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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． D． C． B．
2．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．设 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知点 ， ．若直线 上存在点P，使得 ，则实数k的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．过双曲线 的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若
（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D． 和2
7．在长方体 中， 与平面 相交于点M，则下列结论一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
8．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模
型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为
B． 的最大值为
C． 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上有3个零点
9．如图，圆M为 的外接圆， ， ，N为边BC的中点，则 （ ）
A．5 B．10 C．13 D．26
10．已知顶数为 的等差数列 满足 ， ．若
，k的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若 ，则 ______．12．函数 的值域为______．
13．经过抛物线 的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若 ， （O为坐标原
点）的面积为______．
14．在 中， ， ， ．
①若 ，则 ______；
②）当 ______（写出一个可能的值）时，满足条件的 有两个．
（15）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数 ， 分别为红、蓝两方初始兵力，为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵
力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数； 和
分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得
战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D，E分别为AC， 的中点， ，．
（Ⅰ）求证： 平面BDE；
（Ⅱ）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ABE的距离．
17．（本小题13分）
设函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两
个作为已知，使得 存在．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： ；
条件②： 的最大值为 ；
条件③： 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
18．（本小题13分）
某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40假设所有学生的获奖情况相互独立．
（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表
示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为 ；从该地区高
一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为 ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学
生获奖的概率为 ；，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 ．
20．（本小题15分）
已知椭圆 经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）设椭圆E的左顶点为A，直线 与E相交于M，N两点，直线AM与直线 相交于点
Q．问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．
21．（本小题15分）
已知有穷数列 满足 ．给定正整数m，若存在
正整数s， ，使得对任意的 ，都有 ，则称数列A是 连续等项数
列．
（Ⅰ）判断数列A： ，1，0，1，0，1， 是否为 连续等项数列？是否为 连续等项数列？说明
理由；
（Ⅱ）若项数为N的任意数列A都是 连续等项数列，求N的最小值；
（Ⅲ）若数列 不是 连续等项数列，而数列 ，数列 ，0与数列 都是 连续等项数列，且 ．求 的值．
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13．2
14． 6（答案不唯一） 15．①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本小题14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱 中，
因为 平面ABC，所以 ．
又D，E分别为AC， 的中点，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 平面BDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， ．
又 平面ABC，所以 平面ABC．
因为 平面ABC，所以 ．
所以DA，DB，DE两两垂直．
如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面ABE的一个法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ．于是 ．
设直线DE与平面ABE所成角为 ，则
．
所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 ．
（Ⅲ）因为直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 ，
所以点D到平面ABE的距离为
17．（本小题13分）
解：选条件②③．
（Ⅰ）（其中 ， ）．
根据条件②可知，函数 的最大值为 ．
又 ，所以 ．
根据条件③可知，函数 的最小正周期为 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由 ，得 ，
则 ，所以 ．
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为0；
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 ．
18．（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一
等奖”，
则 ．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”．
由题设知，事件B，C相互独立
且 估计为 ， 估计为 ．
所以 ，，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的数学期望 ．
（Ⅲ） ．
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 ．
①若 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ．
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增．
综上，当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（Ⅱ）①若 ，当 时， ， ，
则 在区间 上单调递增．
所以 ．
所以 符合题意，
②若 ，则 ．
由（Ⅰ）可知 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，不符合题意．
综上，a的取值范围为 ．
（Ⅲ）若 在区间 上存在唯一零点 ，
则 ， 且 ，即 ．
欲证：
只需证： ，
只需证： ，
即证： ．
由（Ⅱ）知， 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立．
所以 ．所以 ．
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为椭圆 过点 ，
所以 ，得 ．
所以椭圆E的方程为 ．
因为 ， ，
所以 ．
所以椭圆的离心率 ．
（Ⅱ）直线NQ过定点 ．理由如下：
由 ，得 ．
显然， ．
设 ， ，则 ， ．
直线AM的方程为 ．
令 ，得 ，则 ．
所以直线NQ的斜率为 ，且 ．
所以直线NQ的方程为 ．令 ，则
．
所以直线NQ过定点 ．
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列A是 连续等项数列，不是 连续等项数列，理由如下：
因为 ，所以A是 连续等项数列．
因为 ， ， ， 为 ，1，0，1；
， ， ， 为1，0，1，0；
， ， ， 为0，1，0，1；
， ， ， 为1，0，1， ，
所以不存在正整数s， ，使得 ．
所以A不是 连续项数
（Ⅱ）设集合 ，则S中的元素个数为 ．因为在数列A中， ，所以 ．
若 ，则 ．
所以在 ， ， ，…， 这 个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数s， ，使得 ， ．
所以当项数 时，数列A一定是 连续等项数列，
若 ，数列0，0，1不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0， 不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0， ，1不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0， ，1， 不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0， ，1， ， 不是 连续等项数列．
若 ，数列0，0，1，1，0， ，1， ， ，0不是 连续等项数列．
所以的最小值为11．
（Ⅲ）因为 ， 与 都是 连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数i，j， ，使得
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ．
下面用反证法证明 ．
假设 ，因为 ，
所以 ， ， ， 中至少有两个数相等．
不妨设 ，则 ， ， ， ，
所以A是 连续等项数列，与题设矛盾．
所以 ．
所以 ．
