文档内容
2025-2026学年浙江省温州市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，
135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ）
A．112.5 B．115 C．142.5 D．145
2．（5分）已知（2，m）是过 A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，则实数 m为
（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
3．（5分）已知是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．（5分）已知x，y为实数，则“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（ ）
A．0 B．6 C．12 D．24
6．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F ，F ，P是椭圆上一点，且|PF |，|F F |，|PF |成等比数列，则
1 2 1 1 2 2
椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）若sin +sin2 +sin3 ＝0且cos +cos2 +cos3 ＝0，则cos2 ＝（ ）
A． θ θB． θ θ θC． θ θD．1
8．（5分）已知正三棱台ABC﹣A B C ，AB＝2A B ，且侧面ABB A 与底面ABC的夹角的余弦值为，则
1 1 1 1 1 1 1
直线A C与平面ABB A 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1﹣12的深空探测目标（含行星、小行星
等）里随机选一个执行任务，定义：
第1页（共16页）事件A：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）
事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）
事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要
分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B）
B．
C．
D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
（多选）10．（6分）已知 ， ， 为三个不同的平面，l ，l ，l 为三条不同的直线， ∩ ＝l ， ∩ ＝
1 2 3 1
l ， ∩ ＝l ，下列说法正α确β的是γ（ ） α β β γ
2 3
A．α若lγ1 ∥l
2
，则l
2
∥l
3
B．若l
1
⊥ ，则l
2
⊥l
3
C．若l
1
∥ ，则l
2
∥l
3
D．若l
1
⊥γl
2
，则l
2
⊥l
3
（多选）11．γ（6分）已知函数f（x）图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依
次成等比数列，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝tanx B．f（x）＝ex+1 C．f（x）＝x2+x D．f（x）＝lnx
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则z •z ＝ ．
1 2
13．（5分）函数的最小值为 ．
14．（5分）已知△ABC外接圆O的半径为1，∠A的角平分线交圆O于另一点，则∠CAD的取值范围是
，的最小值是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
15．（13分）有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率
为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺
序由张某选择．
（1）求张某猜对两道谜语的概率；
（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．
16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）+B（A＞0，B＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，（0，
﹣1）是图象的一个最低点，M（1，3ω）是φ图象的一个最高点． φ π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知N也是图象的最低点，P是图象与x轴的交点，求cos∠MPN．
第2页（共16页）17．（15分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，a ＝4a ，S ＝40，数列{b }满足．
n n 7 2 5 n
（1）求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
（2）将数列{a }，{b }的公共项从小到大排列组成新的数列{c }，求{c }的前n项和T ．
n n n n n
18．（17分）已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足，．
（1）求点Q的轨迹曲线C的方程；
（2）斜率为﹣1的直线与曲线C交于A，B两点，点P（2，1）．
（i）求直线AP，BP的斜率之和；
（ii）△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由．
19．（17分）已知四面体O﹣ABC，OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，N为BC的
三等分点（靠近B），M为AN的中点，过点M的动平面 交射线OA，OB，OC于P，Qθ，R．
（1）如图，当时， α
（i）求OM的长；
（ii）空间中一动点T，定义d（T）＝TP2+TQ2+TR2．当四面体O﹣PQR的体积最小时，是否存在点
T，使得d（T）＜d（M）？并说明理由；
（2）当时，记四面体OPQR内切球的半径为r，求r的最大值．
第3页（共16页）2025-2026学年浙江省温州市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D D B B A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AC ACD
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，
135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ）
A．112.5 B．115 C．142.5 D．145
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由于10×0.25＝2.5，
则该组数据的第25百分位数为115．
故选：B．
2．（5分）已知（2，m）是过 A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，则实数 m为
（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】求出直线的斜率，由此即可求解．
【解答】解：因为（2，m）是过A（0，2），B（1，0）两点的直线的一个方向向量，
所以2，解得m＝﹣4．
故选：A．
3．（5分）已知是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝lnln2ax2＝﹣2ax2＝0，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若是奇函数，
则f（﹣x）+f（x）＝lnln2ax2＝﹣2ax2＝0，
第4页（共16页）必有a＝0．
故选：C．
4．（5分）已知x，y为实数，则“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过取特殊的x，y值，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解．
【解答】解：取，，显然有x与y都是无理数，但x+y＝4是有理数，
所以“x与y都是无理数”推不出“x+y是无理数”，
取x＝2，，则x+y＝2，显然有x+y是无理数，但不满足x与y都是无理数，
所以“x+y是无理数”推不出“x与y都是无理数”，
所以“x与y都是无理数”是“x+y是无理数”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（5分）已知函数f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），则f′（0）＝（ ）
A．0 B．6 C．12 D．24
【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．
【解答】解：由f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），
得f′（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+x[（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）]′，
则f′（0）＝1×2×3×4＝24．
故选：D．
6．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F ，F ，P是椭圆上一点，且|PF |，|F F |，|PF |成等比数列，则
1 2 1 1 2 2
椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据条件，利用椭圆的定义及基本不等式得到4c2≤a2，即可求解．
【解答】解：设|PF |＝m＞0，则|PF |＝2a﹣m＞0，又|F F |＝2c，且|PF |，|F F |，|PF |成等比数列，
1 2 1 2 1 1 2 2
则，得到，当且仅当m＝2a﹣m，即m＝a时取等号，
所以．
故选：B．
7．（5分）若sin +sin2 +sin3 ＝0且cos +cos2 +cos3 ＝0，则cos2 ＝（ ）
A． θ θB． θ θ θC． θ θD．1
【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出cos 的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出
第5页（共16页）θcos2 的值．
【 解θ 答 】 解 ： 因 为 sin +sin2 +sin3 ＝ sin （ 2 ﹣ ） +sin2 +sin （ 2 + ） ＝ sin2 cos ﹣
cos2 sin +sin2 +sin2 cos +cθos2 sinθ ＝sinθ2 （2cos +1θ）＝θ0， θ θ θ θ θ
cos θ+cosθ2 +coθs3 ＝θcos（θ 2 ﹣θ ）θ+cos2 θ+cos（θ2 + ）＝cos2 cos +sin2 sin +cos2 +cos2 cos ﹣
sin2θ sin ＝θcos2 θ（2cos +1）θ＝0θ， θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
所以θsin2 θ2 （2coθs +1）θ 2+cos22 （2cos +1）2＝0，
即（2cos θ+1）2（θsin22 +cos22θ）＝（2θcos +1）2＝0，
解得， θ θ θ θ
故．
故选：B．
8．（5分）已知正三棱台ABC﹣A B C ，AB＝2A B ，且侧面ABB A 与底面ABC的夹角的余弦值为，则
1 1 1 1 1 1 1
直线A C与平面ABB A 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
【分析】取正△ABC中心O，记AA ，BB ，CC 交点为P，求解PO的长度，记A C与面ABB A的夹
1 1 1 1 1
角为 ＝∠CA H，利用等面积法求|CH|，由PA＝PB＝PC＝AC求解|CA |，解三角形求结论．
1 1
【解答θ】解：如图，取正△ABC中心O，AB的中点为M，记AA
1
，BB
1
，CC
1
交于点P，作CH⊥MP于
H，
则PO⊥面ABC，CO∩AB＝M，PM⊥AB，CM⊥AB，
所以∠PMO为侧面ABB A 与底面ABC的夹角，可知，
1 1
设MO＝1，OC＝2，PM＝3，则，PC＝2，
作CH⊥MP于H，
因为PM⊥AB，CM⊥AB，PM，CM 平面PCM，PM∩CM＝M，
所以AB⊥平面PCM， ⊂
又因为CH 平面PCM，故AB⊥CH，
又AB∩PM⊂＝M，AB，PM平面ABP，
第6页（共16页）所以CH⊥面PAB，
记A C与面ABB A 的夹角为 ＝∠CA H，如图，
1 1 1 1
θ
可得，解得，
因为，A C AC，
1 1
所以|CA |＝3，所以sin ，
1
所以cos ． θ
故选：Aθ．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1﹣12的深空探测目标（含行星、小行星
等）里随机选一个执行任务，定义：
事件A：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）
事件B：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）
事件C：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要
分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的是（ ）
A．P（AB）＝P（A）P（B）
B．
C．
D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
【分析】利用古典概型概率计算公式分别求出P（A），P（B），P（AB），判断A；利用条件概率判
断B和C；利用古典概型概率计算公式分别求出P（A），P（B），P（C），P（ABC），判断D．
【解答】解：由题可得总样本数为12（编号为1﹣12），
事件A为“选中奇数编号目标”：{1，3，5，7，9，11}，共6个，则P（A），
第7页（共16页）事件B为“选中编号小于7的目标”：{1，2，4，5，6}，共6个，则P（B），
事件C为“选中1，2，4，8号目标”，：{1，2，4，8}，共4个，则P（C），
事件AB为“奇数且编号小于7”，即{1，3，5}，共3个，P（AB），
P（A）P（B），
∴P（AB）＝P（A）P（B），故A正确；
事件AC为“编号为1”，共1个，∴P（C），
P（A|C），故B正确；
事件为“编号3，5，7，9，11”，共5个，
∴P（），
∴P（A|），
∴P（A|C）+P（A|），故C错误；
事件ABC“编号为1”，共1个，
∴P（ABC），
P（A）P（B）P（C），
∴P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）已知 ， ， 为三个不同的平面，l ，l ，l 为三条不同的直线， ∩ ＝l ， ∩ ＝
1 2 3 1
l ， ∩ ＝l ，下列说法正α确β的是γ（ ） α β β γ
2 3
A．α若lγ1 ∥l
2
，则l
2
∥l
3
B．若l
1
⊥ ，则l
2
⊥l
3
C．若l
1
∥ ，则l
2
∥l
3
D．若l
1
⊥γl
2
，则l
2
⊥l
3
【分析】对γ于AC，利用线面平行的判定定理和性质即可证明，对于BD作图即可观察判断．
【解答】解：如下图，因为l ∥l ，l ，l ，
1 2 1 2
⊄γ ⊂γ
所以l ∥ ，故l ∥l ，故A、C正确；
1 2 3
若l
1
⊥ ，γ则l
2
与l
3
可以成（0，]的任意角，故B错误；
若l
1
⊥γl
2
，则l
2
与l
3
可以成（0，]的任意角，故D错误．
故选：AC．
第8页（共16页）（多选）11．（6分）已知函数f（x）图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依
次成等比数列，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝tanx B．f（x）＝ex+1 C．f（x）＝x2+x D．f（x）＝lnx
【分析】根据等差数列、等比数列的性质结合函数的性质判断即可．
【解答】解：设函数 f（x）图象上的三个不同点为 A（x﹣d，y ），B（x，y ），C（x+d，y ）
1 2 3
（d≠0），
因为纵坐标依次成等比数列，所以；
选项A：y ＝tan（x﹣d），y ＝tanx，y ＝tan（x+d），
1 2 3
，
当tand＝0，即d＝k （k Z且k≠0）时，
tan（x﹣d）tan（x+dπ）＝∈tan2x，满足，故A正确；
选项B：，
，
，
又ex﹣d+ex+d，
当且仅当ex﹣d＝ex+d，即d＝0时等号成立，
因为d≠0，所以e2x+2ex+1≠e2x+ex﹣d+ex+d+1，所以，故B错误；
选项C：，
＝[（x2+x+d2）﹣（2dx+d）][（x2+x+d2）+（2dx+d）]＝（x2+x+d2）2﹣（2dx+d）2，
，令则（x2+x+d2）2﹣（2dx+d）2＝（x2+x）2，
即（x2+x+d2）2﹣（x2+x）2＝（2dx+d）2，整理得d2（2x2+2x+d2）＝d2（4x2+4x+1），
又d≠0，所以2x2+2x+d2＝4x2+4x+1，即，
所以对任意实数x，均能取到，满足，故C正确；
选项D：定义域为（0，+∞）．y ＝ln（x﹣d），y ＝lnx，y ＝ln（x+d），
1 2 3
，
令g（t）＝ln（t+d）ln（t﹣d）﹣（lnt）2，
只需证 d＞0，t＞d，函数g（t）存在零点即可，取，
当t＝1∃时，g（1）＝ln（1+d）ln（1﹣d）﹣（ln1）2＝ln（1+d）ln（1﹣d）＜0，
当t→d+时，ln（t+d）→ln（2d）＜0，ln（t﹣d）→﹣∞，（lnt）2→（lnd）2，
故ln（t+d）ln（t﹣d）→+∞，
第9页（共16页）所以当t→d+时，g（t）＝ln（t+d）ln（t﹣d）﹣（lnt）2＞0，
由零点存在定理可知，函数g（t）在区间（d，1）上存在零点，
即存在不同的三点满足条件，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则z •z ＝ i ．
1 2
【分析】化复数的三角形式为代数形式，再由复数的乘法运算求解．
【解答】解：由，
得，，
则z •z ＝（）（）i．
1 2
故答案为：i．
13．（5分）函数的最小值为 1 ．
【分析】考虑绝对值函数的分段处理，再分区间讨论，利用导数研究单调性即可求解．
【解答】解：由题意函数，
令，解得，
当时，，故，
求导得，显然f'（x）＜0在该区间恒成立，
故f（x）在上单调递减，此时f（x）＞f（）＝ln4，
当时，，故，
求导得，令f'（x）＝0，解得x＝1，
当时，取，则，故f（x）单调递减；
当x＞1时，取x＝4，则，故f（x）单调递增，
因此，x＝1是f（x）在上的极小值点，也是最小值点，
可得，
即在区间内f（x）＞ln4≈1.386，
在区间内最小值为f（1）＝1＜ln4，
此外，当x→0+时，f（x）→+∞；当x→+∞时，增长快于lnx，故f（x）→+∞，
因此，函数f（x）的最小值为1．
故答案为：1．
14．（5分）已知△ABC外接圆O的半径为1，∠A的角平分线交圆O于另一点，则∠CAD的取值范围是
（ 0 ，） ，的最小值是 ．
【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定∠CAD的取值范围；设，由正弦
第10页（共16页）定理可得，再计算即可求解．
【解答】解：如图，不妨取C在优弧上，D在劣弧上，△ABC外接圆O的半径R＝1，
所以，即，
解得，
所以，
因为AD为∠A的角平分线，
所以∠CAD＝∠BAD，
因为，
所以，即，
设，
则，
因为，
所以，
，
＝（3cos2 ﹣sin2 ）cos2 ＝（4cos2 ﹣1）（2cos2 ﹣1）
， α α α α α
因为，所以，
故当，即时，取得最小值．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
15．（13分）有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率
为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺
序由张某选择．
（1）求张某猜对两道谜语的概率；
（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率求法分析可得答案；
第11页（共16页）（2）根据题意，分别计算两种不同顺序下的期望值，比较可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对B谜语的概率为0.5，
则张某猜对两道谜语的概率P＝0.8×0.5＝0.4；
（2）根据题意，若先猜A，
设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，①X的可能取值为：0，10，30，
P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝10）＝0.8×0.5＝0.4，P（X＝30）＝0.8×0.5＝0.4，
故X的分布列为：
X 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
则E（X）＝10×0.4+30×0.4＝16；
若先猜A，设选择先猜B谜语得到的奖金为Y元，Y的可能取值为：0，20，30，
P（Y＝0）＝0.5，P（Y＝20）＝.05×（1﹣0.8）＝0.1，P（Y＝30）＝0.5×0.8＝0.4，
则Y的分布列分别为：
Y 0 20 30
P 0.5 0.1 0.4
E（Y）＝0×0.5+20×0.1+30×0.4＝14，
E（X）＞E（Y），
故张某该选择先猜A．
16．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）+B（A＞0，B＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，（0，
﹣1）是图象的一个最低点，M（1，3ω）是φ图象的一个最高点． φ π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知N也是图象的最低点，P是图象与x轴的交点，求cos∠MPN．
【分析】（1）由图可得周期T，进而可得 ＝ ，由最值可得A，B，将M（1，3）代入f（x）解析式
可得 ，进而可得f（x）解析式； ω π
（2）φ令f（x）＝0，计算得到，由最低点（0，﹣1）和T＝2得N（2，﹣1），所以，，由向量的夹角
公式求解即可．
第12页（共16页）【解答】解：（1）由最低点（0，﹣1）和最高点M（1，3）可知，所以 ，
因为， ωπ
所以f（x）＝2sin（ x+ ）+1，
将M（1，3）代入上π式得φ 2sin（ + ）+1＝3，即sin ＝﹣1，
又| |＜ ，所以， π φ φ
所以φ f（πx）＝2sin（ x）+1＝﹣2cos（ x）+1．
（2）令f（x）＝﹣2πcos（ x）+1＝0，π可得，∴，
由最低点（0，﹣1）和T＝π2得N（2，﹣1），
，，，，
故．
17．（15分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，a ＝4a ，S ＝40，数列{b }满足．
n n 7 2 5 n
（1）求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
（2）将数列{a }，{b }的公共项从小到大排列组成新的数列{c }，求{c }的前n项和T ．
n n n n n
【分析】（1）设等差数列{a }的公差为d，根据已知条件可得关于a ，d的方程组，解出这两个量的
n 1
值，即可得数列{a }的通项公式；当n≥2时，由得出，两式作差可得b 在n≥2时的表达式，然后验
n n
证b 即可得数列{b }的通项公式；
1 n
（2）分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简{b }的表达式，可得出数列{c }的通项公
n n
式，再利用分组求和法可求得T 的表达式．
n
【解答】解：（1）设等差数列{a }的公差为d，
n
由，得，得a ＝2，d＝3，
1
所以a ＝a +（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
n 1
当n≥2时，由，
得，
①﹣②得，
所以，
当n＝1时，，可得b ＝6也满足，
1
所以；
（2）因为4n＝（3+1）n•3n•3n﹣1•3，
2n＝（3﹣1）n•3n•3n﹣1（﹣1）•3（﹣1）（﹣1）n，
当n为偶数时，，此时b 被3除余2，b 为数列{a }中的项；
n n n
当n为奇数时，，
第13页（共16页）此时b 被3整除，b 不为数列{a }中的项，
n n n
所以
．
18．（17分）已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足，．
（1）求点Q的轨迹曲线C的方程；
（2）斜率为﹣1的直线与曲线C交于A，B两点，点P（2，1）．
（i）求直线AP，BP的斜率之和；
（ii）△PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由．
【分析】（1）设Q（x，y），由题意列方程，化简即可求出答案；
（2）①直线AB的方程为y＝﹣x+m，A（x ，y ），B（x ，y ），将直线方程与双曲线方程联立得到
1 1 2 2
x +x ，x x ，用斜率公式列出直线AP，BP的斜率之和，代入即可求出答案；
1 2 1 2
②求出直线AP，BP的中垂线，联立求出点M的坐标，消去m即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意知，，
所以动点Q的轨迹为双曲线的右支，，，
即，，所以，
所以点Q的轨迹曲线C的方程为；
（2）①设直线AB的方程为y＝﹣x+m，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
直线AP和BP的斜率分别为k ，k ，
1 2
联立，化简得x2﹣4mx+2m2+2＝0，
由题意得，解得m＞1，
所以x +x ＝4m，，
1 2
所以
，
所以k +k ＝0；
1 2
②证明：直线AP的中垂线为，
直线BP的中垂线为，
联立直线方程得：，
消y得，
于是，
所以，
第14页（共16页）代入得，
当m＝3时，点P在直线AB上，不符合题意，故，
又消x得：，
即，
即，
即[（m﹣1﹣x ）（2﹣x ）﹣（m﹣1﹣x ）（2﹣x ）]y，
1 2 2 1
即，
又x ≠x ，则，
1 2
又m≠3，所以，
故△PAB外接圆圆心，
令，消去m得x+y﹣3＝0，
故M必在直线x+y﹣3＝0上．
19．（17分）已知四面体O﹣ABC，OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，N为BC的
三等分点（靠近B），M为AN的中点，过点M的动平面 交射线OA，OB，OC于P，Qθ，R．
（1）如图，当时， α
（i）求OM的长；
（ii）空间中一动点T，定义d（T）＝TP2+TQ2+TR2．当四面体O﹣PQR的体积最小时，是否存在点
T，使得d（T）＜d（M）？并说明理由；
（2）当时，记四面体OPQR内切球的半径为r，求r的最大值．
【分析】（1）①通过向量分解将用，，表示，结合向量模长与夹角公式，求出了的具体值；
②将．，用，表示，结合共面向量定理得到等式，利用均值不等式确定了使四面体 V O﹣PQR 体积最小
的条件，并证明M是△PQR的重心；
（2）通过勾股定理、余弦定理求出△PQR的面积，结合体积与表面积的比值表达式，换元后利用导
数求函数最小值，最终得到比值r的最大值．
【解答】解：（1），
所以
第15页（共16页），所以；
②不存在空间中一点T，使得d（T）＜d（M）；
设OP＝x，OQ＝y，OR＝z，则，，，
所以，由共面定理，得，
记棱长为1的正四面体的体积为V
0
，所以V
O﹣PQR
＝xyzV
0
，
由均值不等式，此时当，即x＝y＝3，z＝2，V
O﹣PQR
取得最小值，
则此时，即，故M是△PQR的重心，
对空间中任意点T，则，，
同理，，
所以d（T） d（M）≥d（M），
故不存在空间中一点T，使得d（T）＜d（M）；
（2），，，
由勾股定理，，，，
由余弦定理，，所以，
所以，所以，
所以，，
所以（设，
设，，
当，；
当时，令，即，
解得，所以，所以（当t＝t 时取等），
0
所以r的最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/6 0:20:15；用户：量神大数学；邮箱：18600601432；学号：50925141
第16页（共16页）
