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数学试卷
2025．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 的共轭复数为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
3. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. D.
4. 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位
5. 已知 是等比数列， ， ，则 （ ）
.
A B. C. D. 1
6. 已知曲线 ，则“ ”是“ 为焦点在 轴上的双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D. 1
8. 某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线 ， 互相平行，桥DE
与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点 A，
B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线 ， 的距离分别为 ， （ 为定值），
入口B，C分别在直线 ， 上，公园的一边AB与直线 所成的锐角 为 ，另一边AC与AB垂直．
设该休闲公园的面积为 ，当 变化时，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最大值为
B. 函数 的最小值为
C. 若 ， 且 则
D. 若 ， 且 ，则
9. 在 中， ， ，点 M 为 所在平面内一点且 ，则
的
最小值为（ ）A. 0 B. C. D.
10. 位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛．每场比赛
的计分规则是：胜者计 分，负者计 分，平局各计 分．所有比赛结束后，若这 位同学的得分总和为
分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域为_______．
12. 已知点 在抛物线 上，则抛物线C的焦点F的坐标为_______；以F为圆心，
为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是_______．（填“相交”“相切”或“相离”）
13. 已知函数 是 上的奇函数，当 时 ，则 _______；若存在
，使得 ，则c的一个取值为_______．
14. 干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和
十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某
一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即
甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年
之后的首个己巳年是_______年．（用数字作答）
15. 在棱长为 的正方体 中，点P是底面 内的动点，给出下列四个结论：
① 的最小值为 ；
② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ；④ 的最小值为 ．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在四棱柱 中， 平面 ，在四边形 中，
， 为线段 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17. 在 中，
（1）求c的值；
（2）已知 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且
唯一，求 的周长．
条件①： ；
条件②：AB边上的高为 ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．的
18. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿 原则选择一地进行研学旅行．
研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
高一 高二 高三
A B A B A B
地 地 地 地 地 地
满意 12 2 18 3 15 6
一般 2 2 6 5 6 8
不满意 1 1 6 2 3 2
假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．
（1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
（2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；
（3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生
人数的方差为 ，调查结果为不满意的学生人数的方差为 ，写出 和 的大小关系．`（结论不要求证
明）
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
的
（1）求椭圆E 方程；
（2）过点 作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设 ，直线BC与直线 交于点
N，求证：直线AN的斜率为定值．
20. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求证：当 时， ；
（3）若函数 有 个不同的零点，求 的取值范围．21. 已知 ， ， ， 为有穷正整数数列，若存在 ，其使得
，其中 ，则称Q为连续可归零数列．
（1）判断 ：1，3，2和 ：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由；
（2）对任意的正整数 ，记 ，其中 表示数集S中最大的数．令
，求证：数列 ， ， ， 不是连续可归零数列；
（3）若 ， ， ， 的每一项均为不大于 的正整数，求证：当 时，Q是连续可
归零数列．
