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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数学
2024.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的
四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 则 （ ）
A. B. C. D.
的
2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数 是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设等差数列的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 60 B. 80 C. 90 D. 100
4. 已知抛物线 的焦点为F，点P为C上一点.若 ，则点 P的横坐标为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
的
6. 已知 是两个互相垂直 平面， 是两条直线， ，则“ ”是“ ”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系 中，锐角 以 为顶点， 为始边.将 的终边绕 逆时针旋转 后与单位圆
交于点 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 满足公式 ，其中 是空气密度， 是该飞
行器的迎风面积， 是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），
反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 . 当 不变， 比原来提高 时，下列
说法正确的是（ ）
A. 若 不变，则 比原来提高不超过
.
B 若 不变，则 比原来提高超过
C. 为使 不变，则 比原来降低不超过
D. 为使 不变，则 比原来降低超过
9. 已知双曲线 的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆
上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率
为（ ）
A. B.
C. D.10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小
相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有 个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的
总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数
为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5分，共25分.
的
11. 复数 满足 ，则 虚部是__________．
12. 已知向量 ， ，且 ，则实数k=______.
13. 在 的展开式中，若二项式系数的和等于 ，则 ________，此时 的系数是_______.（用
数字作答）
14. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的一个取值为_______.
15. 设 为正整数，已知函数 ， ， . 当 时，记
，其中 . 给出下
列四个结论：
① ， ；② ， ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， 为锐角，且
（1）求 的值;
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求 .
条件①:
条件②: ;
条件③: .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区
电动汽车市场各月的销售量数据如下：
10 12
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 11月
月 月
A 地区
29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2
（单位：万辆）
B 地区
7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.0 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1
（单位：万辆）
.
6
月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8
1
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
（1）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
（2）从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1
个月的月销量比低于5的概率；
（3）记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为 ， ，试判断
与 的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，六面体 是直四棱柱 被过点 的平面 所截得到的几何
体， 底面 ，底面 是边长为2的正方形，
（1）求证: ；
（2）求平面. 与平面 的夹角的余弦值；
（3）在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由.
19. 已知椭圆E的两个顶点分别为 ， ，焦点在x轴上，且椭圆E过点 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点 ，直线BP
与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用 ， 表示）；（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.
20. 已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求a的值；
（3）若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
21. 设 为正整数，集合 对于 ，
设集合 .
（1）若 ，写出集合 ；
（2）若 ，且 满足 令 ，求证：
；
（3）若 ，且 ，求证：
.
