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专题 17.2 勾股定理的应用之十一大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 求梯子滑落高度】............................................................................................................................1
【考点二 求旗杆高度】....................................................................................................................................4
【考点三 求小鸟飞行距离】............................................................................................................................6
【考点四 求大树折断前的高度】....................................................................................................................9
【考点五 解决水杯中筷子问题】..................................................................................................................11
【考点六 解决航海问题】..............................................................................................................................13
【考点七 求台阶上地毯长度】......................................................................................................................16
【考点八 判断汽车是否超速】......................................................................................................................18
【考点九 判断是否受台风影响】..................................................................................................................21
【考点十 求最短路径】..................................................................................................................................24
【考点十一 选址使到两地距离相等】..........................................................................................................27
【过关检测】............................................................................................................................................................29
【典型例题】
【考点一 求梯子滑落高度】
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识点，熟练利用勾股定理是解题关键．
（1）利用勾股定理直接得出 的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出 的长，进而得出答案，
【详解】（1）由题意得： 米， 米，
（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： 米，
（米），
则： （米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级统考期中）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消
防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援
的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即
），消防车高 ，救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即 ）高的 处救人后，还要从
（即 ）高的 处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 为多少米？
【答案】这时消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出 、 的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知， ，点 、 、
三点共线，在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
答：这时消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为 ．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，
如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．
(1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑 到 位置上（云梯长度不改变），即 ，那
么它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是多少？
(2)在演练中，高 的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，
云梯的顶端能否到达 高的楼房窗口去救援被困人员？
【答案】(1)它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是
(2)云梯的顶端能到达 高的楼房窗口去救援被困人员
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）在 中利用勾股定理求出 ，可得 的长度，然后在 中利用勾股定理求出 ，
进而可求 的长；
（2）利用勾股定理求出能够到达墙面的最大高度，然后与 进行比较即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，即它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是 ；
（2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
则能够到达墙面的最大高度为： ，
∵ ，
∴ ，
∴云梯的顶端能到达 高的楼房窗口去救援被困人员．
【考点二 求旗杆高度】
例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙 的顶部 处安装了一根安全绳
，让它垂到地面时比墙高多出了 米，教练把绳子的下端 拉开 米后，发现其下端刚好接触地面（即
米）， ，求攀岩墙 的高度．
【答案】攀岩墙 的高为 米
【分析】根据题意设攀岩墙的高 为 米，则绳子 的长为 米，再利用勾股定理即可求得 的
长即可．
【详解】解：设攀岩墙的高 为 米，则绳子 的长为 米，
∵在 中， 米，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，解得 ，
∴攀岩墙 的高为 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】
1.（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下
图风筝 的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得 的长度为 米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米；
（3）牵线放风筝的小明身高 米，求风筝的高度 ．
【答案】风筝的高度 为 米．
【分析】利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度．
【详解】解：在 中，由勾股定理，得 (米)．
∴ (米)．
答：风筝的高度 为 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
2.（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，
利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】(1) 米
(2)2米
【分析】（1）作 ， ，可证 ，可得 ， ，则 ，
且 可求 ， ，即可求 的长．（2）根据勾股定理可求 ，即可求 的长．
【详解】（1）如图：
作 ， ，
在 和 中， ，
，
，
即
，
，
则 ，
所以 ， ，
所以
（2）由勾股定理得 ，
．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 为2米．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
【考点三 求小鸟飞行距离】例题：（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．
【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作 ，则四边形 是矩形，故可得
的长度，在 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
其中 米， 米， 米，
过点D作 ，则四边形 是矩形，
∴ 米， 米，
∴ 米，
在 中， 米，
答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行5米．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路
程是________．【答案】 / 米
【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过D点作 ，垂足为E，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴
∴ （负值舍去），
∴小鸟飞行的最短路程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2.（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是
4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟
至少要飞行多少米？
【答案】小鸟至少飞行了10米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，
过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在 中， （米），
答：小鸟至少飞行了10米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
【考点四 求大树折断前的高度】
例题：（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作
之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末
折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高 丈( 丈 尺)，中部有一处折断，竹梢触
地面处离竹根 尺，试问折断处离地面多高？
【答案】 尺
【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得： ，
解得： ，答：折断处离地面 尺高．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖
落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？
【答案】5米
【分析】设大树在离地 米处折断，则折断处离树尖的距离为 米，再根据勾股定理建立方程求解即
可．
【详解】解：设大树在离地 米处折断，
由勾股定理得： ，
解得 ．
答：大树在离地5米的位置折断．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．
2.（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部
着地且离旗杆底部的距离 ．
(1)求旗杆折断处 点距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的 处，形成一个直角 ，请求出 的长．
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】（1）由题意可知 米，根据勾股定理可得： ，又因为 米，所
以可求得 的长，
（3）先求出D点距地 米， 米，再根据勾股定理可以求得 米．
【详解】（1）解：由题意可知： 米，
∵ ，
∴ ，
又∵ 米，
∴ ，
∴ 米；
（2）解：∵D点距地面 米，
∴ 米，
∴ 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际
问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图
【考点五 解决水杯中筷子问题】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 ，高是 ，上底面
中心有一个小圆孔，则一条长 的直吸管露在罐外部分 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计）范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】如图，当吸管底部在 点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在 点时吸管在罐内部分最长，此
时利用勾股定理在 中求出 即可．
【详解】解：如图，
当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，
此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即 ，
，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，
吸管长度 ，
此时 ，
所以 ．
故选： ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）
生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈 尺）其大意为：
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根
芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
【答案】B【分析】设水深为h尺，则芦苇高为 尺，根据勾股定理列方程，求出h即可．
【详解】解: 设水深为h尺，则芦苇高为 尺，
由题意知芦苇距离水池一边的距离为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得 ，
即水深为12尺，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
2.（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高为
的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是 ，则h的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利
用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．
【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即 ，
h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，
由勾股定理得，杯子的斜边长度 ，即 ，
h的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．
【考点六 解决航海问题】
例题：（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 处测得小岛 位于北偏东方向上，继续向东航行 海里到达点 处，测得小岛 在轮船的北偏东 方向上，此时轮船与小岛 的
距离为____海里．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，根据题意，得 ， ，根据小岛 在轮船的北偏
东 方向上，则 ， ，根据等角对等边，勾股定理，即可得答案．
【详解】过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ （海里），
∴ （海里），
∵小岛 在轮船的北偏东 方向上，
∴ ，
∴ ，
∴ （海里），
∴ （海里），
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握解方位角问题，勾股定理的运用．
【变式训练】
1.（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，
乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西 方向航行，每小时30海里，乙船沿北
偏东 方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？【答案】两船相距100海里．
【分析】先证明 ，求解 ， ，再利用勾股定理作答即可．
【详解】解：∵甲船沿北偏西 方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东 方向航行，每小时40海里，
2小时后，两船分别到达A，B处，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴此时两船相距100海里．
【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，证明 ，熟记勾股定理的含义是解本
题的关键．
2.（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东 的方
向航行 到达B港口，然后再沿北偏西 方向航行 到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
【答案】(1)
(2)C港口在A港口的北偏东 的方向上
【分析】（1）由题意得 ，由勾股定理，从而得出 的长；
（2）由（1）可得 ，求出 即可．
【详解】（1）∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
根据勾股定理，知 ．
答：A、C两港之间的距离是 ；
（2）由（1）知， 是等腰直角三角形，且 ，
∴
∴ ,
∴C港口在A港口的北偏东 的方向上
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到 ．
【考点七 求台阶上地毯长度】
例题：（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米， 米，
米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65 B．85 C．90 D．150
【答案】B
【分析】勾股定理求出 ，平移的性质推出防滑毯的长为 ，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解： 由图可知： ，
∵ 米， 米，
∴ 米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度 （米），铅直的防滑毯的长度 （米），
∴至少需防滑毯的长为： （米），∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为： （平方米）．
故选： ．
【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．
【变式训练】
1.（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打
算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的性质求出 的长，再根据楼梯高为 ，楼梯的宽的和为 ，再把
的长相加即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得： ，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为： 米，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
2.（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长
13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要
_______________元．
【答案】1020
【分析】根据题意，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 与 的和，在 中，根
据勾股定理即可求得 的长，地毯的长与宽的积就是面积，继而求解即可．【详解】在 中，由勾股定理得 ，
由题意得，地毯的总长度为 ，
∴地毯的面积为 ，
∴地毯的总价为 元，
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
【考点八 判断汽车是否超速】
例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿
直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 ，小汽车到达B处，
此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)没有超速．
【分析】（1） 中，有斜边 的长，有直角边 的长，那么根据勾股定理即可求出 的长；
（2）根据小汽车用 行驶的路程为 ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】（1）解：在 中， ， ；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为 ；
∵ ；∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三
角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
【变式训练】
1.（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好
行驶到路面车速检测仪 A的正前方 处的C点，过了 后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之
间的距离为 ．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算 ， 段的速度，再与 比较即可．
【详解】（1）解：在 中，由 ， ，且 为斜边，
根据勾股定理可得 ．
即B，C间的距离为 ．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵ ，
而 ，
而 ，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解 是解本题的关键．
2.（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不
得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米 小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点 作 ，可得 米，设汽车经过6秒后到达点 ，连接 ，则有
米，利用勾股定理可求得 的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度 路程 时间，即可判断．
【详解】（1）解：过点 作 ，设汽车经过6秒后到达点 ，连接 ，如图所示：
由题意可得： 米， 米，
在 中，
（米 ，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）解：小汽车6秒中的平均速度为： （米 秒） （千米 小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
【考点九 判断是否受台风影响】例题：（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破
坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上
的两点A、B的距离分别为 ， ，又 ，经测量，距离台风中心 及
以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风影响，见解析
(2)8小时
【分析】（1）过C作 交 于点D，根据勾股定理计算出 ，即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出斜边为 的直角边即可得到答案；
【详解】（1）解：过C作 交 于点D，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，距离台风中心 及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（2）解：以C为圆心 为半径画圆交 于点E、F如图所示，可得台风在 范围内有影响，
根据勾股定理可得，
，∴ ，
∵台风的速度为 千米/小时，
∴ （小时），
∴台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点睛】本题考查勾股定理实际生活的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
【变式训练】
1.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有
一台风中心正以 的速度向 方向移动，已知城市A到 的距离 ，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须
在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为 ）最好选择什么方向？
【答案】(1)6小时
(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿 所在的方向．
【分析】（1）有勾股定理求出 ，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；
（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到
答案．
【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得 ，
（小时）；
答：台风中心经过6小时从B点移到D点；
（2）根据题意，得游人最好选择沿 所在的方向撤离．撤离的时间 （小时）．
又台风到点D的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿 所在的方向．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．2.（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C
为一所学校，且点C与直线 上两点A，B的距离分别为200m和150m， ，环卫车周围 以
内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【答案】(1)学校 会受噪声影响，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 的长，即可
得出结论；
（2）利用勾股定理得出 以及 的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：学校 会受噪声影响，理由如下：
如图，过点 作 于 ，
， ， ，
．
是直角三角形， ．
，
，
即 ，
，环卫车周围 以内为受噪声影响区域，
学校 会受噪声影响．
（2）解：如图，当 ， 时，正好影响 学校，
，
，
环卫车噪声影响该学校持续的时间有 ，
环卫车的行驶速度为： ，
答：环卫车的行驶速度为 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，
解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
【考点十 求最短路径】
例题：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建
梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高 是5米）
【答案】梯子最短要13米
【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出
结果．
【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接 ，如图所示：
根据两点之间线段最短，梯子最短是：
（米），
答：梯子最短是13米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
【变式训练】
1.（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体 中，点E是棱 的中点，已知
cm， cm， cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．
【答案】
【分析】将面 沿 展开，将面 沿 展开，将面 沿 展开，分别计算出 后
比较大小即可．
【详解】解：将面 沿 展开，如图所示：
∴
将面 沿 展开，如图所示：
∴
将面 沿 展开，如图所示：∴
∵
小虫爬行的最短距离为 ．
∴
【点睛】本题主要考查了根据两点间线段最短的理解和掌握，解题关键是分情况讨论，综合运用勾股定理
进行计算．
2.（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地
毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从正面看是一个
边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ．
(2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____．
(4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；
(2)两点之间线段最短；
(3)120cm，50cm；
(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 cm， cm．
故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt 中，
由勾股定理可得： cm，
故答案为：130cm．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
【考点十一 选址使到两地距离相等】
例题：（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中 所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处， 于点A， 于点B，已知
，问：图书室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距
离相等？
【答案】距A处 的地方
【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则 千米；由
勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则 千米；
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
答：图书室E应建在距A点10千米处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理建立方程是本题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上 、 两点相距 千米， 、 为两居民区，
于 ， 于 ，已知 千米， 千米，现要在公路 段上建一超市 ，使 、
两居民区到 的距离相等，则超市 应建在离 处多远处．
【答案】 千米
【分析】设 千米，则 千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个
三角形的斜边相等求出 的长即可．
【详解】设 千米，则 千米，
因为 ，
所以 ，
解得： 千米，
经检验 是原方程的解，
故超市应建在离 处 千米处．
【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键．2.（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的 所在的直线上建一
图书室，本社区有两所学校所在的位置在点 和点 处， 于 ， 于 ，已知，
， ， ，试问，图书室 应该建在距点 多少 知处．才能使它到两
所学校的距离相等？
【答案】图书室 应该建在距 点 处，才能使它到两所学校的距离相等
【分析】根据题意表示出 ， 的长，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】由题意可得：设 ，则 ．
， ， ，
，
，
解得： ．
答：图书室 应该建在距 点 处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出 是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处
米的C处折断倒下，树顶A落在离树根B处 米，则大树 的原长为（ ）米．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的根据勾股定理计算 的长是解题的关
键．
由题意知， 米， 米，在 中，已知， 、 的长度根据勾股定理可以计算 的长
度，大树 的原长为 ．
【详解】解： 大树未到下部分,地面,大树折断部分正好构成直角三角形, 3米， 4米，
米
大树 的原长为 (米)
故选：C
2．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为
海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东 和南偏西 方向上，则船R到岛P的距离为
（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．80海里
【答案】D
【分析】本题考查方向角、含 的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作 于点 ，构
造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作 于点 ，如图所示．，
，
，
，
，
，
．
设 ，则 ， ， ，
，
，
，解得 ，则 ．
故选：D．
3．（2023上·福建宁德·七年级校考期中）在一个长为 、宽为 、高为 的长方体上，居中截去
一个长为 、宽为 、深为 的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的
顶点 处，沿着几何体的表面到几何体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解
答本题的关键．
根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为 ，利用勾股定理求出 ，由此得到答案．
【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接 ，则蚂蚁需要爬行的最短路径为 的长，
根据题意得：
， ，
由勾股定理得： ，
，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为 ，
故选 ．
二、填空题
4．（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新
生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇
的长度为 尺．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用．根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即
可．
【详解】解：如图：设芦苇 长为 尺，则水深 为 尺．∵芦苇长在水池中央，
（尺）
根据勾股定理得： ，
则： ，
解得： ，
答：芦苇长 尺．
故答案为： ．
5．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，高为 ，
现有一根长为 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ．
【答案】
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，作直角三角形 ，再利用勾股定理即可解答．本
题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图所示， 是直角三角形，
∵底面半径为 ，高为 ，
， ，由勾股定理得： ，
∴吸管露在杯口外的长度最少为： ，
故答案为：5cm．
6．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛 长为
， 分别为左右门扇的底部门宽，且 ，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，
将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛 ，因门的遮挡，在门
槛上留下三线段 ，只有线段 晒到太阳，且 ，则此时C、D间的
距离为 cm．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段和勾股定理，熟练掌握比例的性质和勾股定理是关键．
作 于点E，根据 ， ，可得 ，
根据勾股定理得 ，所以 ．
【详解】解：如图，作 于点E，
，，
，
．
故答案为：
三、解答题
7．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的
点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧
面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁
厚度不计）
【答案】
【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最
短可知 的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作 关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，如图所示：
，， ，
在 中，由勾股定理得，
，
故蚂蚁从外壁 到内壁 处的最短距离为 ．
8．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼道
铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 与 的和，在直角 中，根据勾股定理
即可求得 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得 ，
则地毯总长为 ，
则地毯的总面积为 （平方米），
所以铺完这个楼道至少需要 （元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
9．（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，
某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 ，大巴车到达 处，此时测得大
巴车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？【答案】(1)
(2)超速了
【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
（2）本题用路程除以时间求出速度，再与限速进行比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意知， 是直角三角形， ， ，
( )，
即 长为 ．
（2）解：大巴车的速度为： （ ）， （ ），
，
这辆大巴车超速了．
10．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）一梯子 长 ，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到
墙的距离 长 ．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为 ，底端到垂直墙面的距离为 ，若 ，根据经验可知：当
时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端 下滑了 到 ，梯子底端 滑动到 处，
请问此时使用梯子是否安全．
【答案】(1)
(2)所以此时使用梯子不安全．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出 的长即可；（2）由题意得： ，再由勾股定理得 ，则 ，即可得出结论．
【详解】（1）根据勾股定理可得
答：梯子的顶端离地面 ．
（2）由题知
则
此时
因为
所以此时使用梯子不安全．
11．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)
(2)有危险，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据题意， ，结合 ，代入计算即可．
（2）根据 ， ，得到 ，求得 ，根据勾股定理求出 的长，比较后判断即可．
【详解】（1）根据题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故 的长度为3米．
（2）根据(1)得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
且 ，
∴ ，
故有危险．
12．（2023上·山东青岛·八年级校考期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略
是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距 ，C、D为两村庄， 于A，
于B，已知 ，现在要在公路 上建一个土特产品市场E，使得C、D两
村庄到市场E的距离相等．
(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时 的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
【答案】(1)20
(2)等腰直角【分析】本题考查了勾股定理的运用；
（1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得 ，根据勾股定理列方程计算即可；
（2）证明 即可判断 为等腰直角三角形．
【详解】（1）设 ，则 ，
∵ 于A， 于B，已知 ，
∴ ， ，
∵C、D两村庄到市场E的距离相等，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即
∴市场 应建在距 千米处；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
13．（2023上·陕西汉中·八年级校考阶段练习）如图，铁路 和铁路 在点 处交汇，某学校的位置位
于点 处，点 到铁路 的距离为120米，假设火车行驶时，周围200米以内会受到噪音影响．
(1)火车在铁路 上沿 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒，那么学校受到影响的时间是多久？
【答案】(1)学校会受到影响，理由见解析
(2)学校受到影响的时间是 秒
【分析】（1）过点A作 于点E，由点A到铁路 的距离为120米可知 ，再由火车
行驶时，周围200米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线 于 两点，连接 ，则 ，在
中利用勾股定理求出 的长，进而可得出 的长，根据火车的速度是50米/秒求出火车经过
是所用的时间即可．
【详解】（1）解：会受到影响，理由如下：
过点A作 于点E，
∵点A到铁路 的距离为120米，
∴ ，
∵周围200米以内会受到噪音影响， ，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，200米为半径画圆，交直线 于 两点，连接 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：学校受到影响的时间是 秒．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）（1）如图 ，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是 ；
（2）如图 ，小明家住 楼，一天他与爸爸去买了一根长 的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是 ，
， ，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？
【答案】（ ）20；（ ）能，理由见解析．
【分析】（ ）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即
可得到答案；
（ ）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可；
此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求
解．
【详解】解：（ ） 如图 ，展开后连接 ，则 就是在表面上 到 的最短距离，
在 中，由勾股定理得： ；
如图 ，展开后连接 ，则 就是在表面上 到 的最短距离，
在 中，由勾股定理得： ；如图 ，展开后连接 ，则 就是在表面上 到 的最短距离，
在 中，由勾股定理得： ，
∵ ，
∴蚂蚁爬行的最短路程是 ，
故答案为： ；
2）如图所示：
由勾股定理得： ，
∴ （米）＞ ，
∴钢管能放进电梯．
15．（2023上·重庆九龙坡·九年级校考阶段练习）我校为了留下校庆当天的珍贵影像，计划安排三架无人
机拍摄，在某区域上有 三个无人机起降点（三个起降点在同一水平面上），其中 在 的北偏东
方向上，与 的距离是400米， 在 的南偏东 方向上，与 的距离是300米．
(1)求点 与点 之间的距离；
(2)若在点 的正上方高度为240米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为250米，每隔1秒会发射
一次信号，此时在 点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点 飞行，已知无人机飞行的速度
为每秒7米．若计划无人机在飞往 处的过程中维持高度不变，飞行到点 的正上方后再降落，试求无人机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）
【答案】(1)点A与点 之间的距离为500米
(2)21次
【分析】（1）由题意易得 是直角，由勾股定理即可求得点A与点 之间的距离；
（2）①过 作 于 ，由面积关系可求得 的长，判断出 ，分别在 和 上找点
和点 使 ，分别求得 的长，可求得此时无人机飞过 时的时间，从而可求得最多
能收到的信号次数．
【详解】（1）解：依题意有： ， ， ，
∴
在 中，由勾股定理得： ，
∴ （米）
答：点A与点 之间的距离为500米
（2）解：如图所示，过 作 于 ，
∵
∴ （米）
∵∴分别在 和 上找点 和点 使 米
在 中，由勾股定理得： ，
∴ （米）
同理得： （米）
∴当无人机处在 段时能收到信号，由无人机的速度为
则无人机飞过此段的时间为： （秒）
∴无人机收到信号次数最多为： （次）
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，勾股定
理的应用是关键．
