专题1.2二次函数全章知识典例详解（必考点分类集训）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_考点分类必刷题-U181

专题 1.2 二次函数全章知识典例详解 【人教版】 知识点1 二次函数的定义 定义：一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量， a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意：二次函数的二次项系数 ，而b、c可以为零．2 【典例1】（2023秋•驻马店期末）下列函数：①y＝3−❑√3x2；②y= ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝ x2 （1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2023秋•太康县期末）如果函数 是二次函数，那么m的值是 ． y=(m+1)xm2−2m−1 【典例3】（2023秋•江津区校级月考）若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝ ． 知识点2 二次函数的图象和性质 1．二次函数y=ax2 (a≠0)的性质： （1）函数 的图象与a的符号关系． ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点； ③ 决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大． （2）抛物线 的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是 （y轴）． a的 开口 顶点 对称轴 增减性 符号 方向 坐标 时，y随x的增大而增大； 时，y随 向上 (0, 0) y轴 x的增大而减小； 时，y有最小值0． 时，y随x的增大而减小； 时，y随 向下 (0, 0) y轴 x的增大而增大； 时，y有最大值0． 2．二次函数y=ax2+c(a≠0)的性质： a的 开口 顶点 对称轴 增减性 符号 方向 坐标 时，y随x的增大而增大； 时，y随 向上 (0, c) y轴 x的增大而减小； 时，y有最小值c． 时，y随x的增大而减小； 时，y随 向下 (0, c) y轴 x的增大而增大； 时，y有最大值c． 3．二次函数y=a(x−h) 2+k(a≠0)的性质： a的 开口 顶点 对称轴 增减性符号 方向 坐标 （h， 时，y随x的增大而增大； 时，y随 向上 x=h k） x的增大而减小； 时，y有最小值k． （h， 时，y随x的增大而减小； 时，y随 向下 x=h k） x的增大而增大； 时，y有最大值k． 4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质： b 4acb2 配方：二次函数yax2 bxca(x )2 2a 4a a的 开口 顶点坐标 对称轴 增减性 符号 方向 b x 时，y随x的增大而增 2a 大； b x 时，y随x的增大而减 a0 向上 （ ， ） 2a 小； b 4acb2 x 时，y有最小值 2a 4a ． 时，y随x的增大而减 小； （ ， a0 向下 时，y随x的增大而增 ） 大； 时，y有最大值 ． 注意：二次函数 与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点： ； （2）与x轴的交点：使方程 成立的x值． 1 【典例1】（2024春•肇东市校级月考）已知二次函数y=− (x+3) 2−2，则（ ） 2 A．函数图象的对称轴为直线x＝3 B．函数的最大值为2C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大 D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2） 【典例2】（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【典例3】（2024•碑林区校级模拟）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx+9m﹣2（m≠0）的图象，下列说法不 正确的是（ ） A．对称轴为直线x＝3 B．当m＝5时，图象上的最低点为（3，﹣2） C．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 6 D．顶点一定在函数y=− 的图象上 x 【典例4】（2024•管城区校级三模）已知点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（5，y ）都在二次函数y＝﹣2 1 2 3 （x﹣3）2+a的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 3 A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y 1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1 【典例5】（2024•姜堰区二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1 时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ） 7 9 A．2 B．3 C． D． 2 2 【典例6】（2024•阜阳二模）若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m 的值为（ ） 1 3 1 3 3 1 A．− B． C．− 或 D．− 或 2 2 2 2 2 2 知识点3 二次函数的解析式 1．一般式：yax2 bxc(a0)已知图象上三点(x，y )、(x，y )、(x，y )，可用一般式求解二次函数解析式． 1 1 2 2 3 3 2．顶点式：ya(xh)2 k(a0) 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．交点式：ya(xx )(xx )(a0) 1 2 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式：ya(x x )(x x )k(a0) 1 2 已知抛物线经过点(x ,k)、(x ,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 1 2 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三 种形式可以互化． 【典例1】（2024秋•西城区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）， （0，﹣6），求二次函数表达式． 【典例2】（2024秋•庐阳区校级月考）已知二次函数的图象以 A（3，3）为顶点，且过点B（2，0），求 该函数的关系式． 【典例3】（2024秋•长宁区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，5），B（﹣1， 9），C（0，8）．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标． 【典例4】（2024秋•通州区期中）已知函数y＝x2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值 为﹣2，求函数的表达式． 【典例5】根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 【典例6】已知二次函数y＝ax2﹣（b﹣1）x﹣3a的图象经过点（4，10），交x轴于A（x ，0），B（x ， 1 2 0）两点．（x ＜x ），且3OA＝OB，求二次函数的解析式． 1 2知识点4 二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当 时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴 在y轴的右侧． （3） 的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当 时，抛物线与y轴的交点为原点；当 时，交点在y轴的正半轴；当 时，交点在y轴 的负半轴． 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断 的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得 与 的大小关系，可得 的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式． （7）根据抛物线的顶点，判断 的大小． 【典例1】（2024秋•建水县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣ 4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ） A．.2个 B．3个 C．4个 D．.5个 【典例2】（2024•松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝ 1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数 m≠1）．其中正确的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例4】（2024•合江县二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2， 0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜ 0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y ）（3，y ）在二次函数图象上，则y ＞y ，其中正确 1 2 1 2 的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点5 二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”． 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．（1）关于x轴对称 yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc． 关于x轴对称后，得到的解析式是 ． y （2）关于 轴对称 yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc． 关于y轴对称后，得到的解析式是 ． （3）关于原点对称 yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc． 关于原点对称后，得到的解析式是 ． （4）关于顶点对称 b2 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc ． yax2bxc 2a 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点 对称 关于点 对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数y| f(x)|的图象可以由函数y f(x)通过关于x轴的翻折变换得到． y f(x) 具体规则为函数 图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方． 【典例1】（2024•平房区三模）已知二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次 函数y＝（x+2）2﹣3；则h和k的值分别为（ ） A．﹣2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．2，3 【典例2】（2024春•登封市校级月考）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平 移方式中，正确的是（ ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【典例3】（2024•榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式 可以是（ ） A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 【典例4】（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝ x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） 12 9 9 12 A．m= ，n= B．m= ，n= 7 7 7 7 C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0 【典例5】（2024秋•金东区期末）将抛物线y＝x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达 式为（ ） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x+3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3 知识点6 二次函数与一元二次方程 （1）一般地,从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点 的横坐标是x ,那么当x=x ,时,函数的值是0,因此x=x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根. 0 0 0 （2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 抛物线 与 x 一元二次方程 轴交于 ， 两 △＞0 有两个不相等的实数根 点，且 ， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 抛物线 与 x △＝0 有两个相等的实数根 轴交切于 这一点，此时称 抛物线与x轴相切 一元二次方程 抛物线 与 x △＜0 轴无交点，此时称抛物线与x轴相 在实数范围内无解（或 离 称无实数根） 【典例1】（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半 轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【典例2】（2023•曲江区校级三模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0 成立的x的取值范围是（ ） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【典例3】（2023秋•临沭县期末）如图，点 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数 y＝ ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【典例4】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m+1． （1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？ 知识点7 二次函数的实际应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等 式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注 意自变量的取值范围。 【典例1】（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿 瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与 销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x （元/个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶 的销售单价，并求出此时的最大利润． 【典例2】（2024•邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷 水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在 喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时 必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池 的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究 扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【典例3】（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的 三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之 一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40元/平方米 和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．