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北京市第五十五中学 2023-2024 学年度第二学期
三模试卷
高三数学
本试卷共8页，共150分，考试时长120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项，把答案填在答题纸上）
,
1. 若全集 ， ,则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设 ，则下列不等式中正确的是
A. B.
C. D.
的
4. 直线l过抛物线 焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点 ， ．若
，则弦AB的长是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
5. 已知 ， ，若直线 上存在点P使得 ，则实数k的取值范围为（
）
A. B.C. D.
6. 若点 在角 的终边上，则 （ ）
.
A B. C. D.
7. 在 ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，若 ，角A的角
△
平分线交BC于点D，且 ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ，若对于任意正数 ，关于 的方程 都恰有两个不相等
的实数根，则满足条件的实数 的个数为（ ）
A. B. C. D. 无数
9. 已知公比不为1的等比数列 的前 项和为 ，记 ： 为等差数列； ：对任
意自然数 为等差数列，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
10. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编
制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是
比我国张隧晚了上千年）：对于函数 在 处的函数值分别为
，则在区间 上 可以用二次函数来近似代替，其中 .若令
， ， ，请依据上述算法，估算 的近似值是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上）
11. 已知函数f(x)＝log x．若正数a，b满足 ，则f(a)﹣f(b)＝_____．
3
12. 在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
13. 已知菱形 的边长为 ， ， （ ）．当 时，
________；当 取得最小值时， ________．
14. 已知两点 ．点 满足 ，则 的面积是____； 的
一个取值为____．
15. 在数列 中， ， ．设向量 ，已知 ，给出
下列四个结论：① ；② ， ；③ ， ；④ ， ．其中
所有正确结论的序号是___________．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知函数 .
（1）若 ， ，求 的值；（2）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
17. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等
情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对
“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学
“很有帮助”的概率；
（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很
有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为 ，其中年龄在40岁以下（含
40岁）教师得分的平均值记为 ，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为 ，请直接写出 的
大小关系．（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ， 为
中点， ．
（1）设平面 平面 ，求证： ；
（2）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥 存在且唯一确定．（ⅰ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ⅱ）平面 交直线 于点 ，求线段 的长度．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ；
条件③：四棱锥 的体积为 ．
19. 已知椭圆C： （ ）过点 ，右焦点为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线
交于点P、Q，求 的大小．
20. 已知 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）设 ，求 的单调递增区间；
（3）证明：当 时， ， .
21. 已知 和 是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：
① 和 都是递增数列；
② 中任意两个不同的项的和不是 中的项.
则称 被 屏蔽，记作 .
（1）若 ， .
（i）判断 是否成立，并说明理由；（ii）判断 是否成立，并说明理由.
（2）设 是首项为正偶数，公差是 的无穷等差数列，判断是否存在数列 ，使得 .如
果存在，写出一个符合要求的数列 ；如果不存在，说明理由；
（3）设 是取值于正整数集 的无穷递增数列，且对任意正整数 ，存在正整数 ，使得
.证明：存在数列 ，使得 .
