6. 解:如解图 作点D关于直线AC的对称点D′ 连接DD′交 用 个铅字 页共用 个 从第 时 两数之差越大 两数之和就越大 且a 所以b c不
模块十四 最优化问题 , , 2 ,99 9+(100-10)×2=189( )。 , , , =1, 、
AC于点H 过点D′作D′E AD于点E 则D′E的长为PE 页到 页每页用 个铅字 页共用 个 为 所以bc 时 b c的值最大 此时a b c
, ⊥ , + 100 999 3 ,100 (189+3) 1, =24=2×12 , + , + + =1+2+
专题 最值问题 PD的最小值 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 ADC 铅字 设一共有k k 页 根据题意得 .
。 , ∠ = 。 (100< ≤999) , :189+3 12=15
66
因为点D 点D′关于AC对称 所以DD′ AC DH D′ k 即 k
类型一 几何中的最值问题 90°, , , ⊥ , = ( -99)<2011, 3 <2011+297-189=2119=3×706+1。 19. 解:不妨令a b c d 若a 则 1 1 1 1 4
H 因为AD DAC 所以 DH ADH 所以这本书最多有 页 最少剩余 个铅字
≤ ≤ ≤ , ≥6, a + b + c + d ≤
6
<
1. 【解析】平面内五条直线两两相交 最多有 , =4,∠ =30°, =4÷2=2,∠ = 706 , 1 。
11 个 交点 最少有 个交点 故x y , 1+2+3+4= 90°-30°=60°, 所以 DD′ =2 DH =4, 所以 ∠ D′ =90°-60°= 14. 400 【解析】两人共同走 8 天后 , 都只剩下 16 天的食物 , 7 , 不符合 , 故a <6。 先了解一个结果 :
2. 10( 【解 ) 析】如 , 解图所示 1 因为要 , 求需 + 要 = 直 1 管 1。 的根数最少 所 30°, 所以DE =4÷2=2, 所以D′E = D′D2 - DE2 = 4 2 -2 2 此时乙分给甲 8 天的食物后独自带着 8 天的食物返回 。 10
F , , 甲独自前进 天后返回 甲有的食物 天 若正整数a b为定值时 当a与b越接近 则 1 1 之值
以尽可能将喷头都放置在同一条直线上 即圆的直径上 8 , :24-8+8=24( ), + , , a + b
, , =2 3。 甲再走 天 最远可以深入沙漠的距离
然后让花坛周围上剩下的一个喷头和草地周围上剩下的 答 PE PD的最小值为 :(24-8)÷2=8( ), : 越小 例如
: + 2 3。 千米 。 :
一个喷头与草地周围其中一个喷头在一条直线上 然后依 25×(8+8)=400( )。
,
15. 【解析】考虑极端情况 最大 擦去 和 写 擦去
若a
+
b
=10,
则1
+
1
>
1
+
1
>
1
+
1
>
1
+
1
>
1
+
1
;
据题意把剩下的需要补充的直管连起来即可 所以至少需 2021 , : 1 3 2, 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5
,
和 写 擦去 和 写 擦去 和 写 擦去
要 根直管 2 2 2, 2 4 3, 3 5 4,…, 若a 则1 1 1 7 1 5 1 因此 b c d
8 。 和 写 所以最大是 最小 擦去 =5, b + c + d = - = = , 5≤ ≤ ≤ ;
2022 2024 2023, 2023。 : 2024 10 5 10 2
和 写 擦去 和 写 擦去 和 若b c d 则a b c d
2022 2023, 2023 2023 2023, 2023 =5, =5, =10, + + + =25;
写 擦去 和 写 所以最小是 所以最大 若b c d 则a b c d
2021 2022,…, 3 1 2, 2。
= = =6, + + + =23。
第 题解图 值和最小值的差是
6 2023-2=2021。 当a b c d 时 1 1 1 1 的最小值等于 1 1
+ + + <23 ,a + b + c + d + +
16. 【解析】要使乘积之和最小 则相邻两个数的乘积尽 5 5
第 2 题解图 解题技巧 在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那 58 ,
30° 量小 故 与 相邻 与 相邻 与 相邻 如解 1 1 22 7
么它所对的直角边等于斜边的一半。 , 6 1,2 ,5 1,3 ,4 2,3 , + = > 。
6 6 30 10
3. 【解析】设大圆的半径为r 则r 40 厘 图所示 乘积之和为
80 大, 大=80÷π÷2= ( 类型二 代数中的最值问题 。 1×6+6×2+2×4+4×3+3×5+5×1=
π 当1 1 1 1 7时 a b c d的最小值为
米 设两个小圆的半径分别为r r 则两个小圆的周长和 58。 + + + = , + + + 23。
5 6 6 6 10
), 1、 2, 7. 【解析】要使播出天数最多 每天播出集数互不相等 则
为C r r r r 厘米 要使C 最大 需满 B , , 专题 合理安排
和=2π 1+2π 2=2π( 1+ 2)( ), 和 , 每天播出的集数尽可能少 需从最小的不同正整数开始取 67
足r r 最大 由于两个小圆是从大圆上剪下的 因此r r ,
1+ 2 。 , 1+ 2 连续整数之和 集 剩余 类型一 统筹问题
r 当两个小圆的直径之和等于大圆直径 即r r r 时 ,1+2+3+4+5+6+7=28( ), 30-28=2
≤ 大, , 1+ 2= 大 ,
集 调整为 集 或 1. 【解析】从甲地到乙地的专线 一辆车包括休息时间共
( ), 1+2+3+4+5+7+8=30( ) 1+2+3+4+5+6 B ,
周长和最大 所以C r 40 厘米
, 和最大=2π× 大=2π× =80( )。 集 该剧最多可播出 天 需要 分 要保证 分钟内间隔 分钟发一辆
π +9=30( ), 7 。 55+15=70( ), 70 7
4. 【解析】这三种正方体木块的棱长之比为甲 乙 丙 8. 【解析】要使 n 最小 即两人之间空 个座位 则可取 车 共需要 辆 同理 返回也如此 则至少需要
50 ∶ ∶ D , 2 , 第 题解图 , 70÷7=10( ), , ,
设甲棱长为 则乙棱长为 丙棱长为 因 号 共 个座位 故选 16 辆
=1 ∶ 2 ∶ 3, 1, 2, 3。 1,4,7,10 , 4 , D。 10×2=20( )。
为每种木块至少用一块 因此大正方体棱长不小于 9. 【解析】要使积最小 则两个乘数的十位数字尽可能 17. 【解析】数字最小首位是 被 整除第 2. 【解析】洗茶杯 拿茶叶共需 分 烧水的过程
, 2+3= 1248 , 102000 987654 1, 2 8 、 2+1=3( ),
因此大正方体棱长最小为 拼组后的正方体的体积最 小 且两个数的差尽可能大 二位最小是 被 整除数字和最小为 满足条件的是 需要 分钟 因此可在等待烧水的过程中完成洗茶杯与拿
5, 5, , 。 26×48=1248,28×46=1288, 0, 3 3, 6 ,
小是 则丙只用 块 乙最多用 块 为使总数 积最小是 被 整除尾数最小是 即 被 整除最小为 茶叶这两项任务 最少要 分 可以使客人尽快
5×5×5=125, 1 , 7 , 1248<1288, 1248。 102, 4 20, 1020, 5 , 1+6+1=8( )
最少 所以乙用 块 甲用 10. 【解析】三个数的积最大时 b 则a 被 整除第六位最小为 故六位数最小为 喝茶
, 7 , (125-3×3×3-2×2×2×7)÷1=42 462 , =24÷3=8, =8-1 10200, 6 0, 。
( 块 ), 所以最少需要这三种木块一共 42+1+7=50( 块 )。 =7, c =8+1=9,7×8×9=504; 三个数的积最小时 , a =1, b = 102000。 数字最大首位是 9, 第二位是最大偶数 8, 前三位 3. 3 【解析】先煎三张的正面 , 煎熟后拿出其中的 1 张 , 放入
5. 39 【解析】如解图 , 以 AC 所在直线展开侧面 , 将内侧上 2, c =24-1-2=21,1×2×21=42; a 、 b 、 c三个数积的最大值 数字和是 3 的倍数最大是 987, 判断第四位时 , 第三位和 另一张 , 煎两张的反面和这一张的正面 , 煎熟后就有 2 张
翻 , 连接AB , 则线段 AB 的长度为蚂蚁爬行的最短路程 。 与最小值的差是 504-42=462。 第四位组成的数是 4 的倍数最大为 76, 即 9876, 第五位尾 煎好了 , 拿出这 2 张 , 放入先拿出的那一张和剩下的那一
过点B作BE ⊥ 直线AC于点E , 则BE = CD =15 厘米 , EC = 11. 【解析】已知其中一堆有 颗棋子 是 的倍数 所 数最大是 到六位时 再加上一个偶 张一起煎反面 这样用时最少 即 正正正 反反正
408 9 ,9 3 , 5, ,9+8+7+6+5=35, , , ① ,② ,③
BD 厘米 所以EA 厘米 在直角三角形
=16 , =16+20=36( ), 以其他每堆棋子的数量除以 的余数都相同 同理 除 数 构成 的倍数即可满足是 的倍数 满足条件 故六 反反 共 分钟
3 。 ,9 , 3 6 ,4 , , 3 。
ABE中 , AB2 = AE2 + BE2 =36 2 +15 2 =1521=39 2 , 所以 AB = 以 余 所以其他每堆棋子的数量除以 的余数也相 位数最大是 4. 【解析】按小徐 小周 小李 小卫的打水顺序所花
所以蚂蚁爬行的最短路程是 厘米 4 1, 4 987654。 20 → → →
39, 39 。 同 因为每堆棋子数量互不相同 且数量都不超过 的总时间最短 打水总时间 包括等候时间 是
。 , 100 18. 【解析】a bc 49 a a bc 因为 , ( ) 1+(1+2)+
颗 所以满足条件的棋子数量为 15 +2 = a , ( +2 )= 49, 49=1×49=7 分
, 9、21、33、45、57、69、81、 (1+2+3)+(1+2+3+4)=20( )。
棋子总数为 颗 所以a a bc 或a a bc 或a a 5. 【解析】第一次赶 分钟和 分钟的牛过河 骑 分钟
93。 9+21+33+45+57+69+81+93=408( )。 ×7, =7, +2 =7, =1, +2 =49, =49, + 24 3 4 , 3
12. 【解析】喝完 瓶汽水 . 拿这些空瓶 bc 因为a b c均是非 自然数且各不相同 所以a 的牛回 用 分钟 第二次赶 分钟和 分钟的牛
129 161 ,161÷5=32 2, 2 =1, 、 、 0 , = , 4+3=7( ); 6 9
可换 瓶汽水 也相当于退回 瓶汽水 实际上至少要 a bc 与a a bc 都不符合题意 所以 a 过河 骑 分钟的牛回 用 分钟 第三次赶 分
32 , 32 , 49, +2 =1, =7, +2 =7 , = , 4 , 9+4=13( ); 3
买汽水 瓶 a bc bc 即bc 钟和 分钟的牛过河 不再返回 用 分钟 所以要把 头
第 题解图 161-32=129( )。 1, +2 =1+2 =49, =24,24=1×24=2×12=3×8= 4 , , 4 , 4
5 13. 【解析】前 页用 个铅字 从第 到 页每页 要使a b c的值最大 则需要b c最大 当两积一定 牛带到对岸 最少要花 分钟
706 1 9 9 , 10 99 4×6, + + , + , , 7+13+4=24( )。
1类型二 找次品 千米 千米 总距离为 13. 解:方案三获利最多 理由如下
15×(3+5)= 120( ),20×5=100( )。 , :
千米 若这所初中建在 C 社 方案一 吨 所以可以在 天内
6. 【解析】把 个外形一样的零件 分成 份 第 270+315+120+100=805( ); :16×15=240( ),240>140, 15
2 8 , 3 (3,3,2),
区 各社区 除C社区 学生到学校的距离分别为 加工完 总利润为 元
一次 从中取 份 个小球的 分别放在天平两端 若天平 , ( ) 45×(6+ , 4500×140=630000( );
: 2 3 , ,
千米 千米 千米 方案二 因为每天精加工 吨 吨
平衡 则次品在未取的 个球中 若天平不平衡 则次品在 5)=495( ),30×5=150( ),35×4=140( ),15 : 6 ,15×6=90( ),140-90=
, 2 , ,
千米 总距离为 千 吨 即 天可以精加工 吨 其余 吨直接销售
天平较高端的 个中 第二次 将未取的 个小球分别 ×3=45( )。 495+150+140+45=830( 50( ), 15 90 , 50 ,
3 ; :① 2 米 因为 所以这所初中应该建在B社区 总利润为 元
放在天平两端 较高端的为次品 将上一次结果中较高 )。 830>805, 。 90×7500+50×1000=725000( );
, ;② 答 这所初中应建在B社区 方案三 设 天中粗加工蔬菜 x 天 则精加工蔬菜
端的 个小球 任取 个放在天平两端 若天平平衡 则剩 : 。 : 15 , (15-
3 , 2 , , 11. 解: 观察可知 每个拼板的价格分别为 元 元 x 天 因此 x x 解得x 即粗加工 天
下未取的那个为次品 若天平不平衡 较高端的为次品 所 (1) , 6 ,3 , ) , 16 +6(15- )=140, =5, 5 ,
, , , 元 要总费用尽可能的低 则要尽可能用价格低的 共加工蔬菜 吨 精加工 天 共加工蔬菜
以至少称 次保证可以找出次品 6 , , 16×5=80( ), 10 , 6×
2 。 吨 总利润为 元
7. 解: 次 称法如下 把 个球分成 份 每份 个球 任 要拼成需要的图形 则最好的情况是用 个 10=60( ), 60×7500+80×4500=810000( ),
(1)2 , : 9 3 , 3 , , , 6 因为 所以方案三获利最多
取 份放在天平两端 若天平平衡则次品不在天平上 若 630000<725000<810000, 。
2 , ;
天平不平衡 则次品在下沉的盘子中 把找出的有次品的 个 个 如解图 所示 此时
, ; ,1 ,1 。 ① ,
这三个球中的任意两个放在天平上 若天平平衡 则没放
, , 费用为 元
3×6+6+6=30( )。
的一个就是次品球 若天平不平衡 则下沉的就是次品球
; , 。 答 总的费用最便宜时是 元
: 30 。
至少要称 次才能保证找到这个次品球 称的方法如
(2) 3 , 观察可知 要总费用最贵 尽可能用费用最贵的
(2) , ,
下 先把 个乒乓球分成 份 把任意两组放在天
: 9 3 (3,3,3),
或 一共可以用 个 再加 个
平上称 第一种情况 若天平平衡 则次品在没称的一组 , 7 , 1 。
。 : , ,
把没称的一组分成 份 将任意两个放在天平上
如解图 所示 此时的总费用为 元
3 (1,1,1),
② , 6×7+3=45( )。
称 若平衡 则次品就是没称的那个 若不平衡 则需与没
答 总的费用最贵时是 元
, , ; ,
: 45 。
称的乒乓球进行比较 需再称一次 因此一共需 次 第二
, , 3 ;
种情况 若天平不平衡 则需要将其中一组和第三组比较
: , ,
要多称一次 同时也就知道次品是偏轻还是偏重了 再把
, ;
含次品的三个乒乓球分成 份 将任意两个放在
3 (1,1,1),
天平上称 若天平平衡 则次品就是没称的那个 若天平不
, , ,
平衡 则已知的偏轻或偏重的那个就是次品 因此一共也
, ,
需 次
3 。 第 题解图
11
答 在不知道次品球比正品球重还是轻时 至少需要称三
: , 12. 解: 设这项工程的 总量为单位 甲 乙两工程队
(1) , “1”, 、
次 一定可以找出次品
, 。
合作需要时间为 1 1 . 月 所耗资金为 .
类型三 生产生活中的方案与最值 1÷( + )=2 4( ), 2 4
4 6
8. 【解析】因为 元 元 ×(9+5)=33 . 6( 万元 )。
A 178÷3=59( )……1( ),128÷2=
答 甲 乙两工程队合作需 . 个月完成 耗资 .
元 三人间的每人费用最少 所以应尽量多安排三人间 : 、 2 4 , 33 6
64( ), , ,
万元
然后是二人间 同时要让房间都住满人 间 。
, 。 40÷3=13( )……
乙工程队耗资较少 为了节省资金 应尽量请乙工程
人 方案一 三人间 间 单人间 间 费用为 (2) , ,
1( )。 : 13 , 1 , 178×13+
元 方案二 三人间 间 二人间 间 费用为 队来做 乙工程队 个月能完成全部工程的1 5 剩
98=2412( ); : 12 , 2 , , 5 ×5= ,
元 故选 6 6
178×12+128×2=2392( ),2412>2392, A。
9. 甲 【解析】甲店 组 需花
下的
1-
5
=
1由甲工程队做
,
需要1
÷
1
=
2
(
月
),
所以
:60÷(10+2)=5( ), (60-5×2)×25 6 6 6 4 3
元 乙店 需花 % 元 丙店
=1250( ); : 60×25×85 =1275( ); :60 先让甲 乙工程队合作 2 个月后 再让乙工程队独作
需花 元 、 , 5-
×25÷100=15, 60×25-15×16=1260( )。 1250<1260 3
所以应到甲商店购买
2 1 月
<1275, 。 =4 ( )。
10. 解:可明显得出 这所初中建在A社区的总距离比建在B 3 3
,
社区远 建在D E社区的总距离均比建在C社区远 若 答 先让甲 乙工程队合做 2 个月后 再让乙工程队独做
, 、 。 : 、 ,
3
这所初中建在B社区 各社区 除B社区 学生到学校的
, ( )
1 个月 既保证按时完成任务 又最大限度节省资金
距离分别为 千米 千米 4 , , 。
45×6=270( ),35×(5+4)= 315( ), 3
2
