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专题 21.6 配方法的四种常见应用
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！
【类型1 利用配方法确定未知数的取值】
1．（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于
x2+2x+4=(x+1) 2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式-x2+6x-m的最大值为
10，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-10 D．-19
【答案】B
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
【详解】解：-x2+6x-m
=-x2+6x-9+9-m
=-(x2-6x+9)+9-m
=-(x-3) 2+9-m，
∵(x-3) 2≥0，
∴-(x-3) 2≤0，
∴-(x-3) 2+9-m≤9-m，
∴-x2+6x-m的最大值为9-m，
∴9-m=10，
∴m=-1
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．
2．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3) 2=2c，则c的值为（ ）
A．-3 B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特征对x2+6x+c=0配方可得(x+3) 2-9+c=0，通过变形可得c的值.
【详解】解：∵对x2+6x+c=0配方可得到(x+3) 2-9+c=0
∴(x+3) 2-9+c=0变形可得(x+3) 2=-c+9
∴-c+9=2c
∴c=3
故选：D
【点睛】本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键.
3．（2023春·浙江杭州·九年级期末）若-2x2+4x-7=-2(x+m) 2+n，则m，n的值为（ ）
A．m=1,n=-5 B．m=-1,n=-5 C．m=1,n=9 D．m=-1,n=-9
【答案】B
【分析】已知等式左边变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【详解】解：∵-2x2+4x-7=-2（x2-2x+1）-5=-2（x-1）2-5=-2（x+m）2+n，
∴m=-1，n=-5．
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将-x2+mx+4进行配方，即可得出答案.
【详解】解：-x2+mx+4=- ( x- m) 2 + m2 +4,
2 4
m2
故 +4=5,
4
解得：m=±2.故选B.
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键.
5．（2023春·山东青岛·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2
＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是( )
9
A．0 B．2 C．3 D．
2
【答案】B
【分析】把选项中的k的值代入，得出方程，再解方程，即可得出选项．
【详解】解：A、当k＝0时，方程为﹣6x+3＝0，不能化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，故本选项不符合题意；
B、当k＝2时，方程为2x2﹣6x+3＝0，
3
x2-3x=-
2
3 2 3 3 2
x2-3x+( ) =- +( ) ，
2 2 2
3 2 3
(x- ) = ，故本选项符合题意；
2 4
C、当k＝3时，方程为3x2﹣6x+3＝0，
x2﹣2x+1＝0，
(x﹣2)2＝0，b＝0，故本选项不符合题意；
9 9
D、当k= 时，方程为 x2-6x+3=0，
2 2
9x2﹣12x+6＝0，
9x2﹣12x+4＝﹣2，
(3x﹣2)2＝﹣2，b＜0，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的定义，能正确配方是解此题的关键．
6．（2023春·天津和平·九年级校考期中）若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，
则m的值为（ ）
A．-2 B．-2或6 C．-2或-6 D．2或-6
【答案】B
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的结构，而4x2=（2x）2，即可求解．
【详解】−(m−2)=±2×2×1，∴m−2=±4，即m−2=4或m−2=−4，
得m=−2或m=6.
故选B.
【点睛】考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
7．（2023春·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程x2-8x+5=0配方成(x+a) 2=b的形式，则a+b
的值为 ．
【答案】7
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解a，b的值，从而可得答案．
【详解】解：∵x2-8x+5=0，
移项得：x2-8x=-5，
∴x2-8x+16=11，
∴(x-4) 2=11，
∴a=-4，b=11，
∴a+b=7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
8．（2023春·山东威海·九年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最
小值为n，那么m+n的值为 ．
【答案】-9
【分析】先将原式进行配方后即可得出m，n的值，再代入计算即可．
【详解】解：x2+6x+3
=x2+6x+9-6
=(x+3) 2-6，
∵(x+3) 2≥0，
∴x2+6x+3≥-6，即当x=-3时，二次三项式x2+6x+3的最小值为-6，
∴m=-3,n=-6，
∴m+n=-3-6=-9，
故答案为：-9．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确进行配方是解答本题的关键．
9．（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得
x2+4x+9=(x+m) 2+n
（1）则m= ， n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?
【答案】（1）2，5；（2）2±√2．
【详解】试题分析：（1）根据完全平方公式配方，即可得出答案；（2）根据题意得出方程，求出方程的
解即可．
试题解析：（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2） 2+5，∵x2+4x+9=（x+m） 2+n，∴m=2，
n=5，故答案为2，5；
（2）根据题意得：x2+4x+9=7，（x+2） 2 =7-5，x+2=±√2， x=-2±√2，即当x=-2±√2，此二次三
项式的值为7．
考点：解一元二次方程—配方法．
10．（2023春·广西贺州·九年级统考期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x-3最小值．
x2+2x-3=x2+2x⋅1+12-12-3=(x+1) 2-4
∵(x+1) 2≥0
∴当x=－1时，x2+2x-3有最小值－4
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3) 2+2=(x+a) 2+b，则a＝__________，b＝__________；
(2)若代数式x2-2kx+7的最小值为3，求k的值．
【答案】(1)√3，2
(2)k=±2
【分析】（1）根据配方法直接作答即可；
（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．
（1）
解：x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3) 2+2
=(x+√3) 2+2，
∴a=√3,b=2，
故答案为：√3，2；
（2）
解：x2-2kx+7
=x2-2kx+k2-k2+7
=(x-k) 2-k2+7，
∵（x-k) 2≥0，
∴(x-k) 2-k2+7的最小值是-k2+7，
∵代数式x2-2kx+7有最小值3，
∴-k2+7=3，即k2=4，
∴k=±2．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．．
【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】
1．（2023春·九年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，则a-b+c的
值为（ ）
A．-1 B．5 C．6 D．-7
【答案】B
【分析】首先把a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，两边相加整理成
a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a、b、c的数值，代入求得答案即可．
【详解】解：∵a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，
∴a2+6b+b2-2c+c2-2a=-11，
∴a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0
∴(a-1) 2+(b+3) 2+(c-1) 2=0，
∴a=1，b=-3，c=1，
∴a-b+c=1+3+1=5．故选：B．
【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值
是 ．
【答案】2或3
【分析】由a−b＝2，得出a＝b＋2，进一步代入ab+2b-c2+2c=0，利用完全平方公式得到
(b+2) 2-(c-1) 2-3=0，再根据已知条件求出b的值，进一步求得a的值即可．
【详解】解：∵a−b＝2，
∴a＝b＋2，
∴ab+2b-c2+2c
=b(b+2)+2b-c2+2c
=b2+4b-(c2-2c)
=(b+2) 2-(c-1) 2-3
＝0，
∴(b+2) 2=(c-1) 2+3，
∵b≥0，−2≤c＜1，
∴-3≤c-1<0，
∴0<(c-1) 2≤9，
∴3<(c-1) 2+3≤12，
∴3＜(b+2) 2≤12，
∵a是整数，
∴b是整数，
∴b＝0或1，
∴a＝2或3，
故答案为：2或3．
【点睛】此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．3．（2023春·江苏·九年级期末）若a，b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0，则a+3b的值为 ．
【答案】-4
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结
果．
【详解】解：已知等式变形得：(a2+2ab+b2)+(a2-4a+4)=0，
即(a+b) 2+(a-2) 2=0，
∵(a+b) 2≥0，(a-2) 2≥0，
∴a+b=0，a-2=0，
解得：a=2，b=-2，
则a+3b=2-6=-4．
故答案为：-4．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023春·九年级课时练习）根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；
(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．
【答案】(1)9
(2)6、7、8、9、10
(3)8
【分析】（1）将已知的等式化为(x﹣y) 2+(y+3) 2=0，再根据平方式的非负性即可求解；
（2）将已知的等式化为(a﹣5) 2+(b﹣6) 2=0，再根据平方式的非负性即可求出a、b，再根据三角形三
边的关系即可就出c的取值范围，即可求解；
（3）将已知的等式化为(a﹣4) 2+(c﹣8) 2=0，再根据平方式的非负性即可求解；
【详解】（1）∵ x2﹣2xy+2y2+6 y+9=0，
∴(x2﹣2xy+ y2 )+(y2+6 y+9)=0，∴(x﹣y) 2+(y+3) 2=0，
∴ x﹣y=0，y+3=0，
∴ x=﹣3，y=﹣3，
∴ xy=(﹣3)×(﹣3)=9，
即xy的值是9；
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴(a2﹣10a+25)+(b2﹣12b+36)=0，
∴(a﹣5) 2+(b﹣6) 2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a(a﹣8)+16+(c﹣8) 2=0，
∴(a﹣4) 2+(c﹣8) 2=0，
∴ a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，
即b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴ a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性等知识，灵活运用完全平方公式是解答
本题的关键．
1
5．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知a+b-2√a-1-4√b-2=3√c-3- c-5，求a+b+c的值．
2
【答案】20
【分析】利用完全平方公式及配方法变形，再利用完全平方公式的非负性列出方程求出a、b、c的值，代
入所求代数式计算即可．1
【详解】解：将等式整理配方，得(√a-1-1) 2+(√b-2-2) 2+ (√c-3-3) 2=0，
2
则√a-1-1=0，√b-2-2=0，√c-3-3=0，
∴a=2，b=6，c=12，
∴a+b+c=20．
【点睛】本题考查了全平方公式，配方法、完全平方的非负性：解题的关键是掌握配方法的步骤进行求解，
同时掌握当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
6．（2023春·广东佛山·九年级校考期中）（1）若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：因为m2-2mn+2n2-8n+16=0，所以(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0
由此，可求出m=______；n=______；
根据上面的观察，探究下面问题：
（2）x2+4xy+5 y2+2-2√2y=0，求2x+ y的值；
【答案】（1）4，4；（2）-3√2
【分析】（1）先把原式变形为(m-n) 2+(n-4) 2=0，然后利用偶次方的非负性进行求解即可；
（2）仿照（1）把原式变形为(x+2y) 2+(y-√2) 2=0，然后利用偶次方的非负性求出x、y的值即可得到答
案．
【详解】解：（1）∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0，
∴(m-n) 2+(n-4) 2=0，
∵(m-n) 2≥0，(n-4) 2≥0，
∴(m-n) 2=(n-4) 2=0
∴m-n=0，n-4=0，
∴m=n=4，
故答案为；4，4；
（2）∵x2+4xy+5 y2+2-2√2y=0，
∴(x2+4xy+4 y2)+(y2+2-2√2y)=0，∴(x+2y) 2+(y-√2) 2=0，
∵(x+2y) 2≥0，(y-√2) 2 ≥0，
∴(x+2y) 2=(y-√2) 2=0，
∴x+2y= y-√2=0，
∴x=-2√2，y=√2，
∴2x+ y=-3√2．
【点睛】本题主要考查了配方法的运用，偶次方的非负性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解题的关
键．
7．（2023春·全国·九年级专题练习）已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、
b的值．
【答案】a=4，b=2．
【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可
【详解】解：a2+b2-8a-4b+20=0，
a2-8a+16+b2-4b+4=0，
(a-4)2+(b-2)2=0
a-4=0，b-2=0，
a=4，b=2．
【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
8．（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同
时为零．
例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．
②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．
解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，
∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，
∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，
∴ n=2，m=-3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= ．b= ．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．
（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．
【答案】（1）a= 2 ，b= 0；（2）xy=-27；（3）当a为腰时，周长为7，当b为腰时，周长为8.
【分析】（1）由题意给出的运算公式即可解答
（2）根据完全平方公式，再根据非负数的性质进行解答即可
（3）同（2）根据完全平方公式求出a,b的值，再根据情况分类讨论等腰三角形的腰长即可解答
【详解】（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= 2 ．b= 0 ．
（2）解:∵x2+2xy+2y2－6y+9=0,
∴x2+2xy+y2+y2－6y+9=0
∴(x+y)2+(y－3)2=0
∴x+y=0, y－3 =0
∴ y=3，x=-y=-3,
∴ xy=(-3)3=-27
（3）∵2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，
∴2a2﹣8a+8+b2﹣6b+9=0
∴2(a2﹣4a+4)+b2﹣6b+9=0
∴2(a﹣2)2+(b-3)2=0
∴ a﹣2=0, b-3 =0
∴ a=2，b=3,
当a为腰时，周长为7，
当b为腰时，周长为8.
【点睛】此题考查配方法的应用，利用完全平方公式是解题关键
9．（2023春·江苏·九年级专题练习）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙
的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x-5=x2+4x+22-22-5=(x+2) 2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①x2+3x-4；
②x2-8x-9
（2）深入研究：说明多项式x2-6x+12的值总是一个正数?（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2-2ab+2b2-2bc+c2=0，试判断△ABC的
形状，并说明理由．
【答案】（1）①(x+4)(x-1)；②(x+1)(x-9)；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可；
（3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【详解】解：（1）①x2+3x-4=x2+3x+ (3) 2 - (3) 2 -4= ( x+ 3) 2 - 25
2 2 2 4
( 3 5)( 3 5)
x+ + x+ - =(x+4)(x-1)．
2 2 2 2
②x2-8x-9=x2-8x+42-42-9
=(x-4) 2-25=(x-4+5)(x-4-5)=(x+1)(x-9)
（2）x2-6x+12=x2-6x+9+3=(x-3) 2+3
∵(x-3) 2≥0
∴(x-3) 2+3>0
∴多项式x2-6x+12的值总是一个正数．
（3）△ABC为等边三角形．
理由如下：∵a2-2ab+2b2-2bc+c2=0
∴(a2-2ab+b❑)+(b2-2bc+c2)=0
∴(a-b) 2+(b-c) 2=0
∴a-b=0，b-c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法．
10．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考期末）阅读材料：若x2-2xy+2y2-8 y+16=0，求x，y的值．
解：∵x2-2xy+2y2-8 y+16=0
∴(x2-2xy+ y2)+(y2-8 y+16)=0∴(x- y) 2+(y-4) 2=0
∴(x- y) 2=0，(y-4) 2=0
∴y=4,x=4
根据上述材料，解答下列问题：
（1）m2-2mn+2n2-2n+1=0，求2m+n的值；
（2）a-b=6，ab+c2-4c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】（1）2m+n=3；（2）a+b+c=2．
【分析】（1）将方程m2-2mn+2n2-2n+1=0的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得m、n
的值，最后代入2m+n即可解题；
（2）由a-b=6整理得，a=6+b，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解
题即可
【详解】解：（1）∵m2-2mn+2n2-2n+1=0
∴(m2-2mn+n2)+(n2-2n+1)=0
∴(m-n) 2+(n-1) 2=0
∴(m-n) 2=0，(n-1) 2=0
∴n=1，m=n=1
∴2m+n=2×1+1=3；
（2）∵a-b=6，
∴a=6+b
∵ab+c2-4c+13=0
∴(b+6)b+c2-4c+13=0
∴(b2+6b+9)+(c2-4c+4)=0
∴(b+3) 2+(c-2) 2=0
∴(b+3) 2=0，(c-2) 2=0
∴b=-3，c=2∴a=6+(-3)=3
∴a+b+c=3+(-3)+2=2．
【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
11
11．（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）设b为正整数，a为实数，记M=a2-4ab+5b2+2a-2b+
，
4
在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值，并求出M取得最小整数值时a，b的值．
1 3
【答案】5，b=1，a= 或a=
2 2
【分析】根据配方法把M进行变形，根据b为正整数，求出M可能取得的最小整数值，把M的最小值代
入配方后的式子，求出a、b的值即可．
3 3
【详解】解：M=(a-2b) 2+2(a-2b)+1+b2+2b+1+ =(a-2b+1) 2+(b+1) 2+ ，
4 4
3 19
注意到b为正整数，所以M≥(1+1) 2+ = ，
4 4
所以M可能取得的最小整数值为5．
3
当M=5时，(a-2b+1) 2+(b+1) 2+ =5，
4
17
故(a-2b+1) 2+(b+1) 2= ．
4
因为b为正整数，
所以(b+1) 2是整数且不小于4，
1
所以一定有b+1=2，且(a-2b+1) 2= ，
4
1 3
所以b=1，a= 或a= ．
2 2
【点睛】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握配方法的步骤和非负数的性质是解题的关键．
12．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫
配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=(x-2) 2-2；
②选取二次项和常数项配方：x2-4x+2=(x-√2) 2+(2√2-4)x，或x2-4x+2=(x+√2) 2-(4+2√2)x
③选取一次项和常数项配方：x2-4x+2=(√2x-√2) 2-x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+ y2+xy-3 y+3=0，求xy的值．
【答案】（1）答案解析；（2）1．
【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次
项和常数项在一起进行配方即可．
（2）根据配方法的步骤把x2+ y2+xy-3 y+3=0变形为 ( x+ y) 2 + 3 (y-2) 2=0，再根据偶次幂的非负性
2 4
质得到¿，求出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）x2-8x+4=x2-8x+16-16+4=(x-4) 2-12，
或x2-8x+4=x2-4x+4-8x+4x=(x-2) 2-4x．
（2）∵x2+ y2+xy-3 y+3=0，
∴x2+xy+ y2 + 3 y2 -3 y+3=0，即 ( x+ y) 2 + 3 (y-2) 2=0．
4 4 2 4
∴¿，解得¿．
∴xy=(-1) 2=1．
13．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关
运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+2)(a+4)
②M=a2-2ab+2b2-2b+2，利用配方法求M的最小值，
解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b) 2+(b-1) 2+1
∵(a-b) 2≥0，(b-1) 2≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：2
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2- x+______．
3
(2)用配方法因式分解：x2-4xy+3 y2．
(3)若M=x2+8x-4，求M的最小值．
(4)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，则x+ y+z的值为______．
1
【答案】(1)
9
(2)(x- y)(x-3 y)
(3)-20
(4)4
1
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2，可以知道横线上是 ，
9
（2）按照题干上的示例可以将x2-4xy+3 y2分为(x2-4xy+4 y2 )- y2，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将M因式分解为完全平方的形式即(x+4) 2-20，即可求出最小值，
（4）根据题意先将x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0因式分解，变成完全平方的形式即
(x- y) 2+(y-1) 2+(z-2) 2=0，然后得出x，y，z的值，代入x+ y+z即可求出结果．
【详解】（1）解： x2- 2 x+ 1 = ( x- 1) 2 ，
3 9 3
1
故答案为： ；
9
（2）解：x2-4xy+3 y2
=x2-4xy+4 y2- y2
=(x-2y) 2- y2
=(x-2y+ y)(x-2y- y)
=(x- y)(x-3 y)；
（3）解：M=x2+8x-4
=x2+8x+16-16-4
=(x+4) 2-20，∵(x+4) 2≥0，
∴当x=-4时，M有最小值为-20；
（4）解：x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，
x2-2xy+ y2+ y2-2y+1+z2-4z+4=0，
(x- y) 2+(y-1) 2+(z-2) 2=0，
∵(x- y) 2≥0，(y-1) 2≥0，(z-2) 2≥0，
∴¿，
∴x=1，y=1，z=2，
∴x+ y+z=1+1+2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再
进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行
因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时
为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．
【类型3 利用配方法求最值】
1．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）代数式x2-4x+5的最小值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．
【详解】解：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2) 2+1
∵(x-2) 2≥0
∴(x-2) 2+1≥1
即代数式x2-4x+5≥1
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．
2．（2023春·山东威海·九年级统考期中）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是
（ ）A．B-A的最大值是0 B．B-A的最小值是-1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，
∴B-A=2x2+4x+n2-(x2+6x+n2)
=2x2+4x+n2-x2-6x-n2
=x2-2x
=(x-1) 2-1；
∴当x=1时，B-A有最小值-1；
当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2)，
∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，
∴-8x=n2≥0，
∴x≤0，即x是非正数；
故选项A,C,D错误，选项B正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
3．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2-10)，且实数m，
n满足2m-3n2+9=0，则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
3 12 6 4
A． √10 B． C． √3 D． √5
5 5 5 5
【答案】B
2m+9
【分析】由2m-3n²+9=0,得n2= ，点P到原点O的距离为OP=√ m2+(2n2-10) 2，逐步整理，
3
最后将被开方数配方进行求解即可.
2m+9
【详解】解：由2m-3n2+9=0,得n2=
，
3
∴点P到原点O的距离为：
OP=√ m2+(2n2-10) 2=
√
m2+4
(2m+9
-5 )
2
3
√25( 48) 2 256
= m- +16-
9 25 25
√ 256 12
≥ 16- = ，
25 5
故选: B.
【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟
练掌握配方法是解题的关键.
4．（2023春·浙江·九年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：a (x-m) 2+n=0与a (x-m) 2+n=0，
1 2
称为“同族二次方程”．如2(x-3) 2+4=0与3(x-3) 2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二
次方程：2(x-1) 2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2018能
取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2(x-1) 2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0为同族二次方程．
∴(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1) 2+1，
∴(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3，
∴¿，
解得：¿．
∴ax2+bx+2018=5x2-10x+2018=5(x-1) 2+2013，
∴当x=1时，ax2+bx+2018取最小值为2013.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
5．（2023春·福建福州·九年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m-n2=8，则代数式
m2-3n2+m-14的最小值是 ．
【答案】58
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据m≥8，即可求解．
【详解】∵m-n2=8，
∴n2=m-8，m≥8，
则m2-3n2+m-14
=m2-3(m-8)+m-14
=m2-3m+24+m-14
=m2-2m+10
=(m-1) 2+9
∵m≥8
∴当m=8时取得最小值，最小值为(8-1) 2+9≥58，
故答案为：58．
【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质.
6．（2023春·广东韶关·九年级校考期末）阅读下面的解答过程：
求y2+4 y+8的最小值
解：y2+4 y+8
= y2+4 y+4+4
=(y+2) 2+4
=(y+2) 2≥0，即(y+2) 2的最小值为0，
∴(y+2) 2+4的最小值为4．
即y2+4 y+8的最小值是4．
根据上面的解答过程，回答下列问题：
(1)式子x2+2x+2有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．
1
(2)求
x2+x的最小值．
2(3)求-x2+2x+4的最大值．
【答案】(1)小，1
1
(2)-
2
(3)5
【分析】（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（3）原式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质确定出最大值即可．
【详解】（1）式子x2+2x+2=(x+1) 2+1，有最小值，此最值为1；
故答案为：小，1；
1 1 1 1
（2）原式= (x2+2x+1)- = (x+1) 2- ，
2 2 2 2
1
当x+1=0，即x=-1时，原式有最小值，最小值为- ；
2
（3）原式=-(x2-2x+1)+5=-(x-1) 2+5，
当x-1=0，即x=1时，原式有最大值，最大值为5．
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
7．（2023春·四川达州·九年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，
即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2-1有 值(填“最大”或“最小”)这个值是 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5=n2+4n+4+1=(n+2) 2+1∴当n=-2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x-1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2-4xy+5 y2-12y+15的最小值及此时x，y的值
3
【答案】应用：最小，-1；探究：-10，此时x=- ；拓展：-21，此时x=12，y=6．
2
【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方加常数的形式，再根据非负数的
性质即可得出答案．
【详解】解：应用：
∵m2≥0，m2-1≥-1，∴代数式m2-1有最小值，这个值是-1，此时m=0；
故答案为：最小，-1；
探究：
∵4x2+12x-1=(2x+3) 2-10，
3
∴当2x+3=0，即x=- 时，代数式4x2+12x-1的最小值为-10；
2
拓展：
∵x2-4xy+5 y2-12y+15
=x2-4xy+4 y2+ y2-12y+15
=(x-2y) 2+(y-6) 2-21，
∴当x-2y=0，y-6=0时，即x=12，y=6，多项式x2-4xy+5 y2-12y+15的最小值是-21．
【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出
的式子化成完全平方加常数的形式进行解答．
8．（2023春·广东惠州·九年级期末）阅读理解：求代数式x2+6x+10的最小值.
解：因为x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3) 2+1，
所以当x=-3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
(1)求代数式x2+2x+10的最小值；
(2)求代数式-m2+8m+3的最大值.
【答案】(1)9
(2)19
【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；
（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
x2+2x+10=(x2+2x+1)+9=(x+1) 2+9，
∵(x+1) 2≥0，∴(x+1) 2+9≥9，
∴当x=-1时，代数式x2+2x+10有最小值，最小值是9；
（2）解：由题意可得，
-m2+8m+3=-(m2-8m+16)+3+16=-(m-4) 2+19，
∵(m-4) 2≥0，
∴-(m-4) 2+19≤19，
∴当m=4时，代数式-m2+8m+3有最大值，最大值为19．
【点睛】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方．
9．（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到
1
的方法尝试研究函数y=x+ 时，提出了如下问题：
x
（1）初步思考：自变量x的取值范围是_______________
（2）探索发现：当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；
（3）深入思考：当x>0时，y=x+ 1 =(√x) 2+ ( 1 ) 2 = ( √x- 1 ) 2 +2≥2，于是，当√x- 1 =0时，即
x √x √x √x
x=1时，y的最小值是2．
请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值；
【实际应用】（4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别
为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）x≠0；（2）一、三；（3）-2；（4）25
【分析】（1）根据分母不为0即可求解；
（2）根据当x>0时，y>0；当x<0时，y<0即可判断；（3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解；
（4）设S =x，已知S =4，S =9，则由等高三角形可知：S :S =S :S ，
△BOC △AOB △COD △BOC △COD △AOB △AOD
用含x的式子表示出S ，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小
△AOD
值，加上常数即可．
1
【详解】解：（1）函数y=x+ 的自变量x的取值范围为：x≠0，
x
故答案为：x≠0；
（2）∵当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．
∴该函数的函数图象在第一、三象限，
故答案为：一、三；
1 ( 1)
（3）当x<0时，x+ =- -x- ，
x x
∵y=- ( -x- 1) =- [ (√-x) 2+ ( 1 ) 2] =- [ ( √-x- 1 ) 2 +2 ] ≤-2，
x √-x √-x
1
∴当√-x+ =0时，即x=-1时，y的最大值是-2．
√-x
1
∴当x<0时，x+ 的最大值为-2．
x
故答案为：-2；
（4）设S =x，已知S =4，S =9
△BOC △AOB △COD
由等高三角形可知：S :S =S :S ，
△BOC △COD △AOB △AOD
∴x:9=4:S
△AOD
36
∴:S =
△AOD x
36
∴四边形ABCD面积=4+9+x+ ，
x
2 2
∵x+ 36 =(√x) 2+ (√36) = ( √x- √36) +12≥12
x x x
√36
当且仅当√x- =0，即x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
x
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了函数的相关知识和等高三角形的性质，
熟练掌握配方法是解题的关键．【类型4 利用配方法比较大小】
1．（2023·全国·九年级假期作业）若代数式M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+1，请比较M、N的
大小．
【答案】M>N
【分析】两数比较利用作差法M-N作差后的结果与0比较大小即可．
【详解】解：由题意可知：M-N=10a2+b2-7a+8-(a2+b2+5a+1)=9a2-12a+7=(3a-2) 2+3>0，
∵(3a-2) 2≥0，
∴(3a-2) 2+3≥3>0，
∴M>N，
故答案为：M>N．
【点睛】比较两数的大小一个常用的方法是作差法，通过作差后的结果与0比较大小即可求解
3
2．（2023春·浙江杭州·九年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣ ）．
2
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
【答案】（1）8；（2）MS ，见解析．
1 2
【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；
（3）将5x2-4xy+ y2+6x+25配方成(2x- y) 2+(x+3) 2+16，即可解答；（4）求出S -S =a2-6a+10=a2-6a+9+1=(a-3) 2+1，利用(a-3) 2≥0，得到S -S ≥1＞0，即
1 2 1 2
S ＞S ．
1 2
【详解】（1）解： x2-2x-1=x2-2x+1-1-1=(x-1) 2-2
因为(x-1) 2≥0，所以x2-2x-1≥-2，
因此，当x=1时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值是-2．
故答案为：1；-2
（2）解：2x2+8x+12=2(x2+4x+6)=2(x2+4x+4+2)=2(x+2) 2+4，
因为(x+2) 2≥0，所以2x2+8x+12≥4，
因此，当x=-2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4．
（3）解：5x2-4xy+ y2+6x+25=4x2-4xy+ y2+x2+6x+9+16=(2x- y) 2+(x+3) 2+16
因为(2x- y) 2≥0，(x+3) 2≥0，所以5x2-4xy+ y2+6x+25≥16，
因此，当2x= y，x=-3时，即x=-3，y=-6时，代数式5x2-4xy+ y2+6x+25有最小值，最小值是
16．
（4）解：S =(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10，S =5a(a+5)=5a2+25a，
1 2
∴S -S =a2-6a+10=a2-6a+9+1=(a-3) 2+1，
1 2
∵(a-3) 2≥0，
∴S -S ≥1＞0，即S ＞S ．
1 2 1 2
【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．
4．（2023春·江苏宿迁·九年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法
将它分解成(x+a) 2的形式．但对于二次三项式x2+2xa-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以
在二次三项式x2+2xa-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个
式子的值不变，于是有：x2+2xa-3a2=(a2+2ax+a2 )-a2-3a2=(x+a) 2-4a2
=(x+a) 2-(2a) 2
=(x+3a)(x-a)
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”，利用“配方法"，解决下列问题：
(1)分解因式：a2-6a+8.
(2)比较代数式x2-1与2x-3的大小.
【答案】(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3.
【分析】(1)前两项加9再减9，可以组成完全平方式；
(2)将x2-1与2x-3做差，对所得的差利用“配方法”进行求解即可得.
【详解】(1)a2-6a+8
=a2-6a+9-9+8
=(a-3)2-1
=(a-2)(a-4)；
(2)x2-1-(2x-3)
=x2-1-2x+3
=x2-2x+2
=x2-2x+1-1+2
=(x-1)2+1，
不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0，
所以x2-1>2x-3.
【点睛】本题考查了配方法，十字相乘法分解因式，偶次方的性质，因式分解的应用等，配方法是数学习
题里经常出现的方法，应熟练掌握．
5．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配
成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3【分析】（1）直接配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再求x＋y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【详解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案为：-2，1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2
=（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然
后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．（2023春·江苏苏州·九年级校联考期中）先阅读后解题：
若m2+2m+n2-6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为：m2+2m+1+n2-6n+9=0
即(m+1) 2+(n-3) 2=0
因为(m+1) 2≥0，(n-3) 2≥0，
所以m+1=0，n-3=0
即m=-1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决
下列问题：
（1）已知x2+ y2+4x-10 y+29=0，求yx的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-6b+11=0，则△ABC的周长是
________；（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x-3与x2+3x-4的大小，并说明理由．
1
【答案】（1） ；（2）7；（3）2x2+2x-3 >x2+3x-4，理由见解析．
25
【分析】（1）利用分组分解法进行配方即可解题；
（2）根据题意进行分组配方，解得a=1,b=3，再利用三角形三边关系解得c的值即可解题；
（3）利用作差法解题．
【详解】解：（1）x2+ y2+4x-10 y+29=0
x2+4x+4+ y2-10 y+25=0
(x+2) 2+(y-5) 2=0
因为(x+2) 2≥0，(y-5) 2≥0，
∴x+2=0,y-5=0
∴x=-2,y=5
1
∴yx=5-2=
；
25
（2）2a2+b2-4a-6b+11=0
2a2-4a+2+b2-6b+9=0
2(a-1) 2+(b-3) 2=0
因为(a-1) 2≥0，(b-3) 2≥0，
∴a=1,b=3
∴20
2 4 4
∴ 2x2+2x-3 >x2+3x-4．
【点睛】本题考查配方法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．
例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1
（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．
∵x2﹣2x＋3＝（x﹣ ）2＋ ．
∴x2﹣2x＋3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）
（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S（用含a的式子表示）；如图②
1
所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S（用含a的式子表示）
2
（3）比较（2）中S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】（1）1，2；＞；（2）S =5a2+25a；（3）S＞S，见解析
2 1 2
【分析】（1）利用配方法将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，利用非负数的性质判断x2﹣2x
＋3与0的大小关系；
（2）利用矩形的面积公式解答；
（3）利用作差法比较（2）中S 与S 的大小．
1 2
【详解】解：（1）x2﹣2x＋3＝x2﹣2x＋1﹣1＋3＝（x﹣1）2＋2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2＋2＞0
故答案为：1，2；＞；（2）S =(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10，S =5a(a+5)=5a2+25a；
1 2
（3）S−S＝6a2+19a+10−(5a2+25a)=a2-6a+10=（a-3）2+1
1 2
∵（a﹣3）2≥0
∴（a﹣3）2＋1＞0，
∴S﹣S＞0，
1 2
∴S＞S．
1 2
【点睛】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
8．（2023春·广东肇庆·九年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读
小明同学在学习过程中非常重视归纳总结，学习了完全平方公式之后，他发现并总结出了三个很有价值的
结论：
①形如(a±b) 2+c的式子，当a±b=0有最小值，最小值是c；
②形如-(a±b) 2+c的式子，当a±b=0有最大值，最大值是c；
③а2+b2≥2ab．
这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2-4x+3有最小值，最小值是多少？小明同
学用结论①求出了答案，他是这样解答的：
∵x2-4x+3=x2-4x+(4-4)+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2) 2-1
∴当x-2=0，即x=2时x2-4x+3的值最小，最小值为-1．
理解运用
请恰当地选用上面的结论解答下面的问题
(1)求x取何值时，代数式-x2-6x+5有最大值，最大值是多少？
(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：
p+q
方案二：第一次，第二次提价均为 %．
2
其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？
【答案】(1)当x=-3时，有最大值是14
(2)方案二提价较多【分析】（1）根据题意将-x2-6x+5转化为-(x+3) 2+14，据此解答；
（2）设此种产品的原料原价a元，根据题意，分别解得方案一，方案二提价后的价格，再利用求商法，比
较两个结果即可解答．
【详解】（1）解：-x2-6x+5=-(x2+6x)+5=-(x2+6x+32-32 )+5=-(x+3) 2+14
当x+3=0，即当x=-3时，有最大值，最大值是14；
（2）设此种产品的原料原价a元，
100+p 100+q
方案一：a(1+p%)(1+q%)=a⋅ ⋅
100 100
p+q 2 (200+p+q) 2
方案二：a(1+ %) =a⋅
2 40000
(200+p+q) 2
p+q 2
a(1+ %) 40000
2 =
∵ 100+p 100+q
a(1+p%)(1+q%) ⋅
100 100
(100+p+100+q) 2
=
4(100+p)(100+q)
(100+p) 2+(100+q) 2+2(100+p)(100+q)
=
4(100+p)(100+q)
∵(100+p) 2+(100+q) 2≥2(100+p)(100+q)
(100+p) 2+(100+q) 2+2(100+p)(100+q) 4(100+p)(100+q)
∴ ≥ =1
4(100+p)(100+q) 4(100+p)(100+q)
∴方案二提价较多．
【点睛】本题考查完全平方公式、配方法求最值等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
