2021年高考数学试卷（理）（全国乙卷）（新课标Ⅰ）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2021·高考数学真题

绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 2z+z+3z-z=4+6i 1. 设 ，则z =（ ） 1-2i 1+2i 1+i 1-i A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】设z =a+bi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知 数的值，即可得出复数z . 【详解】设z =a+bi，则z =a-bi，则2z+z+3z-z=4a+6bi=4+6i， ì4a =4 所以，í ，解得a=b=1，因此，z =1+i. î6b=6 故选：C.     已知集合S = s s =2n+1,nÎZ ，T = t t =4n+1,nÎZ ，则SÇT = （ ） 2. Æ S T Z A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】分析可得T Í S，由此可得出结论 . 第 页 共 页 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司【详解】任取tÎT ，则t =4n+1=2×2n+1，其中nÎZ，所以，tÎS，故T Í S， 因此，S I T =T . 故选：C. 已知命题 p:$xÎR,sinx<1﹔命题q:"xÎR﹐e|x| ³1，则下列命题中为真命题的是（ ） 3. pÙq ØpÙq pÙØq ØpÚq A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题 p的真假性，由指数函数的知识确定命题 q 的真假性，由此确定正 确选项. 【详解】由于sin0=0，所以命题 p为真命题； 由于y =ex在R上为增函数， x ³0，所以e|x| ³e0 =1，所以命题 q 为真命题； 所以 pÙq为真命题，ØpÙq 、 pÙØq 、ØpÚq 为假命题. 故选：A． 1-x 设函数 f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ） 4. 1+x f x-1-1 f x-1+1 f x+1-1 f x+1+1 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 1-x 2 【详解】由题意可得 f(x)= =-1+ ， 1+ x 1+ x 2 对于A， f x-1-1= -2不是奇函数； x 2 对于B， f x-1+1= 是奇函数； x 2 对于C， f x+1-1= -2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； x+2 第 页 共 页 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司2 对于D， f x+1+1= ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. x+2 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 5. 在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P为B 1 D 1 的中点，则直线PB与AD 1 所成的角为（ ） π π π π A. B. C. D. 2 3 4 6 【答案】 D 【解析】 【分析】平移直线AD 至BC ，将直线PB与AD 所成的角转化为PB与BC 所成的角，解三角形即可. 1 1 1 1 【详解】 如图，连接BC ,PC ,PB，因为AD ∥BC ， 1 1 1 1 所以ÐPBC 或其补角为直线PB与AD 所成的角， 1 1 因为BB ^平面ABC D ，所以BB ^ PC ，又PC ^ BD ，BB ÇBD = B ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以PC ^平面PBB ，所以PC ^ PB， 1 1 1 1 设正方体棱长为2，则BC =2 2,PC = DB = 2， 1 1 2 1 1 PC 1 p sinÐPBC = 1 = ，所以ÐPBC = . 1 BC 2 1 6 1 故选：D 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只 6. 分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） 60种 120种 240种 480种 A. B. C. D. 【答案】 C 第 页 共 页 3 / 33 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘 法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者 中任选2人，组成一个小组，有C2种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同 5 的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 C2´4!=240种不同的分配方案， 5 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排 思想求解. 1 p 把函数y= f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个 7. 2 3 æ pö 单位长度，得到函数y =sin ç x- ÷的图像，则 f(x)=（ ） è 4ø æ x 7pö æ x pö sin - sin + A. ç ÷ B. ç ÷ è2 12 ø è2 12ø æ 7pö æ pö sin 2x- sin 2x+ C. ç ÷ D. ç ÷ è 12 ø è 12ø 【答案】 B 【解析】 【分析】解法一：从函数y= f(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 é æ pöù é æ pöù æ pö y = f ê 2 ç x- ÷ú，即得 f ê 2 ç x- ÷ú =sin ç x- ÷，再利用换元思想求得y= f(x)的解析表达式； ë è 3øû ë è 3øû è 4ø æ pö 解法二：从函数y =sin ç x- ÷出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y= f(x)的解析表 è 4ø 达式. 【详解】解法一：函数y= f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，得到y = f(2x) 2 p é æ pöù 的图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到y = f ê 2 ç x- ÷ú的图象， 3 ë è 3øû 第 页 共 页 4 / 33 学科网（北京）股份有限公司æ pö é æ pöù æ pö 根据已知得到了函数y =sin ç x- ÷的图象，所以 f ê 2 ç x- ÷ú =sin ç x- ÷， è 4ø ë è 3øû è 4ø æ pö t p p t p 令t =2 ç x- ÷,则x= + ,x- = + , è 3 ø 2 3 4 2 12 æ t pö æ x pö 所以 f t=sin ç + ÷,所以 f x=sin ç + ÷； è2 12ø è2 12ø æ pö 解法二：由已知的函数y =sin ç x- ÷逆向变换， è 4ø p æ p pö æ pö 第一步：向左平移 个单位长度，得到y =sin ç x+ - ÷ =sin ç x+ ÷的图象， 3 è 3 4ø è 12ø æ x pö 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y =sin ç + ÷的图象， è2 12ø æ x pö 即为y = f x 的图象，所以 f x=sin ç + ÷. è2 12ø 故选：B. 7 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ） 8. 4 7 23 9 2 A. B. C. D. 9 32 32 9 【答案】 B 【解析】 【分析】设从区间 0,1,1,2 中随机取出的数分别为x,y，则实验的所有结果构成区域为 W= x,y 0< x<1,1< y<2  ，设事件A表示两数之和大于 7 ，则构成的区域为 4 ì 7ü A=í x,y 0< x<1,1< y 2,x+ y ý，分别求出W,A对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即 î 4þ 可解出． 【详解】如图所示： 第 页 共 页 5 / 33 学科网（北京）股份有限公司设从区间 0,1,1,2 中随机取出的数分别为x,y，则实验的所有结果构成区域为 W= x,y 0< x<1,1< y<2  ，其面积为S =1´1=1． W 7 ì 7ü 设事件A表示两数之和大于 ，则构成的区域为A=í x,y 0< x<1,1< y 2,x+ y ý，即图中的阴影 4 î 4þ 1 3 3 23 S 23 部分，其面积为S =1- ´ ´ = ，所以PA= A = ． A 2 4 4 32 S 32 W 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件W,A对应的区 域面积，即可顺利解出． 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E， 9. H ，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称 为“表距”，GC和EH 都称为“表目距”，GC与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（ ） 表高´表距 表高´表距 +表高 -表高 A. B. 表目距的差 表目距的差 表高´表距 表高´表距 +表距 -表距 C. D. 表目距的差 表目距的差 【答案】 A 【解析】 第 页 共 页 6 / 33 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： DE EH FG CG 由平面相似可知， = , = ，而 DE = FG，所以 AB AH AB AC DE EH CG CG-EH CG-EH = = = = ，而 CH =CE-EH =CG-EH +EG， AB AH AC AC-AH CH CG-EH +EG EG´DE 表高´表距 即AB= ´DE = +DE＝ +表高． CG-EH CG-EH 表目距的差 故选： A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 设a¹0，若a为函数 f x=ax-a2x-b的极大值点，则（ ） 10. A. ab C. aba2 【答案】 D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分 类讨论，画出 图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若a =b，则 f x=ax-a3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故a¹ b. \ f x 有a和b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，a为 第 页 共 页 7 / 33 学科网（北京）股份有限公司函数 的极大值点，\在x=a左右附近都是小于零的. 当a<0时，由x>b， f x£0，画出 f x 的图象如下图所示： 由图可知ba2. 当a>0时，由x>b时， f x>0，画出 f x 的图象如下图所示： 由图可知b>a，a>0，故ab>a2. 综上所述，ab>a2成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. x2 y2 11. 设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|£2b，则C的离 a2 b2 心率的取值范围是（ ） é 2 ö é1 ö æ 2ù æ 1ù A. ê ,1÷ ÷ B. ê ,1 ÷ C. ç0, ú D. ç 0, ú ë 2 ø ë2 ø è 2 û è 2û 第 页 共 页 8 / 33 学科网（北京）股份有限公司【答案】 C 【解析】 【分析】设P  x,y  ，由B0,b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出 PB 的最大 0 0 值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设P  x,y  ，由B0,b ，因为 x 0 2 + y 0 2 =1，a2 =b2 +c2，所以 0 0 a2 b2 2 æ y2 ö c2 æ b3 ö b4 PB 2 = x2 +y -b2 =a2 ç1- 0 ÷+y -b2 =- çy + ÷ + +a2 +b2， 0 0 è b2 ø 0 b2 è 0 c2 ø c2 b3 因为-b£ y £b，当- £-b，即 b2 ³c2时， PB 2 =4b2，即 PB =2b，符合题意，由 0 c2 max max 2 b2 ³c2可得a2 ³2c2，即 0-b，即b2 ln1.02=b， 所以b0，即 1+4x >1+x， f¢(x)>0， 所以 f x 在 0,2 上单调递增， 所以 f 0.01> f 0=0，即2ln1.01> 1.04-1，即a>c；   2 1+4x -1-2x 2 2 令gx=ln1+2x- 1+4x +1，则g0=0，g¢x= - = ， 1+2x 1+4x 1+x 1+4x 由于1+4x-1+2x2 =-4x2，在x>0时，1+4x-1+2x2 <0， 所以g¢x<0，即函数gx 在[0，+∞)上单调递减，所以g0.01< g0=0，即ln1.02< 1.04-1， 即b1) 2 è ø x-12 f¢x=- <0，即函数 f(x)在（1，+∞)上单调递减 x2 +1   f 1+0.04 < f 1=0,\b0，即函数g(x)在（1，3)上单调递增 x2 +3   g 1+0.04 g1=0,\a c 综上，b0)的一条渐近线为 3x+my =0，则C的焦距为 ． 13. _________ m 【答案】4 【解析】 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出a,b的关系，再结合双曲线中a2,b2对应关系，联立求解m，再 由关系式求得c，即可求解. 3 b 3 b2 3 【详解】由渐近线方程 3x+my =0化简得y=- x，即 = ，同时平方得 = ，又双曲线中 m a m a2 m2 3 1 a2 =m,b2 =1，故 m2 = m ，解得m=3,m=0（舍去），c2 =a2 +b2 =3+1=4Þc=2，故焦距2c=4 . 故答案为：4. 【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. r r r r r 已知向量a =1,3,b=3,4，若(a-lb)^b，则l= ． 14. __________ 3 【答案】 5 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． r r r r r 【详解】因为a-lb=1,3-l3,4=1-3l,3-4l，所以由 a-lb ^b可得， 第 页 共 页 11 / 33 学科网（北京）股份有限公司3 31-3l+43-4l=0，解得l= ． 5 3 故答案为： ． 5 r r 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a=x ,y ,b=x ,y ， 1 1 2 2 r r r r a ^bÛ a×b=0Û x x + y y =0，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 1 2 1 2 15. 记 V ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2 +c2 =3ac，则b= ． ________ 【答案】2 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得ac=4，再结合余弦定理即可得解. 1 3 【详解】由题意，S = acsinB= ac= 3， VABC 2 4 所以ac=4,a2 +c2 =12， 1 所以b2 =a2 +c2 -2accosB=12-2´4´ =8，解得b=2 2 （负值舍去）. 2 故答案为：2 2. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所 16. 选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）． _________ 第 页 共 页 12 / 33 学科网（北京）股份有限公司【答案】③④（或②⑤，答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为③，俯视图为④， 如图所示，长方体ABCD-ABC D 中，AB= BC =2,BB =1， 1 1 1 1 1 E,F 分别为棱BC,BC的中点， 1 1 则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-ADF ; 则正视图①，侧视图②，俯视图⑤对应的几何体为三棱锥E-CBG; 故答案为：③④或②⑤. 【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关 系. 第 页 共 页 13 / 33 学科网（北京）股份有限公司三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60分． 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和 17. 一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和 y，样本方差分别记为s2和s2． 1 2 （1）求x， y，s2，s2； 1 2 s2 +s2 （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y -x ³2 1 2 ，则认为 10 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1）x=10,y =10.3,s2 =0.036,s2 =0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显 1 2 著提高. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7 【详解】（1）x= =10， 10 10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y = =10.3， 10 0.22 +0.32 +0+0.22 +0.12 +0.22 +0+0.12 +0.22 +0.32 s2 = =0.036， 1 10 0.22 +0.12 +0.22 +0.32 +0.22 +0+0.32 +0.22 +0.12 +0.22 s2 = =0.04. 2 10 第 页 共 页 14 / 33 学科网（北京）股份有限公司0.036+0.04 （2）依题意，y-x=0.3=2´0.15=2 0.152 =2 0.0225 ，2 =2 0.0076， 10 s2 +s2 y-x³2 1 2 ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 10 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD ^底面ABCD，PD= DC =1，M 为BC的中点， 18. 且PB^ AM ． （1）求BC； （2）求二面角A-PM -B的正弦值． 70 【答案】（ 1 ） 2 ；（ 2 ） 14 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC 、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， uuuv uuuuv 设BC =2a，由已知条件得出PB×AM =0，求出a的值，即可得出BC的长； （2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法 第 页 共 页 15 / 33 学科网（北京）股份有限公司PD^平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC 、DP所在直线分别 Q 为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz， 设BC =2a，则D0,0,0 、P0,0,1 、B2a,1,0 、M a,1,0 、A2a,0,0 ， uuuv uuuuv 则PB =2a,1,-1，AM =-a,1,0， uuuv uuuuv 2 PB^ AM ，则PB×AM =-2a2 +1=0，解得a = ，故BC =2a = 2； Q 2 [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结BD．因为PD ^底面ABCD，且AM Ì底面ABCD，所以PD^AM ． 又因为PB^ AM ，PB I PD= P，所以AM ^平面PBD． 又BDÌ平面PBD，所以AM ^ BD． 第 页 共 页 16 / 33 学科网（北京）股份有限公司从而ÐADB+ÐDAM =90°． 因为ÐMAB+ÐDAM =90°，所以ÐMAB =ÐADB． AD BA 所以 ADB∽ BAM ，于是 = ． V V AB BM 1 所以 BC2 =1．所以BC = 2． 2 [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结BD交AM 于点N． 由[方法二]知AM ^ DB． AN DA 2 在矩形ABCD中，有 DAN∽ BMN ，所以 = =2，即AN = AM ． V V MN BM 3 第 页 共 页 17 / 33 学科网（北京）股份有限公司令BC =2t(t >0)，因为M为BC的中点，则BM =t，DB = 4t2 +1，AM = t2 +1． 1 1 1 2 1 由S = DA×AB = DB×AN ，得t = 4t2 +1× t2 +1，解得t2 = ，所以BC =2t = 2 ． VDAB 2 2 2 3 2 （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法 设平面PAM 的法向量为mv =x ,y ,z  ，则 u A u M uuv = æ ç- 2 ,1,0 ö ÷， u A u P uv =  - 2,0,1  ， 1 1 1 ç 2 ÷ è ø ì uuuuv 2 由 ï í mv×AM =- 2 x 1 + y 1 =0 ，取x = 2 ，可得mv =  2,1,2  ， 1 ï mv× u A u P uv =- 2x +z =0 î 1 1 设平面PBM 的法向量为nv =x ,y ,z  ， u B u M uuv = æ ç- 2 ,0,0 ö ÷， u B u P uv =  - 2,-1,1  ， 2 2 2 ç 2 ÷ è ø ì uuuuv 2 ï nv×BM =- x =0 由í 2 2 ，取y =1，可得nv =0,1,1 ， 2 ï nv× u B u P uv =- 2x - y +z =0 î 2 2 2 mv×nv 3 3 14 cos mv,nv = = = ， mv × nv 7´ 2 14 70 所以，sin mv,nv = 1-cos2 mv,nv = ， 14 70 因此，二面角A-PM -B的正弦值为 . 14 [方法二]：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体ABCD-ABC D ，联结AB,AB，交点记为H，由于AB ^ AB，AB ^ BC， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以AH^平面ABCD ．过H作DM 的垂线，垂足记为G． 1 1 1 第 页 共 页 18 / 33 学科网（北京）股份有限公司联结AG，由三垂线定理可知AG ^ DM ， 1 故ÐAGH 为二面角A-PM -B的平面角． 易证四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，联结DH ，HM ． 1 1 1 1 S = DM ×HG,S =S -S -S -S ， VD 1 HM 2 1 VD 1 HM 正方形A 1 BCD 1 VD 1 A 1 H VHBM VMCD 1 3 10 由等积法解得HG = ． 10 2 3 10 35 在Rt AHG中，AH = ,HG = ，由勾股定理求得AG = ． V 2 10 5 AH 70 70 所以，sinÐAGH = = ，即二面角A-PM -B的正弦值为 ． AG 14 14 【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结 合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面 积方法求得. （2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简 洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证. 2 1 记S 为数列 a  的前n项和，b 为数列 S  的前n项积，已知 + =2． 19. n n n n S b n n （1）证明：数列 b  是等差数列; n （2）求 a  的通项公式． n 第 页 共 页 19 / 33 学科网（北京）股份有限公司ì 3 ,n=1 ï ï 2 【答案】（1）证明见解析；（2）a =í . n 1 ï- ,n³2 ï nn+1 î 【解析】 2 1 2b 3 【分析】（1）由已知 + =2得S = n ,且b ¹0，取n=1,得b = ,由题意得 S b n 2b -1 n 1 2 n n n 2b 2b 2b 2b b 1 × 2 ××× n =b ,消积得到项的递推关系 n+1 = n+1 ,进而证明数列 b  是等差数列; 2b -1 2b -1 2b -1 n 2b -1 b n 1 2 n n+1 n （2）由（1）可得b 的表达式,由此得到S 的表达式,然后利用和与项的关系求得 n n ì 3 ,n=1 ï ï 2 a =í . n 1 ï- ,n³2 ï nn+1 î 【详解】（1）[方法一]： 2 1 2b 1 由已知 + =2得S = n ,且b ¹0，b ¹ , S b n 2b -1 n n 2 n n n 3 取n=1,由S =b 得b = , 1 1 1 2 由于b 为数列 S  的前n项积， n n 2b 2b 2b 所以 1 × 2 ××× n =b , 2b -1 2b -1 2b -1 n 1 2 n 2b 2b 2b 所以 1 × 2 ××× n+1 =b ， 2b -1 2b -1 2b -1 n+1 1 2 n+1 2b b 所以 n+1 = n+1 , 2b -1 b n+1 n 由于b ¹0 n+1 2 1 1 所以 = ，即b -b = ,其中nÎN* 2b -1 b n+1 n 2 n+1 n 3 1 所以数列 b  是以b = 为首项，以d = 为公差等差数列; n 1 2 2 [方法二]【最优解】： 第 页 共 页 20 / 33 学科网（北京）股份有限公司由已知条件知b n = S 1 ×S 2 ×S 3 × L ×S n-1 ×S n ① 于是b n-1 = S 1 ×S 2 ×S 3 × L ×S n-1 (n³2)． ② b 由①②得 n =S ． ③ b n n-1 2 1 又 + =2， ④ S b n n 1 由③④得b -b = ． n n-1 2 3 令n=1，由S =b ，得b = ． 1 1 1 2 3 所以数列 b  是以 为首项， 1 为公差的等差数列． n 2 2 [方法三]： 2 1 S 由 + =2，得b = n ，且S ¹0，b ¹0，S ¹1． S b n 2S -2 n n n n n n b 1 又因为b n = S n ×S n-1LL ×S 1 = S n ×b n-1 ，所以b n-1 = S n = 2S -2 ，所以 n n S 1 S -1 1 b -b = n - = n = (n³2)． n n-1 2S -2 2S -2 2S -1 2 n n n 2 1 3 在 + =2中，当n=1时，b = S = ． S b 1 1 2 n n 3 故数列 b  是以 为首项， 1 为公差的等差数列． n 2 2 [方法四]：数学归纳法 由已知 2 + 1 =2，得S = 2b n ，b = 3 ，b =2，b = 5 ，猜想数列 b  是以 3 为首项， 1 为 S b n 2b -1 1 2 2 3 2 n 2 2 n n n 1 公差的等差数列，且b = n+1． n 2 下面用数学归纳法证明． 当n=1时显然成立． 1 k +2 假设当n=k时成立，即b = k +1,S = ． k 2 k k +1 æ1 ö k+3 k+3 1 那么当n=k+1时，b =b S = ç k +1 ÷ × = = (k+1)+1． k+1 k k+1 è2 ø k+2 2 2 第 页 共 页 21 / 33 学科网（北京）股份有限公司综上，猜想对任意的nÎN都成立． 3 即数列 b  是以 为首项， 1 为公差的等差数列． n 2 2 （2） 3 1 由（1）可得，数列 b  是以b = 为首项，以d = 为公差的等差数列， n 1 2 2 3 1 n \b = +n-1´ =1+ , n 2 2 2 2b 2+n S = n = , n 2b -1 1+n n 3 当n=1时，a = S = , 1 1 2 2+n 1+n 1 当n≥2时,a =S -S = - =- ,显然对于n=1不成立, n n n-1 1+n n nn+1 ì 3 ,n=1 ï ï 2 ∴a =í . n 1 ï- ,n³2 ï nn+1 î 2 1 2b 【整体点评】（1）方法一从 + =2得S = n ，然后利用b 的定义，得到数列 b  的递推关 S b n 2b -1 n n n n n 系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； b 2 1 1 方法二先从b 的定义，替换相除得到 n =S ，再结合 + =2得到b -b = ，从而证得结论，为 n b n S b n n-1 2 n-1 n n 最优解； 2 1 S b 1 方法三由 + =2，得b = n ，由b 的定义得b = n = ，进而作差证得结论；方法 S b n 2S -2 n n-1 S 2S -2 n n n n n 1 四利用归纳猜想得到数列b = n+1，然后利用数学归纳法证得结论． n 2 1 （2）由（1）的结论得到b = n+1，求得S 的表达式,然后利用和与项的关系求得 a  的通项公式； n 2 n n 设函数 f x=lna-x，已知x=0是函数y = xf x 的极值点． 20. 第 页 共 页 22 / 33 学科网（北京）股份有限公司（1）求a； x+ f(x) （2）设函数g(x)= ．证明:gx<1． xf(x) 【答案】（1）a =1；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由题意求出y'，由极值点处导数为0即可求解出参数a； x+ln1-x （2）由（1）得g(x)= ，x<1且x¹0，分类讨论xÎ0,1 和xÎ-¥,0 ，可等价转化为 xln1-x 要证gx<1，即证x+ln1-x> xln1-x 在xÎ0,1 和xÎ-¥,0 上恒成立，结合导数和换元法即 可求解 1 x 【详解】（1）由 f x=lna-xÞ f 'x= ，y = xf xÞ y'=lna-x+ ， x-a x-a 又x=0是函数y = xf x 的极值点，所以y'0=lna=0，解得a =1； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 x+ln(1-x) 1 1 由（Ⅰ）知，g(x)= = + ，其定义域为(-¥,0) (0,1)． U xln(1-x) ln(1-x) x 1 1 1 1 x-1 要证g(x)<1，即证 + <1，即证 <1- = ． ln(1-x) x ln(1-x) x x 1 x-1 x x （ⅰ）当xÎ(0,1)时， <0， <0，即证ln(1-x)> ．令F(x)=ln(1-x)- ，因 ln(1-x) x x-1 x-1 -1 -1 x 为F¢(x)= - = >0，所以F(x)在区间(0,1)内为增函数，所以F(x)> F(0)=0． 1-x (x-1)2 (x-1)2 1 x-1 x （ⅱ）当xÎ(-¥,0)时， >0， >0，即证ln(1-x)> ，由（ⅰ）分析知F(x)在区 ln(1-x) x x-1 间(-¥,0)内为减函数，所以F(x)> F(0)=0． 综合（ⅰ）（ⅱ）有g(x)<1． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 x+ f(x) x+ln1-x 由（1）得 f x=ln1-x ，g(x)= = ，x<1且x¹0， xf(x) xln1-x 第 页 共 页 23 / 33 学科网（北京）股份有限公司x+ln1-x 当 xÎ0,1 时，要证g(x)= xln1-x <1， Q x>0,ln1-x<0， \xln1-x<0，即证 x+ln1-x> xln1-x ，化简得x+1-xln1-x>0； x+ln1-x 同理，当xÎ-¥,0 时，要证g(x)= xln1-x <1， Q x<0,ln1-x>0， \xln1-x<0，即证 x+ln1-x> xln1-x ，化简得x+1-xln1-x>0； 令hx=x+1-xln1-x，再令t =1-x，则tÎ0,1 U 1,+¥ ，x=1-t， 令jt=1-t+tlnt，j¢t=-1+lnt+1=lnt ， 当tÎ0,1时，j¢t<0，jt 单减，故jt>j1=0； 当tÎ1,+¥ 时，j¢t>0，jt 单增，故jt>j1=0； x+ln1-x 综上所述，g(x)= xln1-x <1在 xÎ-¥,0 U 0,1 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 1 1-x 令j(x)=lnx-(x-1)，因为j¢(x)= -1= ，所以j(x)在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,+¥) x x 内是减函数，所以j(x)£j(1)=0，即lnx£ x-1（当且仅当x=1时取等号）．故当x<1且x¹0时， 1 1 1 1 x x >0且 ¹1，ln < -1，即-ln(1-x)< ，所以ln(1-x)> ． 1-x 1-x 1-x 1-x 1-x x-1 x 1 x-1 1 1 1 （ⅰ）当xÎ(0,1)时，0>ln(1-x)> ，所以 < =1- ，即 + <1，所以 x-1 ln(1-x) x x ln(1-x) x g(x)<1． x （ⅱ）当xÎ(-¥,0)时，ln(1-x)> >0，同理可证得g(x)<1． x-1 x+ln(1-x) 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当x<1且x¹0时， <1，即g(x)<1． xln(1-x) 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当xÎ(0,1)时，转化为证明 x x ln(1-x)> ，当xÎ(-¥,0)时，转化为证明ln(1-x)> ，然后构造函数，利用导数研究单调 x-1 x-1 第 页 共 页 24 / 33 学科网（北京）股份有限公司性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当xÎ0,1 时， x+1-xln1-x>0成立和当xÎ-¥,0 时，x+1-xln1-x>0成立，然后换元构造，利用导数研究 单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数j(x)=lnx-(x-1)，利用导数分 x 析单调性，证得常见常用结论lnx£ x-1（当且仅当x=1时取等号）．然后换元得到ln(1-x)> ， x-1 分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 已知抛物线C:x2 =2pyp >0 的焦点为F ，且F 与圆M :x2 +(y+4)2 =1上点的距离的最小值 21. 为4． （1）求 p； （2）若点P在M 上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求 PAB面积的最大值． V 【答案】（ ） p =2；（ ）20 5 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 p的等式，即可解出 p的值； （2）设点Ax ,y  、Bx ,y  、P  x,y  ，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的 1 1 2 2 0 0 方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出 AB 以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积 公式结合二次函数的基本性质可求得 PAB面积的最大值. V 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 æ pö 由题意知，F ç 0, ÷，设圆M上的点Nx ,y  ，则x2 +y +42 =1． è 2ø 0 0 0 0 所以x2 =1-y +42-5£ y £ -3． 0 0 0 æ p ö 2 æ p ö 2 p2 从而有|FN |= x2 + - y = 1-y +42 + - y = -(p+8)y -15+ ． ç ÷ ç ÷ 0 è 2 0 ø 0 è 2 0 ø 0 4 p2 因为-5£ y £-3，所以当y =-3时，|FN | = +3p+9 =4． 0 0 min 4 第 页 共 页 25 / 33 学科网（北京）股份有限公司又 p >0，解之得 p =2，因此 p =2． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 æ pö p 抛物线C的焦点为F ç 0, ÷， FM = +4， è 2ø 2 p 所以，F 与圆M :x2 +(y+4)2 =1上点的距离的最小值为 +4-1=4，解得 p =2； 2 （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 x2 x 抛物线C的方程为x2 =4y，即y = ，对该函数求导得y¢= ， 4 2 设点Ax ,y  、Bx ,y  、P  x,y  ， 1 1 2 2 0 0 x x x 直线PA的方程为y - y = 1  x- x  ，即y = 1 - y ，即x x-2y -2y =0， 1 2 1 2 1 1 1 同理可知，直线PB的方程为x x-2y -2y =0， 2 2 ìx x -2y -2y =0 1 0 1 0 由于点P为这两条直线的公共点，则í ， x x -2y -2y =0 î 2 0 2 0 所以，点A、B的坐标满足方程x x-2y-2y =0， 0 0 所以，直线AB的方程为x x-2y-2y =0， 0 0 ìx x-2y-2y =0 ï 0 0 联立í x2 ，可得x2 -2x x+4y =0， y = 0 0 ï î 4 由韦达定理可得x +x =2x ，xx =4y ， 1 2 0 1 2 0 2 所以， AB = 1+ æ x 0 ö × x +x 2 -4x x =  x2 +4  x2 -4y  ， ç ÷ è 2 ø 1 2 1 2 0 0 0 x2 -4y 0 0 点P到直线AB的距离为d = ， x2 +4 0 1 1 x2 -4y 1 3 所以，S = AB ×d =  x2 +4  x2 -4y  × 0 0 =  x2 -4y  2， △PAB 2 2 0 0 0 x2 +4 2 0 0 0 x2 -4y =1-y +42 -4y =-y2 -12y -15=-y +62 +21， Q 0 0 0 0 0 0 0 第 页 共 页 26 / 33 学科网（北京）股份有限公司1 3 由已知可得-5£ y £-3，所以，当y =-5时， PAB的面积取最大值 ´202 =20 5. 0 0 V 2 [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到x + x =2x ,x x =4y ． 1 2 0 1 2 0 æ x2 ö 过P作y轴的平行线交AB于Q，则Q ç x , 0 - y ÷． è 0 2 0 ø S = 1 |PQ|× x -x = 1æ ç 1 x2 -2y ö ÷ × 4x2 -16y = 1  x2 -4y  2 3 ． VPAB 2 1 2 2è2 0 0 ø 0 0 2 0 0 ìx =cosa, 0 P点在圆M上，则í y =-4+sina, î 0 1 3 1 3 1 3 S =  x2 -4y  2 =  cos2a-4sina+16  2 = é-(sina+2)2 +21ù2． VPAB 2 0 0 2 2 ë û 故当sina=-1时 PAB的面积最大，最大值为20 5． V [方法三]：直接设直线AB方程法 æ x2 ö æ x2 ö 设切点A，B的坐标分别为Açx , 1 ÷，Bçx , 2 ÷． è 1 4 ø è 2 4 ø ìy =kx+b, 设l : y =kx+b，联立l 和抛物线C的方程得í 整理得x2 -4kx-4b=0． AB AB îx2 =4y, 判别式Δ=16k2 +16b>0，即k2 +b>0，且x +x =4k,x x =-4b． 1 2 1 2 x2 x 抛物线C的方程为x2 =4y，即y = ，有y¢ = ． 4 2 x2 x x x2 x x2 则l : y- 1 = 1x-x ，整理得y = 1 ×x- 1 ，同理可得l : y = 2 ×x- 2 ． PA 4 2 1 2 4 PB 2 4 ì x x2 y = 1 ×x- 1 , ï ï 2 4 æ x +x x x ö 联立方程í 可得点P的坐标为P ç 1 2 , 1 2 ÷，即P(2k,-b)． ï x x2 è 2 4 ø y = 2 ×x- 2 , ïî 2 4 1-(b-4)2 将点P的坐标代入圆M的方程，得(2k)2 +(-b+4)2 =1，整理得k2 = ． 4 由弦长公式得|AB|= 1+k2 x -x = 1+k2 × x + x 2 -4x x = 1+k2 × 16k2 +16b ． 1 2 1 2 1 2 第 页 共 页 27 / 33 学科网（北京）股份有限公司2k2+2b 点P到直线AB的距离为d = ． k2+1 所以S = 1 |AB|d = 1 16k2 +16b× 2k2 +2b =4  k2 +b 3 = 4 é1-(b-4)2 +b ù 3 VPAB 2 2 ê ë 4 ú û 3 æ-b2 +12b-15ö =4 ， ç ÷ è 4 ø 其中 y = -bÎ[-5,-3]，即bÎ[3,5]． P 当b=5时，S  =20 5． VPAB max 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 FN 关于圆M上的点Nx ,y  的坐标的表达式，进 0 0 一步转化为关于y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 p的值；方法二，利用圆的性 0 质，F 与圆M :x2 +(y+4)2 =1上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 Ax ,y  、Bx ,y  、P  x,y  ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB的坐标 1 1 2 2 0 0 满足方程x x-2y-2y =0，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得x +x =2x ，xx =4y ，利用弦 0 0 1 2 0 1 2 0   长公式求得 AB 的长，进而得到面积关于P x,y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于y 的二 0 0 0 次函数最值问题；方法二，同方法一得到x +x =2x ，xx =4y ，过P作y轴的平行线交AB于Q，则 1 2 0 1 2 0 æ x2 ö 1 Q ç x , 0 - y ÷．由S = |PQ|× x -x 求得面积关于P  x,y  坐标的表达式，并利用三角函数换 è 0 2 0 ø VPAB 2 1 2 0 0 元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线l : y =kx+b，联立直线AB AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到k2 +b>0，且x +x =4k,x x =-4b．利用点P在圆M 上， 1 2 1 2 求得k,b的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标P(2k,-b)，进而利用弦长公式和 点到直线距离公式求得面积关于b的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； （二）选考题，共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22. 在直角坐标系xOy中， e C 的圆心为C2,1 ，半径为1． （1）写出 e C 的一个参数方程; 第 页 共 页 28 / 33 学科网（北京）股份有限公司（2）过点F4,1 作 e C 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切 线的极坐标方程． ìx=2+cosa 【答案】（1）í ，（a为参数）； î y =1+sina æ 5pö 3 æ pö 3 （2）rsin ç q+ ÷ =2- 和rsin ç q+ ÷ =2+ ． è 6 ø 2 è 6ø 2 【解析】 【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； （2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意， e C 的普通方程为(x-2)2 +(y-1)2 =1， ìx=2+cosa 所以 e C 的参数方程为í ，（a为参数） î y =1+sina （2）[方法一]：直角坐标系方法 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线的距离为2> r，故舍去． ②当切线斜率存在时，设其方程为 y =k(x-4)+1，即kx- y-4k +1=0． |2k -1-4k +1| 3 故 =1，即|2k |= 1+k2,4k2 =1+k2，解得k =± ． 1+k2 3 3 3 所以切线方程为 y = (x-4)+1或 y =- (x-4)+1． 3 3 3 4 3 3 4 3 两条切线的极坐标方程分别为rsinq= rcosq- +1和rsinq=- rcosq+ +1． 3 3 3 3 æ 5pö 3 æ pö 3 即rsin ç q+ ÷ =2- 和rsin ç q+ ÷ =2+ ． è 6 ø 2 è 6ø 2 [方法二]【最优解】：定义求斜率法 如图所示，过点F作 e C 的两条切线，切点分别为A，B． 第 页 共 页 29 / 33 学科网（北京）股份有限公司AC 3 3 在△ACF中，tanÐAFC = = ，又CF∥x轴，所以两条切线FA,FB的斜率分别 和 AF 3 3 3 - ． 3 3 3 故切线的方程为 y = (x-4)+1， y =- ×(x-4)+1，这两条切线的极坐标方程为 3 3 3 4 3 4 rsinq= rcosq- 3+1和rsinq=- rcosq+ 3+1． 3 3 3 3 æ 5pö 3 æ pö 3 即rsin ç q+ ÷ =2- 和rsin ç q+ ÷ =2+ ． è 6 ø 2 è 6ø 2 【整体点评】（2） 方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程， 方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧 妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解. [选修 4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数 f x= x-a + x+3 ． 23. （1）当a =1时，求不等式 f x³6的解集; （2）若 f x>-a，求a的取值范围． æ 3 ö 【答案】（1） -¥,-4 U 2,+¥ .（2）ç - ,+¥ ÷. è 2 ø 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简 f x>-a，由此求得a的取值范围. 【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法 当a =1时， f x= x-1+ x+3 ， x-1+ x+3 表示数轴上的点到1和-3的距离之和， 则 f x³6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6， 当x=-4或x=2时所对应的数轴上的点到1，-3所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到1，-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x£-4或x³2， 第 页 共 页 30 / 33 学科网（北京）股份有限公司所以 f x³6的解集为 -¥,-4 U 2,+¥ . [方法二]【最优解】：零点分段求解法 当a =1时， f(x)=|x-1|+|x+3|． 当x£-3时，(1-x)+(-x-3)³6，解得x£-4； 当-3< x<1时，(1-x)+(x+3)³6，无解； 当x³1时，(x-1)+(x+3)³6，解得x³2． 综上，|x-1|+|x+3|³6的解集为(-¥,-4] U [2,+¥)． （2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意 f x>-a，即 x-a + x+3 >-a恒成立， x-a + x+3 = a-x + x+3 ³ a+3 ， 当且仅当 a-xx+3³0时取等号， \ f x = a+3 , min 故 a+3 >-a， 所以a+3>-a或a+3- . 2 æ 3 ö 所以a的取值范围是ç - ,+¥ ÷. è 2 ø [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值 由|x-a|是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得 f(x)=|x-a|+|x+3|³|a+3|，故 |a+3|>-a，下同解法一. [方法三]：分类讨论+分段函数法 当a £ -3时， 第 页 共 页 31 / 33 学科网（北京）股份有限公司ì-2x+a-3,x-3, î 则[f(x)] = -a-3，此时-a-3> -a，无解． min 当a>-3时， ì-2x+a-3,x<-3, ï f(x)=ía+3,-3£ x£a, ï 2x-a+3,x>a, î 3 则[f(x)] =a+3，此时，由a+3>-a得，a>- ． min 2 3 综上，a的取值范围为a>- ． 2 [方法四]：函数图象法解不等式 由方法一求得 f x = a+3 后，构造两个函数 y =|a+3|和y=-a， min ì-a-3,a<-3, 即y =í 和y=-a， îa+3,a³-3 æ 3 3ö 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点M ç - , ÷， è 2 2ø 3 由图易知|a+3|>-a，则a>- ． 2 【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法． 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况， 方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解； （2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 f x = a+3 ，利用不等式恒成立的意义得到关于a的不 min 等式，然后利用绝对值的意义转化求解； 方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法 方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 f x 最小值，要注意函数 f x 中的各绝对值 第 页 共 页 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况； 方法四与方法一的不同在于得到函数 f x 的最小值后，构造关于a的函数，利用数形结合思想求解关于 a的不等式. 第 页 共 页 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司