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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知全集 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在△ABC中，若 a=2bsinA,则B为
A. B. C. 或 D. 或
4. 已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知直线 和圆 相交于A，B两点.若 ，则 （ ）
.
A 2 B. C. 4 D.
6. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 9 B. 16 C. 21 D. 25
7. 已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线 ，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段 的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最小值时， （
）
A. B. C. D.
的
9. 在棱长为 正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，动点
在平面 内，且 .则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得直线 与直线 相交
B. 存在点 ，使得直线 平面
C. 直线 与平面 所成角的大小为
D. 平面 被正方体所截得的截面面积为
10. 已知 个大于2的实数 ，对任意 ，存在 满足 ，且 ，
则使得 成立的最大正整数 为（ ）A. 14 B. 16 C. 21 D. 23
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数为___________(用数字作答)
12. 已知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，则 __________；设 为原点，点
在抛物线上，若 ，则 __________.
13. 已知函数 ，若实数 满足 ，则
__________； 的取值范围是________.
14. 已知函数 .若曲线 在点 处的切线与其在点 处的
切线相互垂直，则 的一个取值为_________.
15. 设A，B为两个非空有限集合，定义 其中 表示集合S的元素个数.某学校甲、
乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中
自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 ， ， ， .已知 {物理，
化学，生物}， {地理，物理，化学}， {思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若 ，则 {思想政治，历史，生物}；
②若 ，则 {地理，物理，化学}；
③若 {思想政治，物理，生物}，则 ；
④若 ，则 {思想政治，地理，化学}.其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 的最小正周期为 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定 的解析式，并求函数
的单调递增区间.
条件①： 的最大值为2；
条件②： 的图象关于点 中心对称；
条件③： 的图象经过点 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ， ， .
（1）求证： ；
（2）已知 ， ， ， 是线段 上一点，当 时，求二面角
的余弦值.
18. 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市
面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10
篇论文的评分情况如下表所示.
序 评委甲评 评委乙评 初评得
号 分 分 分
1 67 82 74.5
2 80 86 83
.
3 61 76 68 5
4 78 84 81
5 70 85 77.5
6 81 83 82
7 84 86 85
8 68 74 71
9 66 77 71.5
10 64 82 73
（1）从这 篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过 的概率；
的
（2）从这 篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文 评分之差的绝对值不超过 的篇
数记为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）对于序号为 的论文，设评委甲的评分为 ，评委乙的评分为 ，分别记甲、乙两位
评委对这10篇论文评分的平均数为 ， ，标准差为 ， ，以 作为序号为 的
论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论
文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于
A，B的点， 的面积的最大值为 .（1）求E的方程；
（2）设O为原点，点N在直线 上，N，P分别在x轴的两侧，且 与 的面积相等.
（i）求证：直线 与直线 的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得 ，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
20. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
21. 若有穷自然数数列 ： 满足如下两个性质，则称 为数列：
① ，其中， 表示 ，
这 个数中最大的数；
② ，其中， 表示
，这 个数中最小的数.
（1）判断 ：2，4，6，7，10是否为 数列，说明理由；
（2）若 ： 是 数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
（3）证明：对任意 数列 ： ，存在实数 ，使得 .（
表示不超过 的最大整数）
