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北京五中第三次模拟考试试卷
高三数学
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
1. 已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A. {x|0≤x<1} B. {x|－1<x≤2}
C. {x|1<x≤2} D. {x|0<x<1}
2. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 则“ ”是
“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件
5. 双曲线 过点 ，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 已知 ，则 的值域为（ ）
A. B. C. D.
8. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是两
个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥
满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为 的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项
目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、
越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，
他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，
则不同的方案种数是（ ）
A. 324 B. 306 C. 243 D. 162
10. 已知数列 是以1为首项，2为公差的等差数列， 是以1为首项，2为公比的等比数列，设
， ，则当 时，n的最大值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 在 的展开式中，常数项为__________．
12. 已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________；作
MN⊥x轴于N，则 ＝________.
13. 已知点 ， ， ， ， 为坐标原点，则 =______， 与
夹角的取值范围是______．14. 若点A（cosθ，sinθ）与 关于x轴对称，则θ的一个取值为___________.
15. 已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使函数 为奇函数；
②对任意实数 ，函数 既无最大值也无最小值；
③对任意实数 和 ，函数 总存在零点；
④对于任意给定的正实数 ，总存在实数 ，使函数 在区间 上单调递减.其中所有正确结论的
序号是______________.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分)
16. 在 中， ，且 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中的三
个，请选择三个条件并解答下列问题:
（1）求边 ;
（2）求 .
条件① ; 条件② ;
.
条件③ ; 条件④
17. 如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 是矩形，已知
，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .（1）求证： ;
（2）若直线 与平面 所成角 的正弦值为 ，求 的值;
（3）在满足（2）的条件下，求点 到平面 的距离.
18. 2022 年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发. 该病毒是一种人传人，不易被人们
直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒. 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者.
一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察. 调查发现某
位感染者共有 10 位密切接触者，将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测. 核酸检测方式既可
以采用单样本检测，又可以采用 “ 合 1 检测法”. “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测，
若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测; 若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本
中每个样本都是阴性. 通过病毒指标检测，每位密切接触者为阴性的概率为 ，且每位密切接
触者病毒指标是否为阴性相互独立.
（1）现对 10 个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率 的表达式;
.
（2）若对 10 个样本采用 “5合1检测法” 进行核酸检测 用 表示以下结论:
①求某个混合样本呈阳性的概率;
②设总检测次数为 ，求 的分布列和数学期望 .
19. 已知函数 ．
（1）若 是函数 的极值点，求 的值；（2）若 ，试问 是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由
20. 已知椭圆C： 的离心率为 ， 的面积为2.
(I)求椭圆C的方程；
(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线 与直线 交
于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
21. 已知集合 ， ， ， ，
其中 ．定义 ，若 ，则称 与 正交．
（1）若 ，写出 中与 正交的所有元素；
为
（2）令 若 ，证明： 偶数；
（3）若 且 中任意两个元素均正交，分别求出 时， 中最多可以有多少个元素．
