文档文本内容
平谷区 2024—2025 学年度第二学期高三年级质量监控
数学试卷
2025.3
注意事项
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为
120分钟.
2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.
第I卷选择题（共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，
个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
5. 已知 是平面内两个非零向量， ，那么“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在等比数列 中， ，记 ，则数列 （
）
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
7. 已知函数 ，若 在区间 上没有最值，则 的最大值为（
）
A. B. C. D. 2
8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为 的扇形蛋
卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总
体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度）
.
A B.
C. D.
9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： ）与时间 （单位：
）间的关系为 ，其中 是正的常数，如果前 消除了 的污染物，那么从消除
的污染物到消除 的污染物大约需要经历（ ）.
A B. C. D.
10. 已知函数 ，任取 ，定义集合： ，点 ，
满足 .设 分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记 .则
函数 的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
第II卷非选择题（共110分）
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线
上.）
11. 抛物线 上一点 到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 __________.
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善
织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该
女子织了__________尺布.”
13. 记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e
的一个值为_________.
14. 已知函数 ，当 时， 的值域是__________，若 有两个极值
点，则 的取值范围是__________.
15. 已知各项均不为零的数列 ，其前 项和是 ，且 .给出如下结论：
① ；
②若 为递增数列，则 的取值范围是 ；
③存在实数 ，使得 为等比数列；④ ，使得当 时，总有 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 在 中， .
（1）求 的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得 存在且唯一，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 边上的高为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等腰直角三角形，
.
（1）点 在棱 上，若 平面 ，求证： 为 的中点；
（2）求 与平面 所成的角.
18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区
（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：抽样人群 阳性人数 阴性人数
患者 36 4
非患者 2 58
（1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
（2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；
（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果
为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，斜率为 的直线 与椭圆 交
于 两点，与 轴交于点 ，点 关于 轴的对称点为点 ，直线 与 轴交于点 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的值.
20. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求 的单调区间；
（3）当 变化时，曲线 在点 处的切线斜率能否为1？若能，求 的值，若不能，说明
理由.
21. 对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“ 数列”.定义变换 ，
的
若 ，将 变成0，1，若 ，将 变成1，0，得到新 “ 数列”.设 是“ 数列”，
令 .
（1）若数列 ，求数列 ；（2）若数列 共有10项，则数列 中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
（3）若 为0，1，记数列 中连续两项都是0的数对个数为 .求 关于 的表达式.
