − 1)( )
3 3 3 3
两式相减： ，
4 2 −1
1 2 2 2 3 2 2 +1 1 9[1−(3) ] 2 +1
= ( ) +( ) + ⋯ +( ) − ( − 1)( ) = 2 − ( − 1)( )
3 3 3 3 3 3 1−3 3
，
4 4 2 −1 2 +1
= − ( ) −( −1)( )
即3 3 3 ，3
4( +2) 2 −1
=4− ( )
所以 3 3 ；
1 +2 2 −1
（3） 记( ) Z =表4示 乙=同1学−的3得分⋅(，3 ) Z＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
记事件B：乙同学获奖，P（Z＝k）表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，
显然P（B）＝P（Z＝0），又P（Z＝3）＝1，P（Z＝﹣3）＝0，
由全概率公式知：P（Z＝k）＝p•P（Z＝k+1）+（1﹣p）•P（Z＝k﹣1），k＝﹣2，﹣1，0，1，2，
所以P（Z＝k+1）﹣P（Z＝k）＝（p﹣1）[P（Z＝k）﹣P（Z＝k﹣1）]，
那么P（Z＝3）﹣P（Z＝2）＝（b﹣1）[P（Z＝2）﹣P（Z＝1]＝（b﹣1）[P（Z＝1）﹣P（Z＝0）]
，
1 5 1 5
=⋯=( −1) [ ( =−2)− ( =−3)]=( −1) ⋅ ( =−2)
即P（Z ，
1 5
=3)− ( =2)= ( −1) ⋅ ( =−2)
同理： ， ，
1 4 1 3
( =2)− ( =1)=( −1) ⋅ ( =−2) ( =1)− ( =0)=( −1) ⋅ ( =−2)
，
1 2
( =0)− ( =−1)=( −1) ⋅ ( =−2)
第18页（共19页），
1
( =−1)− ( =−2)= ( −1) ( =−2)
累加得 •P（Z＝﹣2），
1 1 2 1 5
( =3)=[1+( −1)+( −1) +...+( −1) ]
所以 •P（Z＝﹣2），
1 1 2 1 5
( =3)=[1+( −1)+( −1) +⋯+( −1) ]
即 •P（Z＝﹣2）＝1，即 ，
1 6 1
1−( −1) 2−
( =3)= 1 ( =−2)= 1 6
1−( −1) 1−( −1)
即 ，
1 1 2 1
( )= ( =0)= [1+( −1)+( −1) ]⋅ ( =−2)= 1 3
由甲同学获奖时，投掷次数不 超过4次 的概率为p0 得： 1+( −1) ，
4+2 2 3 11
0 =1− ×( ) =
3 3 27
由P（B）≥P0 ，即 ，解得 ，
1 11 1
1 3 ≥ ≥ 3 2
1+( −1) 27 2 11+1
故P的最小值为 ．
1
3 2
2 11+1
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