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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数学试卷
2025.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
2. 若抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线C的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
6. 在矩形 中， ，点E为线段 的中点， 与 交于点F．设
，其中 分别是与 方向相同的单位向量，则（ ）A. B.
C. D.
7. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，设函数
，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
.
C 当 时， D. 当 时，
9. 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的
每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分
布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点
E处），如图2所示，设 ，则E到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
10. 设无穷数列 的前n项和为 ，定义 ，则（ ）
A. 当 时，B. 当 时，
C. 当 时，则
D. 当 时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数z满足 ，则 __________．
12. 已知等差数列 满足 ，则 __________；设 为 的前 项和，
则使 的 的最小值为__________．
13. 在 中， ，且 ，则 __________； 面积的最大值为
__________．
14. 若直线 与双曲线 没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为
__________．
15. 设 ，过原点 的直线（不与 轴重合）与圆 交于点P与直线 交于点
．过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的垂线，这两条直线交于点 ，称 为 的箕舌线函数，
记作 ，给出下列四个结论：
①函数 的图象关于y轴对称；
②若 ，则 ；
③设函数 ，则 的最大值为 ；④设函数 ，则 的最小值为 ．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间；
（2）设函数 ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使函数 存在且唯一，求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： 在区间 上单调递增；
条件②： 的最大值为 ；
条件③： 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
17. 如图，在三棱柱 中，底面 侧面 ，侧面 是边长为4的菱形，
．（1）求证：侧面 为矩形；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户
进行问卷评分调查，将评分数据按 ， ，…， 分组整理得到如下频率分布直方图：
（1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
（2）从B地区评分为 的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布
列和数学期望；
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计
为 ，A，B两地区评分的平均值估计为 ，比较 与 的大小关系．（直接写出结论）
19. 已知椭圆 的焦距为2，且过点 ．
（1）求椭圆E的方程；
的
（2）设直线 与椭圆E交于不同 两点A，B，直线 与直线 交于点N，若
（O是坐标原点），求k的值．20. 已知函数 ．
（1）若 ，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若 在区间 上存在单调递减区间，求 的取值范围；
（3）若 存在极值点 ，且 ，求 的值．
21. 已知 是无穷正整数数列，且对任意的 ，其中
表示有穷集合S的元素个数．
（1）若 ，求 的所有可能取值；
（2）求证：数列 中存在等于1的项；
（3）求证：存在 ，使得集合 为无穷集合．
