答 洗了 个盘子 个碗 钢坯又可以加工 个 零件 块钢坯的加工余料
模块十三 思想策略 : 84 ,50 。 6×6=36( ) ,6 丙 a 块 乙 5 a 5 块
类型二 代换法 又可以加工成 块 钢坯 块钢坯又可以加工 : =32 :
4
=
4
×32=40( )
6÷6=1( ) ,1 1×
所以乙原来有 块糖
专题 65 常用解题策略 7. A 【解析】 9 碗 =8 杯 ,3 碗 +4 杯 =3 碗 + 9碗 = 15碗 , 15 ÷9 15. 6=6( 【 个 解 ) 析 零 】 件 如 , 解 共 图 加 所 工 示 216 S +36+ S 6=25 S 8( 个 S ) 零 所 件 以 。 S 20. 【解析】根据 4 倒 0 推法 。 知道第 次操作后是 那么第
类型一 假设法 2 2 2 27 , 阴影+ ①= ①+ ②, 阴影= 4 777 7;
1. 【解析】假设第一堆货 物原有 吨 第二堆货物原有 = 5 , 故选 A。 S ②, 因为 ② 是一个梯形 , 所以阴影部分的面积为 (10-2+ 776
次操作后
找
就
到
是
的 (7 规 + 律 13 是 )÷ 遇 2 见 =1 奇 0; 数
第
就 7 是 75 加
次操
后
作
除
后
以
就是
1
1
8
00 -20=80(
吨
)。
第一堆货物运出 100
10
% , 后还剩
100×(1- 8.
6
【解析】根据天平平衡可得
10)×3÷2=27。 1
遇
0÷
见
2
偶
=5
数
;…
就
;
是直接除以 所以操作后得到
1
这
3
样一串
2
数
,
5 : + = + , + = 2,
% 吨 第二堆货物运出 %后还剩
10 )= 90( ), 10 80×(1- 所以 即 所以 为 观察发现
, + = + + , = + , + :7、10、5、9、11、12、6、3、8、4、2、1、7、10、…, 12
% 吨 两堆货物相差 吨
10 )=72( ), 90-72=18( )。 个 个为一个周期 , 所以 777÷12=64……9, 所以第一次操作
2. % 【解析】假设全班人数为 人 这道题为 分 则 = + + = + + + + =5 。
65 50 , 10 , 9. 【解析】因为买篮球 个 排球 个 足球 个共花费 后手里扑克牌的张数是 8, 所以一开始手里有 4 张扑
130 3 、 2 、 1
50× 5 2 =20( 人 ),50× 5 3 =30( 人 ),50×10×75 % -20×10× 180 元 , 所以买篮球 9 个 、 排球 6 个 、 足球 3 个共花费 180×3 第 15 题解图 21. 克 【思 牌 路 。 分析】由题意可知,兄弟三人三年前的年龄和是
% 分 % % 元 因为买篮球 个 排球 个 足球 个共花费 24
90 =195( ),195÷(30×10)×100 =65 。 =540( ), 10 、 7 、 4 16. 60 【解析】设正方形的边长为x 因为BC AC 岁。 根据他们最终所得的苹果个数,利用倒推的方法分
3. 【解析】两块地总面积为 公顷 第 元 所以买同样的篮球 个 排球 个 足球 个共需 cm。 =5cm,
12 28000÷1750=16( ), 670 , 1 、 1 、 1 17
二块地每公顷收 千克 假设全是第一 元
别求出兄弟三人一开始每人得到的苹果数,即三年前每
块地 多收 2500-1000=1500( 千克 ), 第二块地的面 10. 6 70- 【 54 解 0 析 =1 】 3 由 0( 题可 )。 得 H E 所以H E 又因为 =12cm, 且 ∠ C =90°, 所以S △ ABC= 1 × BC × AC = 1 ×5×12 人的年龄,进而可求得他们现在各自的年龄。 具体如下
, 2500×16-28000=12000( ), 3 , + +10=18, + =8, 2 2
表
积是 12000÷(2500-1500)=12( 公顷 )。 G + H + E =18, 所以G =10, 又因为F + X + G =18, 所以F + X = =30(cm 2 )。 又因为长方形的长 = BC + AC =5+12=17 ∶
4. 二 【解析】先假设A的说法正确 , 则今天是星期五 , B 、 C 8, 所以E =10, 因为 5+ A + B =18, 所以A + B =13, 因为A + B (cm), 宽是正方形的边长x cm, 所以S 长方形=17 x cm 2 , 而 老大 老二 老三
的说法错误 D的说法正确 与题意不符 则 A 说法错误 C 所以C 因为C D E 所以D 因为D
假设B的说 , 法正确 , 则今天 , 是星期一 , A 、 , C 的说法错误 , D ; E + + F = = 18 1 , 8, 所以F = = 5, 5, 因为F + + X + + G = = 18 5 , + X +10= = 18 3 , , 所以X = + S 长方形=2 S △ ABC, 即 17 x =2×30, 解得x = 1 6 7 0 。 老大分配之后 24÷3=8 24÷3=8 24÷3=8
类型五 逆推法
的说法正确 与题意不符 则B说法错误 假设C的说法正
, , ; 3。 老大分配之前 1
确 , 则今天既不是星期五 , 也不是星期一 , D 的说法错误 , 11. 解:由题意知 ,4 个黑球的质量 =2 个白球的质量 +20 克 ,4 17. 【解析】 1 页 8÷ 2 =16 8-4=4 8-4=4
即今天是星期二 符合题意 所以今天是星期二 个白球的质量 个黑球的质量 克 则一个白球的质 190 (42+18)÷(1- )= 90( ),(90+15)÷(1-
, , 。 =2 +50 , 3 老二分配之前 1
5. 【解析】因为 所以在得到总积分 时 量为 克 一个黑球的质量为 克 16-2=14 4÷ =8 4-2=2
13 83+8×3=107, 107 , 20 , 15 。 1 页 1 页 2
得 分的局数必定小于 否则 可以通过 得 答 白球每个重 克 黑球每个重 克 )=140( ),(140+12)÷(1- )=190( )。
8 3( 83 107-3×8 : 20 , 15 。 4 5
到 ), 即得 8 分的局数为 0、1 或 2, 从而 107,107-1×8=99, 类型三 枚举法 18. 928 【解析】第二次倒完还剩 200+80=280( 克 ), 第一次 老三分配之前 14-1=13 8-1=7 2÷ 2 1 =4
107-2×8=91 这三个数中必有一个是a的倍数 。 假设 107 12. 6 【解析】 10 以内的质数有 2、3、5、7, 最简真分数要求为 倒出又倒回后还有 280÷(1- 4 )= 504( 克 ), 第一次倒出 解:根据题意 最后一次分配后三个人各有的苹果数是
是a的倍数 那么a 或 但a 时 可以得到总积分 9 , 24
, =1 107, =1 , 子母互质 分子小于分母 枚举出 2 2 3 2 3 个 老大把苹果分给老二 老三前 老大的苹果个
a 时 无法得到总积分 所以这种情况不可能 “ , ”, 、 、 、 、 、 后还剩 克 原来有 1 克 ÷3=8( ), 、 ,
83; =107 , 103, 3 5 5 7 7 504-40=464( ), 464÷ =928( )。 数是 个 分给老二 老三每人苹果的个数是
发生 假设 是a的倍数 那么a 因为 2 8×2=16( ), 、 8÷
。 99 所以 , a不能 = 是 1,3,9,11,33, 因 99 为 , 5 7 共 6 个 。 19. 40 【解析】设最后 3 人都有a块糖 , 依据题意得 : 2=4( 个 ), 最后一次分配前老二 、 老三的苹果个数均是
83=9×3+8×7=11+8×9, 1,3,9,11; 103
13. 解:最大和最小数的和为 次大和次小数的 个
所以 a 或 时 无法得到总分 8×8-6×7=22, 甲 乙 丙 8-4=4( );
=99+4=2×33+37, =99 33 ,
和为 剩余 个数的总和为 老二把现有苹果数的一半平分给老大 老三前 应有苹果
因此这种情况也不可能发生 假设 是a的倍数 那 6×7-4×6=18, 4 4×6=24。 、 ,
103, 。 91 ,
若余下四个数中最小数为 则这八个数中的最小和次小 的个数是 个 分给老大 老三每人苹果的个数
么a 因为 所以a a 3, 3 a 5 a a 4×2=8( ), 、
=1,7,13,91, 83=7×5+8×6, ≠7, ≠1,103 ①
所以a 因此a 下面验证a 是否符 数分别为 1、2,24=3+4+5+12=3+4+6+11=3+4+7+10=3 4 4 是 4÷2=2( 个 ), 于是在老二把现有苹果数的一半平分给
=91+12, ≠91。 =13, =13
中间四个数 老大和老三前 老大的苹果个数是 个 老三
合要求 由于 +4+8+9=3+5+6+10=3+5+7+9=3+6+7+8, , 16-2=14( ),
。 103=8×8+3×13,104=8×13,105=8×5+5× 3 a 1 a a
共 种可能 ② 的苹果的个数是 个
13,106=8×10+2×13,107=8×2+7×13,108=8×7+4×13, 7 ; 2 2 4-2=2( ),
109=8×12+1×13,110=8×4+6×13, 所以a =13 符合要求 。 若余下四个数中最小数为 4, 则这八个数中的最小和次小 所以一开始老三的苹果个数是 2×2=4( 个 ), 分给老大 、
6. 解:假设 20 分钟甲 , 乙两人都洗盘子 , 数有 3 种可能 ,24=4+5+6+9=4+5+7+8, 中间四个数有 2 ③ 3 a a 1 a 老二每人苹果的个数是 2÷2=1( 个 ),
则可洗 (2+3)×20=100( 个 ), 共少洗了 134-100=34( 个 ), 种可能 , 八个数共 2×3=6( 种 ) 可能 。 2 2 则一开始老大的苹果个数是 14-1=13( 个 ), 老二的苹果
甲如果洗 1 分钟碗 , 数量就要多 9-3=6( 个 ), 7+6=13( 种 )。 结果 a a a 个数是 8-1=7( 个 )。
答 参加聚会的 个正整数有 种可能的情况
乙如果洗 1 分钟碗 , 数量就要多 7-2=5( 个 ), : 8 13 。 现在老大是 13+3=16( 岁 ), 老二是 7+3=10( 岁 ), 老三是
因为 6×4+5×2=34, 类型四 转化法 ③ a ÷2=
2
1a , a +
2
1 a =
2
3 a ;② a ÷2=
2
1 a , 1
2
a +
2
1 a = a ; 4+3=7( 岁 )。
所以洗碗的个数是 个 14. 【解析】 块钢坯可加工 个 零件 答 现在老大的年龄是 岁 老二的年龄是 岁 老三
4×9+2×7=50( ), 258 36 36×6=216( ) ,36 : 16 , 10 ,
3 a 3a 1 a 3a 5a
洗盘子的个数是 个 块钢坯的加工余料又可以加工成 块 钢坯 块 ① ÷2= , + = 。 的年龄是 岁
134-50=84( )。 36÷6=6( ) ,6 2 4 2 4 4 7 。
1类型六 数形结合 二 当点 E 在点 A 右侧时 DE AC CD AE 蚂蚁如果经过左面和上面走到点B
: , = + - =1+3-2= (3) 。
因此DE的长为 或
22. 【解析】因为 2(cm)。 2cm 6cm。
20201 1+3+5+7+5+3+1=(1+2+3+2+1)+
25. . 【解析】 以 厘米的边为轴旋转一周如解图
2 2 即从 开始的连续n个奇数 50 24 ① 3 ①
(1+2+3+4+3+2+1)=3 +4 , 1
相加的和等于n2 所以 所示 可以得到一个圆锥 体积为1 2 立方
, 1+3+5+…+199+201+199+…+5+ , , ×π×4 ×3=16π(
第 题解图
3
26 ③
3+1=(1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1)+(1+2+3+… 厘米
); 将长方形AEFG以EF为轴顺时针旋转 得到解图
+100+101+100+…+3+2+1)=100 2 +101 2 =20201。 90° ③,
蚂蚁的路径AB的长度为直角 ABD的斜边 AD
23. 解: 1 △ , =6+24=
(1) BD AB2 AD2 BD2 2 2
64 30(cm), =4cm, = + =30 +4 =916。
因为
1 1 1 1 1 1 63 916>820>676,
(2)
2
+
4
+
8
+…+
2
6 =1-
2
6 =1-
64
=
64
所以AB最短的情况下
,
AB2
=676=26×26,
即AB
=26cm。
(3) a.如解图所示 , 图 ① 图 ② 图 ③ 最短时间为 26÷2=13( 分 )。
答 这只蚂蚁完成该旅程最少需要 分钟
的面积为 2 2 第 题解图 : 13 。
① 1× 3 = 3 , 25 27. 解:如解图 可有如下三种情况
以 厘米的边为轴旋转一周如解图 所示 可以得到 , :
② 4 ② ,
的面积为 2 2 2 立方厘米
② (1- )× = , ①(40-5-5)×(20-5-5)×5=1500( );②(40-
3 3 9 一个圆锥 , 体积为1 ×π×3 2 ×4=12π( 立方厘米 ); 立方厘米
3
5)×(20-5-5)×5=1750( );③(40-5-5-5-5)×
的面积为 2 2 2 2 立方厘米
③ (1- - )× = , 以 厘米的边为轴旋转一周如解图 所示 可以得到 20×5=2000( )。
3 9 3 27 ③ 5 ③ ,
两个圆锥
2000>1750>1500。
的面积为 2 2 2 2 2 ,
④ (1- - - )× = , 设斜边上的高为h厘米 根据三角形的面积相等 得
3 9 27 3 81 , ,
的面积为 2 2 2 2 2 2 h h 12
⑤ (1- - - - )× = , 3×4=5× , = ,
3 9 27 81 3 243 5
的面积为 2 2 2 2 1 1 所以 2 2 所以两个圆锥的体积为 1 12 2 . 立方厘
⑥ (1- - - - )× = , + + ×π×( ) ×5=9 6π(
3 9 27 81 3 243 3 9 3 5
米
2 2 2 1 242 );
+ + =1- = 。 所以体积最大的是 . . 立方厘米
27 81 243 243 243 16π=16×3 14=50 24( )。
26. 【思路分析】蚂蚁从A走到B一共有三种途径。 经过前
①
面和右面两个面; 经过前面和上面两个面; 经过左面
② ③
和上面两个面。
解:如解图为长方体各顶点标记上字母
。
第 题解图
蚂蚁如果经过前面和右面走到点B 27
(1) 。
将长方形ACDE以DC为轴逆时针旋转 得到解图 答 做出的铁皮盒容积最大是 立方厘米
90° ①, : 2000 。
蚂蚁的路径AB的长度为直角 ABH的斜边 AH
△ , =24+4=
第 23 题解图 28(cm), BH =6cm, AB2 = AH2 + BH2 =28 2 +6 2 =820;
蚂蚁如果经过前面和上面走到点B
(2) 。
b.令S 1 1 1 1
= +
2
+
3
+…+ n①,
5 5 5 5
则 S 1 1 1 1 得 S
5 =1+ + 2 + 3 +…+ n -1②,②-① ,(5-1) =1
5 5 5 5
1
- n,
5
n
S 1 1 5 -1
=(1- n)× = n。
5 4 4×5
类型七 分类讨论
第 题解图
26
24. 【解析】因为D为BC的中点 所以DC DB 因 将长方形ACDE以DE为轴向上旋转 得到解图 蚂
D , = =3cm, 90° ②,
为AB 所以AC 情况一 当点 E 蚁的路径 AB 的长度为直角 ABC 的斜边 BC
=7cm, =7-3-3=1(cm)。 : △ , =6+4=
在点A左侧时 DE EA AC CD 情况 AC AB2 AC2 BC2 2 2
, = + + =2+1+3=6(cm); 10(cm), =24cm, = + =24 +10 =676;
2
