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第 57 讲 立体几何中翻折问题（微专题）
一、题型选讲
题型一 、展开问题
例1、（2022·广东佛山·高三期末）长方体 中， ，E为棱 上的动点，
平面 交棱 于F，则四边形 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边
长为 的菱形，B，C分别为AE，FD的中点， ，则在该四面体中（ ）
A．
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为
变式2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.，
题型二、折叠问题
例2、（2022·河北唐山·高三期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AB的中点，将 沿
DE所在的直线翻折，使A与 重合，得到四棱锥 ，则在翻折的过程中（ ）
A． B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使四棱锥 的体积为1
变式1、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为 的矩形纸， ， 分别是其四条边
的中点.现将其沿图中虚线折起，使得 四点重合为一点 ，从而得到一个多面体，则（ ）A．在该多面体中，
B．该多面体是三棱锥
C．在该多面体中，平面 平面
D．该多面体的体积为
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）如图，ABCD是一块直角梯形加热片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD
＝4 dm．现将△BCD沿BD折起，成为二面角A－BD－C是90°的加热零件，则AC间的距离是
________dm；为了安全，把该零件放进一个球形防护罩，则球形防护罩的表面积的最小值是
________dm2．（所有器件厚度忽略不计）
变式3、（2022·河北保定·高三期末）如图， 是边长为4的等边三角形 的中位线，将 沿
折起，使得点 与 重合，平面 平面 ，则四棱雉 外接球的表面积是___________.
题型三、折叠的综合性问题例3、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足
，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若 ，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为
ABCD △ACD △ACD
变式1、（2021·山东滨州市·高三二模）已知正方形 的边长为2，将 沿AC翻折到 的
D ABC D�
ABC BD
位置，得到四面体 ，在翻折过程中，点 始终位于 所在平面的同一侧，且 的最小
2
值为 ，则下列结论正确的是（ ）
D ABC 8
A．四面体 的外接球的表面积为
6
B．四面体D ABC 体积的最大值为 3
2 2π
C．点D的运动轨迹的长度为 3
2 2π
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为 3
变式2、【2022·广东省深圳市宝安区第一次调研10月】如图甲是由正方形 ，等边 和等边
组成的一个平面图形，其中 ，将其沿 ， ， 折起得三棱锥 ，如图乙.（1）求证：平面 平面 ；
（2）过棱 作平面 交棱 于点 ，且三棱锥 和 的体积比为 ，求直线
与平面 所成角的正弦值.
