模块十六 新趋势专题 36 只 。 13. ① 【解析】 ② nS为圆内接多边形的面积 , 一定满足nS < 2 2 ×3, 初始 5 个数中 ,2 的指数依次为 1、2、0、0、2,5 的指数
9. 解:设车有x辆 若每 人乘一辆车 则人数为 x 若 依次为 随后每次相邻两数相乘时 对应质因数
, 3 , 3( -2); r2 故 错误 当n r 时 α 360° 三角形 0、1、1、2、0, ,
π , ② 。 ③ =4, =2 , = =90°,
专题 数学文化 每 人坐一辆车 则人数为 x 根据人数相等 可得方 4 指数相加 第 次相邻 个数依次相乘得到 个数 的
2 , 2 +9。 , 。 1 2 4 ,2
类型一 70 数 论与数的运算 程 3( x -2)=2 x +9, 解得x =15, 人数为 2×15+9=39( 人 )。 A 1 OA 2、 三角形 A 2 OA 3、 三角形 A 3 OA 4、 三角形 A 4 OA 1 均为 指数依次为 3、2、0、2,5 的指数依次为 1、2、3、2; 第 2 次相
等腰直角三角形 内接四边形的面积等于四个等腰直角
答 有 人 辆车
,
邻 个数依次相乘得到 个数 的指数依次为
: 39 ,15 。 2 3 ,2 5、2、2,5
1.
-7516 10. 解:设黄金每枚重a两 白银每枚重b两 根据题意得 三角形的面积和为 1 若用 估算圆周率 的指数依次为 第 次相邻 个数依次相乘得到
2. 【解析】如解图所示 因为每一横行 每一竖列以及两 , , 2×2× ×4=8, 8 ,8= 3、5、5, 3 2 2
15 , , ì 2 个数 的指数依次为 的指数依次为 第 次相
条 +5 斜 = x 对 + 角 1, 线 所 上 以 的 x 因 = 数 为 2 之 + 每 5 和 - 一 都 1 横 = 相 6 行 , 等 所 , 每 所 以 一 以 第 竖 一 a 列 = 竖 4 上 列 +5 的 之 - 数 7 和 = 之 为 2, 和 x 因 + 都 为 7+ 相 a a { 9 8 a a + = b 1 = 1 b 10 b + a -13 , 解得 î í ï ï ï ï a b = = 1 1 1 4 4 7 3 。 14. π 解 r : 2 , ( 如 π 1) = 解 S 2 △ 图 , A 故 EF 过 , ③ S 点 △ 错 FM P 误 C, 作 。 S △ P AE M F, S △ A F D GC 于 ; 点M 延长MP交BC于 1 邻 8; 两 因 个 , 此 2 数 末 相 尾 乘 0 得 的 到 个 最 数 终 7 为 、 乘 4 1 , 1 积 5 。 ,2 的指数为 1 8 1 、 , 1 5 0; 的指 4 数为
=6+7+2=15, , 4 (2) , ⊥ , 解题技巧 要确定 个数 、 、 、 、 经相邻两个
等 所以每一横行上的数之和为 点N 则四边形AEPM 四边形DFPM 四边形CFPN 四边 5 14 20 15 25 12
, 15。 答 黄金每枚重143两 白银每枚重117两 , , , , 数依次相乘最终乘积末尾 的个数,需计算乘积中质因
: , 。 形BEPN都是矩形 所以PM DF 同 理得S 0
4 4 , = =5, (1) 矩形AEPM= 数 和 的指数(每对 和 对应一个 ),取较小值。
11. 解: 设每头牛值x两 每只羊值y两 根据题意得 S S S S S 即 S S 2 5 2 5 0
{ x (1) y {x , , 矩形CFPN, △ AEP = △ AMP, △ CFP = △ CNP, △ AEP = △ CFP = 4. 解: (1)( a )✕ 【解析】 11 13 表示 13 个 11 相乘 。
5 x +2 y =19 , 解得 y =3 ° 1PE · PM = 1 ×6×5=15, 所以图中阴影部分的面积为 ( b )✕ 【解析】 (5 ab ) 3 =5 3a3b3 =125 a3b3 。
2 +5 =16 =2 2 2
第 题解图 c 【解析】 xy2 4 4x4 y2 4 x4y8
2 答 每头牛值 两 每只羊值 两 ( )√ (2 ) =2 ( ) =16 。
: 3 , 2 。 15+15=30。
3. 解:根据计数规则可知 右边第 位的计数单位为 0 右边 设买了a头牛 买了b只羊 则 a b 答 图中阴影部分的面积为 (2)7 1275 【解析】 7 1 ×7 2 ×7 3 ×7 4 ×…×7 50 =7 1+2+3+4+…+50 =7 1275 。
, 1 5 , (2) , , 3 +2 =21, : 30。
第 位的计数单位为 1 右边第 位的计数单位为 2 右 因为a b为正整数 且不为 (3)3×3 3 ×3 5 ×3 7 ×…×3 99 =3 1+3+5+7+…+99 =3 2500 。
2 5 , 3 5 , 、 , 0,
边第 位的计数单位为 3 依此类推 可求出结果 3 (4)(2 3 ×20×5 2 ) 3 ÷10 9 =(2 3×3 ×20 1×3 ×5 2×3 )÷10 9 =2 9 ×2 6 ×5 3
4 5 。 , 。 2×5 所以当b 时 a 19 不符合题意
+1×5 2 +3×5 1 +4×5 0 =294( 天 ) =1 , = 3 , ; ×5 6 ÷10 9 =2 9 ×5 9 ×2 6 ÷10 9 =(2×5) 9 ×2 6 ÷10 9 =10 9 ×2 6 ÷10 9 =
答 : 孩子自出生后的天数是 294 天 。 当b 时 a 17 不符合题意 第 题解图 2 6 =64。
4. 解:根据题意 水漏计时器的容积为 立方分 =2 , = 3 , ; 14 (5) 因为xn =3, yn =5, 那么 ( x2y ) 2 n =( xn ) 4 ×( yn ) 2 =3 4 ×5 2
, 4×2×3=24(
米 )= 24 升 , 每小时漏出水的量为 24÷8=3( 升 ), 中午 12 当b =3 时 , a =5, 符合题意 ; 15. 解: (1)6 【解析】用海伦公式 : P = 1 ×(3+4+5)= 6, S = =2025。
2
时到下午 时经过了 个小时 剩下的水的体积为 当b 时 a 13 不符合题意 类型三 算术平方根
5 5 , 24-3× =4 , = , ; 用秦九韶公式 S
升 3 6×(6-3)×(6-4)×(6-5)= 36, : =
5=9( )。 5. 解: 【解析】a2 那么 a 等于 即原计算
答 : 水漏计时器里大约还有 9 升水 。 当b =5 时 , a = 11 , 不符合题意 ; 1 ×[3 2 ×4 2 -( 3 2 +4 2 -5 2 ) 2 ] = 36, 因为 36 = 6 2 , 错误 (1)①✕ =25, ±5。
5. 解:由题意得 . . . . . 3 4 2 。
. {5 7} . +{-1 2 . }-{1}=5 7- . [5 7]+(-1 2)- 当b =6 时 , a =3, 符合题意 ; 所以 36=6, 故这个三角形的面积为 6。 ②√ 【解析】 a × b = ab 。 即原计算正确 。
[-1 2]-1+[1]=5 7-5-1 2+2-1+1=1 5。 当b 时 a 7 不符合题意 x 【解析】因为 BC BD x 所以 CD 【解析】 答 . . 的值为 . =7 , = , ; (2)①28- =28, = , =28 ③✕ 3× 3×……× 3
:{5 7}+{-1 2}-{1} 1 5。 3 x
类型二 代数与方程 - 。
当b 时 a 5 不符合题意 因为AD BC
=8 , = , ; ② ⊥ ,
6. 【解析】设醇酒饮了x升 醨酒饮了y升 由题意可列方
3
所以AD2 AC2 CD2 AD2 AB2 BD2
B , , 当b 时 a 符合题意 = - , = - ,
{x + y =19 {x =9 , =1, ; 所以 26 2 -(28- x ) 2 =30 2 - x2 , 解得x =18。
程组 x y , 解得 y =10 , 则醨酒饮了 9 升 。 当b =10 时 , a = 3 1 , 不符合题意 ; 答 : x的值为 18。 3 + =33 =9
3 由 得AD AB2 BD2 2 2
7. 丈 尺 【解析】 丈五尺 尺 一尺五寸 . 尺 五 当b =11 时 , a =- 1 , 不符合题意 。 ③ ② = - = 30 -18 = 576, 4 5 1 =15 , =1 5 , 3 2
寸 . 尺 因为同时同地阳光下物体的长度和影子长度 答 在钱全部被花完的情况下 可以买 头牛和 只羊或 576= 24 =24,
=0 5 ,
: , 5 3
的比相等 , 所以竹杆的长度 ∶ 竹杆的影长 = 标竿的长度 ∶ 买 3 头牛和 6 只羊或买 1 头牛和 9 只羊 。 所以S △ ABC= 1BC · AD = 1 ×28×24=336。
2 2 x
标竿的影长 设竹竿长度为x尺 根据题意可得比例式 类型三 图形与几何 答 ABC的面积为
, , : = :△ 336。
15 专题 衔接初中
.
1 5 解得x 尺 丈 尺 所以竹竿的长度为 丈 12. . 【解析】因为 宣 1 矩 欘 1 宣 矩 71
. , =45,45 =4 5 , 4 22 5 1 = ,1 =1 ,1 =90°,
0 5 2 2 类型一 科学记数法
尺
5 。 A 矩 B 欘 所以 A B 1 1 1. 2.
8. 【解析】设甲原来赶的羊共有x只 根据题意得x x ∠ =1 ,∠ =1 , ∠ =90°,∠ =1 2 × 2 ×90° A D
36 。 + + 类型二 幂的运算
. 所以 C A B .
=67 5°, ∠ =180°-∠ -∠ =180°-90°-67 5°=
1x 1 1x 解得x 所以甲原来赶的羊共有
+ × +1=100, =36, . 3. 【解析】 1 2 1 1 2
2 2 2 22 5°。 11 14=2 ×7,20=2 ×5 ,15=3×5 ,25=5 ,12=
þ ï ïï ý ï ïï ü 1006 即原计算错误 =3 。 。
个 2012 3
【解析】x x2 x 即原计算正确
④√ >0, 25 =5 。 。
6
(2)
7 【解析】
(3)30 12× 75= 12×75= 900=30。 【解析】
(4)50 5 2= 25× 2= 25×2= 50。
2 【解析】 x 2 x 所以方程变为 x (5) ( 2 -1) =2 -1, 2 -1=
3
x 解得x 2 5 -3, = 。
3
6. 【解析】a为大于 的正数 则a 1 a 1
6 3 , -3>0,a >0, +1+a =
-3 -3
a 1 a 1
-3+a +4≥2× ( -3)×a +4=2+4=6。
-3 -3
类型四 方程(不定方程)类的正整数解
7. 【解析】因为 x y xy 所以 x xy y 所以
10 + + =34, + + +1=35,
1x y y 即 y x 因为x y是正整 据题意得 x . x 解得x 设S b 由 知 EG AC
(1+ )+(1+ )=35, (1+ )( +1)= 35, , :( +10)-(0 5 +20)=5, =30。 三角形的面积为1 平方厘米 △ BGE= , (1) , ∥ ,
×(4×5)×(3×5)=150( )。
数 + y , = 所 5, 以 1+ 1 x + = y , 7 1 或 + x 1 是 + y 大 = 于 7,1 1 + 的 x = 正 5 整 , 所 数 以 , 因 1+ 为 y + 3 1 5 + = x 5 = × 7 7 + , 5 所 = 以 12 1 , 答 为 : 5 上 m 升 。 10min 或 30min 时 , 两个气球的海拔竖直高度差 答 : 这个三角形的 2 面积是 150 平方厘米 。 所以 △ BGE ∽△ BDC , 所以 S S △ △ B B C G D E =( B B E C) 2 =( 1 2 ) 2 = 4 1 , 所
所以x + y =12-2=10。 类型六 平方公式等的探究、应用或证明 (2) 答 : 直角三角形的两条直角边长度的平方之和 = 斜边 以S △ BCD=4 b ,
8. 解:令 { 3 x +4 y +2 z =16① 由 得 x为偶数 z 3x y 长度的平方 。 说明如下 : 观察这个图形 , 以直角三角形直 因为D是AC的中点 , 所以S △ ABC=8 b ,
x y z均 4 为 x - 正 3 y 整 - z 数 =1② 则x , 即 ① x , 此时解 , 得 = y 8- 2 z -2 , 12. 1 b 69 两 正 【 方 解 形 析 的 】设 面 大 积 正 差 方 为 形的边 则 长 a 为 2 b a 2 , 小正方 所 形 以 的 a 边 b 长为 a 角 方 边 厘 的 米 长 ) 和 度 ( 为 3× 边 5) 长 2 = 的 2 正 25 方 ( 平 形 方 面 厘 积 米 分 ) 别 , 为 以 ( 直 4 角 ×5 三 ) 2 角 =4 形 00 斜 ( 平 边 则S △ BGE= 8 1S △ ABC,
, , , <4, =2, =2, =1。 , 120, - =120, ( + )(
的长度为边长的正方形面积为 2 平方厘米
所以方程的正整数解为 ì í ï ï x y =2 - b 代 )= 入 120① 可 。 得 两 a 正 b 方形的边长和为 20 得 , 则 a a + b =2 所 0② 以 , 将 大 400+225=625, 所以直角三角形 (5 的 ×5 两 ) 条 = 直 62 角 5( 边长度的 ) 平 。 所以 S △ BFG 1 1 2 S △ ABC 2
î ïï z =2。 ② 正方形 ① 的面积是 - =6③,(②+③)÷2 =13。 , 方之和 = 斜边长度的平方 。 S △ BEG = 1 S △ ABC = 3 。
=1 13×13=169。 16. 证明: 如解图 直线j k 直线AF与j k分别相交于点 8
a b c 13. 【解析】设两个自然数分别为a和b a b 根据题 (1) , ∥, , S
9. 解:由题意得 ,1 . 345≤
5
+
7
+
8
<1 . 355, 所以 376 . 6≤56 a 3 意 46 可 8 知 a2
-
b2
=2023,
即
(
a
+
b
)(
a
-
b
)= 2
(
02
>
3,2
)
0
,
23=1×
B
上
,
的
D 。
两
假
点
设
使
∠ AB
A
C
B
≠
N
∠ BD
BD
E ,
E
过
根
点
据
B作
两
直
条
线
直线
l , M
被
N
第
是
三
直
条
线
直
l 答 :S △
△
B
B
F
E
G
G
的值为2
3
。
b c . a b c是三个自然数 所以 a b c a b a b 则a , ∠ =∠ , “ 类型八 数轴与绝对值
+40 +35 <379 4, , , , 56 +40 +35 2023=7×289=17×119,① + =2023, - =1, =1012,
线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 可知 l
的值为 377 或 378 或 379。 b =1011;② a + b =289, a - b =7, 则a =148, b =141;③ a + b = , , ”, 18. 解:
k 这样过点B就有两条直线与k平行 这与平行公理 (1)4π
若 a b c 根据和的奇偶性可知 c为奇数 a b 则 a b 所以乘积最小为 ∥。 ,
56 +40 +35 =377, ,35 , 119, - =17, =68, =51, 68× 第 次滚动后 第 次滚动后
矛盾 所以 ABC BDE 的假设是不对的 所以 ABC (2)① 1 ,|-1|=1, 2 ,|-1+2|=
即c为奇数 b c的和的个位是 则 a的个位是 , ∠ ≠∠ , ∠
。 40 +35 5, 56 2, 51=3468。 第 次滚动后 第 次滚动后
BDE 1, 3 ,|-1+2-4|=3, 4 ,|-1+2-4
即a =2 或 7, 当a =7 时 ,56 a =392>379, 不符合要求 , 所以 14. 解: (1)( a + b ) 2 =( a - b ) 2 +4 ab =∠ 。 第 次滚动后 第 次滚动
-2|=5, 5 ,|-1+2-4-2+3| =2, 6
a 代入化简得 b c 则c b 设在正方形APCD和正方形PBFE中 AP a BP b
=2。 8 +7 =53, =3, =4; (2) , = , = , 后 则第 次滚动后 大圆离原点
,|-1+2-4-2+3-8|=10, 6 ,
若 a b c c为偶数 b c的和的个位是 则AB AP BP a b 因为 APE 的面积为 . 则
56 +40 +35 =378, ,40 +35 0, = + = + =8, △ 7 5, 最远
。
则 a的个位是 即a 代入化简可得 b c 经计
56 8, =3, 8 +7 =42, 1 ab . 即ab 因为 a b 2 a b 2 ab 所以 a 答 第 次滚动后 大圆离原点最远
算无正整数解 =7 5, =15, ( + ) =( - ) +4 , ( : 6 , 。
; 2
若 56 a +40 b +35 c =379, c为奇数 ,40 b +35 c的和的个位是 5, - b ) 2 =( a + b ) 2 -4 ab =8 2 -4×15=4, 所以 a - b =2( 负值舍 第 16 题解图 ②1+2+4+2+3+8=20,20×2π=40π,
去 所以CE PC PE a b |-1+2-4-2+3-8|=10,10×2π=20π,
则 56 a的个位是 4, 即a =4。 代入化简可得 8 b +7 c =31, 解 答 ) C , E的长度 = 为 - = - =2。 如解图 由 知 两条平行线被第三条直线所截 同 所以当大圆结束运动时 , 大圆运动的路程共有 40π, 此时
得b =3, c =1。 :
物业筹集的资
2
金
。
不够用 理由如下
(
位
2
角
)
相等 所
,
以
(1)
ABC
,
BDE ABC CBD
,
所
两圆与数轴重合的点之间的距离是
20π。
答 a b c的值分别是 或 (3) 。 : , ∠ =∠ ,∠ +∠ =180°,
: 、 、 类型 2、 五 4、3 函 4、3 数 、1。 设BG = CG = s m, EG = FG = t m, 由题意 , 得BE = BG + EG = s + 以 ∠ CBD +∠ BDE =180°, 即两条平行线被第三条直线所 答 : 当大圆结束运动时大圆运动的路程共有 40π, 此时两
圆与数轴重合的点之间的距离是
截 同旁内角互补
20π。
10. 解: (1) 是 【解析】正方体的体积y是其边长x的函数 , t =80( m), 两个三角形区域的面积之和 = 2 1 BG · CG + 17. (1 , ) 证明:如解图 , 。 取AF的中点H , 连接HD , (3) 设时间为t秒时 , 两圆与数轴重合的点之间相距 9π,
即为y x3 分四种情况讨论
= 。 1FG EG 1 s2 1 t2 2 两个长方形区域的面积之 :
y · =( + )m , 当两圆同时向右滚动 由题意得 t秒时 大圆与数轴重
(2)①0≤ ≤3 2 2 2 ① , : ,
x的取值是 合的点所表示的数 t 小圆与数轴重合的点所表示的
② 2,4,8,10,14…… 和 BG FG st 2 一共需要的资金为 1 s2 :2π,
=2 · =2 m , 100×( +
该函数是周期函数 因为f x f x 所以f x 2 数 t t t 解得 t 则 t t 则
(3) , ( +2)=- ( ), ( +2 :π,2π -π =9π, =9, 2π =18π,π =9π。
+2)=
f
[(
x
+2)+2]=-
f
(
x
+2)=-[-
f
(
x
)]=
f
(
x
)
1t2
)+30×2
st
=(50
s2
+50
t2
+60
st
)(
元
),
因为 s
+
t
=80,
所
第 题解图
此时大圆和小圆与数轴重合的点所表示的数分别为
所以f x f x 2 17
( +4)= ( )。 以s2 t2 s t 2 st st 一共需要的资金为 s2 18π,9π;
答 函数y f x 是周期函数 它的周期为 + =( + ) -2 =6400-2 , 50 + 因为D是AC的中点 所以DH FC 当两圆同时向左滚动 由题意得 t秒时 大圆与数轴重
: = ( ) , 4。 t2 st s2 t2 st st st , ∥ , ② , : ,
11. 解: (1)0 . 5 30 【解析】 1 号探测气球从海拔 10m 处出 ( 50 320 + 0 6 0 0 0-4 = 0 s 5 t 0 ) 元 ( , 因 + 为 ) ( + s - 60 t ) 2 = =( 5 s 0 + × t ) ( 2 6 - 4 4 0 s 0 t , - ( 2 s - t ) ) 2 + ≥ 60 0, 所 = 又因为BF = 1AB , 所以BF = FH , 合的点所表示的数 :-2π t , 小圆与数轴重合的点所表示的
发 以 的速度竖直上升 与此同时 号探测气球 3 数 t t t 解得t 则 t t
从 , 海拔 1m/mi 处 n 出发 以a , 的速度竖 , 直 2 上升 y x 以 ( s + t ) 2 -4 st ≥0, 所以st ≤ ( s + t ) 2 ,( s + t ) 2 =6400, ( s + t ) 2 = 所以BG = GD , :-π 则 , 此 -π 时 -( 大 - 圆 2π 和 )= 小 9 圆 π, 与数轴 = 重 9, 合的 - 点 2π 所 = 表 -1 示 8π 的 ,- 数 π 分 =
20m , m/min , 1= + 4 4 即G是BD的中点 又因为E是BC的中点 -9π,
当x 时 两气球海拔相同 y x 所以 st 所以 st , , 别为
10, =20 , , 1= +10=20+10=30, 1600, 40 ≤64000, 320000-40 ≥256000, 所以EG AC -18π、-9π;
所以b 设 号探测气球的函数关系式为y ax 万 所以物业筹集的资金不 ∥ 。 当大圆向右滚动 小圆向左滚动时 同理得 t
=30, 2 2= +20, 25 =250000,256000>250000, ③ , , :2π -
y ax 过 所以 a 解得a . 够用 解:设S a 因为BF 1AB G是BD的中点 t 解得t 则 t t 则此时大
2= +20 (20,30), 30=20 +20, =0 5。 。 (2) △ BFG= , = , , (-π)=9π, =3, 2π =6π,-π =-3π,
3
x . x 答 物业筹集的资金不够用 圆和小圆与数轴重合的点所表示的数分别为
(2) 分 + 两 10 种 情 0 况 5 +20 号探测气球比 号探测气球竖直海 : 。 所以S △ ABD=2×3× a =6 a , 当大圆向左滚动 小圆向右滚动时 同 6 理 π、 得 -3π; t
(3) :①2 1 类型七 几何证明类 因为D是AC的中点 , 所以S △ ABC=12 a , ④ , , :π -
拔高 根据题意得 . x x 解得x t 解得t 则 t t 则此时大
5m, :(0 5 +20)-( +10)= 5, = (-2π)=9π, =3, π =3π,-2π =-6π,
所以S 1S
号探测气球比 号探测气球竖直海拔高 根 15. 解: 每个小正方形的边长为 厘米 △ BFG= △ ABC, 圆和小圆与数轴重合的点所表示的数分别为
10;②1 2 5 m, (1) 60÷(3+4+5)= 5( ), 12 -6π、3π。
2答 大圆和小圆与数轴重合的点所表示的数分别为 专题 数论中的证明、 答案不唯一 设原数为 a b c a c 则倒过来的数为 c
: 18π、 ( ) 100 +10 + ( ≠0, ≠0), 100
9π 或 -18π、-9π 或 6π、-3π 或 -6π、3π。 说 7 理 2 、探究与构造 (2) 证明:设 a = P 1 a 1P 2 a 2 … P a n n , b = P 1 b 1P 2 b 2 … P b n n ,( P i 为质数 , +10 b + a , 两数之差 (100 a +10 b + c )-(100 c +10 b + a )= 99( a -
19. 解: 【解析】当a b 时 a b a b a i、 b i 为正整数 ), 因为a 、 b为友好数组 , 所以a 、 b的因数个 c ), 则差的平方为 99 2 ( a - c ) 2 。
(1)0 <0, >0 , | a | + | b | = - a+ b =-1+ 类型一 结论证明 数相同 , 设为m , 则m =( a 1+1)( a 2+1)…( a n+1)=( b 1+1)· 差的平方为原数的 99 倍 , 即 99 2 ( a - c ) 2 =99(100 a +10 b +
1 (2 = ) 0 2 。 或 -2 或 0 【解析】 ① 当a >0, b >0 时 , a a + b b = a a 1. ( 为 1) 2 证 k , 明 k为 :当 自 这 然 个 数 完 , 则 全 其 平 平 方 方 数 为 是偶 2 k 数 ×2 的 k 平 =4 方 k2 时 , 则 , 设 4 k 这 2 为 个偶 4 数 的 ( ( b P 2 i + 为 1) 质 … 数 ( b , n c + i、 1 d ) i 。 为 设 正 c 整 = 数 P c n ) 1 +1 , P 因 c n2 +2 为 … c P 、 c n d k + k, 为 d 友 = P 好 d n + 1 数 1 P d n 组 + 2 2 , … 所 P 以 d n + k k c 由 ), 于 化 1 简 00 得 <1 9 0 9 0 ( a a + - 1 c 0 ) b 2 + = c ≤ 10 9 0 9 a 9 + , 10 b + c 。
| | | | 倍数 c d的因数个数相同 设为n 则n c c c
+ b b = 当 1+ a 1=2 b ;② 当 时 a > a 0, b < b 0 时 , a | a a | b + | b b | = a a + - b b=1 当 -1 a = 当 ( n 这 为 ; 个 自 完 然 全 数 平 ), 方 则 数 其 是 平 奇 方 数 为 的 (2 平 n + 方 1) 时 × , ( 设 2 n 这 +1 个 )= 奇 4 数 n2 + 为 4 n 2 + n 1 + = 1 由 1 、 ) 于 =( a d 、 1 c + 互 1) 质 ( d , 2 b + 、 1 d ) 互 … , 质 ( d , k 所 +1 以 ) , 。 ac = P = 1 ( a 1P 1+ 2 a 1 2 … )( P n 2 a + nP 1) c n1 + … 1 P ( c n2 +2… k+ 所 ( 分 a 以 别 - c 代 ) 1 2 0 入 0 一 < 验 定 99 证 为 ( a 整 - 原 c 数 ) 数 2 且 ≤ 为 为 99 平 9, 方 即 数 1 9 0 9 0 , 则 <( 或 只 a - 能 c ) 取 2 ≤ 4 1 1 或 1 1 1 , 9,
0;③ <0, >0 , | a | + | b | = - a+ b =-1+1=0;④ < 4( n2 + n )+1,4( n2 + n ) 为 4 的倍数 , 故这个完全平方数除以 P c n k + k, bd = P 1 b 1P 2 b 2 … P b n nP d n + 1 1 P d n + 2 2… P d n + k k, ac的因数个数为 ( a 1+ 和倒序数 , 的差 99 的 × 平 4= 方 39 为 6 99×9 原 =8 数 91 的 。 倍为
0 b , b <0 时 , | a a | + | b b | = - a a+ - b b=-1-1=-2。 综上所述 , | a a | + 4 (2 余 ) 解 1。 :完全平方数 :1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121, 数 1) 个 ( a 数 2+ 为 1) ( … b 1 ( + a 1 n ) + ( 1 b ) 2 ( + c 1 1 ) + … 1) ( ( b c n 2 + + 1 1 ) ) ( … d ( 1+ c k 1 + ) 1 ( ) d = 2+ m 1 n ) , b … d ( 的 d 因 k+ 3 3 9 9 6 20 和 4, 倒 不 序 相 数 等 。 693 的差的平方为 88209, 原数的 99 倍为
b 的值为 2 或 -2 或 0。 144,169,196,225,… 1)= mn 。 所以ac与bd为友好数组 , 且友好值是上述两个 891 不相等 198 480249, 99
| | 友好数组的友好值的乘积 88209, 。
因为a b c 所以a b c a c b b c a 所以 。 因此不存在这样的三位数
(3) + + =0, + =- , + =- , + =- , 解题技巧 求因数个数的方法 若一个数可以分解为A 。
b c a c a b a b c ∶ = 7. 解: 将自然数从 到 依次排列得到的多位数 各
+ + + - - - (1) 1 10000 ,
a + b + c = a + b + c , am bn cr(a、b、c均为质因数),则它的因数个数为P (m
| | | | | | | | | | | | × × = 位数字之和为 而一个数
(1+10000)×10000÷2=50005000。
又因为abc <0, a + b + c =0, +1 )(n +1 )(r +1 )。 除以 的余数等于它各位数字之和除以 的余数
9 9 ,
所以a 、 b 、 c中有一个负数两个正数 , 5. 证明:设a 、 b分别为这 18×18=324( 个 ) 正整数中的最小的 50005000÷9=5556111……1, 所以这个数字除以 9 的余数
所以- a - b - c 数和最大的数 , 由于这些数互不相等 , 所以b - a ≥323。 是
a + b + c =1+(-1)+(-1)=-1。 当a和b所在的方格既不同行又不同列时 从a所在的 1。
| | | | | | ① , 不能 能被 整除的数满足十位数是偶数 个位数是
(2) 。 20 ,
答 : b | + a c | + a | b + | c + a | + c | b 的值是 -1。 不难发现 循 , 连 环 续的完全平方数除以 7 的余数规律 :1、4、2、 方 移 格 动 出 而 发 到 , 达 可 b 以 所 通 在 过 的 一 方 系 格 列 , 如 向 解 相 图 邻 ① 小 所 方 示 格 : ( 由 上 于 下或 a和 左 b 右 既 ) 的 不 0 位 。 为 整数 ( A 不 BC 符 DE 合 F 要 GH 求 IJK 故 LM 不 N 能 OP 被 QRST 整 UV 除 WXY 这 Z ) 个 19 整 中 数 , 后 可 四 以
类型九 与初中有关的作图 2、4、1、0 。 2526, , 20 。
2. 证明:假设有两个数a , b (1≤ b < a ≤ n ), 且a2 和b2 被 2 n +1 同行又不同列 , 总存在两条完全不同的路线 ( 两条路线途 表示为 1234567891011…240000+2526,
20. 解:如解图所示 经的方格无一相同 由a所在的方格到达b所在的方格
。 除所得的余数相同 则由同余定理得 a2 b2 n ), 。 由于 一定能被 整除
, - ≡0(mod(2 + 1234567891011…240000 20 ,
显然 无论是路线甲 还是路线乙 其相邻移动的次数均不
即 a b a b n 又因为 n 是 , , , 故这个整数除以 的余数为
1)), ( + )( - )≡0(mod(2 +1))。 2 +1 2526÷20=126……6, 20 6。
超过 次 若在路线甲上任何相邻两方格所填
质数 所以a b n 或a b n 17+17=34( ); 8. 解: 对于 模 即求正整数b使得 b 余 依次
, + ≡0(mod(2 +1)) - ≡0(mod(2 +1)), (1) 5 2, 5× ÷2 1。
之数的差均小于或等于 则 b a 矛
而a b a b都小于 n 且大于 所以 a b 与 n 互 9, 323≤ - ≤34×9=306, 尝试 b 时 所以 是 模 的数论倒
+ , - 2 +1 0, + 2 +1 : =1 ,5×1÷2=2……1, 1 5 2
盾 因此路线甲上必有两个相邻小方格 其中所填之数的
质 a b也与 n 互质 因此a b与a b都不能被 n , , 数 b 时 所以 是 模 的数论倒
, - 2 +1 , + - 2 +1 。 =3 ,5×3÷2=7……1, 3 5 2
差均不小于 路线乙也是如此
整除 产生矛盾 所以假设不成立 原题得证 10, 。 数 b 时 所以 是 模 的数论倒
, , , 。 。 =5 ,5×5÷2=12……1, 5 5 2
当a和b所在的方格同行或同列时 与情况 类似 如
3. 解: 因为A B两组相同号的数字之和恰好为C组对应 ② , ① , 数 答案不唯一
第 题解图 (1) , 。 ( )
解图 所示 同样可以找到两条完全不同的 移动次数不
20 号的数字 所以A B两组数字之和等于C组数字之和 所 ② : , 不能
21. 解: 大于 作出圆周的一组三等分点 如解图
, , ,
大于 次的路线甲和路线乙 一条由与 a b 同行 或同
(2) 。
(3)① ② , 以C组的四个数字之和为 34 , 、 ( 证明:因为 b 无论b取何正整数 b一定是 的倍
(1+2+3+…+12)÷2=39。 3× ÷6, ,3× 3
所示 列 的方格组成 另一条由 a b 及上或下一行 左或右一
。 答 C组四个数字的和为 ) ; 、 ( 数 当b为奇数时 b 的余数是 当b为偶数时 b
: 39。 , ,3× ÷6 3。 ,3×
列 的方格组成 两条路线各存在一对相邻小方格 其中
C 组 个数可能为 ) 。 , 的余数是 不存在余 的情况 所以不能找到一个正
(2) 4 12,11,10,6;12,11,9,7;12,10, ÷6 0, 1 ,
所填之数的差均不小于
10。 整数是 模 的数论倒数
9,8。 3 6 。
证明如下 当 不在C组 令C组数尽可能大 当C组为 存在 数字 是 模 的数论倒数
: 12 , , (3) , 7 5 17 ,
时 所以 一定在C 组
11,10,9,8 ,11+10+9+8=38<39, 12 , 5×7÷17=2……1。
则C组剩下的数字之和为 令其他两数尽可能 9. 【思路分析】( )根据余数的定义判断余数是否有 即可得
39-12=27, 1 7
第 21 题解图 大 , 取 11 和 10, 则C组最小的数只能为 27-11-10=6, 则C 到答案。 ( 2 )首先根据余数和整除的定义依次求出 2 a ÷3 ,
【作图提示】先在圆上作一直径,交圆弧于点E,F,再以点 组不可能有 同理可算出 C组 个数可能分别 ( a ) 的余数,则可求出a的值可以是 、 、 、 、 、 、
1,2,3,4,5, , 4 2 +1 ÷3 1 3 5 7 9 11
E(或点F)为圆心,OE(或OF)长为半径画弧,与圆O相 为 …,同理:b、c的值也可以是 、 、 、 、 、 、…,接着根据a
12,11,10,6;12,11,9,7;12,10,9,8。 1 3 5 7 9 11
交于点G,H,此时线段OE与线段CH相互垂直平分,三 4. 解:根据因数个数的计算方法可知
第
5
题解图
b c可求出a b和b c的值可以是 、 、 、 、 、 、…,再
(1) ,12=3×4=(2+1)× > > - - 2 4 6 8 10 12
类型二 判断并说明理由
角形 FGH 是等边三角形,则点 F,G,H 是圆 O 的三等 所以 2 根据公因数的定义可知 、 、 、 、 、 、…都有一个相同
(3+1),12=2×2×3=(1+1)×(1+1)×(2+1), (2 ×3× 2 4 6 8 10 12
分点。 3 2 是一组友好值为 的友好数组 6. 解:不存在 理由如下 的公因数 ,最后根据互质的定义即可得到答案。
5)= 60,(2 ×3 )= 72 12 。 , : 2
3( )证明:因为 a 的余数依次是 所以 14. 解:是 原因 任意数被 除的余数只能是 所以任
1 2 ÷7 :2、4、1、2、4、1…, , : 3 0,1,2,
a 的余数依次是 所以F a 不 意五个自然数被 除的余数只能是
(2 +1)÷7 :3、5、2、3、5、2、…, ( ) 3 0,1,2。
会是 的倍数 这五个自然数除以 的余数有如下两种情况
7 。 3 :
不存在 至少有三个数余数全为 或余数全为 或余数全为
(2) 。 ① 0 1 2,
证明:因为 a 的余数依次是 所以 那么这三个数的和能被 整除
2 ÷3 2、1、2、1、2、1、2、…, 3 ;
a 的余数依次是 因为 整除 每种余数最多有 个 那么 个余数仅有一种可能的
(2 +1)÷3 0、2、0、2、0、2、0、…。 3 ② 2 , 3
F a 所以 a 的余数为 所以a的值可以是 情况 个 个 个 那么从三个余数中各取一个数
( ), (2 +1)÷3 0, 1、3、 :2 、2 、1 , ,0+
同理 b c 的值可以是 因 这三个数的和能被 整除
5、7、9、11、…, : , 1、3、5、7、9、11、…, 1+2=3, 3 。
为a b c 所以a b和b c的值可以是 因 综上所述 在任意的五个自然数中 其中必有三个数的和
> > , - - 2、4、6、8、10、12、…, , ,
为 都有一个相同的公因数 所以a b 是 的倍数
2、4、6、8、10、12、…, 2, - 3 。
和b c一定不互质 15. 解:因为质数只有 和它本身两个因数 所以 至 中
- 。 1 , 1 100
类型三 探究最值和特殊值 共有质数 个 即
25 , 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、
这 个数
10. 【解析】四个数两两相加得到的 个数 存在三组 41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97, 25
791 6 , 两两互质 根据抽屉原理 再任意取一个 一定是合数或
数 每一组数加在一起是原来四个数的总和 要x y尽可 , , ,
, , + 一定能满足使得这 个数中必有 个数可以整除剩
能大 那么总和要尽可能的大 和 x y 配对的数尽可能 1, 26 1
, , 、 下 个数的乘积
小 和最大为 所以x y最大为 25 。
, 320+287=607, + (607-234) 答 m的最小值是
: 26。
+(607-189)=791。 16. 解:将 的方阵分成 个 的方格 每个 的方格
11. 解:x为 位的正整数 y为 位的正整数 x的十位数字 4×4 4 2×2 , 2×2
2 , 1 , 、 中最多有 名同学认为自己是 幸福 的 所以 名同学
个位数字 y互不相同且x与y乘积的最大时 x的十位数 3 “ ” , 16
、 ,
字 个位数字 y最大只分别能取 这 个数字中的 中 最多有 3 名 同学认为自己是 幸福 的
, , 7、8、9 3 , 16× =12( ) “ ” 。
4
一个 当y x 时 当y x 时
。 =9, =87 ,87×9=783; =8, =97 ,97 答 最多有 名同学认为自己是 幸福 的
: 12 “ ” 。
当 y x 时 其中最大的
×8= 776; = 7, = 98 ,98×7= 686;
是
783。
答 x和y乘积的最大值为
: 783。
12. 解:设A B C 三个同学 A 比 B 考得好 B 比 C 考得好
, , , , 。
则就三人的总分而言 A至少比 B 多得 分 B 至少比 C
, 2 ,
多得 分 A至少比C多得 分 当所有同学总得分之间
2 , 4 ,
的差都小于 时 一定不存在这样的三个人 总得分为
4 , 。
的人数最多依次为
0~200 :1、2、3、…、99、100、101、100、
要想得分差小于 得分只能取连续的四个
99、…、3、2、1, 4,
数 和最大为 即最多 人 要
。 99+100+101+100=400, 400 ,
使存在这样三个同学 至少需要 人
, 400+1=401( )。
答 n的最小值是
: 401。
类型四 模型构造
13. 【思路分析】每行、每列及两条对角线都是由 个数字组
8
成的,可求出每行、每列及两条对角线的数字之和的最大
值与最小值,进而求解。
解:不能 原因 由题意知 行 列及两条对角线共有
, : 8 、8 18
条 线 每条线上有 个数字 要使每条线上的数字和不
“ ”, 8 ,
同 也就是需要每条线上的数字和有 种以上的可能
, 18 ,
但填入的数只有 三种 因此在每条线上的 个数
6、7、8 , 8
字中 其和最小是 最大是 则最多只有
, 6×8=48, 8×8=64,
种 可能 故不可能使得每行 每列及两条
64-48+1=17( ) , 、
对角线上的八个数的和各不相同
。
4
