é ù é ù 7. 解: 是 【解析】在情形二中 因为沿 BAC 的平分线
模块十五 阅读理解与探究 (2) A + B =ë ê ê 2+2 -2+0 û ú ú = ë ê ê 4 -2 û ú ú , 3 3 π π + + 2 3 ; 综上所述 , t = 3+ 3 π 或 1+ 3π 3π 或3 3 + + 3 2 π π 或3 3 π π + + 3 2 。 AB ( 折 1) 叠 所以 B AA B , 又因为 ∠ 将余下部分沿
-3+1 4+(-1) -2 3 1 , ∠ = ∠ 1 1;
专题 阅读理解型 é ù é ù B A C的平分线A B 折叠 此时点B 与点C重合 所以
68 AB ê ê 2×2+(-2)×1 2×0+(-2)×(-1)ú ú ê ê 2 2 ú ú ∠ 1 1 1 2 , 1 ,
=ë û= ë û; A B C C 因为 AA B C A B C 外角定理
类型一 理解新定义型 (-3)×2+4×1 (-3)×0+4×(-1) -2 -4 ∠ 1 1 =∠ ; ∠ 1 1=∠ +∠ 1 1 ( ),
1. (1)3 1 【解析】因 为 4 3 =4×4×4=64, 所以 log464=3; 因 (3) 由 题 意 得 é ë ê ê 1 1 ù û ú ú T = é ë ê ê 1 -1 ù û ú ú , 则 é ë ê ê 1 1 ù û ú ú T 所以 ∠ B B =2∠ C , C 所以 【 ∠ 解 B 析 AC 】在 是 △ A A B B C C 中 的好 沿 角 。 BAC 的平分
(2)①∠ =3∠ △ , ∠
为 (2) 2 8 0 1 14 1 = 【 2 解 01 析 4, 】 所 因 以 为 lo l g o 2 g 01 3 4 M 20 = 14 4 = , 1 所 。 以 M =3 4 =3×3×3× é ë ê ê x y 2 0 ù û ú ú = é ë ê ê 1 1 - - 2 1 1 ù û ú ú é ë ê ê 2 x y 2 0 ù û ú ú = 1 2 é ë ê ê x x - + y 2 y 2 2 - ù û ú ú 1 , 2 由 第 5 题 解图 线 线 A A B 1 B 1 2 折 折 叠 叠 , , 剪 剪 掉 掉 重 重 复 复 部 部 分 分 ; 将 , 将 余 余 下 下 部 部 分 分 沿 沿 ∠ ∠ B 1 B A 2 1 A C 2 的 C 的 平分 平
3=81。 b é ê x - y 2 ù ú é ê1 2 ù ú 6. 解: (1)40 【解析】由题意知 , 若射线OM是射线OA的伴 分线A 2 B 3 折叠 , 点 B 2 与点 C 重合 , 则 ∠ BAC 是 △ ABC 的
(3)2 【解析】因为 loga b = l l o o g g c c a, 所以l l o o g g 2 2 3 6 6 =log636, 因为 ë ê x +2 y 2 û ú =ë ê 7 2 û ú 随线 , 则 ∠ AOM = 1 ∠ BOM , 又因为 ∠ AOM +∠ BOM =120°, 好角 A B 。 C 根据折 A 叠 A 的 B 性质 所 知 以 , 根 ∠ B 据 = 三 ∠ 角 AA 形 1 B 1 的 ,∠ 外 C 角 =∠ 定 A 理 2 B 知 2 C ,
{x y {x 2 ∠ 1 1 = ∠ 1 2 2, ,
6 2 =6×6=36, 所以 log636=2, 故log236 =2。 得 x - y =1 , 解得 y =3 , 即x =3, y =2。 所以 ∠ AOM =40°。 ∠ A 1 A 2 B 2=∠ C +∠ A 2 B 2 C =2∠ C 。
log26 +2 =7 =2 因为根据四边形的外角定理知 BAC B AA B
【解析】 3 射线OD与射线OA重合时 t 180 秒 ,∠ +∠ +∠ 1 1-
(4)A log38-2log36=log32 -2log3(2×3)= 3log32- 4. 解: 2 或7 【解析】设点M表示的数为x x (2) , = =36( ), A B C BAC B C 根据 ABC 的内角
a a a 故选 (1) (-1< <4), 5 ∠ 1 1 =∠ +2∠ -2∠ =180°, △
2(log32+log33)=3 -2( +1)= -2, A。 3 3 存在.当 COD 时 有两种情况 和定理知 BAC B C 所以 B C
2. 解: 【解析】由题意可得 M ① ∠ =20° , : ,∠ +∠ +∠ =180°, ∠ =3∠ 。
M (1)11 M 00 1111 2(9342)= 1100, 若MB =2 MA ,4- x =2( x +1), 解得 x = 3 2 ; 若 2 MB = MA , 若在相遇之前 , 则 180-5 t -3 t =20, 解得t =20。 ②∠ B = n ∠C 【解析】由情形一知 , 当 ∠ B =∠ C时 , 经过 1
2(59)+ 2(9342)=11+1100=1111。 若在相遇之后 则 t t 解得t 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 由情形二知 当 B
M M M , 5 +3 -20=180, =25。 ,∠ △ ; , ∠ =2
(2)①16+45=61, 2(61)= 01, 2(16)+ 2(45)= 10+01= 2(4- x )= x +1, 解得x = 7 。 所以当t 秒或t 秒时 COD C时 经过 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 由
所以M M M 所以 与 不 模 3 =20 =25 ,∠ =20°; ∠ , 2 ,∠ △ ; (2)①
二 11 相 , 加不变 2(61)≠ 2(16)+ 2(45), 16 45 “ (2) 设点P表示的数为y , 点P在点A的左侧 ( y <-3), 则只 90或360或180或 【解析】相遇之前 如解图 知 , 当 ∠ B =3∠ C时 , 经过 3 次折叠 ,∠ BAC是 △ ABC的好
”。 能是PB PA y y 解得y 点P在点A ② 7 19 7 30 :Ⅰ: ①, 角 故若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 则 B 与
【解析】M 模二结果是 的两位数有 =2 ,12- =2(-3- ), =-18; 、 ; ∠ △ , ∠
②30 2(45)= 01,① 10 B的中间 (-3< y <12), 若PB =2 PA , 则 12- y =2( y +3), 解得 OC 是 OA 的伴随线时 ,∠ AOC = 1 ∠ COD , 即 3 t = ∠ C之间的等量关系为 ∠ B = n ∠ C 。
12,32,52,72,92;14,34,54,74,94;16,36,56,76,96;18, 2 由 知 B n C BAC是 ABC的好角
共 个 而 所 y 若 PB PA 则 y y 解得y (3) (2) ,∠ = ∠ ,∠ △ ,
38,58,78,98;10,30,50,70,90; 25 , 10+01=11, =2; 2 = , 2(12- )= +3, =7。 1 t t 解得t 90 如解图 OC是OD的伴 因为最小角是 是 ABC的好角 根据好角定义 则可设
以满足与 互为 模二相加不变 的两位数的模二结果是 答 点P表示的数为 或 或 (180-5 -3), = ;Ⅱ: ②, 10° △ , ,
45 “ ” : -18 2 7。 2 7
另外两角分别为 m mn 其中m n都是正整数
的两位数有 共 个 10 °,10 °( 、 ),
10 12,32,52,14,34,54,10,30,50, 9 ;② 5. 解: 4π 【解析】因为AB AZ BZ 所以AZ 随线时 COD 1 AOC 即 t t 1 t 所以t
(1) =4, =π , =π(4 ,∠ = ∠ , 180-5 -3 = ×3, = 由题意 得 m mn 所以m n
模二结果是 的两位数有 1+π 2 2 , 10 +10 +10=180, ( +1)=17。
11 11,31,51,71,91;13,33,53,73,
因为m n都是正整数 所以m与n 是 的整数因子
共 AZ 所以AZ 4π 360 相遇之后 如解图 OD 是 OC 的伴随线时 、 , +1 17 ,
93;15,35,55,75,95;17,37,57,77,97;19,39,59,79,99; - ), = 。 ; :Ⅲ: ③, , 因此m n
个 而 所以满足与 互为 模二相加不 1+π 19 =1, =16,
25 , 11+01=100, 45 “
所以 m mn
变 的两位数的模二结果是 的两位数有 因为圆的半径为1 所以圆的周长为 1 所以 COD 1 AOD 即 t t 1 t 解得 t 10 °=10°,10 °=160°,
” 11 55,75,95,57, (2) , :2π× =2, ∠ = ∠ , 5 +3 -180= (180-5 ), = 所以该三角形的另外两个角的度数分别为
共 个 模二结果是 的两位数有 π π 2 2 10°、160°。
7 2 7 1 , , 9 2 7 3 , , 5 2 9 5 , , 7 2 9 7 , , 9 2 9 9 , ,41, 9 43, ; 45 ③ ,47,49,61,63, 01 65,67,69,81, O 假 D 设 =1 O + M 2= D 3。 M 如 O 解 N 图 D ① N : 则 OM OM DN 1 7 80 ;Ⅳ: 如解图 ④, OD 是 OA 的伴随线时 ,∠ AOD = 2 1 8. 解 AE : ( F 1 E )① 则 正 矩 方 形 A ② BF 2 E 为 【解 正 析 方 】 形 ① 由折 第 线 一 可 次 以 操 得 作 出 应 AB 该 = 剪 BF 去 ,
共 个 而 所以满足与 互为 > 、 < , =π(3- ), =π(3- = , ;②
83,85,87,89, 20 , 01+01=10, 45
DN COD 即 t 1 t t 解得t 一个边长为 的正方形 所以就剩下一个长为 宽为 的
模二相加不变 的两位数的模二结果是 的两位数有 ), ∠ , 180-5 = (3 +5 -180), =30。 2 , 2、 1
“ ” 01 2
矩形 再进行第二次操作剪去一个边长为 的正方形 则
共 个 模二结果是 的两位数有 所以OM 3π DN 3π 所以 ON OD DN 3π , 1 ,
25,27,29,45,47,49, 6 ;④ 00 = 1+π , = 1+π , = - =3- 1+π = 综上所述 , 当 t = 90或360或180或 30 时 , 射线 OC 、 OD 、 OA 余下的就是一个边长为 的正方形 所以共操作 次 这
1 。 2 ,
20,22,24,26,28,40,42,44,46,48,60,62,64,66,68,80, 7 19 7
个矩形是 阶准正方形
共 个 而 所以满足与 互为 3 所以MN OM ON 3π 3 3π-3 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线 2 。
82,84,86,88, 20 , 00+01=01, 45 , = - = - = ; 。
1+π 1+π 1+π 1+π 如解图所示 画出一种即可
模二相加不变 的两位数的模二结果是 的两位数有 (2) 。 ( )
“ ” 00 当点D为其余两点所构成线段的祖冲之点时 如解图
(3) ,
共 个 所以总共有
20,22,24,40,42,44, 6 , 9+9+6+6= 点P表示的数为 t 点 Q表示的数为 t 当 PD DQ
②: 3, 3+ , >
个
30( )。
é ê1 2 1 ù ú 时 ,3-3 t =π(3+ t -3), 所以t = 3 ; 当DQ > PD时 ,(3+ t -3)=
3+π
3. 解: 由题意 因为M ê ú
(1) , = êê 0 0 0 úú , t 所以t 3π 当P为其余两点所构成线段的祖
ë û π(3-3), = ;
3 0 -1 1+3π
é ê1 0 3 ù ú 冲之点时 , 如解图 ③: 当DP > PQ时 ,3 t -3=π(3+ t -3 t ), 所
所以MT ê ú
= êê 2 0 0 úú 。 以t 3+3π 当PQ DP 时 t t t 所以 t
ë û = ; > ,(3+ -3 )= π(3 -3), = 第 题解图 第 题解图
1 0 -1 3+2π 6 8
1根据题意 m m m 令 m a m b 即m a PBM AB MB 所以 S S 即 S S S 上方 且BC与EF平行时面积最大 所以易得 EMF面积
(2) , =[ ]+{ }, [ ]= ,{ }= , = =∠ , = , △ ABT= △ PMB, △ ABC+ 2= 2+ , , △
类型二 理解解题方法型 b 且b S 所以 S S 所以 S S 的最大值为 . 平方厘米
+ , ≠0, 3, △ ABC = 3, 阴影 = 2 △ ABC = 2×3×4÷2 = 10×(3+4 8)÷2=39( )。
9. 解: (1) 运动员打靶的期望为E =0 . 1×10+0 . 2×9+0 . 4×8+
经过n次操作后
,
若n为奇数
,
则可表示为m
→(
a
-
n
)+(1 12(cm 2 )。
2. 解:
(1)
剪拼后如解图
①②
所示
。
0 . 3×7=8 . 1。 - b ); 若n为偶数 , 则可表示为m → a - n + b ; 答 : 阴影部分的面积为 12 平方厘米 。 (2) 梯形ABCD剪拼后为平行四边形 , 如解图 ① 所示 , 所以
答 : 他打靶的期望为 8 . 1。 因为经过 2025 次操作后第一次变为小于 0 的数 , 则 14. 解: (1) 当x =1 时 ,( F · G )= f ( g (1))= f (2)=2, 梯形ABCD的面积是AB × EF =5×4=20,
{ a b {a b 当x 时 F G f g f 答 梯形ABCD的面积是
A中学入选人数为 人的概率是2×4 8 4 ( -2025)+(1- )<0,即 - <2024, =2 ,( · )= ( (2))= (1)=3, : 20。
(2) 0 = = , a b a b 当x 时 F G f g f 如解图 分别取 AB 和 BC 的中点 F G 过这两点画
5×6 30 15 -2024+ ≥0, + ≥2024, =3 ,( · )= ( (3))= (3)=4, (3) ③, 、 ,
因为小数部分b的取值范围为 b 则m a b的取值 当x 时 F G f g f 线段PQ 分别交AE CD于点P Q 则 PQ ED 过点 B 作
A中学入选人数为 人的概率是3×4+2×2 12+4 8 0< <1, = + =4 ,( · )= ( (4))= (4)=1。 , , 、 , ∥ ,
1 5×6 = 30 = 15 , 范围为 2024< m <2025。 (2) 若第一行中取 1, 其第二行对应数字为 9, 则第一行中 AE的平行线交PQ于点M , 然后将 △ FAP绕点F逆时针旋转
A中学入选人数为 人的概率是3×2 6 1 12. 解: (1) 因为四边形ABCD为正方形 , AB =4, DE =2, CF = 下个数字需取 在第二行对应数字为 则第一行中下 180° 到 △ FBM的位置 , 将 △ GCQ绕点G 逆时针旋转 180° 到
2 = = , 9,9 8,
5×6 30 5 所以AE DF BC 在直角三角形 个数字需取 在第二行对应数字为 则第一行下个数 GBM的位置 拼成的四边形PQDE就是平行四边形
3, =4-2=2, =4-3=1, =4, △ , 。
8,8 5,
所以A 中学入选人数的期望为 E = 4 ×0+ 8 ×1+ 1 × ABE中 : BE2 = AB2 + AE2 =4 2 +2 2 =20, 在直角三角形 DEF 字需取 在第二行对应数字为 即形成闭环
5,5 1, 。
15 15 5 中 : EF2 = DE2 + DF2 =2 2 +1 2 =5, 在直角三角形BCF中 : BF2 取下一组数 若第一行取 其第二行对应数字为 则第一
2= 14 。 = BC2 + CF2 =4 2 +3 2 =25, 因为BF2 = BE2 + EF2 , 所以三角形 行中下个数 : 字需取 在 2 第 , 二行对应数字为 则第 7, 一行中
15 7,7 4,
BEF是直角三角形
答 A中学入选人数的期望是14 。 下个数字需取 4,4 在第二行对应数字为 2, 即形成闭环 。
: 15 。 (2) 在直角三角形ABC中 : AC2 = AB2 + BC2 =3 2 +4 2 =25, AC 第一行剩 且形成闭环
3,6 。
10. 解: (1)5 x +2[ x ]=31, =5, 在三角形ACD中 : AD2 =13 2 =169, CD2 =12 2 =144, 因 故G 答案不唯一
=(1985)(274)(36)。 ( )
5{
x
}+5[
x
]+2[
x
]=31,
为AC2
+
CD2
=
AD2
,
所以三角形 ACD 是直角三角形且
15. 解: 如解图 方法 作点B关于直线l的对称点B′
第
2
题解图
(1) ①, : ,
x x 解题技巧 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
5{ }+7[ ]=31, ACD 所以S 1 S 1 连接AB′交l于点P 连接BP 则AP BP AB′ 由 两点之
则 x x 1 . ∠ =90°, △ ABC= 2 ×3×4=6, △ ACD= 2 ×5×12= 间 线段最短 可知 , 点P即为 , 所求的 + 点 = , “ 位线。 三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等
[ ]=4,{ }= ×(31-4×7)=0 6, 所以四边形ABCD的面积为S S , ” , 。
5 30, △ ABC+ △ ACD=6+30=36。 如解图 连接BM 因为 AB AC 且 AD BC 则 于第三边的一半。
所以x
={
x
}+[
x
]=0
.
6+4=4
.
6。
答
:
四边形ABCD的面积是
36。
(
B
2
M
)
MC E
②
M
,
MC EM
,
MB 当点
=
B M
=
E
6,
在一条
⊥
直线
,
上 3. 解: (1) PC 【解析】根据垂线段定理可知 , PC最短 。
x x 13. 解: 【解析】由题意 S S 的面积分别等于直角 = , + = + , 、 、 ,
(2)7{ }+[ ]=20, (1)169 : 1, 2 且BE AC时 EM MC取最小值 EM MC的最小值就是 (2)30 ° 【解析】因为 △ ADC 是由 △ ABC 翻折而来的 , 所
三角形两直角边的平方 S 的面积等于直角三角形斜边 ⊥ , + , +
所以当 [ x ]=19 时 ,7{ x }=1, 则x =19 1 ; 的平方 根据勾股定理可 , 得 3 S S S 线段BE的长度 。 以 ∠ CAB =∠2, 因为 ∠ B =108 ° , 所以 ∠1=180 ° -108 ° -42 °
7 , : 3= 1+ 2=144+25=169。
因为三角形ABC的面积是 所以BE =30
°
。
当 [ x ]=18 时 ,7{ x }=2, 则x =18 2 ; (2) 假设直角三角形AB 、 BC 、 AC的长分别为a 、 b 、 c 。 则甲 答 EM MC的最小值是 15, =15×2÷6=5。 (3) 因为 △ AEB 是由 △ ADB 翻折而来 ,△ ACF 是由 △ ACD
7 a b : + 5。
的面积 : 1 ×π×( ) 2 = πa2 , 乙的面积 : 1 ×π×( ) 2 = 翻折而来 , 所以 AE = AD = AF ,∠ DAB =∠ EAB ,∠ DAC =
当 x 时 x 则x 3
[ ]=17 ,7{ }=3, =17 ; 2 2 8 2 2 FAC 因为 DAB DAC ° 所以 EAB FAC
7 c ∠ , ∠ +∠ =45 , ∠ + ∠ =
πb2 丙的面积 1 2 πc2 根据勾股定理可 ° 所以 EAF ° 因为AE AF AD EAF ° 所以
当 x 时 x 则x 4 , : ×π×( ) = 。 45 , ∠ =90 , = = ,∠ =90 ,
[ ]=16 ,7{ }=4, =16 ; 8 2 2 8 EAF是等腰直角三角形 要使 EAF的面积最小 则AE
7 △ , △ , =
得
:
a2
+
b2
=
c2
,
所以πa2
+
πb2
=
π
(
a2
+
b2
)=
πc2
,
所以
AF AD最小 因为D是边BC上的一点 所以当AD BC 时
当 [ x ]=15 时 ,7{ x }=5, 则x =15 5 ; 8 8 8 8 = , , ⊥ ,
7 甲 乙 丙三个半圆的面积关系为 S S S
、 、 : 甲+ 乙= 丙。 AD最小 因为 BC S 1 BC AD AD 所以
当 [ x ]=14 时 ,7{ x }=6, 则x =14 6 。 (3) 由勾股定理得到 : AB2 = AC2 + BC2 =4 2 +3 2 =25, AB = 第 15 题解图 , =8, △ ABC= 2 × × =4 =12,
7 专题 探究型
AD AE AF S 1 AE AF 1 9
所以满足 7{ x }+[ x ]=20 的所有x的和为 : 如 5c 解 m。 图 设四边形ACPN的面积为S 三角形BTC的面积 69 =3= = , △ AEF min= 2 × × = 2 ×3×3= 2 。
: 1, 类型一 问题探究型
19 1 7 +18 2 7 +17 3 7 +16 4 7 +15 5 7 +14 6 7 =102。 为S 2, 四边形 CTMP 的面积为 S 3。 因为 S 正方形ABMN=5 2 = 1. . 平方厘米 【解 析】根据题意 等腰直角 ABC边 答 : 三角形AEF面积的最小值为9 2 。
11. 解: (1) 将 x =[ x ]+{ x } 代入方程 , 则 2{ x }+3[ x ]+4 x = 25, S 正方形ACDE+ S 正方形BGFC=4 2 +3 2 =25, (1)14 4 , △ 4. 解: (1)40° 60° 【解析】因为AB ∥ DC , 所以 ∠ ABC +∠ C =
6{ x }+7[ x ]=2024;{ x }= 2024-7[ x ] , 由 0≤{ x }<1, 可得 BC上的高等于1 2 BC , 即 3 厘米 。 直角三角形DEF的面积 180°, 所以 ∠ ABC =180°-∠ C =80°, 由折叠得 ,∠ CBE =
6 C′BE 所以 ABC CBE C′BE 因
x 等于1 DE DF 1 EF EF边上的高 EF边上的高为 ∠ =20°, ∠1=∠ -∠ -∠ =40°;
不等式组 2024-7[ ] 即 x × × = × × , 6 为 CBE CEB C 所以 CEB 所以
0≤ <1, 2018<7[ ]≤2024, 2 2 ∠ +∠ +∠ = 180°, ∠ = 60°,
6 . 则梯形BEFC的高为 . . 厘米 梯 CEB C′EB 所以 CEB C′EB
×8÷10=4 8, 4 8-3=1 8( ), ∠ =∠ =60°, ∠2=180°-∠ -∠
x 为整数 则 x 代入求得 x 1 第 题解图 形BEFC的面积为 . . 平方厘米
[ ] , [ ]=289, { }= , 13 (6+10)×1 8÷2=14 4( )。 =60°。
6
所以S S S S S S S S S S 因为 平方厘米 【解析】 EMF 的底边长 EF 不变 要 因为四边形ABCD为长方形 所以 B BC AD
故x 1 1 1+ 2+ 阴影= 1+ 2+ 3+ △ ABC, 阴影= 3+ △ ABC, (2)39 △ ( ) , (2) , ∠ =90°, ∥ ,
=289+ =289 。 三角形BPM和三角形ABT都是直角三角形 并且 TAB 使面积最大 则EF边上的高最大 当 ABC旋转至点A正 由折叠得 DGH D′GH B FB′G EFB
6 6 , ∠ , , △ ,∠ =∠ ,∠ =∠ =90°,∠ =
2EFB′ 所以 EFB EFB′ 所以 CFB′ 的对角线 得到矩形ACBD AE CE AEC 所 答 三角形ADE的面积为
∠ , ∠ =∠ =62°, ∠ =180°- , , =4, =4,∠ =90°, : 12。
∠ EFB -∠ EFB′ =56°, 如解图 , 过点B′作B′K ∥ AD , 交AB于 以AC = AE2 + CE2 =4 2, 每个小正方体的对角线长为 2,
(3)
如解图
②,
连接 AC
,
EC
,
HC
,
因为 BE
=
2 AB
,
所以
点K , 因为BC ∥ AD , 所以 B′K ∥ BC , 所以 ∠ CFB′ =∠ KB′F , AC的长是 4 个小正方体的对角线 , BC =3, 且 4 与 3 互质 , 3
∠ DGB′ =∠ GB′K , 经过顶点A , B的直线穿过的小正方体的个数是 4+3-1=6 S △ CBE= 2S △ ABC, 因为BF = 1BC , 所以S △ EBF= 1 × S △ CBE= 1
所以 GB′F GB′K FB′K 个 故答案为 3 3 3 3
∠ =∠ +∠ = , :6。
DGB′ CFB′ 2 S 2 S 所以 DH 1 AD 所以 S
∠ +∠ =90°, 第 5 题解图 × 3 × △ ABC = 9 △ ABC, = 3 , △ CDH =
所以 ∠ DGB′ =90°-∠ CFB′ =90°- 6. 解:
(1) 1S 所以DG 2 CD 所以 S 2 S 2 1
56°=34°, 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 3 △ ACD, = 3 , △ HDG= 3 △ CDH= 3 × 3 ×
因为 DGH D′GH 所以 DGH
∠ =∠ , ∠ = 第 4 题解图 四面体 4 4 6 S △ ACD= 2S △ ACD,
1 DGB′ 五面体 9
∠ =17°。
2 5 5 8 第 题解图 所以S S 2 S S 2
5. 解: 图 的表面积 平方 六面体 7 △ EBF+ △ HDG= ( △ ABC+ △ ACD)= ×18=4,
(1) ① :2×(16×6+16×4+6×4)= 368( 8 6 12 9 9
厘
厘
米
米 ),
图
图 ②
的
的
表
表
面
面
积
积 :2×(32×6+32×2+6×2)= 536(
平方
平 (2)2
【解析】因为
4+4-6=2,5+5-8=2,8+6-12=2,
所
8. 解: (1) S 阴影= 1 S 四边形ABCD S 阴影= 1 S 四边形ABCD 【解析】如解 同理 , S △ AEH+ S △ CFG= 2 ×18=4, 所以S 四边形EFGH=18-4×2=10。
), ③ :2×(16×12+16×2+12×2)= 496( 以顶点数 V 面数 F 棱数 E 之间存在的关系式是 2 2 9
( )、 ( )、 ( ) :
方厘米 ),368<496<536。 V F E 图 ①, 连接BD , 因为E为AD的中点 , 所以S △ ABE= S △ DBE, 因 答 : 四边形EFGH的面积为 10。
+ - =2。
答 : 图 ① 的表面积最小 。 能 理由 设正五边形有 x 块 则正六边形有 x 为 F 为 BC 的中点 , 所以 S △ DBF = S △ DCF, 所以 S 阴影 =
(3) 。 : , (32- )
【解析】 种搭法如解图 解图
(2)7 544 7 , ①:2×(16×4×6 块 则F E 5 x +6(32- x ) 1x 1S 四边形ABCD。 因为E 、 F分别为平行四边形的边AD 、 BC的
平方厘米 解图 , =32, = =- +96, 2
+16×4×2+2×6)=1048( ), ②:2×(16×24+2× 2 2
平方厘米 解图 中点 所以S 1S
24+16×2)=928( ), ③:2×(16×12+16×4+12 V E 1x 根据欧拉公式V F E 得 1 x , 阴影= 四边形ABCD。
平方厘米 解图 = ÷3×2=- +64, + - =2 :- + 2
×4)=608( ), ④:2×(16×6+16×8+6×8)= 3 3
平方厘米 解图 平
544( ), ⑤:2×(32×6+32×4+4×6)= 688( 64+32-(- 1x +96)=2, 解得 : x =12,32- x =20, 第 题解图
方厘米 解图 平方厘 2 9
), ⑥:2×(32×12+32×2+12×2)= 944(
所以 正五边形有 块 正六边形有 块
米 解图 平方厘米 , 12 , 20 。 10. 解: 1 【解析】因为BD 1 BC 所以BD 1 DC 由
), ⑦:2×(6×16+8×16+6×8)= 544( ),544 7. 解:【问题探究】探究一 f m n 【解析】探究 (1) 2 = 3 , = 2 ,
则搭成的大长方体的表面积最 :①7 ② = + -1
<608<688<928<944<1048,
一 当m n互质时 根据表格可得 当m n 时 f 于三角形ABD和三角形ACD同高 所以S 1 S
小为 平方厘米 : 、 , : =2, =1 , =2+ , △ ABD= △ ACD。
544 。 当m n 时 f 当m n 时 第 题解图 2
共有 a b且b c 或 a b或b c 或 a 1-1=2; =3, =1 , =3+1-1=3; =3, =2 , 8 因为OB OD 所以 S S 即 S S 又因
(3) 6( ≠3 ≠3 ) 7( =3 =3 ) 8( = f 当m n 时 f 该矩形一 (2) = , △ BOC= △ COD, 3= 2=4,
b且b c 种不同的方式 =3+2-1=4;…; =5, =3 , =5+3-1=7; S 1 S 【解析】如解图 连接 DB S
3 若a =3 b ) 或b c 如解图 。 共 种 若a b且b 条对角线所穿过的小正方形的个数f 与 m , n 之间的关系 (2) 阴影= 2 四边形ABCD ②, , △ BDE= 为OC =2 OE , 所以S △ BOE= 1S △ BOC, 即S 1= 1 S 2=2。 设三
① =3 =3 , ①~⑦ 7 ;② =3 2 2
式是f m n 故答案为 f m n
=3 c , 如解图 ①~⑧ 共 8 种 。 探究二 = + -1, f k a b :①7 【 ② 解析 = 】 + 当 - m 1。 n不互质时 2 1S △ ABD, S △ BDF = 2 1 S △ BDC, S 阴影 = S △ BDE+ S △ BDF = 2 1 S △ ABD+ 角形AOE的面积为x , 三角形AOD的面积为y , 因为OB =
解图 ab bc ac ab bc ac 解图 ac :12 9 = ( + -1) 、 , OD 所以S S 所以 S S S S
①:2×(4 + +4 )= 8 +2 +8 ; ②:2×( + 根据图 表格可得 当a b k m ka n kb 1S 1S , △ AOB= △ AOD, △ AOE+ △ BOE= △ AOB= △ AOD,
4 ab b + c 4 bc a ) c = 解 8 a 图 b +8 bc +2 ac a ; c 解 a 图 b ③: b 2 c ×(2 a a b b +4 b b c c +2 a a c c )= 解 4 图 ab 时 , f =2 ② ×(2+1-1)= : 4; 当 = a 2 = , 3 = , b 1, =1 = , k 2, =2, = m = = ka 4, =6 = , n = = k 2 b 2 △ 如 BD 解 C= 图 2 四 连 边形 接 ABCD A 。 C BD 因为G是四边形ABCD的边 即x +2= y , 又因为 OC =2 OE , 所以 S △ AOC { = x 2 S △ A y OE, 所以
+8 +4 a ; b ac ④: b 2 c ×(4 ab + b + c 4 a ) c = 解 2 图 +8 +8 a ; b bc =2 时 , f =2×(3+1-1)= 6; 当a =3, b =2, k =2, m = ka =6, n ( AB 3) 的中点 ③ 所 , 以S , S 。 因为H是四边形ABCD的 2 S △ AOE= S △ AOD+ S △ COD, 即 2 x = y +4, 联立 + x 2= y , 解得
⑤:2×(2 +4 +2 )=4 +4 +8 ; ⑥:2×(4 +2 kb 时 f 当a b k m ka , △ AGC= △ BGC。 2 = +4
ac ab bc ac 解图 ac bc ac ab ab = =4 , =2×(3+2-1)= 8; =5, =2, =2, = = {x
+ b 2 c ) a = c 8 解图 +4 +4 ; ab a ⑦ c : a 2 c ×( b 3 c +4 ab + b + c ) ac = 2 故表 + 10, n = kb =4 时 , f =2×(5+2-1)=12; 当a =2, b =1, k =3 时 , 边CD的中点 , 所以S △ AHC= S △ AHD= 1S △ ACD, 所以S 四边形AGCH= y =6 , 所以S 4= S △ AOE+ S △ AOD=6+8=14。
8 +8 ; ⑧:2×(4 + + + )= 8 +2 +4 , 2 =8
m ka n kb 时 f 当a b k
面积最小为 (2 ab +8 bc +8 ac ) 平方厘米 。 = m k = a 6, = n = kb 3 , 时 =3 f ×(2+1-1)=6; 当 =3, m = n 1 不 , 互 = 1 S 四边形ABCD, 同理可得 S 四边形BFDE = 1 S 四边形ABCD, 所以 答 : S 4 的值是 14。
答 共有 a b且b c 或 a b或b c 或 a 3, = =9, = =3 , =3×(3+1-1)= 9; , 2 2 元的绿化费用不够用 理由如下 如解图 连接
: 6( ≠3 ≠3 ) 7( =3 =3 ) 8( = (3)10000 , : ,
质时 该长方形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与 S S 即S S S 所以S
3 b且b =3 c ) 种不同的方式 , 搭成的大长方体的表面积最小 , 四边形AGCH= 四边形BFDE, 四边形AGCH= △ ABE+ △ DFC, 阴影= PC PG PD 因为D E为AC的三等分点 所以S 1
为 (2 ab +8 bc +8 ac ) 平方厘米 。 a , b , k之间的关系式是f = k ( a + b -1), 故答案为 :12,9, f = k S 1+ S 2+ S 3+ S 4=2。 、 、 , 、 , △ BCE= 3
a b 答 S 的值为
( + -1)。 : 阴影 2。 S 1 平方米 设S x S y 因
【模型应用】 1050 【解析】 630 与 490 不互质 , ka =630=9× 9. 解: (1)2 【解析】BD = DE = EC , S △ ABD= S △ ADE= S △ AEC= S △ ABC △ ABC= 3 ×6000=2000( ), △ PCF= , △ PCE= ,
kb a b k 该长方形的一条对角 为F G是BC的三等分点 所以S S S x 所
70, =490=7×70, =9, =7, =70, ÷3=6÷3=2。 、 , △ PBG= △ PGF= △ PCF= ,
线所穿过的小正方形个数是f 故答 如解图 连接 CD 因为 BD AB 所以 S S 以S S S S S x y 同
=70×(9+7-1)= 1050, (2) ①, , = , △ CBD= △ ABC, △ BCE= △ PBG+ △ PGF+ △ PCF+ △ PCE=3 + =2000①,
案为 S S 因为CE AC 所以S S 理 S S S S S x y 由
:1050。 △ ACD=2 △ ABC=2×2=4, =2 , △ CDE= △ ACD× : △ ACF= △ PAD+ △ PDE+ △ PCE+ △ PCF= +3 =2000②, ①
【模型拓展】 【解析】如解图 连接长方体上下两个底面 所以S S S 得 x y 即x y 所以四边形PECF的
6 , 2=4×2=8, △ ADE= △ ACD+ △ CDE=4+8=12。 +② ,4 +4 =4000, + =1000,
3面积是 平方米 需要的费用 类讨论即可。 需要考虑是否满足三角形的三边关系。
1000( ), 1000×13=13000>
所以 的绿化费用不够 ( ) 【解析】由题意可知 AB AC BC AB AC 即
10000, 10000 。 1 B , - < < + , 3-2<
BC 所以 BC 故符合此范围的取值为 千米
<3+2, 1< <5, 4 。
证明:如题图 根据三角形三边关系 两边之和大
(2) ③, “
于第三边 可知 在三角形ABD中 DA DB AB 在三角形
” , , + > ;
BCD中 BD DC BC 在三角形ACD中 DC DA AC 将以
, + > ; , + > ,
上三个不等式相加可得 DA DB DC AB BC AC 故
,2( + + )> + + ,
第 题解图
10 DA DB DC 1 AB BC AC
类型二 探究迁移型 + + > ( + + )。
2
11. 解: 在直角边长分别为a b斜边为c的直角三角形中 解:由题意可得c的取值范围为20 c 20 即 2 c
(1) 、 (3) < < , 6 < <
3 2 3
有 a2 b2 c2 【解析】由题 三个直角三角形的面积分别
: + = , 又因为c为整数 故c可取的值为 可组成三角
10, , 7,8,9,
为 1 ab 1 ab和1 c2 直角梯形的面积为 1 a b a 形的边长为 当 c 时 三角形三边长可以为
: 、 , : ( + )( + :① =7 , (6,7,
2 2 2 2 当 c 时 三角形三边长可以
7),(7,4,9),(7,5,8);② =8 ,
b 由图形可知 1 a b a b 1 ab 1 ab 1 c2 整 为 当c 时 三
)。 : ( + )( + )= + + , (4,8,8),(5,7,8),(6,6,8),(8,3,9);③ =9 ,
2 2 2 2
角形三边长可以为
理得 a2 b2 c2 (2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,
: + = 。
其中
n n n n n 9)。 (6,7,7),(7,4,9),(7,5,8),(4,8,8),(8,3,
(2)1+2+3+…+( -2)+( -1)+ +( -1)+( -2)+…+3+
【解析】n行n列的棋子排成一个正方体棋子个数
9),(2,9,9)
不满足c最大
,
所以一共有
5
种不同的剪法
。
2+1
为n n n2 按解图 的斜线的棋子数相加得
13. 解:
(1)
m 【解析】因为CD
=
BC
,
所以三角形ABC和三角
× = , ① 1+2+3+4+
…+( n -2)+( n -1)+ n +( n -1)+( n -2)+…+3+2+1, 所以 形ACD的面积相等 ( 等底同高 ), 故有S 1= m 。
m 【解析】如解图 连接AD 因为AE CA 所以三
n2 =1+2+3+4+…+( n -2)+( n -1)+ n +( n -1)+( n -2)+… (2)2 ①, , = ,
角形DEC的面积S 为三角形ACD的面积S 的 倍 故
+3+2+1。 2 1 2 ,
(3)①6 3 【解析】如解图 ②, 当n =4, m =2 时 , y =6, 如 有S 2=2 m 。
解图 当n m 时 y m 理由 结合 得出阴影部分的面积为题图
③, =5, =3 , =9。 (3)6 : (1)(2)
② n +2( m -1) 【解析】n边形内部有 1 个点时 , 其内部共 ② 中三角形DEC面积的 3 倍 , 故S 3=6 m 。
有n条线段 共分成 n个三角形 每增加一个点 都必须
(4)7
【解析】三角形 DEF 的面积
=
阴影面积
+
三角形
, , ,
在某个小三角形内 , 从而增加 3 条线段 , 所以n边形内部 ABC面积 = S 3+ S △ ABC=6 m + m =7 m =7 S △ ABC。
有m个点时 其内部共有n m 条线段 由 y n 由结论可知 阴影部分的面积为
, +3( -1) , (3 - )÷ ① : :(7×7-1)×15=
n m 化简得 y n m 平方米
2= +3( -1), : = +2( -1)。 720( )。
答 两次扩展的区域 即阴影部分 的面积是 平方米
: ( ) 720 。
如解图 设EG HF交点为O 连接 AO BO CO DO
② ②, 、 , 、 、 、 ,
因为E F G H分别是AB BC CD DA的中点 所以S
, , , , , , , △ ODH
S S S S S S S 所以阴
= △ OAH, △ OBE= △ OAE, △ OBF= △ OCF, △ DOG= △ COG,
影部分面积等于四边形 ABCD 面积的一半 所以阴影部
,
分面积是1 a
。
2
答 图中阴影部分的面积是1 a
: 。
2
第 题解图
11
12. 【思路分析】( )根据题设中给的三角形的三边关系,利
1
用不等关系来求解。 ( )线段DA,DB,DC将三角形ABC
2
分成三个小三角形,写出这三个小三角形的三边关系,将
三个不等式相加可得结论。 ( )根据题设的结论,求出一
3
条边长的取值范围,再结合三角形的边长为整数厘米,分 第 题解图
13
4
