文档内容
第1讲 四则运算一
内容概述
学习加减法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、加减相消、数的分拆与合并等等；掌握加
减法运算中添、去括号的法则，并借此简化运算。
典型问题
兴趣篇
1．计算：(1)15+21+25+19；
(2)70+63+81+37+30+19．
2．计算：(1)17+19+234+21+183+26；
(2)(1+11+21+31)+(9+19+29+39)．
3．计算：(1)35+121-35-21；
(2)152-19-13+19+223-32．
4．计算：(1)25-(25-14)-(14-7)；
(2)57-(50-28)+(44-28)-(57-26)．
5．计算：(1)199+99+9；
(2)9+98+397+247．
6．计算：(1)321-199；
(2)456-197-98．
7．请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：
(1)2580-2547；(2)1596-1296；(3)365+97；(4)365-97．
8．计算：(1)150-85-15；
(2)1450-375-203-625．
9. 计算：(1)38+83-55；
(2)(235+523+352)-(111+333+555)．
10．计算：(1)11-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1；
(2)100+102-104+106-108+110-112+114-116+118．
拓展篇
1．计算：(1)51+62+49+38；
(2)64+127+129+23+71+136．
2．计算：(1)2+13+224+3330+6670+676+87+8；
(2)73+119+231+69+381+17．
3．计算：(1)82-29-22+259；
(2)375-138+247-175+139-237．4．计算：(1)162-(162-135)-(35-19)；
(2)163-(50-18)-(153-76)+(124-18)．
5．计算：(1)999+599+199；
(2)3996+449+98+9．
6．计算：(1)1365-598；
(2)1206-199-297-398．
7．请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：
(1)93570-93534； (2)45235-38235；
(3)465+197； (4)465-197．
8．计算：(1)280-24-76-65-35；
(2)267-162+84-38-147+116．
9．计算：(1)267-136+36-167；
(2)325-251-34+151-66．
10．(1)在加法算式中，如果一个加数增加 10，另一个加数减少5，两数的和如何变化?
(2)在减法算式中，如果被减数增加15，差减少 8，那么减数应如何变化?
11．计算：(1)246+462+624-888；
(2)125-24+251-240+512-402．
12．计算：(1)21-20+19-18+17-16+15-14+13-12+11；
(2)12+23-34+45-56+67-78+89-78+67-56+45-34+23+12．
超越篇
1. 计算下面 4个算式：
1+2+1，
1+2+3+2+1,
1+2+3+4+3+2+1,
1+2+3+4+5+4+3+2+1．
观察这4个算式的结果，并找出规律，再用这个规律求出下面算式的结果：
1+2+3+4+„+19+20+19+„+4+3+2+1．
2. 计算：364-(476-187)+213-(324-236)-150．
3. 如图1-1，教室里有4 个书柜，每个书柜里都有4格书，图中标明了每格内书的册数. 一天，老师问小
悦和冬冬：“不许用加法计算，你们马上回答，这4个书柜里，哪一个书柜里的书多一些?”两个人看了看
书柜上标出的数，想了想齐声说：“4 个书柜里的书同样多!”老师高兴地说：“完全正确!”请你说一说他们
是怎样想的?4．计算：3355+4466+9977-3366-4477-9955．
5. 已知 1234+2345+3456+4567+5678-6543-5432-4321 的计算结果是984．请问：
1244+2355+3466+4577+5688-6513-5412-4311 的计算结果是多少?
6．如图 1-2，除第一行外，每个圆圈中的数都等于它上面两个圆圈中数的和，请计算最下面的圆圈中应填
的数．
7．如图 1-3，老师将 9个数写在一个九宫格里，让同学们选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小悦
选的 5 个数的和是 120，冬冬选的 5 个数的和是 111．如果两人选的数中只有一个是一样的，这个数是多
少?
8．计算：8457-(7630-4578)+(7845-3076)-(6307-5784)-763．第 2讲 基本应用题
培养应用题的审题能力与分析能力，涉及的类型包括只需逐次应用已知条件求解的问题，简单和差与倍数
关系的问题，归一问题等。初步掌握等量代换的思想，以及简单的设数法。
典型问题
兴趣篇
1. 班主任老师给同学们排座位，每排都恰好有3名男生和4名女生。如果女生一共有32 名，那么男生一
共有多少名？
2. 某班 30名学生外出郊游，集体午餐时，规定：每人一碗饭，每2 人一碗汤，每3 人一碗菜。这些学生
一共需要使用多少个碗？
3. 甲仓库有大米2000 千克，乙仓库有大米 1000 千克，如果以每天100 千克的速度将甲仓库的大米运到乙
仓库，那么多少天后甲仓库的大米和乙仓库的一样多？
4. 冬冬在看一本总页数为 150 页的书，在第二周结束时他发现自己还没有看的数正好等二他第一周看的页
数，已知冬冬在第二周看了24 页，他在第一周看了多少页？
5. 如果 1个桃子能换 4个苹果，2个苹果能换3个梨，那么2个桃子能换多少梨？
6. 如果买1 把尺子的钱恰好可以买1 块橡皮和 2支铅笔，买1支铅笔的钱恰好可以买2块橡皮，那么买4
把尺子的钱可以买几支铅笔？
7. 冬冬 4个小时完成了 24道题目，按照这样的速度，他7 个小时可以完成多少道题目？如果要完成96 道
题目需要多长时间？
8. 某部队的一个连有3个排，每个排有4 个班，每个班有5 个人。这个连一顿饭吃了120 个馒头，而且每
个人吃的馒头一样多。请问：每个班吃了几个馒头？每个人吃了几个馒头？
9. 3 只老鼠 5天偷吃了 30 个玉米，按照这样的速度，4 只老鼠7 天能偷吃多少个玉米？10 只老鼠要从事吃
80 个玉米，需要多少天？
10. 海洋馆里有 8只海象，总共运来170 千克鱼给它们吃，前两天这8只海象共吃了80千克鱼，两天后把
其中的2只海象运走。剩下的鱼还可以让余下的海象吃几天？
拓展篇
1. 刺猬和松鼠共采了88 个坚果。刺猬采了8天，每天能采 2个，松鼠采了 9天，松鼠每天能采几个？
2. 冬冬看一本漫画册，每天看同样多的页数，原计划5 天看完。现在他每天比原计划多看2页，结果提前
一天看完，这本漫画册共有多少页？
3. 甲、乙、丙、丁四个小学生站成一横排，他们手中共拿着35 枝花。已知站在甲右边的学生共拿着16 枝
花，站在丙右边的学生共拿着 4 枝花，站在丁右边的学生共拿着 25 枝花。请问：手中花最多的人拿着多
少枝花？
4. 有黑、白两种棋子共300枚，按每堆3 堆分成100 堆。其中只有 1枚白子的共27 堆，有2 枚或 3枚黑
子的共42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。在全部棋子中，白子共有多少枚？
5. 如果1只小狗的重量等于3只小猫的重量，1只小猫的重量等于2只鸭子的重量，那么24 只鸭子的重
量等于多少只小狗的重量？
6. 师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3 个零件与大徒弟组装2个零件所用的时间相同，而大徒弟组
装 3个零件与小徒弟组装1个零件所用的时间相同。请问：小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装几个零
件？
7. 冬冬和阿奇一起到文具店买东西，两人一共买了22 元钱。阿奇用他带的钱买了8 个作文本，冬冬用他
带的钱买了6个单线本，他们的钱都刚好花完。已知买1个作文本的钱恰好可以买2 个单线本，冬冬和阿奇分别带子多少钱？如果阿奇改买单线本，冬冬改买作文本，那么两从一共买到多少个本子？
8. 汽车厂8 名工人每天生产汽车零件48个。按照这样的速度，10名工人 3 天能生产多少个零件？如果要
用 5天的时间生产出300 个零件，需要多少名工人？
9. 若干盏相同的电灯点亮5小时要用40度电，如果把其中一半的电灯关掉，那么120 度电可以用多少小
时？
10. 一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40 天，轮船离港10 天后在公海上又救起
15 名遇难的外国海员。假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？
11. 3 只猴子 3天吃了 3 个桃子。按照这样的速度，6只猴子6天吃了几个桃子？9只猴子要吃 9个桃子，
需要多少天？
12. 9 个人 6 天可以完成 12件作品。按照这样的速度，3 个人3天可以完成多少件作品？21 个人 12 天可以
完成多少件作品？
超越篇
1. 甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排。已知丙在戊右边2米处，丁在甲右边3 米处，丙在丁右边6
米处，戊在乙左边3 米处。请问：最左边和最右边的同学相距多少米？
2. 某单位举办迎春茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出10 千克后，各箱所剩的苹果重量之和，
恰好等于原来3 箱苹果的重量，原来每箱苹果重多少千克？
3. 小悦、冬冬和阿奇三个吃饺子，冬冬吃了200 克，阿奇吃了 200克，小悦吃了 150 克，原来说好由每人
自己付钱，可是阿奇没带钱。结果付款时小悦付了12元钱，冬冬付了10 元钱。问：阿奇应该还给小悦多
少元钱？还给冬冬多少元钱？
4. 小强要清点盒子中的画片，他叫来小红帮忙，两人同时开始数。小强比小红动作快，小强数5张的时间
小红只数 3 张，但小强数到第 30 张时忘了数到几，只好把数过的画片全部放回盒中，再从头开始数，当
小强数到第120 张时，盒子里恰好剩下2 张画片。盒子里原来有多少张画片？
5. 老李准备去批发市场以 6 元 3 千克的价格买进一些柚子，然后以5 元 2 千克的价格买出。如果要获利
180 元，老李需要买进多少千克柚子？
6. 6 辆卡车运送4趟可以运走沙石32 吨。如果又开来12辆卡车，5趟可以运送沙石多少吨？如果有400
吨沙石需要 10趟送完，那么一共需要多少辆卡车？
7. 已知 3名模范职工和 6名普通职工 8小时可以生产零件420 个。现在有一批生产任务，需要6名模范职
工和12 名普通职工生产14小时才能完成。如果工作了4小时后，又来了4 名模范职工和8名普通职工，
可以提前几小时完成任务？
8. 阿凡提问卖水果的商人：“你卖的苹果和梨都是一样重吗？”商人说：“一个苹果和一个梨的重量不同，
但是每个苹果的重量都相同，每个梨的重量也相同。”阿凡提又问：“价格怎样？”商人想考考他，说道：
“一个苹果和一个梨价格相同，而且4千克苹果加上2 个梨的价钱与3千克梨加上4 个苹果的价钱相同，
2千克苹果加上2个梨的价钱与2 千克梨的价钱也相同。”请问：1千克梨有多少个? 1 千克苹果有多少个？第 3讲 和差倍问题一
内容概述
掌握基本和倍、差倍、和差问题的解法，进而学会处理简单的多个量之间的和差倍问题。重点学习如何利
用线段图表示数量关系。
典型问题
兴趣篇
1. 小悦和冬冬参加学校组织的植树活动。两人一共种了12 棵树，其中冬冬植树的棵数是小悦的2 倍。冬
冬一共种了几棵树？
2. 甲、乙两堆货物一共有160 件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多 40件。甲、乙两堆各有多少件货物？
3. 书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47 本，童话小说的数量比科幻小说数量的4 倍少3本。
书架上放着多少本科幻小说？
4. 小陈为找工作准备了中、英文两份简历。中文简历的字数是英文简历单词数的3倍，而且中文简历字数
比英文简历单词数多220。请问：中文简历的字数是多少？
5. 小悦和阿奇在操场上练习跑步，一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3倍还多 80 米。如果小悦比
阿奇少跑500 米，那么小悦和阿奇一共跑了多少米？
6. 原先《花城日报》和《鹏城晚报》有同样数目的版面。后来《花城日报》扩充版面，增加了 10 版，这
样《花城日服》的版面比《鹏城晚报》的4倍少2 版，两种报纸现在各有多少版？
7. 冬冬在玩具店看中了两件汽车模型，如果两件都买，一共需要400 元。已知这两件模型相差60 元，这
两件模型各要多少元钱？
8. 甲、乙两位火炬手负责把火炬从A地传递到B地。先由甲从A地出发，并在途中将火炬传递给乙；乙
接过火炬后继续慢跑前往 B地。已知 A、B两地相距2400 米，并且甲比乙多跑了600 米。请问：甲跑了
多少米？
9. 育才小学三年级有3个班，一共有学生 126 人。如果一班比二班多4 人，二班比三班多4人，那么这三
个班分别有多少人？
10. 三堆糖果共有105 颗，其中第一堆糖果的数量第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍
少 3颗，第三堆糖果有多少颗？
拓展篇
1. 纺织厂有职工480 人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各有几人？
2. 某交通协管员七月份开出 78 张罚单。这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯。违章停
车的罚单较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张，违章停车的罚单有多少张？
3. 果园中梨和苹果树共有67 棵，梨树比苹果树的2倍少 2 棵，苹果树有多少棵？
4. 动物园里有5 座猴山，其中3座住着金丝猴，2 座住着猕猴。这5 座猴山上猴子的数量分别为：10、15、
30、35、70。已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，问：哪两座山上住着猕猴？
5. 学校合唱团成员中，女生人数是男生的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少
人？
6. 有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机。家用相机价格较低，比专业相机便宜了
4600 元。买1台专业相同的钱足够买4台家用相机，而且还能剩下100 元。请问：专业相机的价格是多少
钱？
7. 甲、乙两筐苹果重量相等。现在从甲筐拿出 12 千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的 3
倍少2 千克。两筐苹果原来各有多少千克？
8. 亚洲杯决赛中，中国记者的人数是外国记者人数的3 倍。比赛结束后中国记者有180 人离场，外国记者
有 40人离场，剩下的中、外记者人数相等。原来中、外记者各有多少人？
9. 张先生投资股票，2006 年和 2007 年一共盈利 40 万元，其中 2006 年比2007 年少盈利 14万元。张先生
2007 年盈利多少万元？
10. 登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家 125 名。原来第一组人数较多，所以从第一组调了20 名到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多5 名。原来第一组有多少名专家？
11. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109 吨粮食。其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3 倍多1吨，而乙粮仓
的粮食总量则是丙粮仓的2倍。问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？
12. 两个自然数相除，商是 4，余数是 1。如果被余数、除数、商以及余数的和是 56，那么被除数等于多
少？
超越篇
1. 姐妹俩一起做数学、语文两科作业，姐姐花在数学作业上的时间比妹妹多 10 分钟；而妹妹花在语文作
业上的时间比姐姐多 4 分钟。已知姐姐一共花了 88 分钟做完作业，妹妹做数学作业的时间比语文作业少
12 分钟。请问：妹妹做语文作业花了多少分钟？
2. 有两个炮兵营参加军事演习，它们各准备了若干枚炮弹。开始一营比二营多准备了5枚炮弹。后来因为
演习需要，一营给了二营20 枚炮弹。这时二营炮弹数量就比一营的 3倍还多 3 枚。一营开始时准备了几
枚炮弹？
3. 游泳池里男生人的数比女生的 6倍少 11 人，比女生的4 倍多 13 人，那么男生有多少人？
4. 三国时期，魏国、蜀国、吴国三国交战。已知吴国军队比蜀国军队多 20 万人；矮国军队人数是吴国的
2倍，又是蜀国的3 倍。魏国军队有多少人？
5. 红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162 人，如果从甲班转出2 个人到乙班，则甲、乙两
班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？
6. 甲、乙两人一共带了80 元钱去商店买东西，甲用自己带的一半的钱买了一本漫画书，乙花了10 元钱买
了一盘磁带。这时甲剩下的钱恰好是乙剩下的3倍，那么乙带了多少元钱？
7. 在奥运会上有一个国家得的银牌数是铜牌数的2 倍。阿奇发现如果这个国家再得到1块金牌，那么金牌
数就是银牌数和铜牌数的和；如果有1块金牌变成银牌，那么金牌数和银牌数将一样多。请问：这个国家
一共得到多少块金牌？
8. 小云、小达、轩轩、阿奇四个小朋友去游乐园玩，一共花了154 元钱，有趣的是：小云花的钱数加上5
元等于小达花的钱数减去 7 元，等于轩轩花的钱数乘以 3，等于阿奇花的钱数除以 4，请问：小达花了多
少钱？第 4讲 枚举法一
内容概述
掌握枚举的一般方法，学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决
整数分拆的问题，学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。
典型问题
兴趣篇
1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图4-1所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。请你数一数，
纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）
2. 要沿着如图2-4所示的道路从A点走到 B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走
法？
3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺
序？
4. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选 2个去旅游，小王有多少种不同的选择方式？如果
小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？
5. 小烧饼每个5 角钱，大烧饼每个2 元钱，冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多
少种不同的买法？
6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了 10 道题，并且每人都有答对的题目。如果每道
题 1分，那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：
小悦的总分
冬冬的总分
7. 两个海盗分20 枚金币。请问：
（1）如果每个海盗最少分5 枚金币，一共有多少种不同的分法？
（2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
8. 有15 个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？
9. 张奶奶去超市买了12 盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2 个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能
装 10盒。张奶奶一共有几种不同的装法？
10. 小悦、冬冬、阿奇三个人一共有 7 本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外
书？请写出全部可能的情况。拓展篇
1. 如图 4-3，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？
2. 小悦把8 块绿豆糕摆成如图4-4所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬一共有多少
种不同的挑法？
3. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不
同的安排方法？
4. 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2 元。他今天一共卖出了5 个木偶。小李今天一共可
能卖了多少钱？
5. （1）老师给小悦14 个相同的练习本。如果小悦把这些本子全都分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？
（2）老师给小悦14 个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成2堆，又有多少种不同的分法？
6. 盘子里一共有20 颗花生，小悦和冬冬一起吃，每人一口吃2 颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃
一口），他们分别可能吃了多少颗花生？
7. 如图 4-5，有 7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？
（2）从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？
8. 小王有5 个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3 层的货架上，每层至少要放1 个。小王一共有多少
种不同的放法？过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个 3 层货架上，每层最少要放 5个，
这时有多少种不同的放法？
9. （1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10 个。现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种
不同的分法？
（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个。要把这两袋糖豆分成3 堆，每堆最少要有5 个，一共有多少种不
同的分法？
10. A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共有
多少种？
11. (1)有2 个相同的白球和1个红球。如果把这3 个小球排成一排，有多少种不同的排法？
（2）有2个相同的白球和3 个相同的红球，把这5个小球排成一排，有多少种不同的排法？
12. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？
如果已尼选出甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？超越篇
1. 小明参加了一次小测验，每个小题2分，每个大题5 分，两种题目各有3 道，小明的得分一共有多少种
不同的可能？
2. 几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。冬冬在门外问他们一共有几个人。其中一个小朋友说：“不能直接
告诉你人数，不过我们现在一共伸出来了22根手指，并且有3 个人出石头。”请问：屋子里可能有几个人
在玩游戏？（出石头的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5 根）
3. 一次小测验一共4 道题，最初每位同学都有4分的基础分，然后每答对一道题加3 分，每答错一道题加
1分，不答不扣分，同学们的得分可能是多少？
4. 现在有分、2 分、5分的硬币各 5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？
5. 如图 4-6，妈妈在 5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这 5个数字，让小明从里面挑出3张来组成一个
三位数，小明可能组成多少个不同的三位数？
6. 刘老师在一个星期中要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去，刘老师一共有多少
种满足条件的时间安排？
7. 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
8. 一座 99层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图4-7，由于屏幕受到损坏，显示左边数字的7
根线段中有1根不能亮了，显示右边数字的7 根线段中有3 根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最
多还有多少个楼层的显示是正确的？第 5讲 找规律
内容概述
通过观察已知项，找出所给数列、数表或图形的变化规律，并根据规律对其进行补填，解题中注意多重规
律的叠加。
典型问题
兴趣篇
1．找规律，填空：
(1)2，6，10，14，18，22，__________，__________，34；
(2)1，3，9，27，81，__________，729；
(3)l，l，2，3，5，8，13，21，__________，__________，89；
(4)1，4，9，16，25，__________，__________，64．
2．找规律，填空：
(1)97，88，79，70，6l；__________，__________，34；
(2) __________，__________，15，24，35，48，63，80，99；
(3) __________，__________，12，19，31，50，81，131，212．
3．找规律，填空：
(1)40，2，37，4，34，6，31，8，__________，__________，25，12；
(2)l，2，2，4，3，8，4，16，5，__________，__________，64，7．
4. 找规律，请在图5-1的空格中填入适当的数。
5. 图5-2的表格中的数有一定的规律，请你按照规律填出空格中的数。
6. 图5-3所示的两组图形中的数各自都有规律，请先把规律找出来，再填上空缺的数。
7. 观察图5-4中各组图形的规律，填出问号处的图形。8. 观察图5-5中四幅图的规律，把D处的图补充完整。
9. 图5-6原本是由9 个小人排列成的方阵，但有一个人没有到位，请你根据图形的规律，在标有问号的位
置画出你认为合适的小人。
10. 有一列数组，每组由三个数组成。它们依次是（1，3，6），（2，6，12），（3，9，18），„。请问：第
20 个数组内三个数的和是多少？
拓展篇
1．找规律，填空：
(1)8，15，22，29，36，________，________，57；
(2)1，2，4，8，________，32，64；
(3)3，4，6，9，13，18，________，3l；
(4)3，5，9，17，33，________，129．
2．找规律，填空：
(1) ________，________，76，70，64，58，52，46；
(2) ________，66，56，47，39，32，26，21；
(3)1，2，2，4，8，32，________；
(4)2，6，12，20，30，42，________，72，90．
3．找规律，填空：
(1)1，2，4，4，7，8，10，16，13，32，________，________，19，128；
(2)1，2，3，3，6，5，10，8，15，13，________，________，28，34．
4. 图5-7和图5-8中的数都是按某种规律排列的，请分别根据规律填上“？”处的数：
（1） （2）5. 观察图5-9中各组图形中数的规律，填出“？”处的数。
6. 如图 5-10，5 个方格表中的数有一定的规律，请按照规律填出第4个方格表中的数。
7. 观察图5-11中的规律，请按照这种规律，填出空格中的图形。
8. 观察图5-12中的图形，找出它们的规律，然后填出“？”处的图形。
9. 根据图5-13中的规律，填出图中第5列其余三个图形。
10. 图 5-14 中的前3 个图形都是由A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成。记为A*B，C*D。请你
画出B*C表示的图形。
11. 观察图 5-15 中的各图形与它下面的数之间的关系，写出“？”处的数。12. 下面是串按某种规律排列的自然数，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，„请问：其中第 101 个
数至第110 个数的和是多少？
超越篇
1. 找规律，填空：
（1）1，3，4，7，1，8，9，7， __________，3，9，2；
（2）1，2，6，24，120， __________，5040；
（3）2，3，10，15，26，35， __________，63，82，99。
2. 如图 5-16，请按照已有图形的规律画出下一个图形。
3. 请在图5-17中的横线上填入恰当的图形，使得整幅图的构成具有某种规律。
4. 观察图5-18每幅图中三个数的规律。请问：其中第几幅图的三个数之和为1234？
5. 图5-19中所填的数之间有着统一的规律，那么空白圆圈内应该填几？
6. 观察图5-20中各图形的规律，画出“？”处的图形。
7. 找规律，请在图5-21 的空格中填入适当的数。8. 下面这几个数列的规律很特别，你能填出其中的数吗？
（1）1，121，2，61，3，41，4，31，__________，__________，6，21；
（2）1，7，12，24，31，47，50，__________，73，85，90，96；
（3）3，6，21，42，84，69，291，483，__________，_________.第 6讲 简单加减法竖式
内容概述
补全加法和减法竖式中缺少的数字，基本方法为依据运算规则推理与枚举试算，重点掌握首末位分析和进
位借位分析的方法。
典型问题
兴趣篇
1. 在空格内填入适当的数字，使图6-1中的加法竖成立。
2. 在空格内填入适当的数字，使图6-2中的加法竖式成立。
3. 在图 6-3 和图 6-4 的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
4. 在图 6-5 的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。
5. 在图 6-6 的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。
6. 图6-7是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当的数字使竖式成立。7. 在图 6-8 所示的竖式里，四张小纸片各盖住了一个数字。被盖住的4 个数字的总和是多少？
8. 1942 年，哥伦布率领船队“发现”了新在陆。到达新大陆的当晚，他们举行了盛大的庆祝活动，在宴会
最热闹的时候，哥伦布举杯说道：“今年是1942 年，我们要永远记住这个数字。我现在给大家出一道和1942
有关的数学题，谁能答出来，他就会获得丰厚的奖赏。”哥伦布的问题是这样的：把图 6-9的竖式填写完整，
使得填入的数字之和最大。答对的船员会得到与这个最大值数量相同的金币，最后，一个聪明的船员拿到
了金币。请问：这个船得到了多少个金币？
9. 如图 6-10，□、○和△分别代表三个不同的数字，请找出它们分别代表的数字，把这个竖式补充完整。
10. 请将 1-5 这五个数字填入图6-11的空格中，把竖式补充完整。（每个数字只能用一次）
拓展篇
1. 图6-12是一个加法竖式，请在空格内填入适当的数字，使竖式成立。
2. 如图 6-13，如果在空格内填入合适的数字，可以使竖式成立，那么所有空格内填写的数字之和是多少？
3. 在图 6-14 和图 6-15的空格内填入适当的数字，使竖式分别成立。4. 在图 6-16 的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
5. 在图 6-17 和图 6-18的空格内填入适当的数字，使竖式分别成立。
6. 在图 6-19 的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
7. 在图 6-20 的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
8. 在图 6-21 的每个空格内填入 1、3、5、7、9 这五个数字中的一个，使其成为正确的加法竖式，那么所
填的各个数字之和是多少？
9. 在图 6-22 的空格内填入适当的数字，使得竖式成立，那么所有空格内数字的和最大是多少？
10. 如图 6-23所示，□、○和△分别表示不同的数字，请找出它们分别表示什么数字。11. 图 6-24 是一个加法竖式，其中△、□和◇分别代表三个不同的数字，那么△+□-◇等于多少？
12. 如图 6-25，用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式，现已
写出三个数字，那么这个算式的结果是多少？
超越篇
1. 在图 6-26 的两个加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请问：奥林
匹克运动会代表的七位是什么？
2. 在图 6-27 的每个空格内填入 2、3、4、5、6 这五个数字中的一个，使其成为正确的加法竖式，那么这
九个空格中的数字之和是多少？
3. 在图 6-28 中的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请求出每个汉字分
别表示什么数字。
4. 如图 6-29，用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已
写出三个数字，请将竖式补充完整。5. 在图 6-30 的空格内分别填入适当的数字，可以使竖式成立，所填的七个数字之和最大是多少？
6. 在图 6-31 的每个空格内填入 4、5、6、7、8、9 中的某个数字（可以重复使用），使得第一个加数的各
位数字互不相同，并且它的四个数字与第二个加数的四个数字相同，只是排列顺序不同。
7. 如图 6-32，竖式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且忐=上+心，忑=下+心，
请完成图中的算式。
8. 将0、2、4、6、8各三个填入图6-33的加法算式中，使算式成立，其中三个0已经填好。请问：算式
的结果最小是多少？最大是多少？第 7讲 周期问题
内容概述
各种涉及事物循环变化的周期问题，学会通过观察、试算发现周期规律，并由此进行计算，有时需灵活选
择周期起点，学会处理多重周期的问题，以及与星期有关的日期问题。
典型问题
兴趣篇
1. 如图 7-1，由一系列黑、白三角形按一定的规律排成一行。请问：第26个图形应该是什么样子？
2. 在学校运动会的开幕上，46 名同学组成仪仗队站成一排。如图7-2所示，每人手里都举着一面采旗，从
左到右颜色依次是红、黄、蓝、绿四种颜色依次循环。最右侧的同学手里的彩旗是什么颜色的？
3. 如图 7-3 所示，将自然数从1 开始顺次写在A、B、C、D、E这五个字母下面，问：208 会出现在哪个
字母下面？
4. 在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5 个黑珠，并按此方式重复，如果从头开始一共穿了77颗珠
子，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？
5. 如图 7-4，四只小动物不断交换座位，一开始，小鼠坐第1号椅子，小猴坐第2号椅子，小兔坐第3号
椅子，小猫坐第4号椅子。第一次前后两排交换，第二次在第一次交换的基础上左右两列交换，第三次又
是前后两排交换，第四次再左右两更交换„„这样一直换下去。第十次交换座位后，四只小动物分别坐在
第几号椅子上？
6. 将一些自然数排成一列，其中任意相邻的五个数之和都等于15。已知第一个数等于 1，第二个数等于 2，
第三个数等于3，第四个数等于4。 问：
（1）请写出这个数列的前十项；
（2）第一百个数等于多少？7. 100 位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报 1，然后从第二位同
学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位来。请问：第100 个同学报的是几？
8. （1）如图 7-5所示，甲、乙两只蚂蚁，分别沿正方形ABCD和AEFG按照顺时针的方向爬行。甲2分
钟能爬完正方形的一条边，乙1分钟能爬完正方形的一条边，现在两只蚂蚁在A点同时出发，那么50 分
钟后甲、乙分别在什么位置？
（2）如图7-5所示，如果蚂蚁甲从C点出发，沿着C→D→A→E→F→G→A→B→C的路线爬行，1分钟
能爬完正方形的一条边；蚂蚁乙从F 点出发，沿着 F→G→A→B→C→D→A→E→F 的路线爬行，2 分钟能
爬完正方形的一条边。它们同时出发，90 分钟后甲、乙分别在什么位置？
9. 一只蜗牛从深30 米的井底向上爬，第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再
向上爬6米；第四天又向下滑4米„„按这样的规律进行下去，蜗牛第几天才能爬到井口？
10. （1）今天是星期六，再过60 天是星期几？
（2）2008 年 6月1 日是星期日，2008 年8月1日是星期几？
（3）2008 年 2月8 日是星期五，2009 年2月8日是星期几？
拓展篇
1. 图7-6是一行按规律排列的图形，请问：第88个图形应该是什么？
2. 观察图7-7中黑、白两色三角形的变化规律，请问：前200 个图形中有多少个白色三角形？
3. 如图 7-8 所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4 个汉字不断重复，第二行
是“庞加莱猜想”5 个汉字不断重复，第三行则是“哥德巴赫猜想”6 个汉字不断重复。第 200 列从上到
下依次是哪3个汉字？
4. 阿奇和其他5 个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着55个乒乓球。从阿奇开始，小朋友们沿逆时针方向
依次拿球，每人每次拿 3 个，直到把乒乓球全部拿完为止（最后剩下的球不足 3 个就全拿）。阿奇总共拿了几个球？
5. 如图 7-9，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈
按顺时针方向跳了 100 步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时
针方向跳了200 步，落在另一个圆圈里。这两个圆圈里的数的乘积是多少？
6. （1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进50 吨，
第二天运出了60 吨，第三天又运进50 吨，第四天再运出60吨„„如此不停地运下去。第几天的时候，
仓库里的货物恰好被运完？
（2）工厂的仓库里有80 吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。第一天，卡车从仓库里运出60 吨，
第二天再运进50 吨，第三天又运出60 吨，第四天再运进50吨„„如此不停地运下去。第几天的时候，
仓库里的货物恰好被运完？
7. 如图 7-10 所示，16幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按规律画出第16 幅图的样子。
8. 甲、乙、丙、本兄弟四人各收藏一些宝石。每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石，分配的规则是：
拥有宝石最多的人分给其他三人每人1颗。如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人分别有10、
7、5、4 颗宝石，那么第100 天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？
9. 500 名士兵排成一排，第一次从左到右1至 3循环报数，第二次从左到右1至 4循环报数。请问：既报
过 1又报过4的士兵有多少名？
10. 如图 7-11， 伸出左手，估后从大拇指起开始数，当数到200 的时候，正好数到哪根手指？
11. 今天是 2008 年3月 16日星期日，阿奇研究日历时，发现再过1 天是 2008 年3月 17 日星期一，再过
2天则是2008年 3月 18 日星期二„„请问：（1）再过多少天才是2008 年儿童节呢？
（2）2008 年的儿童节是星期几？
12. 哥哥比妹妹大5 岁，而且两人生日相同。如果哥哥是1982年6 月17 日星期四出生的，那么妹妹是在
星期几出生的？妹妹出生后第一次在星期二过生日的时候是哪一年？
超越篇
1. 观察图7-12中图形的规律，第200 个图形应该是下面A、B、C、D四个图中的哪一个？
2. 如图 7-13 所示，7个小朋友围成一圈，沿顺时针方向依次编号为1-7。然后，按如下方法给他们发糖：
先给1 号小朋友1块糖；然后沿顺时针方向隔过一个人后，给3 号小朋友1 块糖；再沿顺时针方向隔过两
个人后，给6号小朋友 1 块糖；接着又沿顺时针方向隔过一个人后，给1号小朋友 1 块糖„„如此反复地
间隔一个人、两个人，直到1997 块糖全部分完，那么最先发到糖的那位小朋友一共得到了多少块糖？
3. 如图7-14 所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第 30 列交叉处的方格
所染的颜色是什么？
4. （1）某月有 31天，有 4个星期二和 4 个星期五，那么这个月的 20日是星期几？
（2）某月的星期二比星期一多，那么这个月的25 日是星期几？
5. 500 名士兵排成一排，第一次从左到扣1-5 循环报数，第二次从右到左1-4循环报数。请问：既报1又
报 5的士兵有多少名？
6. 有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1、2、3、4依次循环报数，然后从右到右由1开始按 1、2、
3依次循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1 又报了2。请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？7. 实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一年指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12 个格，
格线上依次标着0-11，指针一次跳过2个格（例如从 4 跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着
0至 6，指针一次跳过3 个格。开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1 次指向同一个标数，
那么当两个指针第30 次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
8. 如图 7-15，在 A、B两地之间有7个车站，一辆列车不停地往返于A、B两地之间，它从 A出发，每天
行驶到下一站，到达B地后的下一天又回到7 号站，如此反复，已知列车第4次驶入 4号站时是星期六，
那么它第20 次驶入5号站时是星期几？第 8讲 智巧趣题一
内容概述
使用火柴棒构造图形的问题；一笔画问题；不涉及专门的数学知识，只需要一些巧妙思路和简单计算即可
解决的问题。
典型问题
兴趣篇
1. 如图 8-1 所示，用 12 根火柴可以摆出3 个正方形。如果要用11根火柴刚好摆出3 个正方形，应该怎么
摆？用10根火柴呢？
2. 如图 8-2 所示，如果一根火柴长度为1，那么拼1个边长为1 的小等边三角形需要3根火柴，拼 2个边
长为1 的小等边三角形需要5 根火柴。你能用12根火柴拼出6 个边长为1的小等边三角形吗？
3. 如图8-3 所示，我们用 13 根火柴摆放成了一头向右前进的猪。请移动1根火柴，使得这头猪掉头向左
前进。
4. 在图 8-4 中，哪些图形可以一笔画出？
5. 如图 8-5 所示，两条河流的交汇处有两个小岛，有7 座桥连接这两个岛及河岸，一个散步者能不能一次
走遍这7遍这7 座桥，而且每座桥恰好经过1 次？6. 过节了，爸爸妈妈给小光和小强每人买了一盒相同数目的弹珠，打开后发现，小光的弹珠全是红的，而
小强的弹珠全是绿的。第一天玩弹珠时，小光输给小强 10 枚弹珠，第二天小光又同小强玩弹珠，结果小
光赢了10枚弹珠，这时，小光盒里的绿弹珠多，还是小强盒里的红弹珠多？
7. 如图 8-6，有 6个杯子放成一排，前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的，要使得盛水的杯子
和空杯子相互交叉排成一排，最少要动几个杯子？
8. 有一根粗细不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2 个小时，但由于绳子粗细不均匀，
所以不能确定燃烧到一半是在什么时候，但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？
9. 池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍，如果 10 天后，池塘里刚好
长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？
10. 一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水，要想恰好从河中打上6升的水带
回去，他应该怎么办？
拓展篇
1. （1）如图 8-7（a）所示，我们用8根火柴摆放成了一条向左游动的鱼，请移动3 根火柴，使得这条鱼
掉头向右游动；
（2）如图8-7（b）所示，我们用10 根火柴摆放成了一把椅子，请移动2根火柴，将这把椅子倒过来。
2. 如图 8-8，我们用 9根火柴棒摆成了3个三角形，最少需要移动几根火柴，才能使得它变成含有4个三
角形的图形？
3. 如图 8-9 所示，12 根火柴组成 1大 4小 5个正方形。
（1）请拿掉2根火柴，使得余下的火柴棍恰好构成2个正方形；
（2）请移动3根火柴，使得它变成3 个相同的正方形。4. 图 8-10 是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆，是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过
一次？
5. 图8-11中哪些图形可以一笔画出，哪些不能？不能一笔画出的图形最少需要画几笔？
6. 如图 8-12，现在有7个满杯的果汁、7 个半杯的果汁和7 个空杯，要想把它们平分给三个人，使得每人
都分到同样多的果汁和杯子，应该怎么分？
7. 足球队有 18 名队员，其中有10 人穿大号球衣，有8人穿小号球衣。小马虎将10 件大号球衣和8件小
号球衣领回来后，一人一件随便地发给了每个队员，结果有的大个队员领到了小号球衣，有的小个队员领
到了大号球衣。问：大个队员领到了小号球衣的人数与小个队员领到了大号球衣的人数哪个多？
8. 如图8-13 所示，桌子上有3张卡片，每张卡片上写着一个数字，请你用这3 张卡片组成一个三位数，
使得这个三位数除以9以后没有余数。9. 小吃店需要制作3 个煎饼，每制作一个煎饼必须把这个煎饼正反两面各煎3分钟，现在有2 个炉子，每
只炉子每次只能煎1 个煎饼的某一面，要想煎好所有的煎饼，最少需要花多长时间？
10. 商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50 元现金就可以得到一张20 元的购物券，每消费100 元
现金就能得到一张50 元的购物券。现在小明要买37件 10 元的商品，他该怎样去买才能让花出去的钱最
少？
11. 有大、中、小3 个瓶子，分别可以装水1000 克、700 克和300 克。现在大瓶中装满水，希望利用3个
瓶子相互间倒水，使得中瓶和小瓶上能够标出装100 克水的刻度线，但是水不能洒到地上，可以怎么办？
12. 如图 8-14，有一个院子里住着 A、B、C 三户人家，中间 B户人家想修一条专用路通向中间院门 F.A
户人家要修一条专用路边右边院门 G.C 户人家要修一条专用路到右边院门 E. 如果这三条专用路彼此不能
交叉，那么应该怎么修？
超越篇
1. 用 4 根火柴可以组成小杯子的形状，图 8-15 给出了两种不同的组成方式，而且两个杯子里各放了一颗
五角星。
（1）请移动图（a）中的两根火柴，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变；
（2）请移动图（b）中的两根火柴，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变。
2. 如图 8-16，现在用24 根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同
的正方形。3. 如图 8-17，黑板上画了 9个点，我们可以用 5条线段把它们串联起来，而且这5条线段是可以用一笔画
成的，实际上我们可以做得更好：用4条线段就能把这9个点串联起来，而且这4条线段仍然是用一笔画
成的。请大家找出这种画法。
4. 在国际象棋中，皇后可以沿横线、竖线、斜线吃子。如图 8-18，我们在棋盘上放置一个皇后（图中的五
角星），可以吃掉对应8 个方向的棋子，要想在一个4×4的棋盘中放下4个皇后，同时它们相互之间不能
吃子，可以怎么放？
5. 3 个朋友去旅馆住宿，每人交了10 元押金，第二天老板发现他们一共消费了25 元，于是从押金中扣除
后，让服务员将剩余的5 元送到客房。服务员在路上想：反正客人也不知道他们花了多少钱，5元钱3 个
人也没法分，不如我藏起2元钱算了。于是他就找给了客人3元，相当于每人找了1块钱。请大家想一想：
3个人每人交了10元，又找回了 1元，相当于花了9元，3个人一共花了27 元，如果加上服务员藏的2
元一共是29 元，可一开始三个人总共交了30 元，这之间相差了1元，那这1元钱哪儿去了呢？
6. 玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色。厂
里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟。现在有8个积木要加工，那
么用这种机器啊少需要多少分钟才能完成？
7. 哈利波特的魔杖被敌人藏在了魔法迷宫中。如果8-19，迷宫共有25个房间，分别标有号码，魔杖就在
13 号房间中。在这座迷宫中有如下的机关：每次走进一个房间，就会立刻被转移到标有相同号码的那个房
间，然后再走进相邻的一个房间（有公共边的房间是相邻的），立刻又会被转移，如此继续。如果哈利波
特先走入了 1 号房间，并要走进最中间的 13 号房间，请你写出转移次数最少的路线上依次经过的房间号
（相同的房间号只写一个即可）。如果偶数号房间是陷阱，哈利波特要不重复的经过所有的奇数号房间，
最终到达13 号房间，有多少种不同的可能路线？
8. 如图8-20 所示，水面上有7块石头，除了中间的1 块空石头外，左侧蹲着3 只青蛙，只能往右跳；右
侧蹲着3只青蛙，只能往左跳，跳跃的规则是：必须按照特定的方向，跳到与之相邻的空石头上，或者越过相邻的1 只青蛙跳到紧挨着的空石头上。请设计一个合理的跳跃顺序，使得右侧的三只青蛙都跳到最左
侧的三块石头上，左侧的三只青蛙都跳到最右侧的三块石头上。（注：每次只能有 1 只青蛙跳跃，每块石
头上最多只能有1只青蛙）第 9讲 四则运算二
内容概述
学习乘除法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、乘除相消、数的分解等等；掌握一些特殊
数的计算规律，并利用这些规律简化计算；掌握乘除法运算中添、去括号的法则；学会正确使用分配律。
典型问题
兴趣篇
1．口算：2×7×5；4×17÷4．
2．口算：4×3×25；8×125．
3．口算：12×25；125×16．
4．口算：24×5；5×38．
5．计算：(1)25×25；65×65；
(2)13×17；32×38．
6．计算：(1)(96÷8) ×(8÷4) ×(4÷1)；
(2)(6× 21)÷(2l÷7)÷(7÷1)．
7．计算：(1)4×16×25×3；
(2)35×12÷7÷4．
8．先把下面算式中的括号去掉，再计算：
(20+3)×5；4×(25-1)；5×(20-4+1)．
9．计算：23×101； 34×102； 13×99．
10．计算：(27×23+9) ×99+70．
拓展篇
1．计算：2×13×5； 51÷17×17÷51； 12×7÷3÷7．
2．计算：25×13×4； 3×125×7×8； 25×2×3×4×5．
3. 计算：(1)25×28； 125×24；
(2)300÷25；8000÷125．
4．计算：(1)36×5； 5×122；
(2)8×15； 15×222．
5. 计算：(1)45×45； 95×95；
(2)23×27； 41×49．
6．计算：(1)(126÷9)×(9÷3)÷(6÷3)；
(2)512÷(512÷16×8)．
7．计算：(1)23×70×22÷11÷7；
(2)300×13÷4÷25．
8．计算：168×25÷14×7÷5．
9．先把下面算式中的括号去掉，再计算：
(20+3)×25；8×(125-7)；4×(90+4-25)．
10．计算：(48+66)÷6；(126-48)÷6；48÷(8+16)．
11．计算：48×102；37×99；1016÷8．
12．计算：29×(1008÷8-49 X 18÷7÷6)+40×8．
超越篇
1．计算：(1)5÷(7÷11)÷(11÷15)÷(15÷21)；
(2)(26÷25)×(27÷17)×(25÷9)×(17÷39)．
2．计算：11×10×9× 8×7×6×5×4×3×2×1÷(22×24×25×27)．
3．请问：6×16×24 ×5×15×25×125 结果的末尾有多少个连续的零?4．计算：85×85-84×86+83×87-82×88+81×89—80~90．
5．计算：62×102+52×101-48×99-38×98．
6. （1）已知 123456789×9=111111111，请问：123456789×45 的结果是多少？
（2）已知7×11×13=1001，请问：14×33×39 的结果是多少？
7. 9 张扑克牌，点数分别为1、1、1、2、2、3、4、5、10。阿奇从中取了5张，发现乘积是 80。冬冬也
从中取了5 张，发现乘积是120。如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点是多少？
8. 阿奇和几个好朋友去老师家玩，吃午饭时，老师想考考大家的计算能力，于是提出了一个问题：“从31、
33、35、37、39 这5 个数中选4 个，并计算它们的乘积，谁算得最快谁就得到一份神秘的礼物。”其他小
朋友马上找出纸笔开始演算，而阿奇眼珠一转，稍作思考就说出了一个正确答案。如果你也参与这个游戏
中，你会选择哪4个数，最后算出的乘积是多少？第 10讲 和差倍问题二
内容概述
学会分析较为隐藏的和差倍关系，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法。处理多
个对象的和差倍问题时，注意选取合适的“1”倍量。
典型问题
兴趣篇
1. 甲班和乙班一共有60 人，如果从甲班调6 个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2 倍。求甲、
乙两班原来的人数。
2. 甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的练习题，实际上甲每周多做了 18 道题，而乙偷懒每周少做了
14 道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的做题量。请问：他们原计划每周做几道题？
3. 一辆公共汽车出发时有48 人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8人。 到达第二站
时，又有人下车，这次下画的比留下的少 8人。请问：最后有几个人留在了车上？（注：每个车站都无人
上车）
4. 刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业，寒假快结束的时候，冬冬已经做完 48 道，阿奇则做
完 40道。如果阿奇未做的题数是冬冬的3 倍，那么老师一共布置了多少道题？
5. 甲房地产公司有资金100 亿元，乙房地产公司有资金40 亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多
的资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的5倍。请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？
6. 甲、乙两人一起参加吃汉堡包大赛，在 30 分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数是乙的一半，而乙吃的汉
堡包比甲的5倍少 12 个。请问：甲、乙两人一共吃了几个汉堡包？
7. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？
8. 费叔叔买来三箱水果，总重 100 千克，其中前两箱重量相差 11 千克，且前两箱的总重量是第三箱的 3
倍。请问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？
9. 甲、乙、丙三个物体的总重量是93 千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克，乙物体比丙
物体重量的2倍还重2千克。那么甲、乙、丙各重多少千克？
10. 某驻军有三个坦克连，共有115 辆坦克，一连坦克数量比二连的2倍多 2辆，而二连的坦克数量比三
连的3 倍多1辆。请问：一连比三连多几辆坦克？
拓展篇
1. 小悦和冬冬一起去书店买书，一共买了15本数学书和 22 本语文书，其中小悦买的数学书是冬冬的4 倍，
冬冬买的语文书比小悦的3倍多2本。请问：冬冬买的书比小悦多多少本？2. 小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子，一开始小悦有18 枚棋子，冬冬则2 枚。玩
了若干局之后，小悦反而比冬冬多了10枚棋子。请问：此时小悦有多少枚棋子？
3. 甲水库有 43 亿立方米水，乙水库有37 亿立方米水。请问：需要从甲水库调多少亿立方米水到乙水库，
才能使乙水库的水比甲水库多两倍？
4. 阿奇家有两根绳子，长的那根有163 米，短的只有97米。他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳
所剩长度比短绳所剩长度的7 倍还多6米。那么两根绳子都剪去了多少米？
5. 用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6 杯水，连瓶共重680 克，如果倒进 9杯水，连瓶共重 920 克。求
空瓶的重量。
6. 有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1 小时后细蜡烛缩短了 15 厘米，而粗蜡烛只缩
短了3 厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？
7. 拍卖行卖出了两件艺术品，第一件拍卖价格比第二件的3 倍多3万元，而第二件的价钱比第一件的3倍
少 73万元。请问：这两件艺术品一共卖了多少万元？
8. 小华有数学书、语文书和英语书一共70 本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的4 倍，数学书
和英语书数量之和比语文书的3倍少2本。那么小华有几本数学书？
9. 四个人的年龄之和等于77，其中年龄最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比另外两人的年龄
之和大7岁，那么年龄最大的人是多少岁？
10. 一堆苹果分给甲、乙、丙三人，三人分得的数量一样多。后来，甲给了乙2 个，乙给了丙6个，丙又
给了甲8个，此时甲的苹果数恰好是丙的2倍。那么此时乙有多少个苹果？
11. “超级女生”比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南三个赛区，总的报名数为 600 人。其中湖南的
报名人数比上海的2 倍少 80 人，而上海的报名人数比北京的3倍多 20人。问：三个赛区各有多少人报名？
12. 小明、小红、小玲共有73 块糖。如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明
2块，那么小明的糖就是小红的糖的2 倍。问：小红有多少块糖？
超越篇
1. 公园里柳树和杨树共43棵，松树和柏树共 42棵，并且杨树比松树多2棵，比柳树少7 棵。那么公园里
有柏树多少棵？2. 超市运来的西瓜个数哈蜜瓜个数的4倍，如果每天卖掉120 个西瓜和40 个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后
还剩下600 个西瓜。请问：超市运来西瓜、哈蜜瓜各有多少个？
3. 黑、白棋子总共 62，把它们分成3 堆：在第一堆中，黑子数量正好是白子的 2 倍；第二堆中，黑子数
量则是白子的3 倍；在第三堆中，黑子数量是白子的4 倍。如果第二堆白子是第一堆白子的2 倍，第三堆
黑子是第二堆总数的2倍。那么第三堆有几个白子，几个黑子？
4. 有50 名学生参加联欢会，第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1 个男生没握
过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，依次类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。问：
这些学生中有多少名男生？
5. 小悦、冬冬和阿奇三个人各有一些钱，其中小悦的钱数是冬冬的两倍，小悦和冬冬的钱数总是阿奇的６
倍。老师给小悦一些钱，现在小悦一共有 56 元，然后小悦把老师给他的钱全部分给了冬冬和阿奇，这是
冬冬有36元，阿奇有16 元，那么老师一共给了小悦多少元钱？
6. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取8 个给乙堆后，甲、乙两堆石子个数就相等了；此时再从乙堆中取
6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就相等了；接着再从丙堆中取2个给甲堆，这样甲堆石子正好是丙堆的
2倍。问：原来甲堆有多少个石子？
7. 超市同时运进甲、乙两个品种的苹果，甲比乙的总重量少210 千克。一开始卖这两种苹果，甲种苹果很
受欢迎，每天卖出的重量是乙的 2 倍多 30 千克。一星期后，超市决定对乙种苹果进行降价促销，结果乙
种苹果的销量变为原来的4倍，甲的销量不变，这样又过了两周后两种苹果全部售完。请问：甲、乙两种
苹果原来共有多少千克？
8. 一条鱼分为鱼头、鱼身、鱼尾三段。如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重量，鱼
身重量等于鱼头加鱼尾的重量。请问：这条鱼有多重？第 11讲 鸡兔同笼问题一
内容概述
学会求解已知“头数和与腿数和”的典型鸡兔同笼问题，以及与其结构相同的问题。熟练掌握假设法，并
理解逐步调整的思想，初步了解其他类型的鸡兔同笼问题，例如已知“头数差与腿和和”，或者已知“头
数的倍数关系与腿数和”的问题，并学会分组的方法。
典型问题
兴趣篇
1. 一只鸡有 1个头 2 条腿，一只兔子有1 个头 4条腿，如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，你
知道鸡和兔子各有几只吗？
2. 停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，其中每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3条轮子，所有
自行车和三轮车一共有56 个轮子。请问：有多少辆自行车？有多少辆三轮车？
3. 晨星小学有30 间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4 人。如果这些宿舍一共可以住168 人，
那么有几间大宿舍？
4. 理想小学 150 名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男老师人一组，又教师3 人一组，结
果共分了62 组，恰好分完。请问：女教师有多少人，男教师有多少人？
5. 阿奇的存钱罐里有5角和 1元的硬币共 25枚，总钱数为 19 元。这两种硬币各有多少枚？
6. 张老师给幼儿园两个班的孩子分水果，大班每人分2 个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和 3个
桔子，张老师一共分出了80 个苹果和158 个桔子。请问：小班有多少个孩子？
7. 鸡兔同笼，鸡和兔的数量一样多，共有48条腿，求鸡和兔各有几只。
8. 动物园里，鸵鸟和斑马生活在同一片草地上，斑马的数量是鸵鸟的3 倍，斑马和鸵鸟一共有140 条腿，
求斑马和鸵鸟各有几只。
9. 阿奇去参加奥运知识竞赛抢答，按规定每答对一题得5分，答错一题倒扣1分。阿奇抢答10道题后，
共得到26分。请问：阿奇答对了几道题？
10. 货运公司运送50 箱玻璃仪器，合同规定每箱运费20元，但如果有捐坏，被损坏的那一箱不仅不给运
费，还要赔偿60 元，货运公司最后只得到了760 元，请求出损坏了多少箱？
拓展篇
1. 中国古代的数学著作《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句的意思就是：有一些鸡和兔子在同一个笼子里，从上面看有 35 个头；从
下面看有94 条腿。请求出笼中的鸡和兔子各有几只。
2. 同学们去游乐场游玩，老师用500元钱买了套票和普通票两种门票，普通票10 元一张，套票 20 元一张，
共买了35张，请问：两种门票各买了多少张？
3. 班主任黄老师和班上的50 名同学在中秋晚会上一起吃月饼，黄老师吃了5块月饼，男生每人吃4块，
女生每人吃2块，最后一共吃了135块月饼，求有几名男生，有几名女生。
4. 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12 个，它一连几天一共采了112 个松籽，平
均每天采14 个。请问：这些天里有几天是雨天？
5. 猪八戒曾卖过一段时间的牛肉和羊肉，牛肉3文钱一斤，羊肉5文钱一斤。有一天，一个人来他的肉铺
买肉，牛肉和羊肉一共买了28 斤。结账时，猪八戒错误地把牛肉算成 5 文钱一斤，把羊肉算成 3 文钱一
斤了，结果那人一共付了100 文钱。请问：与实际的价钱相比，猪八戒是亏了还是赚了？如果赚了，赚多
少？如果亏了，亏多少？
6. 甲、乙两个班去不同的地方春游，甲班每个人需要交10 元钱和15 元门票钱，乙班每个人需要交10 元
车钱和20元门票钱，结果两个班共收了520 元车钱和940 元门票钱。求甲、乙两个班分别有多少人？
7. 一张试卷共有20 道题目，每人都有 20 分的初始分，每答对一题得4 分，第答错一题倒扣1 分，阿奇答
了全部的题目，却还是20 分。请问：他一共答对了几道？
8. 在某电视机厂质量检测评比中，每生产出一台合格电视机记5分，每生产出一台不合格电视机扣10 分，
第一小组每天生产电视机100 台，四天内共得了1850 分，请问：这四天一共生产了多少台合格电视机？
9. 鸡兔同笼，鸡比兔子多4只，兔子和鸡的腿数总和为32，鸡和兔子各有几只？
10. 鸡兔同笼，兔子比鸡多10 只，兔子和鸡的腿数总和为100，鸡和兔子各有几只？
11. 鸡兔同笼，鸡的数量是兔子的3倍，兔子和鸡的腿数总和为110，鸡和兔子各有几只？
12. 河边有一群狗追一群鸭子，鸭子的只数是狗的4倍，鸭子的总腿数比狗的总腿数多20，狗和鸭子各有
多少只？
超越篇
1. 幼儿园里，老师给大班和小班的同学发桔子，大班每人发5个，小班每人发3 个。已知小班比大班多7
人，老师总共发了101 个桔子，求大班和小班的人数。
2. 在手工课上，同学们剪出了一些三角形、四边形和五边形的纸片，所有纸片总共有394 条边，其中五边
形有2 个，四边形比三角形多82 个。请问：四边形有多少个？
3. 超市里，水果糖每千克卖20元，奶糖每千克卖 25元，巧克力糖每千克卖30 元。某天上午，这三种糖
一共卖了20 千克，总收入是480 元。已知奶糖和巧克力糖总共卖了300 元，请问：其中卖出奶糖多少千
克？4. 蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物一共有21 只，蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6 条腿和2 对翅膀，蝉有6
条腿和1对翅膀。三种动物一共有140 条腿，23对翅膀。请问：三种动物各有多少只？
5. 某杂志每期定价5 元，全年共出12 期。某班一些学生订半年，其余学生订全年，共需订费900 元；如
果订半年的改订全年，而订全年的改订半年，那么共需订费990 元。问：这个班共有多少名学生？
6. 中秋节前夕，公司给员工发购物券。市场部每人得到3张月饼券和2张水果券，技术部每人得到2张月
饼券和3张水果券。已知共发110 张月饼券和 90张水果券，问：市场部和技术部各有多少人？
7.商店国庆节促销，汽水的价格由每3 瓶3元改为每4 瓶3 元，而酸奶则是买1瓶送 1 瓶，冬冬花 2按照
优惠介购买汽水和酸奶若干瓶，其中汽水瓶数比酸奶瓶数的3倍少 2，冬冬发现这比平时便宜了14 元。求
每瓶酸奶的正常价格。
8. 有鸡和兔子若干只，它们的总腿数比总头的3倍多 8，而鸡的只数的5倍比兔的只数的4倍少 19。问：
鸡和兔子一共有多少只？第 12讲 枚举法二
内容概述
巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法。
典型问题
兴趣篇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
2. 汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8 颗蛀牙，他们三人可
能分别有几颗蛀牙？
3. 老师让小明写出3 个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不算同一种写法，例如1+2+6、
2+1+6 还有 6+1+2 都算是同一种写法。请问：小明共有多少种不同的写法？
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这 12只蚂蚁恰好凑
成了3 堆，每堆至少有2 只。请问：这3 堆蚂蚁可能各有几只？
5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3 中的某一个，并且相邻的两个数字相同，一共有多少个满足
条件的三位数？
6. 如图12-1，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍 4个顶点再
回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
7. 5 块六边形的地毯拼成了图12-2中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1 号地毯上，他想
要走到5号地毯上，如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），
并且只能向右边走，例如1→2→3→5 就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
8. 在图 12-3 中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
9. 如果只能用1 元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种不同的付款办法？
（不考虑找钱的情况）
10. 有一类小于 1000 的自然数，每个数由若干个1 和若干个2组成，并且在每个数中，1 的个数比 2的个
数多，这样的数一共有多少个？拓展篇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件
宝物？
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根
多。请问：每个人可能吃了几根薯条？
3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是 8。如果两个同学写出的的3 个自然数相
同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
4. 费叔叔准备去打羽毛球，他拿了3 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球，他数了一下，发
现 3个球桶里面一共有16 个羽毛球。请问：3 个球桶里面有可能分别有几个羽毛球？
5. 商店里有 12 种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，„„，11，12 元。小悦准备买3支不同价格的
签字笔，并且希望恰好花掉15 元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？
6. 费叔叔提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位
数比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。请问：费叔叔最多只需要试多少次就
肯定能打开这个公文包？
7. 常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进
程有多少种可能？
8. 从图 12-4 的左下角的A点走到右上角的B点，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走
法？如果要求只要不走重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？
9. 妈妈买来了7 个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3。小悦可以用这些木板拼出多少个不贩数？
11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个，冬冬想要挑 3 个
水果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？
12. (1)如图 12-5（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上
每一小段的长度都是1厘米。试问：小蚂蚁爬了2 厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出
来。
（2）如图 12-5（b），方格纸上每一小段的长度也是 1 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 3
厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？超越篇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到 10 个，且两种福娃的个数不一样多，请问：两种福娃的个数
可能有多少种不同的情况？
2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边长是8厘米，这样的三角形共有多少种？
3. 有19 本书，分成 5份，如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
4. 在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队，比赛采用7 场 4胜制，每胜一场会获得1 分的积
分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4：2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。
问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
5. 甲、乙、丙三个人传球，第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙„„经过4 次传球后，球正好回到甲
手中，那么一共有多少种不同的传球方式？
6. 如图12-6，现在要从图中的A点走到 B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的
走法？
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图12-7 所示。一段时间后，他们觉得每天坐
同样的位置太无聊，每人都想要换到与原来的座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、已六位同学的座位如图12-8所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到
与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？8. 如图 12-9，一只蚂蚁从 A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少
种不同的走法？第 13讲 等差数列
内容概述
掌握等差数列中的首项、末项、项数、公差等基本概念及其相互关系；理解等差数列中的各种计算公式，
并能熟练运用公式解决与等差数列相关的各种问题。
典型问题
兴趣篇
1. (1) 2, 5, 8, 11, 14, „。
上面是按规律排列的一串数，其中第21项是多少？
（2）把比100 大的奇数从小到大排成一列，其中第21 个是多少？
2. 如图 13-1，有一堆按规律摆放的砖。从上往下数，第1 层有1块砖，第 2 层有 5块砖，第 3 层有 9块砖„„
按照这样的规律，第19 层有多少块砖？
3. 已知一个等差数列第9项等于 131，第 10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19 项是多少？
4. 冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数
31 和第十个数73。你能算出这个等差数列的公差和首项吗？
5. 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
（1）如果冬冬报3，阿奇报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？
（2）如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？
6. 计算：
（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12；
（2）11+12+13+14+15+16+17+18+19。
7. 计算：
（1）100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90；
（2）21+19+17+„+3+1。
8. 计算：
（1）2+6+10+„+90；
（2）41+44+47+„+101。
9. 已知一个等差数列第8项等于 50，第 15 项等于71。请问：
（1）这个等差数列的第1项是多少？
（2）这个等差数列前10 项的和是多少？
10. 编号为 1-9的九个盒子中央放有351 颗小玻璃珠，除编号为1的盒子外，每个盒子里的玻璃珠都比前
一号盒子多同样多的颗数。
（1）如果1 号盒子内放了11 颗小玻璃球，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几颗？
（2）如果3 号盒子内放了23 颗小玻璃珠，那么8 号盒子放了几颗？拓展篇
1. (1)一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为23，求末项是多少；
（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少。
2. 一个等差数列的首项为11，第10项为 200，这个等差数列的公差等于多少？第19 项等于多少？
3. 小悦读一本课外书，第一天读了15 页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了 36页，刚好把书
读完。请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
4. 计算：
（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30。
（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1。
5. 计算：
（1）5+11+17+„+77+83；
（2）193+187+181+„+103。
6. 有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图13-2 的形状，已知最上面一层有6 根，共堆了 25层。请问：这堆圆
木共有多少根？
7. 一个等差数列的第1项是 21，前7 项的和为105，这个数列的第10项是多少？
8. 把248 表示成 8个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？
9. 魔术师表演魔术，刚开始，桌上的盒子里放着3 个乒乓球，第一次，他从盒子里拿出1 个球，把它变成
3个后全部放回盒子里；第二次，他从盒子里拿出2个球，把每个球变成3个后，又全部放回盒子里„„
第十次，他从盒子里拿出 10 个球，把每个球变成 3 个后，再全部放回盒子里。请你算一算，现在盒子里
一共有几个乒乓球？
10. 小王和小高同时开始工作，小王第一个月得到1000 元工资，以后每月多得60 元；小高第一个月得到
500 元工资，以后每月多得45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
11. 在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为 3 的等差数列，总分为 609，冬冬发现自己的分
数算少了，找老师更正后，加了 21 分，这时他们的成绩还是一个等左数列。请问：冬冬正确的分数是多
少？
12. 已知一个等差数列的前15 项之和为 450，前 20 项之和为750，请问：这个数列的公差是多少？首项是
多少？超越篇
1. 图13-3是一个堆放铅笔的“V”形架。如果“V”形架上一共放有210 支铅笔，那么最上层有多少支铅
笔？
2. 下面的各算式是按规律排列的：1+1，2+3，3+5，1+7，2+9，3+11，1+13，2+15，3+17，„，请写出其
中所有结果为98 的算式。
3. 一串数共有11 个，中间数最大，从中间数往前数，一个比一个小2；从中间数往后数，一个比一个小3，
已知这11个数的总和是200，那么中间数是多少？
4. 如图 13-4，有一个边长为1米的大等边三角形，将它分割成许多边长为2 厘米的小等边三角形。请问：
（1）边长为2厘米的小等边三角形共有多少个？
（2）图中所有长度为2 厘米的线段的总长度是多少？
5. 按规律写出一列算式：1000-1，993-4，986-7，979-10，„，如果要保证被减数比减数大，最多能写出
几个算式？请写出最后的算式。
6. 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超
过了90 分（满分100 分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？
7. 三年级一班期末数学考试中，前10 名的成绩恰好构成一个等差数列，已知考试满分100 分，每个同学
的得分都是整数，而且第3、4、5、6 名同学一共得了354 分，又知道小悦得了96分，那么第 10 名同学
得了多少分？
8. 费叔叔给小区里的一些小朋友发游戏卡片，这些小朋友得到的卡片数目恰好构成一个等差数列。阿奇发
现自己分到的最少，于是找费叔叔要卡片，费叔叔给阿奇加了 36 张，这时所有小朋友的卡片数也构成一
个等差数列；变化后，冬冬的卡片最少，于是向费叔叔要来 18 张，这时所有小朋友的卡片数仍构成一个
等差数列。又已知在发卡片的过程中，每个小朋友手中的卡片都没有超过100 张，而且刚开始时有人拿的
卡片数超过了90 张。请问：费叔叔开始时给冬冬的卡片比给阿奇的多几张？第 14讲 几何图形的认知
内容概述
认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形剪拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，
锻炼一定的空间想象能力。
典型问题
兴趣篇
1. 根据图14-1中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：
2. 如图 14-2，数一数，图中共有多少个角？
3. 如图 14-3，将一个边长为 4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形。请问：这两个长方形
的周长之和比原来正方形的周长多几厘米/
4. 用12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？
5. 用7 根长度都是1 寸的火柴棍拼成了一个三角形。请问：这个三角形的三条边长分别是多少？
6. 有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3 厘米、4 厘米和5 厘米。不许折叠，用这两个直角三角
形可以拼成几种平行四边形？
7. 图14-4中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？8. 图14-5的金字塔和图14-6 的正八面体各有几条棱，几个面？
9. 一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F 六个字母，请你根据图14-7 的三种摆放情况，判
断每个字母的对面是什么？
10. 如图 14-8，在一个正方体的表面上写着1 至6 这6 个自然数，并且1对着4，2对着 5，3 对着6。现
在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图14-9 所示。如果只知道1和2 所在的面，那么6 应该在
哪个面上（写出字母代号）？
拓展篇
1. 如图 14-10，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？
2. 如图 14-11，数一数，图中共有多少个正方形？
3. 用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的
（1）等腰三角形？
（2）平行四边形？4. 如图 14-12，有一张长方形纸片，长为 2，宽为 1，A点是长边上的中点。沿着图中虚线将这张纸片剪成
两块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来。
5. 如图14-13，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小
的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开，那么展开后，原
来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？
6. 如图 14-14，用四个完全相同的边长分别为5、12、13 的直角三角形拼成了一个“风车”，求这个风车的
周长。
7. 一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和 4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角
形的两条边的长度分别是4和 9，这个三角形的周长可能是多少？
8. 周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？
9. 图14-15 中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的住处判断A、B、C的对面
分别标的是哪个字母？
10. 如图 14-16，第 1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母，其中 A
与 D相对，B与 E相对，C与 F 相对。现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下
放在第 1 个方格内，然后让木块按照剪头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到 21 格时，木块向上的面
上写的是哪个字母？11. 图 14-17 是一个立体图形的展开图，请问：原来立体图形的棱和面各有多少？
12. 一个棱长为 4厘米的正方体，将其6个面都涂上满红漆，然后把它据成棱长为1 厘米的小正方体。请
问，在这些小正方体中：
（1）3 面涂上红色的有多少块？
（2）只有2 面涂上红色的有多少块？
（3）只有1 面涂上红色的有多少块？
（4）没有涂色的有多少块？
（5）至少有1面涂上红色的有多少块？
超越篇
1. 图14-18 是一个任意形状的三角形ABC，可以把它折叠成如图所示的长方形，使得A、B、C都重合在
BC上P 这一点。请在三角形ABC中标出 P 点的位置，并画出折痕。
2. 请尝试：（1）把一个正方形折叠一次后变成一个三角形；（2）把一个正方形折叠一次后变成一个长方形；
（3）把一个正方形折叠一次后变成一个梯形。
3. 如图 14-19，有五个完全相同的骰子摆成一排，五个骰子底面的点数之和是多少？
4. 如图 14-20，在正方体的6 个表面上写有计算机字体的1、2、3、4、5、6（虚线表示通过透视所能看到
的情况）。现在将这个正方体剪开，如图14-21 所示，请你在剩下的5个方格中标出数字1、2、3、4、5，
请注意这些数字的方向要和原来的正方体保持一致。5. 如图 14-22，一个正方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体。这个新的几何体有几个面？几个
顶点？几条棱？
6. 有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个 1×1×1的小正方体。请问：
这些小正方体中最多有多少个是恰有一面被染红的？
7. 将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由 6 个正方形连接起
来的一整张纸片。那么正方体的平面展开图一共有多少种？请全部画出来。（注意：如果经过旋转或者翻
转后，两个展开图可以完全重合，那么只能算作一种平面图形）
8. 图14-23 是一个边长为3厘米的大正方体，它是由边长为1厘米的小正方体组成的。已知A、B、C、D、
E、F、G、H是正方体的八个顶点，P 是ABCD面上的中心。请回答下列问题：
（1）如图 14-24 所示，用一个通过 P、E、F 三点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？此
时一共还剩下多少个完整的小正方体（边长为1厘米）？
（2）如图 14-25 所示，用一个通过P、A、C、F 四点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？
此时一共还剩下多少个完整的小正方体？第 15讲 盈亏问题一
内容概述
了解盈亏问题的两种基本灯型，一种是由人数差别而产生的盈亏，另一种是由每个人分得的物品数量差别
而产生的盈亏。通过比较法，解决较为简单的盈亏问题，主要涉及“盈盈比较”和“盈亏比较”。
典型问题
兴趣篇
1. 老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20 本，后来给新来的2 个人也发了同样
数目的作业本，就只剩下12 本了。请问：每个人发了几本？剩下的作业本还能再发给几个人？
2. 老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。如果分给9个人，那么还剩下21 个苹果；如果分给12
个人，就只剩下12个苹果。请问：这堆苹果一共有多少个？
3. 把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分的一样。如果分给 5 只猴子，那么还剩下 12 个桃子；如果分给 7
只猴子，就会缺4个桃子。问：每只猴子分到多少个桃子？
4. 老师拿来一些香蕉，分给每个同学5根之后，还剩下6根，于是老师又拿来了4根香蕉，正好能给每个
人再分1根。问：一共有多少名同学？开始老师拿来了多少根香蕉？
5. 学校将某个班的学生分到各个宿舍，如果每间宿舍安排5个人，那么还有10 个人没地方住；如果每间
宿舍安排6 个人，那么还有3 个人没地方住。请问：一共有多少间宿舍，多少个学生？
6. 运动会上，班长给参赛选手发矿泉水，如果每名选手分4 瓶水，那么还多5 瓶；如果每名选手分5瓶水，
就会缺少3 瓶。请问：有多少名选手，多少瓶水？
7. 某车队买回了一些新轮船，小明数了一下，发现要是把每辆车的2个前胎全部换掉，还能剩下20个轮
胎；如果要把每辆车的4 个轮胎全部换掉，就只剩下6 个轮胎了。问：车队一共有几辆汽车？
8. 张老师拿着一些图片发给大家，开始想要给每个小朋友5张图片，结果发现差了12 张，所以只能给每
个小朋友3 张图片，这样还能剩下4张。请问：一共有多少个小朋友？张老师一共有多少张图片？
9. 冬冬请三名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10 元钱、一张5元钱和两张1 元钱。这时又来了两
名同学，冬冬也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。请问：冬冬一共有多少钱？
10. 过年了，爷爷给小健一些压岁钱，都是10元的新钞票。小键数了一下，如果买6元钱一本的普通版《加
菲猫》漫画，买一整套之后，还能剩下 5 张新钞票；要是改买 10 元钱一本的精装版，买一整套之后，就
只剩下 10 块钱了。请问：小键一共得到了多少压岁钱？（一套普通版和一套精装版的本数一样多，只是
包装不一样）
拓展篇
1. 老师拿来很多张剪纸，分给5 个同学，每人分到的一样多，还剩下22 张，后来又来了两个同学，分给
他们同样多的剪纸后，就只剩下6张了。请问：老师一共拿来了多少张剪纸？
2. 小悦去文具店买水彩笔，如果买7 支，还能剩7 元 9角钱；后来小悦决定买13 支，结果只剩1 角钱。
请问：小悦一共带了多少元钱？
3. 某仓库来了一队货车，工人们都去卸货，每辆货车分配的工人一样多，剩下 30 名工人；后来又来了 6
辆货车要卸货，结果缺6 名工人。请问：每个货车分配了几名工人？4. 同学们早餐吃面包，每袋面包有10 片，开始来了9 个同学，老师给每人发了同样多片面包之后，还剩
下半袋。后来又来了5个同学，老师发现还要再买两袋面包才够给新来的同学每人发同样多的面包。问：
老师开始准备了几袋面包？
5. 一个运输班有9个人，如果每个人背的钢盔数都相同，正好能够把全部钢盔背上；后来增加了2个人，
但是有一个偷懒少背了2 个钢盔，剩下的士兵每人背的钢盔个数不变，这样一共比原来多背了10 个钢盔。
请问：开始全班一共背了多少个钢盔？
6. 过年了，某工厂打算拿出一笔钱给表现优秀的工人发资金，每人发同样多的钱。开始一数，共有 40 名
优秀的工人，按原计划发完奖之后还能剩下 400 元。后来发现少统计了 10 名优秀工人，结果总钱数不够
了，还缺500 元。如果公司只有这么些资金，那么只能给每名优秀工人发多少元钱？
7. 老师拿来一批树苗，分给同学们去种，每人分8 棵树苗，最后还剩下6棵，如果再拿来18 棵，正好可
以给每个同学再分2 棵。请问：原来共有多少棵树苗？
8. 裁缝做衣服，他已经做好一些西服，现在要往上面缝扣子，如果每件西服缝3 个扣子，还会剩下26 个
扣子；如果每件缝5 个，就只剩下4个扣子了。请问：裁缝一共有多少个扣子？他已经做了几件西服？
9. 小张准备了一些钱买CD，如果每张CD的价格是30 元，买完后还能剩下10 元钱，结果CD的实际价
格是40 元一张，所以他还需回家再取50 元才正好够。请问：小张原来准备了多少钱？
10. 小明的爸爸发了一些奖金，准备用这些钱全家去海南旅游，结果发现每人需要花费2600 元，需要的总
钱数比奖金还多500 元。于是大家只能改去桂林，这样每只只需要花费2300 元，结果还剩下400 元。请
问：小明全家一共有多少人？爸爸一共发了多少元奖金？
11. 学校组织学生们去农村郊游，如果每户农家住4名同学，就会有7个人没地方住；
（1）如果每户农家住5 名同学，就会空出3个床位，这批学生一共有多少人？
（2）如果每户农家住5 名同学，最后2个农家就正好空着没有同学住了，这批学生一共有多少人？
12. 有两堆一样多的苹果，老师将第一堆苹果分给男生，每人4 个，最后剩下6 个；老师又将第二堆苹果
分给女生，每人5个，最后剩下5个。已知男生比女生多1 人，请问：每堆苹果有多少个？
超越篇
1. 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还剩下3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4 个树坑，其余每
人挖6 个树坑，就恰好把所有的树坑都挖完。一共有多少名少先队员？一共有多少个树坑要挖？
2. 小明计划用若干天做一本习题集。如果他每天做5道题，那么最后两天每天要做10 道题才能做完；如
果他每天做6道题，恰好可以提前一天做完。请问：这本习题集中共有多少道题？
3. 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余10 个；如果全部分给
小班的小朋友，每人分8 个，则缺2个，已知大班比小班多3个小朋友；问：这筐苹果共有多少个？
4. 军训时全年级的同学一起吃午饭，教官算了一下，如果每张桌子坐6 人，那么还剩下22人没地主坐，
入座时发现有3 张桌子坏了，于是改为每张桌子坐8人，如果还剩下6人没地方坐。请问：全年级一共有
多少人？5. 一班的同学去春游，原计划乘坐小车，还空出6 个座位。后来二班的38 个同学决定和一班同学一起去
春游，于是两班的同学换乘大车，结果需要多派一辆车，并且还空出 4 个座位。已知大车每车坐 12 人，
小车每车坐8人，求一班的人数。
6. 宿舍里4 名同学原计划合买一台电脑，费用大家均摊，后来隔壁宿舍的2 名同学也加入进来一起买，并
且电脑由于促销价格降低了1000 元，于是每个人将比原来少出824 元。求电脑的促销价。
7. 老师给幼儿园小朋友分水果，苹果的个数是梨的个数的2 倍。如果给每人分3 个梨，就多出2个梨；如
果给每人分7个苹果，那么还少6个苹果。问：共有多少个小朋友分水果？共有多少个苹果？
8. 老师买了 13 盒钢笔分给同学们，每盒钢笔的支数都相同，每人拿到的钢笔数目也相同，分完后发现剩
下了半盒，这时又来了8 名同学，于是老师又买了3盒钢笔，给他们发了同样数目的钢笔后，还剩下2 支，
后来又来了10名同学，老师又买了4 盒钢笔后，正好全部分完。请问：原来有多少名同学？第 16讲 智巧趣题二
内容概述
使用火柴棒构造算式的问题；多笔画的问题；较复杂的需要巧妙方法进行分析和构造的问题。
典型问题
兴趣篇
1. 把算式152+58+1 用火柴棒摆在桌子上，可以摆成下面的样子，我们从镜子中看过去，在镜子里面出现
的算式是什么？结果是多少？
2. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
3. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
4. 图16-1是一个由火柴棍组成的图形，最少要从中拿走几根火柴，才能使余下的图案中没有三角形？
5. 图16-2是一个用 12根木棍组成的图形，最少要去掉几根木棍，才能使余下的图案中不包含正方形？
6. 图 16-3 中的两个图形都不能只用一笔画出来，现在要求在这两个图形中各去掉一条线段，使它们都能
用一笔画出来，应该怎么办？7. 阿奇开始买了64 瓶汽水，如果4个空瓶可以换1瓶汽水，那么他最多能喝到多少瓶汽水？如果他开始
买了67 瓶汽水呢？
8. 三年级一班共有49名同学。现在他们要渡过一条河，只有一条可乘7人的橡皮船，每过一次河需要花
3分钟。请问：利用这条橡皮艇把全班同学都运到河对岸，最少需要多少分钟？
9. 一名农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河。现在只有一条小船，农夫一次最多带一样东西过河。
农夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜。请问：农夫用什么办法可以将三样东西安全地带过河呢？
10. 有 3 枚外表完全相同的硬币，已知其中有一枚假币，它和真币的重量不一样，但是不知道假向比真币
轻还是重，现有一台无砝码的天平。请问：至少要称几次才能找出这枚假币，并且推断出假币比真币轻还
是重？
拓展篇
1. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
2. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
3. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
4. 图16-4是一个用 22根木棍组成的图形，最少要去掉几根木棍，才能使余下的图案中不包含正方形。5. 图16-5是一个由火柴棍组成的图形，最少要从中拿走几根火柴，才能使余下的图案中没有三角形。
6. 图 16-6 中的三个图形都不能只用一笔画出来，要在这三个图形中各去掉一些线段，使它们都能用一笔
画出来。现在最少各去掉几条线段？
7. 图 16-7 中每个小正方形的边长都是 1 米，现在要从某一点出发，沿着小正方形的边前进。如果每条线
只能走一次，最多能走多少米？
8. 河边有一条空船，现在有3个大人和 4 个小孩要过河，这条船能坐2个大人，或者 1个大人和 2 个小孩
或者是4个小孩。请问：这些人要全部到达河对面，最少需要划船过河几次？
9. 某班同学开始买了64 瓶汽水，如果5个空瓶可以换1瓶汽水，并且他们会把喝剩下的空瓶换汽水喝，
那么他们最后一共能喝到多少瓶汽水？
10. 4 个相同的盒子排成一排，小悦把6个相同的棋子分装在这些盒子中，其中恰有一个盒子没有装棋子，
然后她外出了，冬冬从三个有棋子的盒子里各拿1 个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。小悦回来
后查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。请问：开始时这4个盒子中分别有多少颗棋子？
11. 如图16-8，有 4 条铁链，每条有2 个环，已知打开一个环要用2 分钟，闭封一个打开的环要用3分钟，
现在要把4 条铁链连成一条长铁链，至少要用多少分钟？
12. 有 4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1 枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币
比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问：怎样利用这架天平称两次，就能弄清楚伪币究竟
比真币轻，还是比真币重？超越篇
1. 如图16-9，在六面体的顶点A和 B处各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能最快爬完所有的棱线，最先到达
终点C。如果它们的爬行速度相同，那么哪只蚂蚁能获胜？
2. （1）植树节到了，老师带着同学们去种树，他要求大家把6 棵树种成3行，每行都有3棵树，这下可
把大家难住了，你知道怎么种才能满足老师的要求吗？
（2）小悦突然发现可以改变一棵树的位置，可以让6棵树变成 4行，每行 3棵，你知道小悦是怎么做的
吗？
（3）冬冬发现再种一棵树后，可以让7棵树变成6行，每行3 棵，你知道冬冬是怎么做的吗？
3. 商店规定，用5个空瓶就要换 1瓶汽水。某班同学一共喝了100瓶汽水，其中有一些是用喝剩下的空瓶
换的。请问：他们开始至少掏钱买了多少瓶汽水？
4. 如图 16-10，一个钥匙圈上挂着5个分别编有号码 1、2、3、4、5 的铁片。现在把其中一个铁片绕下来，
接着将钥匙圈转一转，再把那个铁片绕上去，钥匙圈上的铁片就可以排成如图16-11 所示的情形。问：取
下的铁片的编号是多少？
5. 下面用火柴拼成的算式显然是错误的，请你移动其中两根火柴，使得它成为一个正确的等式。
6. 如图 16-12，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。按上述方法完成4次
操作以后，请问：
（1）如果在所得小正方形的中间打穿一个洞，那么展开之后纸片上会有多少个洞？
（2）如果剪去所得小正方形的左下角，当展开这张正方形纸片后，会出现多少个洞？
7. 甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两个人一起通过。过桥需要手电筒，而四人只
有 1支手电筒，甲、乙、丙、丁单独过桥需要的时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、10 分钟。请问：怎样安排过桥顺序，才能使四个人过桥的总时间最短？这个最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将电筒扔
回，只能让人携带回来）
8. 如图 16-13，在一个圆周上放了1枚黑色的和666 枚白色的围棋子，一个同学进行这样的操作：从黑子
开始，按顺时针方向，每隔1 枚，取走1 枚。请问：当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？第 17讲 四则运算三
内容概述
使用已学过的各种运算技巧来解决较复杂的四则混合运算问题；掌握基准数法；学会利用分配律简化计算。
典型问题
兴趣篇
1．计算：49+52+49+50+47+54+48+55．
2．计算：800×9÷4÷25．
3．计算：(1)96÷12×4；(2)84×7÷14．
4．计算：(1)26×7+26×3；(2)18×22-18×10．
5．计算：(1)7×13+7×6+4×19；(2)17×12+9×17-21×7．
6．计算：(1)11×5+11×7+22×4；(2)12×6+24×4-36×2．
7．计算：27×88+28×12．
8．计算：126×3+12×125-124×7．
9．计算：(1)[3+(11-9)×9]÷7；(2)21+63÷[9-(17-3×5)]．
10．图 17-1 中已经填出 5个自然数，其余 6个空格，每个空格中所填的数分别等于它最左侧的自然数乘以
它最上面的自然数．比如△所在的位子就应该填23与11的乘积，★所在的位子就应该填27与19的乘积．按
这种方法将表格填满，这张表格中所有数的总和是多少?
1．计算：(1)91+85+87+106+115+94+113+101：
(2)123+119×2+121 X 3+120×4．
2．计算：(1)(1231+2312+3123)÷6；
(2)(12+23+34+45+56+61)÷7．
3．计算：(1)34×77+34 X 23；
(2)42×37-42×17；
(3)28×32-28×17+28×84．
4．计算：(1)26×14+26×8+22×4；
(2)132×31+18×24-7×132．
5．计算：(1)92 ×49+108 ×51+92×51+49×108：
(2)127×42-58×38+74×58-42×91．
6．计算：(1)11×13+22×8+33×7：
(2)123×36+246×17+3690．
7．计算：(1)88×35-87×23-86×12：
(2)121×6+120×5+119×3-118×14．
8．计算：11×22+22×33+33×44+44×55+55 ×66．
9．计算：(1)399÷7+91÷7；
(2)25÷4+25÷6+35÷4+35÷6．
10．计算：(1)39÷7+62÷14；
(2)78÷17+83÷34+202÷68．
11.计算：(1)75÷[9×6-3 ×(13+4)]；
(2)12×[34×2+(34+5)×8]+34×80．12. 图 17-2 的 30 个格子中各有一个数，其中最上面一行和最左面一列中的数已经填好。其余每个格子中
的数等于同一行最左面数与同一列最上面数之和（例如a=14+17=31）。请问：这30 个数的总和等于多少？
超越篇
1．计算：76+137+80+139+74+143+83+137+84+87+137+78+75+142．
2．计算：[(83+33)×13+66]×2+83×24．
3．计算：787×53+213×71+187×18．
4．计算：13×125-25×27+75×21+175×3．
5．计算：12×29×13+31×11×17-12×13×18-11×17×19．
6. 桌子上有 16 张纸，每张纸的正面用红色铅笔任意写1、3、5、7中的某个数字，在反面用蓝色铅笔写2、
4、6、8 中的某个数字，其中任意两张纸上所写的红色数和蓝色数不会都相同。现在把每张纸上的红、蓝
两个整数相乘，求这16 个乘积的和。
7. 桌上放有 10 张卡片，卡片背面分别写了10 个数：61，61，62，63，64，65，65，65，68，68，小悦从
中挑出了6 张卡片，计算出这6张卡片背面写的数的和为394，然后小悦将卡片放回。接着冬冬从中挑出
了 4张卡片，计算出这4 张卡片背面写的数的和为257，而且他们挑出的卡片中恰有2张是相同的，那么
冬冬挑出的卡片背面写的4个数分别是多少？
8. 爱思考的阿奇设计了一个游戏，这个游戏由两个转盘组成，如图17-3，玩游戏时，每次转动这两个转盘，
等转盘转完停下来后，记下箭头正对的两个数的乘积，已知小悦和冬冬各玩了五次，一共记下了 10 个乘
积。小悦记下的五个乘积互不相同，总和为 110；冬冬的五个乘积也互不相同，总和为 133。如果小悦和
冬冬的所有10个乘积里面只有一对是相同的，那么这对相同的乘积是多少？第 18讲 简单乘除法竖式
内容概述
补全乘法和除法竖式中缺少的数字，基本方法为依据运算规则推理与枚举试算，重点掌握末位分析和大小
估计的方法。
典型问题
兴趣篇
1. 如图 18-1，请在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
2. 图18-2是一个残缺的乘法竖式，这个算式的结果是多少？
3. 如图 18-3，在图中的空格内填入合适的数字后，能使乘法竖式成立（其中的3 表示两个乘数的个位数字
相乘时向十位进3）。请问：这个算式的结果是多少？
4. 如图 18-4，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
5. 图18-5是一个残缺的乘法算式，现在知道其中一个位置上的数字为8，这个算式的结果是多少？6. 在如图18-6所示的乘法竖式中，△、□、○、◇分别代表不同的数字，问： 这个三位数是多少？
7. 如图 18-7，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
8. 如图 18-8，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
9. 如图 18-9，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
10. 如图 18-10，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。拓展篇
1. 如图 18-11，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
2. 如图 18-12，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
3. 如图 18-13，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
4. 如图 18-14，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
5. 在图 18-15所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了，请问：算式的结果是多少？
6. 图18-16 是一个残缺的乘法算式，请补充完整并求出这个算式的结果。7. 如图 18-17所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字，“车”、“马”、“炮”分别代表什么数字？
8. 如图 18-18，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
9. 如图 18-19，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
10. 如图 18-20，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。11. 图 18-21 是一个残缺的除法竖式，这个算式中的被除数是多少？
12. 在旭响应 18-22 所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字，请找出每一个汉字对应的数字，并把这
个竖式写出来。
超越篇
1. 如图 18-23，在图中的空格内填入1、2、3、4、5、6、8 这几个数字（其中2已经填好），每个数字使用
一次，使竖式成立。
2. 如图 18-24，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
3. 如图 18-25，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。4. 如图 18-26，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
5. 在如图18-27 所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖
式写出来。
6. 如图 18-28，在图中的每个方框内填入一个不是2的数字，可以使其成为正确的算式，求所得的乘积。
7. 在图 18-29的除法竖式中，除了给出的数字4名，空格内的数字都不是4，求算式的被除数。
8. 图18-30 是一个四位数除以一个一位数的除法竖式，图18-31 是这个四位数除以另一个一位数的除法竖
式，求这个四位数。第 19讲 鸡兔同笼问题二
内容概述
进一步运用假设法和分组法，解决较复杂的鸡兔同笼问题。注意观察和分析隐藏的条件，有时需要将多个
对象进行恰当组合而转化为两个对象再求解。
典型问题
兴趣篇
1. 大卡车一次能运7 吨土，小卡车一次能运4 吨土，现在有大、小卡车70辆，一次恰好能运土400 吨。
请问：大卡车有多少辆？
2. 一辆卡车运粮食，每次能运5 吨，晴天时每天能运8次，雨天时每天只能运3 次，这辆卡车10 天共运
了 325 吨粮食，在这10 天中，晴天和雨天各有几天？
3. 有若干只鸡和兔，其中鸡比兔多12 只，它们一共有84条腿，求鸡和兔各自的只数。
4. 北京大学乒乓球馆内，一共有 34 人正在进行乒乓球比赛，其中单打比赛的球台比双打比赛的球台多 2
张。请问：一共有多少张球台正在进行比赛？
5. 有若干只鸡和兔，其中鸡和兔的数量一样多，兔的总腿数比鸡的总腿数多 30 条。请问：鸡、兔各有多
少只？
6. 癞蛤蟆和天鹅一块玩游戏，癞蛤蟆比鹅多12 只，癞蛤蟆的总腿数比天鹅的总腿数多68 条，那么癞蛤蟆
和天鹅各有多少只？
7. 癞蛤蟆和于鹅一块研究“鸡兔同笼”问题，天鹅比癞蛤蟆多 15 只，癞蛤蟆的总腿数比天鹅的总腿数多
36 条，那么癞蛤蟆和天鹅各有多少只？
8. 鸡兔同笼，鸡和兔共30只，鸡的总腿数和兔的总腿数一样多，那么鸡和兔各有多少只？
9. 一群黄鼠狼给鸡拜年，黄鼠狼和鸡一共有24 只，黄鼠狼的总腿数比鸡的总腿数多54条，求黄鼠狼和鸡
各有几只？
拓展篇
1. 体育课上，三年级一班的46名同学都在操场上玩球，每个篮球有6名同学玩，每个排球有8名同学玩，
篮球和排球一共有7 个。问：玩排球的同学有多少人？
2. 集体劳动时，女生抬土，每2名女生用 1根扁担抬 1 个筐；男生挑土，每1 名男生用 1根扁担挑 2个筐，
结果共用了27根扁担和 44个筐。请问：女生和男生各有多少人？
3. 有大、小猴共 15 只，它们一起去摘水蜜桃，猴王在场监督的时候（猴王不摘，也不算在15 只猴子内），
一只大猴子每小时摘 25 个，一只小猴子每小时摘 22 个，猴王不在的时候，每只猴子每小时都会少摘 10
个，某天猴子们共摘了8 小时，最后 2小时猴王才到场监督，结果共摘了1980 个水蜜桃。请问：大、小
猴子各有多少只？
4. 天上一群九头鸟和地上的一群九尾狐商量去吃唐僧，九头鸟有九头一层，九尾狐有九尾一头，孙悟空将
它们抓起来关进了笼子，猪八戒在笼子外得意地数了134 个头和 166 条尾巴。请同学们算一算，共有多少
只九头鸟，多少只九尾狐。5. 宿舍楼的大、小寝室一共有20 间，已知大寝室每间住了6人，小寝室每间住了4 人，并且大寝室的总
人数比小寝室的总人数多30 人。请问：大、小寝室各有多少间？
6. 新华书店一天内卖出了《哈利波特》和《魔戒》共40本，其中《哈利波特》每本30元，《魔戒》每本
25 元。经过统计，卖《哈利波特》的收入比《魔戒》多650 元，这天卖出多少本《哈利波特》？
7. 鸡兔同笼，兔比鸡的3倍少 6 只，而且鸡和兔共有116条腿，求鸡和兔各有多少只？
8. 小悦的存钱罐里，5角硬币比1角硬币多 18 枚，5角硬币的总值比1 角硬币的总值多21元。存钱罐里
共有多少枚硬币？
9. 小悦、冬冬、阿奇三人每人脚上绑了一些气球，玩踩气球的游戏，踩破别人的一个气球得8 分，脚上的
气球被别人踩破一个就倒扣 5 分，没有人踩破自己的气球，最后冬冬得了 36 分，并且他踩破的气球比他
被踩破的气球多3个。请问：冬冬有几个气球被踩破了？
10. 鸡兔同宠，鸡和兔共有46 条腿，如果将鸡与兔的数量互换，那么总腿数变为38 条，请问：原来鸡和
兔各有多少只？
11. 鸡、龟、兔一共有20 只，它们总共有72条腿，龟的数量是兔的3倍。请问：鸡、龟、兔各有几只？
12. 香蕉、苹果和梨三种水果共40 千克，其中苹果和梨的重量相等，如果香蕉每千克3元，苹果每千克 2
元，梨每千克6 元，这些水果共花了146 元。问：三种水果各有多少千克？
超越篇
1. 1 个大人一餐吃了2个面包，2 个小孩一餐吃了1 个面包，现在有大人和小孩共33 人，一餐刚好吃了33
个面包。问：有多少个小孩？
2. 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒，两处争强来斗胜，不相胜负正交加；三十六头齐出动，一百八手乱
相抓，傍边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？（本题的意思是：一个夜叉1个头、8条臂，一个哪吒有3 个
头、6条臂，有一些夜叉和哪吒正打得不分胜负，数一数，共有36 个头、108 条臂。问：有几个夜叉，有
几个哪吒？）
3. 在一次考试中，小悦做完了所有的题，做对的题目数量比做错的3倍多5 道，已知做好一题秘5 分，做
错一题不但不给分还倒扣2分，小悦最后得了90分，她做对了几道题？
4. 一次考试共有100 道选择题，答对一题得3 分，不答不得分，答错一题倒扣1分，冬冬最后得了 244 分，
而且他不答的题目数学和答错的题目数量一样多，那么他答对了几道题？
5. 有红、黄、绿三种颜色的卡片共 20 张，其中红色卡片的两面上分别写有1 和 2，黄色卡片的两面上分
别写有1和 3，绿色卡片的两面上分别写有2 和3，现在把这些卡片放在桌子上，让每後卡片写有较大的
数字的那面朝上显示出来。经计算，各卡片所显示的数字之和为56，如果把所有卡片的正反正翻转一下，
那么各卡片所显示的数字之和为31。请问：黄色卡片有多少张？
6. 有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物各若干只，蜘蛛有8 条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有 6条
腿和1 对翅膀，蜘蛛比蜻蜓多5只，三种动物一共有182 条腿、22对翅膀。请问：三种动物各有多少只？7. 一些奇异的动物在草坪上聚会，其中有独脚兽（1 个头，1 只脚）、双头龙（2 个头，4 只脚）、三脚猫
（1 个头、3 只脚）和四脚蛇（1个头，4只脚）这四种动物，如果它们共有58个头、160 只脚，且四脚蛇
的数量恰好是双头龙的2 倍，那么其中独脚兽有多少只？
8. 给四年级一班的小朋友分苹果，第一组每人3个，第二组每人 4个，第三组每人 5个，第四组每人 6 个。
已知第二组和第三组共有19 人，第一组人数是第二组的2 倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去201
个苹果。问：该班一共有多少名小朋友？第 20讲 算符与数字
内容概述
在已知数之间添加运算符号与括号，以求出特定结果或取得最大、最小值，通常可以采用枚举试算、顺推、
逆推等方法，以数字或数值为具体内容的数字迹问题，包括数字组成多位数，数字在运算中的变化，以及
数的分解、分组与排列等。
典型问题
兴趣篇
1. 在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立：
（1） 20 4 5=0；
（2） 2 4 6=1。
2. 在下面相邻两数之间，填上“+”或“-”，使等式成立。
6 5 4 3 2 1=1
3. 在下面算式中合适的地方填入“+”或“-”（两个数之间可以不填），使等式成立。
5 4 3 2 1=27
4. 在下面各题的相邻两数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：
（1） 3 3 3 3=10
（2） 6 6 6 6=4
5. 让我们来玩“24点游戏”，游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用
“+、—、×、÷或（ ）”。
（1） 3，4，5，8；
（2） 5，6，7，8。
6. 我们可以在算式8×3+12÷4中添加括号来改变原有的运算顺序，如果只能添加一对括号，那么算式的
结果最小是多少？
7. 在下面的空格中填入“+、—、×、÷”各一个，要使计算的结果最大，那么算式的结果最大是多少？
8. 有一类三位数，各数位上的数字之积是18，在所有这样的三位数中，最大的数与最小的数的差是多少？
9. 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如：246，1347，这类数
中最大的自然数是多少？
10. 12345678910111213„是从1开始的连续自然数按顺序写下的一个多位数，在这个多位数中，从左向右
数，当 4、3 两个数字第一回依次回现时，接下来的两个数字应该是什么？当 3、1、2 三个数字第一回依
次出现时，接下来的三个数字是什么？
拓展篇
1. 把“+、—、×、÷”这四个运算符号不重复地填入图20-1四个方框内，使得这些算式
的结果中最大数与最小数的和是15，那么含有加号和乘号的那两个算工的结果的乘积是多
少？2. 下面有9 个数，在相邻两个数之间都填上一个“+”或“-”，使得结果为 31，请问：所有减数（即前面
为减号的数）的乘积最大是多少？
9 8 7 6 5 4 3 2 1=31
3. 让我们来玩“24点游戏”，游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用
“+、—、×、÷或（ ）”。
（1）2，4，6，8；
（2）4，5，7，9。
4. 在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立：
（1）1 2 3 4 5=20；
（2）5 5 5 5=30。
5. 在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立：
（1） 4 4 4 4 4 4=10；
（2） 5 5 5 5 5 5=100。
6. 在下面的算式中合适的地方填入小括号，使等式成立：
（1）48-12×3÷2+1=7；
（2）30+20÷10÷5×2=50。
7. 在下面的算式中填入一对括号，使得算式的结果最大。
2+3×+5×4+3×2
8. 把“+、—、×、÷”这四个运算符号，分别填入下面四个圆圈内，使等式成立：
（1）（4○12○6）○（17○9）=48；
（2）（6○18○3）○（7○2）=12。
9. （1）把“+、—、×、÷”各一个填入下面的空格内，要使得算式的结果最大，那么能得到的最大的结
果是多少？
5□4□3□2□1
（2）如果允许添上一对括号，那么计算的结果最大是多少？
5□4□3□2□1
10. 有一辆速度不超过每小时100 千米的汽车，它的里程表显示这辆汽车已行驶了15951 千米，这个数从
左往右读与从右往左读是一样的，又开了了两个小时后，里程表上的数从左往右读与从右往左读仍然是一
样的。问：汽车每小时行多少千米？
11. 玲玲发现：将家里的电话号码从左到右，相邻的两个数字依次相加，得到的和分别是9、7、9、2、8、
11，请你推算一下玲玲家的电话号码是多少？
12. 将写有数码的纸片倒过来看，其中 0、1、8 三个数码不变，6与 9 两个数码互换，而其余数码倒过来
都没有意义，用这些卡片（各个数码的卡片都足够多）组成的两位数中，把纸片倒过来看，与原数相同的
有几个？用这些卡片组成的三位数中，把纸片倒过来看，与原数相同的有几个？
超越篇
1. 康夫、小静和大雄三个人家里的电话号码都是八位，并且每个电话号码任意相邻三位数字的和都是26，
如果康夫和小静家的电话号码首位是相同的，那么大雄家的号码是多少？2. 甲、乙二人同时计算一个加法算式，甲把第一个加数的个位抄成了 8，得到答案为 123；而乙则把第二
个加数的十位数字抄成了5，得到答案为132，请问：正确答案应该是多少？
3. 让我们来玩“24点游戏”，游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用
“、-、×、÷划（）”。
（1）3，4，410；
（2）11，11，5，1。
4. 在下面算式中合适的地方填入“+、-×、÷或（）”，使等式成立：
（1）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2008；
（2）1 2 3 4 5 6 7 8 9=2008。
5. （1）在下面的算式中填入一对括号，使计算出来的结果最大，应该怎么填？
12+4×5+15-6+8
（2）如果允许填入两对括号，要使计算出来的结果最大，应该怎么填？
12+4×5+15-6+8
6. 桌上放着这样一道算术题：89+16+69+8916696AB888。甲、乙两位同学面对面坐在桌子两
侧，看到这个算式的各数码都有意义，而且他们计算这道题的结果恰相同，则A和 B表示的数字分别是几？
7. 老师在黑板上写了1至 9中的 4个不同的数字：△△△△，其中每个△代表一个数字，并给前两个数字
加上括号，给后两个数字也加上括号；（△△）（△△），老师让学生在这 4 个数字之间添上 3 个互不相同
的四则运算符号（即加、减、乘、除中的三个）：（△○△）○（△○△），其中○表示运算符号。结果发
现无论怎样添运算符号，计算结果都是整数，请按顺序写出这4 个△代表的数字。
8. 在下面算式中合适的地方填入“+、-、×、÷或（）”，使等式成立：
（1）2 0 0 8 0 8 0 8=1000；
（2）8 8 8 8 8 8 8 8=2008；第 21讲 间隔与阵列
内容概述
直线或环线上的排列问题，理解间隔数与端点数之间的数量关系，将若干物体排成阵列形式的问题，学会
从“层”的角度考察阵列的数量规律，并结合等差数列的相关知识进行计算。
典型问题
兴趣篇
1. 社区门口有一条长为100 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10 米种一棵，而且马路的两
端都要种，一共需要种多少棵树？
2. 学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且
马路的两端都种了，请问：相邻两棵树之间的距离是多大？
3. 小悦上楼，从第一层走到第三层需要上 36 级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么小悦从第一层
走到第六层一共需要上多少级台阶？
4. 学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：
（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人，右侧有8人，女生一共有多少人？
（2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个，右起第9个，男生一共有多少人？
（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？
5. 运动会闭幕式结束后，大家准备散场，班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。
她先从左往右数，发现冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第29 个，如果队伍里一共
有 31个，那么冬冬和阿奇之间有几个人？
6. 一整块大豆腐长40 厘米，宽 20 厘米。厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4 厘米的小块，而且每次只
能沿着直线切，如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？
7. 学校有一个圆形水池，水池的周长为40 米，如果绕着水池每隔4 米种一棵树，一共要种几棵树？
8. 50 个男生沿着 300 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等，现在，每相邻两个男生之间又
加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人
之间的距离又是多少米？
9. 有100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？
从里向外算起的第三层有多少人？
10. 一个实心方阵，最外层一共有20 人。请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
拓展篇
1.费叔叔想做一张木凳，他先把一根木头锯成4段，用了 12 分钟，如果把另一根木头据成8段，需要几分
钟？（假设费叔叔每据断一次所花的时间相同）小悦和冬冬去费叔叔家玩，费叔叔住在15 层，两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当小悦走到第3
层的时候，冬冬恰好走到第5 层。请问：当冬冬走到费叔叔家的时候，小悦走到了第几层？
3. 有一块三角形土地，三条边的长度分别为120 米、150 米、80 米，在边界上每隔10 米种一棵树，三角
形的每个顶点都必须种，一共要种多少棵树？
4. 体育课上老师让 42 名同学站成一行，冬冬发现有一半人站在他自己的左边；阿奇发现自己是从右往左
数的第12个，冬冬和阿奇之间有多少人？
5. 班里一共有42 名学生，站成一圈做游戏，现在从小悦开始数。请问：
（1）如果冬冬是顺时针数第26个，阿奇是顺时针数第17 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（2）如果冬冬是顺时针数第22个，阿奇是逆时针数第13 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（3）如果冬冬是顺时针数第27个，阿奇是逆时针数第31 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
6. 若干名同学站成一个 15×15 的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里
向外算起的第七层有多少人？
7. 一个实心方阵，最外层共有44 人。请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人？
8. 红领巾小学三年级有120名学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
9. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷
砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖„„这样依次铺下次，一共使用了400 块
瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
10. 费叔叔把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗，后来又运来了34 棵树苗，
恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
11. 如图21-1，一块绿地由3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草
地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每
块草地上最外层的每条边上有10 朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？
12. 有 1000 人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成25 队，每队以20 人为一排。前进过程中，排
与排之间相隔1 米，队与队之间相隔6米。那么这支游行队伍的长度为多少米？超越篇
1. 如图 21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100 米、宽为70 米，现在需要在所有道
路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少要
种多少棵树？
2. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图21-3中的阵列
类似。从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级的同学，两层四年级的同学以及两层
三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有126 名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
3. 若干名男生站成一排，站好后冬冬的左侧有 15 人，阿奇恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他
们自己）一共有3人，队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案）
4. 冬冬拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一切，结果绳子被剪成了3 段，如果冬冬把这根绳对折3 次，
再从中间剪2刀，绳子会被剪成向段？如果冬冬把这根绳子对折4次，再从中间剪3 刀，绳子会被剪成几
段？
5. 水池周围种了一些树，冬冬和小悦沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵数，由于两人的出发地点
不同，因此冬冬数的第20 棵在小悦那儿是第7 棵，冬冬数的第7棵在小悦那儿是第94棵。请问：水池四
周一共种了多少棵树？
6. 阿奇用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 28 个棋子，使得图形变成一个三层的
空心方阵，开始时阿奇可能摆了多少个棋子？
7. 阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等，已知方阵最外面一圈都是男生，往
内一圈都是女生，然后是男生„„如此下去直到最里面，如果男生总数比女生总数多 52 人，那么共有学
生多少人？
8. 如图 21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。
（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20 个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有294 枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有294 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？
（4）已知一个空心三角阵共有108 枚棋子，如果增加42枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增
加这42 枚棋子。第 22讲 长度与角度的计算
内容概述
掌握长度与角度的概念和基本计算方法，学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；掌握多边
形的内角和公式，并进行相关的计算。
典型问题
兴趣篇
1. 如图 22-1，用 16 个周长为 8厘米的小正方形拼成了一个大正方形，大正方形的周长是多少厘米？
2. 20 个边长为 3厘米的小正三角形按如图22-2中的方式拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是
多少厘米？
3. 如图 22-3 所示，内部正方形的周长为 24 厘米，请根据图中给出的数，求出长方形的周长。（单位：厘
米）
4. 长方形的院子里有一条“6”字形的小路，路宽1米，具体情况如图22-4 所示，现要在小路上铺满砖，
其余地方种草，那么砖地的周长是多少米？5. 如图22-5所示，在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形。如果大长方形的长是7 厘米，宽是5 厘
米。小长方形的长是5厘米，宽是3厘米，那么该图形的周长是多少厘米？
6. 如图 22-6 所示，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，请根据图中所给出的数，求出这个多边形
的周长。（单位：厘米）
7. 如图22-7所示，将3 个边长为8厘米的正方形叠放在一起，后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方
形的正中心，那么它们覆盖住的图形周长是多少厘米？
8. (1)如图22-8 所示，从一个大长方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形，大长方形的长是6 厘米，
宽是4 厘米，正方形的边长是2厘米。这个图形的周长是多少厘米？
（2）如图22-9 所示，四个长方形组成了一个多边形，如果图中所标数值的单位都是厘米，那么这个多边
形的周长是多少厘米？9. 如图 22-10所示，∠1 等于 130 度，∠2 等于110 度，那么∠3等于多少度？
10. 如图 22-11所示，在长方形 ABCD中，∠ACB等于 34度，现在将其沿对角线AC折起，形成如图 22-12
所示的图形，那么∠OCD的度数是多少？
拓展篇
1. 如图 22-13所示，5个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形，已知小长方形的长是12厘米，求大长
方形的周长。
2. 如图 22-14，用一个边长是 4厘米的小正方形和4个相同的长方形，一起拼成一个边长是20 厘米的大正
方形。请问：长方形的长和宽分别是多少厘米？
3. 如图 22-15所示，在一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形。
（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？
（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？4. 如图 22-16，正方形树林每边长1000 米，里面种有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，向正
东方前进，他每碰见一株白杨树就片正北走，每碰到一株榆树就片正东走，最后他走到了东北角上，问小
明一共走了多少米的距离？
5. 如图 22-17，把长为 2 厘米、宽为 1厘米的 6个长方形摆成3 层，摆成的图形周长是多少厘米？
6. 如图 22-18，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直，已知其中3 条边的长度，这个八边形的周
长是多少厘米？
7. 如图 22-19，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，这个多边形的周长是多少？
8. 如图22-20所示，一个边长10 厘米的正方形纸片，被横着剪了一切，竖着剪了两刀，分成了6 个小长
方形纸片，这 6 个小长方形的周长总和等于多少厘米？9. 如图 22-21所示，∠1 等于 40 度，∠2 等于50度，∠3等于 60度，∠4等于多少度？
10. 如图 22-22所示，∠1等于 100 度，∠2等于60 度，∠3等于 90 度，∠4 等于多少度？
11. 如图22-23所示，三角形 ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠=130，∠A等于多少度？
12. 如图 22-24所示，纸上已经画有一个正方形，请你用一块三角板做工具，在纸上画出一个75的角。
超越篇
1. 从一张长15 厘米、宽9厘米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，剩下了一块长方形，然
后从剩下的长方形中再剪下一个边长尽可能大的正方形„„按此方式不断重复，直到剩下一个正方形无法
再继续剪为止。请问：所有剪下的正方形的周长之和是多少厘米？
2. 有一个长 20 厘米、宽 15厘米的长方形，用2条平行于长方形边界的直线可以将其划分成3 个或 4个小
长方形。这些小长方形周长之和最大是多少厘米？
3. 如图 22-25，在一个长方形中有一段阴影部分，如果阴影部分恰好是正方形，那么图中大长方形的周长
是多少厘米？4. 如图 22-26所示，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，求∠EAB的大小。
5. 如图 22-27所示，五条线段依次首尾相连组成了一个五角星。问：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度？
6. 用9 个相同的直角三角形可以拼成如图22-28所示的图形。请问：这种直角三角形的两个锐角分别是多
少度？
7. 如图 22-29，在一个正六边形的内部有一个正五边形，请求出三角形ABC中∠A的度数。8. 如图 22-30，有一个长22米，宽 18 米的迷宫，其中每条道路的宽度都是2米，从 A点出发，沿道路的
中心线向里走去，一直走到B点。请问：所走过的路线的长度是多少米？第 23讲 盈亏问题二
内容概述
进一步学习如何处理较复杂的盈亏问题，例如“亏亏比较”的问题，被分配的物品总数与人数都发生变化
的问题等。注意题目中的各种隐藏条件，学会将条件复杂的问题转化为基本盈亏问题。
典型问题
兴趣篇
1. 新学期开始了，妈妈给了旺仔一些钱，让他去买作业本，旺仔开始买了几个本子，还剩下 10 元钱，然
后他想再买3个本子，结果发现缺2元钱，每个作业本的价格是几元钱？
2. 工会给大家发牛奶，每人发5袋，结果还缺3袋，如果还要再给 2个人发，那么一共会缺多少袋牛奶？
如果最后发现一共缺少23 袋牛奶，那么比开始增加了几个人？
3. 王老师给同学们买习题集，如果买7本缺 3 元钱，如果买10 本缺 12元，那么一本习题集的价格是多少
元？王老师一共有多少钱？
4. 同学们买了几袋馒头当午餐，每袋有5 个，结果发现：如果每人一顿吃2 个，还剩下 3 袋；如果每人一
顿吃4 个，就只剩下1袋了。一共有多少名同学？他们总共买了多少个馒头？
5. 老师准备把一些苹果分给几名同学，如果每人分6个，还能剩下8 个，如果每人分 9个，最后会缺7 个，
一共有几名同学？
6. 图画小组的同学们拿着一些钱去买彩笔，如果每个同学买一套5 元钱的彩笔，就会剩下一张10 元钱、
一张5 元钱和两张1 元钱的钞票。如果每个同学买一套7元钱的彩笔，就缺少一张5 元的钞票，这些同学
一开始拿了多少钱？
7. 老师带着几个学生去吃冰淇淋，如果给每个学生买一个碎碎冰和一个2元钱的小甜筒，一共缺15 元钱；
如果只给每个学生买一个碎碎冰，还缺5 元钱，一共有几个学生？
8. 某生产队要给麦田喷洒农药，每公顷麦田喷洒的数量相同，原计划每公顷麦田喷洒农药 2 千克，还缺
10 千克，后来计划每公顷麦田喷洒农药3 千克，结果农药缺了20 千克，一共要给多少公顷麦田喷洒农药？
9. 服务员小王在饭桌上放碟子，开始的时候要求每张桌子放5个碟子，结果发现缺3 个碟子；后来要求每
张桌子放8 个碟子，这样就会缺24个碟子。请问，这个饭店一共有几张桌子？
10. 小明计划在若干天内做完一章习题，如果每天做5 道题，恰好提前1天做完，如果每天做7道题，恰
好提前3天做完。这章习题一共有多少道题？
拓展篇
1. 学校把一笔钱发给教师当奖金，发给每位教师的钱数相同最后还剩下2000 元；后来又转来了3 个教师，
学校本来也想给他们发同样多的奖金，结果发现还缺400 元。原来每个教师发了多少奖金？
2. 学习之前班长准备给每个战士发几颗子弹，结果缺12颗，这时又来了3 个战士，也想发给他们每人同
样多的子弹，结果发现一共缺少30颗子弹，每个战士应该发几颗子弹？
3. 护士给几名大夫准备手术刀，开始准备给每人4 把，结果缺3把，后来每名大夫都要求再加3把，这样就会缺15把，那么一共有多少名大夫，多少把刀？
4. 一个旅店里，每层的房间数相同，如果每层有7 间住人，一共空出6 间房；如果每层只有5 间住人，就
会空出18间房。请问：每层有间房？
5. 学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，就会剩下16 人没有座位，如果每5人坐一条
长椅，就会空出1条长椅，还有一条长椅上只坐了2个人，一共有多少个学生去听报告？
6. 有一些老师和学生，如果一个老师教2 个学生，会剩下10个学生没有老师教；如果一个老师教3个学
生，就会有2个老师没有学生可教。请问：一共有多少个学生？
7. 鞭炮厂买回了几盒火药，每盒分成6包，用 3包火药能制作一个小礼花，用4包火药能制作一个大礼花。
现在鞭炮厂想要生产几个大礼花，发现还缺3 盒火药；如果改成生产同样数量的小礼花，仍然会缺少6包
火药。工厂一共买回了几盒火药？
8. 有若干名士兵背炮弹，如果每个人背7 枚炮弹，正好能够背上全部炮弹，如果其中有一个士兵只背2枚
炮弹，剩下的士兵每人背8枚炮弹，正好也能背上全部的炮弹。一共有多少名士兵？
9. 几个朋友一起去超市采购，超市里一包牛板筋3 元钱，一袋酱牛肉8 元钱。如果每人买4 包牛板筋、2
袋酱牛肉，还能剩下8元钱。如果每人买2包牛板筋、3袋酱牛肉，就会缺少4 元钱。请问：一起去超市
的共有几人？
10. 甲和乙各带了相同数目的钱去买面包，甲买了9个小面包，剩下5元5角，乙买了 12 个大面包，剩下
1元 6角，已知每个大面包比小面包贵2角，大面包多少钱一个？
11. 幼儿园准备了很多苹果和梨，苹果的总数是梨的2 倍，每个小朋友分得3个苹果和2 个梨后，还剩下
10 个苹果和2个梨，原来一共有多少个梨？
12. 一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的图画纸用来画画。如果每个人画 7 张画，老师还
能剩下11张纸；如果一半的小朋友每人画8张，另一半小朋友每人画10 张，最后就会差13 张纸，请问：
一共有多少个小朋友？
超越篇
1. 花店老板准备把一些玫瑰花放在花瓶里面，如果每瓶放入6朵玫瑰，那么剩下的玫瑰花正好还能装3 瓶，
如果每瓶中多放入2 朵玫瑰，就会有3个瓶子是空的，一共有玫瑰花多少朵？
2. 老师准备给同学们发一些糖果，如果给每个人分12 块，还会剩下 14 块；如果学生人数增加一倍，并给
每个人分7 块，就会缺8 块，请问：一共有多少块糖果？
3. 有若干名学生需要住宿，如果每间宿舍住4 人，就会有10个人没宿舍住；如果每间宿舍住6人，最后
一间宿舍就会住不满，需要住宿的同学最多可能有多少名？
4. 幼儿园阿姨给小朋友分水果，大班每人分到3个桃了和 1个苹果，小班每人分到2 个桃子和 1 个苹果。
大班比小班总共多分到8 个桃子，少分到2个苹果，大班共有多少位小朋友？
5. 小强做一本习题集，原计划30 天完成，按计划做了4天后，他每天比原计划多2道题，这样做了 10 天后，他每天又多做2 道题目，结果恰好提前6 天做完了全部习题，这本书中共有多少道习题？
6. 张宇上午 7时 20 分从家里出发到校上课，如果他每分钟走50 步，到达学校时离上课还有7 分钟，如果
他每分钟走35步，就要迟到5分钟，求学校的上课时间。
7. 幼儿园分水果，如果把苹果都分给小班的小朋友，每人恰好分7人，如果把梨都分给大班的小朋友，每
人恰好分5 个，现在把这些水果平均分给两个班的小朋友，每人分得4个苹果和2个梨，并且苹果恰好分
完，梨还剩4个。请问：两个班共有多少个小朋友？
8. 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块，小唐喝前两副咖啡时每袋咖啡都放3 块方糖，结果共用了
1包方糖和第2 包中的24 块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36
块，那么每盒咖啡有多少袋？
