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专题5.13 平行线及平行线的判定（题型分类拓展）
【题型目录】
【题型1】三角板中的平行线判定问题； 【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题；
【题型3】旋转中的平行线判定问题； 【题型4】平行线判定中的作图问题；
一、单选题
【题型1】三角板中的平行线判定问题
1．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行
线”法（图中三角形 是三角板），其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．（2022下·广东深圳·七年级校联考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；② ；③如果 ，则有 ；④ ．其中正确的序号是
（ ）
A．①②③④ B．①②④
C．①②③ D．①③④
3．（2019下·七年级单元测试）如图，一根直尺EF压在三角板 的角∠BAC上，欲使CB∥EF，则应
使∠ENB的度数为（ ）A． B． C． D．
【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题
4．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条 沿折痕 折叠， 时对应线段
与 相交于点 则下列条件中，不足以证明 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022下·河南信阳·七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画
这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从
图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④【题型3】旋转中的平行线判定问题
6．（2023·河南濮阳·统考一模）如图，直线a与直线c相交于点A， ， ，直线a绕点
A逆时针旋转，使 ，则直线a至少旋转（ ）
A． B． C． D．
7．（2021下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在 中， ， 边绕点 按逆时
针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当 （ ）时， ．
A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
8．（2018上·七年级课时练习）如图，∠A＝80°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠AOD＝
88°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转（ ）
A．8° B．10° C．12° D．18°
【题型4】平行线判定中的作图问题
9．（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，
是（ ）A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧
10．（2022下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根
据语句作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【题型1】三角板中的平行线判定问题
11．（2023下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，有一副三角板按如图放置，则下列结论正确的
是 （填序号）．
① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
12．（2021下·浙江宁波·七年级校考期中）如图把三角板的直角顶点放在直线 上，若 ，则当
度时， ．
13．（2018上·山东菏泽·七年级山东省郓城第一中学校考期末）如图，已知直线m∥n，直角三角板
ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题
14．（2020下·山东聊城·七年级统考期中）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：①如图①，展开后
测得∠1＝∠2；②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；③如图③，测得∠1＝∠2；④如图④，展开
后测得∠1＋∠2＝180°．其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是 ．（填序号）
15．（2023下·河北沧州·七年级统考期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画直线两条平行线．
小华的画法是：
①任意画直线a
②如图甲，将含 角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；③如图乙，
再次将含 角的三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则 ．
小华画图的依据是 ．
16．（2021下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，
若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；
②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有 ．（填序号）【题型3】旋转中的平行线判定问题
17．（2021下·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，
， ， ，且 ，则下列结论中：① ；②若 平
分 ，则有 ；③将三角形 绕点 旋转，使得点 落在线段 上，则此时 ；④
若 ，则 ．其中结论正确的选项有 ．（写出所有正确结论的序号）
18．（2019下·七年级课时练习）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为A，∠1＝70°.若
使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转 度．
19．（2019下·江苏南京·七年级校联考期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中
的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转180°，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好
与边DE平行．
【题型4】平行线判定中的作图问题
20．（2023下·广西百色·七年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一直尺和一三角板画平行线，下面是小雷同学的作法，如图所示．小雷作图后，老师点评说：“小雷的作法正确．”请回
答：小雷的作图依据是 ．
21．（2018·北京·八年级统考期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线
AB， 下面是小楠、小曼两位同学的作法：
老师说：“小楠、小曼的作法都正确 ”
请回答：小楠的作图依据是 ；
小曼的作图依据是 ．
三、解答题
【题型1】三角板中的平行线判定问题
22．（2021·浙江·九年级专题练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三
角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变）．
（1）当∠BAD＝ °，CD AB．
（2）当∠BAD＝ °，则三角板ACD有一条边与直角边OB平行．（写出所有可能情况）23．（2019下·江苏宿迁·七年级校考期中）有一副直角三角板按如图所示放置，点E、F分别在线段
AB和线段AC上，∠DEF=∠BAC=90°，∠D=45°，∠C=30°.
（1）若∠DEA=28°，求∠DFA的度数.
（2）当∠DFC等于多少度时，EF∥BC？说说你的理由.
【题型2】折叠与重合中的平行线判定问题
24．（2019上·北京西城·八年级统考期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中，
（1）第一步得到图②，方法是： 过点 P 折叠纸片，使得点 B 落在 BC 边上，落点记为 ，折痕分别交
原 AB ， BC 边于点 E ， D ，此时∠ 即∠ =__________°；
（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，
并求∠EPF的度数；
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明FG∥BC．
25．（2019下·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使
点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．【题型3】旋转中的平行线判定问题
26．（2017下·内蒙古乌海·七年级校考期末）将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，
∠A=60°，∠E=∠B=45°．
（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；
（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用
图中画出示意图并简要说明理由．
27．（2018下·七年级单元测试）如图，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转
n°（0＜n＜90）后与AB平行，则n的大小是多少？【题型4】平行线判定中的作图问题
28．（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）如图所示，已知点A、 、 是网格上的三个格点，
请仅用无刻度直尺作图：
（1）画射线 ，画线段 ；
（2）过点 作 的垂线段 ，垂足为 ；
（3）过点 画直线 ，使得 ．29．（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于 进行说
理” ．
已知： ， ， 是 的三个内角．对 进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程．
（1）证明：过点 作 ，
∵ ，∴ ，
______=______（______），
（______），
，
（2）听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内
角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图， ”进行说理．
请你帮助小亮完成作图并写出推理过程．参考答案：
1．C
【分析】根据 和 是三角板中的同一个角，得 ，根据平行线的判定，即可．
解：∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．
2．B
【分析】根据 ， ，即可得 ；根据角之间关系即可
得 ；根据角之间关系可得 ，无法判断BC与AD平行；由题意得
， ，得 ；综上，即可得．
解：∵ ， ，
∴ ，
故①正确；
∵
故②正确；
∵ ，
∴ ，，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵ ，
即 ，
又∵ ，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，
掌握这些知识点并认真计算．
3．C
【分析】根据平行线的判定方法即可解答.
解：解:因为三角板含有30°的角,所以∠B=60°,当∠ENB+∠B=180°时,根据“同旁内角互补,两直线平行”,
可使CB∥EF，此时∠ENB=180°-∠B=180°-60°= .
故选C.
【点拨】本题考查平行线的判定方法，解题关键是熟练掌握判定方法，根据题目要求选择简单方法.
4．D
【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．
解：A. ，
；
B．由翻折可知： ，
，
，
，故B选项不符合题意；
C．由翻折可知： ，
，，
，
，故C选项不符合题意；
，
，
，
不平行 ，故D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间
的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．
解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二
次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；
∵AB⊥m，CD⊥m，
∴∠1=∠2=∠3=∠4= 90°，
∵∠3=∠1，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；
∵∠4=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；
综上分析可知，正确的是①②，故C正确．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．
6．A
【分析】观察图中 是同位角，根据“同位角相等两直线平行”，故 变成 时即可使 ，
因此需要旋转 ．解：若使 ，
则需满足 （同位角相等，两直线平行）
即直线a绕点A逆时针旋转后，若 ， 至少旋转的度数为：
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分析得出∠1与∠2是同位角的关系．
7．C
【分析】结合旋转的过程可知，因为 位置的改变， 与∠ A可能构成内错角，也有可能构成
同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
解：如图（2） ，
当∠ACB'=42°时，
∵ ，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2） ，
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当 或 时，CB'∥AB．故选：C
【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位
置，进行分类讨论是解题的关键．
8．C
【分析】因为同旁内角互补,两直线平行,要使OD∥AC,则直线OD与AB所夹的
∠AOD'+∠A＝180°,因为∠A＝80°,所以∠AOD'＝100°,所以∠DOD'＝12°,即直线OD绕点O按逆时针方
向旋转12°.
解：要使OD∥AC,则直线OD与AB所夹的∠AOD'+∠A＝180°,
因为∠A＝80°,
所以∠AOD'＝100°,
因为∠AOD＝88°,
所以∠DOD'＝12°,即直线OD绕点O按逆时针方向旋转12°.
故选C.
【点拨】本题主要考查两直线平行的判定,解决本题的关键是要熟练掌握两直线平行判定的方法.
9．C
【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
解：由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
10．B
【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．
解：过AC的中点D作AB的平行线，
正确的图形是选项B，
故选：B．
【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．①②
【分析】根据三角板的度数及平行线的判定定理逐项判断即可．
解：①由图可知 ，因此 ，故①正确；
②若 ，则 ，
，因此 ，故②正确；
③若 ，则 ，
，因此不能得出 ，故③错误；
综上可知，正确的是①②．
故答案为：①②．
【点拨】本题考查三角板相关的角度计算，平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
12．
【分析】由直角三角板的性质可知 ，当 时， ，得出
即可．
解：当当 时， ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解题的关
键．
13．48°
【分析】过C作CD与m平行，由m与n平行得到CD与n平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，
再由∠ACB为直角，即可确定出∠α的度数．
解：过C作CD∥m，∵m∥n，
∴CD∥n，
∴∠ACD=42°，∠BCD=∠α，
∵AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
则∠α=90°﹣42°=48°．
故答案为48°
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
14．①②④
【分析】对于①，∠1与∠2是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可；
对于②，根据已知条件可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内
角互补，两直线平行”判断即可；
对于③，∠1＝∠2，其既不是同位角，也不是内错角，结合两直线平行的判定定理即可判断；
对于④，∠1与∠2是一组同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”判断即可．
解：对于①，因为∠1＝∠2，且∠1与∠2是一组内错角，所以a∥b；
对于②，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，故a∥b；
对于③，根据∠1＝∠2无法证得a∥b；
对于④，因为∠1＋∠2＝180°，且∠1与∠2是一组同旁内角，故a∥b．
故答案为：①②④
【点拨】本题考查了平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
15．内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据平行线的判定方法解答即可．
解：画图的依据是内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行．
【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的判定等知识，熟练掌握基本知识是解题关键，属于中
考常考题．16．①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．
故答案为：①④．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平
行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
17．②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相
等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；
④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，
故①不正确；②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，
故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，
故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，
故④正确，
故答案为：②③④．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌
握同角的余角相等及平行线的判定．
18．20
【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．
解：如图：
∵b⊥c，
∴∠2=90°，
∵∠1=70°，a∥b，
∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°-70°=20°．
故答案为20．
【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
19．21
【分析】根据题意结合BC与DE在A点同侧画出图形．利用平行线的性质得出即可．
解：如图1所示：当B′C′∥DE时，
由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°， 则∠FAD=75°， 故∠CAF=15°，
则∠BAF=105°， 故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为： （秒），
故答案为：21．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形是解题关键．
20．同位角相等，两直线平行
【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解．解：如图，
根据题意得： ，
∴ （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
21． 同位角相等，两直线平行 或垂直于同一直线的两条直线平行 内错角相等，两直线平
行
【分析】由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据．
解：∵∠B=∠D=90°，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）；
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行（或垂直于同一直线的两条直线平行）；内错角相等，两直线平
行．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的
性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．（1）150或30；（2）15或45或135或165
【分析】（1）分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数；
（2）分六种情况，根据三角板ACD有一条边与直角边OB平行，分别画出图形即可得到∠BAD的实
数．
解：（1）如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150或30；
（2）如图所示，当CD∥OB时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝∠B＝45°；
如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；如图所示，当CD∥BO时，∠BAD＝180°﹣60°+45°＝165°；
如图所示，当AD∥BO时，∠BAD＝45°+90°＝135°；
如图所示，当AC∥BO时，∠BAD＝45°．
综上所述，∠BAD的度数为15°或45°或135°或165°．故答案为：15或45或135或165．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关
系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
23．（1）∠DFA= 17°；（2）∠DFC=165°时EF∥BC.
【分析】（1）先求出∠AEF的度数，继而在 AEF中，求出∠AFE的度数，结合∠DFE=45°，即可求
得答案； △
（2）当∠DFC=165°时EF∥BC，理由如下：由平角义可求得∠DFA=15°，再由∠DFE=45°，可求得
∠AFE=30°，继而根据∠C=30°，可得∠AFE=∠C，根据同位角相等，两直线平行，即可求得EF//BC.
解：（1）∵∠DEF=90°，∠DEA=28°，
∴∠AEF=∠DEF-∠DEA=90°-28°=62°，
在 AEF中，∠A=90°，∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-62°=28°，
∵∠△DFE=45°，∴∠DFA=∠DFE-∠AFE=45°-28°=17°；
（2）当∠DFC=165°时EF∥BC，理由如下：
∵∠DFC=165°，
∴∠DFA=180°-∠DFC=15°，
∵∠DFE=45°，∴∠AFE=∠DFE-∠DFA=45°-15°=30°，
又∵∠C=30°，∴∠AFE=∠C，
∴EF//BC.
【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识以及三角板各
个角的度数是解题的关键.
24．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为 ，折痕交原AC边于点F；
（3）见分析
【分析】（1）根据折叠得到 ，利用邻补角的性质即可得结论；
（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步； （3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．
解：（1）因为：
所以：
故答案为 ．
（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为 ，折痕交原AC边于点F．
由折叠过程可知∠ =∠EPF=∠DPF，
∵ 三点共线，
∴∠ ＋∠DPF=180°，
∴∠ =90°，
∴∠EPF=90°．
（3）完成操作中的说理：
∵∠EDC=90°，∠EPF=90°，
∴∠EDC=∠EPF，
∴FG∥BC．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定和性质、邻补角的性质，解决本题的关键是理解操
作过程．
25．见分析.
【分析】由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．
解：∵将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，
∴∠AED＝∠CED，∠AED＋∠CED＝180°，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC.
【点拨】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
26．（1）证明见分析;（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由见分析;（3）当∠ACB=120°或60°时，
AD∥CB．理由理由见分析.
试题分析：（1）由∠ACD=∠BCE=90°，可得∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE，从而可得∠ACE=∠BCD；
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．由∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCD+∠ECD=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°可得
结论；
（3）如下图，因为∠A=60°，根据“同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行”可知，当∠ACB=120°，或∠ACB=60°时，AD∥BC.
解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB
∴∠ACB+∠ECD
=∠ACD+∠DCB+∠ECD
又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由如下：
①如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”：
当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，
此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．
②如图2，根据“内错角相等，两直线平行”：
当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．
综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.
点睛：在解第（3）小问时，利用手中的直角三角尺旋转演示一次，认真观察旋转过程，既能轻松找
到解题思路，又能把两种情况都考虑到，从而完整的给出解答.
27．30.
【分析】要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°，据此求解即可.
解：要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°.
∵未转动时∠DOC＝100°，
∴n°＝100°－70°＝30°，即n＝30.
【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键.
28．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】本题考查了射线、线段的作法，画平行线，掌握平行线画法是解题关键．
（1）根据射线及线段的定义作图即可；
（2）过点 作 的垂线 ，垂足为D即可；
（3）将C点向右移3个单位得到点E，作直线 即可；
（1）解：射线 ，线段 即为所求；
（2）解：垂线段 即为所求；
（3）解：直线 即为所求．
29．（1） ； ；两直线平行，内错角相等；平角定义；（2）见分析
【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可求解．
（2）作 ，交 于点 ，利用平行线的性质即可求解结论．
解：（1）过点 作 ，
∵ ，
∴ ， （两直线平行，内错角相等），
（平角定义），
，
故答案为： ； ；两直线平行，内错角相等；平角定义
（2）证明：作 ，交 于点 ，如图所示：
，
， ，，
，
即 ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
