倍 向左移动一位是原数的 . 倍 这个小数用分数表示 年 岁 爸爸出生在 年 岁 女儿今年的年龄是 岁 母亲今年的年龄
模块四 常见典型应用题 , 0 1 , 2015 18×3=54( ), 2015-54=1961( )。 ( ), :2+3=5( ),
6. 【解析】今年祖孙三人的年龄和是 岁 是 岁
为 . . . . 1 30 100-2×3=94( ), :(75-3-5-1)÷2=33( )。
3 3÷(10-0 1)=3 3÷9 9= 。
专题 归一、归总问题 3 今年祖孙三人的年龄和是张老师儿子年龄的 15÷2+15+1 专题 盈亏问题
15 5. 【解析】原来骡子驮的包裹数量比马多 从马背上拿过 . 倍 今年张老师儿子的年龄是 . 岁 今 18
类型一 归一问题 7 , =23 5 , 94÷23 5=4( ), 类型一 一盈一亏
一包
,
骡子的负担就是马的两倍
,
即比马多一倍
,
根据差倍 年张老师母亲的年龄是
4×15=60(
岁
),
今年张老师的年
1. . 【解析】每平方米森林每日吸收二氧化碳量 . 公式 差 倍数 小数 此时马的包裹数量为 龄是 岁 1. 【解析】小朋友人数为 人 草莓有
409 2 :7 7÷ : ÷( -1)= , (1×2+1× 60÷2=30( )。 17 (3+2)÷(4-3)= 5( ),
7÷10000=0 . 00011( 吨 )。 7、8 这两个月共 62 天 ,60000× 2)÷(2-1)= 4( 个 ), 则原来马驮的包裹数量为 4+1=5 7. 51 【解析】母子今年的年龄和 :78-6×2=66( 岁 ), 母子 6 3×5+2=17( 个 )。
0 . 00011×62=409 . 2( 吨 )。 ( 个 )。 骡子原来驮的包裹数量为 5+1×2=7( 个 ), 所以骡 年前的年龄和 :66-6×2=54( 岁 ), 母亲 6 年前的年龄 :54÷ 2. 8000 【解析】按定价的 80 %出售与按定价出售相差 (960+
2. 5 3 【解析】 3 小时能耕地 5 ÷ 3 ×3= 5 ( 公顷 ), 耕 子驮了 7 个包裹 。 (5+1)×5=45( 岁 ), 母亲今年的年龄 :45+6=51( 岁 )。 832) 元 , 所以定价是 (960+832)÷(1-80 % )= 8960( 元 ), 成
2 5 8 4 2 6. 原来小明买了 15÷(2 . 5-1)=10( 张 ) 8. 60 【解析】儿子的年龄用周算与孙子年龄的年龄用天算是
本价是
8960-960=8000(
元
)。
1 2 公顷地需要3 4 ÷ 8 5 × 2 1 = 5 3 ( 小时 )。 原来小军买了 10×2 . 5=25( 张 ) 一样的数字 , 说明儿子的年龄是孙子年龄的 7 倍 ; 爷爷的年 3. 126 3750 【解析】 7 家共出 190 钱 , 则每家出190钱 ,9 家
3. 解:每天吃大米 180÷6=30( 千克 ) 答 : 原来小明买了 10 张 , 小军买了 25 张 。 龄与孙子的年龄按月算是一样的 , 说明爷爷的年龄是孙子 7
共出 钱 则每家出270钱 两种情况每家实际出钱相差
剩下大米 千克 类型三 和差问题 年龄的 倍 设孙子年龄为x岁 则儿子年龄为 x岁 爷 270 , ,
900-180=720( ) 12 。 , 7 , 9
剩下的还能吃 天 爷年龄为 x岁 根据题意可列方程x x x 解得x
720÷30=24( ) 7. 【解析】新新接受了 粒后的玻璃球数 12 , +7 +12 =100, 270 190 钱 而总钱数相差 钱 所以人家数有
答 剩下的还能吃 天 48 10 :(124-8)÷2= 爷爷年龄为 岁 ( - ) , (330+30) ,
: 24 。 粒 原来新新的玻璃球数 粒 =5, 12×5=60( )。 9 7
4. 解:第一次可以换回西瓜 千克 58( ), :58-10=48( )。 9. 【解析】设弟弟乘坐飞船出发到返回地球时 哥哥在地 270 190 20 户 每头牛价270
:2000÷100÷1×30=600( ) 8. 【解析】用甲 乙两个人带的钱去买三张票会多 90 , (330+30)÷( - )=360÷ =126( ), ×
第二次可以换回西瓜 千克 39 、 30-21= 9 7 7 9
:600÷100÷1×30=180( ) 元 所以乙带的钱为 元 则一张电影票的 球上经过的时间为x年 则弟弟在飞船上经过1 x年 这时 钱
第三次可以换回西瓜 千克 9( ), 48+9=57( ), , , 126-30=3750( )。
:180÷100÷1×30=54( ) 价格为 元 10 4. 解:每分钟走 米 要迟到 分钟 也就是少走
总共可以吃到西瓜 千克 (57+60)÷3=39( )。 50 , 8 , 50×8=400
:2000+600+180+54=2834( ) 专题 年龄问题 哥哥的年龄是 (30+ x ) 岁 , 弟弟的年龄是 (24+ 1 x ) 岁 , 再根 米
答 总共可以吃到 千克西瓜 10 ( )
: 2834 。 17 据哥哥的年龄是弟弟的 倍列方程解答 x 每分钟走 米 早到 分钟 即能多走
类型二 归总问题 类型一 年龄差不变 3 。 30+ =3×(24+ 50+10=60( ), 5 , 60×5=
米
1x 解得 x 所以哥哥现在的年龄为 300( )
5. 【解析】原计划每天挖 米 天完成 那么这条水 1. 【解析】年龄差不变 今年年龄和是 岁 ), = 60, 30+60 = 分
120 100 ,24 , 9 , 30+2=32( ),(50 10 (400+300)÷10=70( )
渠的长度为 100×24=2400( 米 ), 实际用了 24-4=20( 天 ), -32)÷2=9( 年 ) 后母女俩的年龄之和是 50 岁 。 90( 岁 )。 剩余路程为 50×(70+8)=3900( 米 )
所以实际平均每天挖 2400÷20=120( 米 )。 2. 11 【解析】如解图 ,3 岁和 15 岁相差 3 个年龄差 。 年龄 10. 解:最小的质数是 2, 当小明爷爷的年龄是小明爸爸年龄 因此 , 从家到学校的路程为 3900+50×3=4050( 米 )
6. 能 【解析】工期时间 天 一共生产 的 倍时 小明 岁 答 小红家到学校的路程是 米
:31-21+1=11( ), :250× 差 :(15-3)÷3=4( 岁 ), 哥哥现在的岁数 :15-4=11( 岁 )。 2 , 2 : 4050 。
件 所以他们能按时 当爷爷的年龄是小明年龄的 倍且爷爷和小明的年龄和 5. 解:两次分配总共相差 包
3+375×(11-3)= 3750( ),3750>3000, 3 :8+7=15( )
完成生产任务 为 时 小明的年龄为 岁 两次分配每位老师相差 包 故老师人数 人
。 100 , 100÷(1+3)=25( ) 1 , :15÷1=15( )
7. 解: 21 千克 =0 . 021 吨 爷爷的年龄为 25×3=75( 岁 ) 因为男老师比女老师多 1 人 , 所以女老师 :(15-1)÷2=7
. 万户 人
14×18000÷(0 021×2)=6000000=600( ) 第 题图 25-2=23( 年 ), 即小明 2 岁时 , 爷爷 75-23=52( 岁 ), ( )
答 : 该市约有 600 万户家庭 。 2 此时爸爸的年龄为 岁 男老师 :7+1=8( 人 )
52÷2=26( )
专题 和差倍问题 3. 【解析】设弟弟今年的年龄是x岁 哥哥今年的年龄是 则共有洗衣粉 包
25 , 所以爸爸比小明大 岁 :3×8+4×7+8=60( )。
16 26-2=24( )
类型一 和倍问题 ( x + n ) 岁 , 可列出方程x + n +( x + n )+ n =50+ n ,2 x +2 n =50, x 答 爸爸比小明大 岁 答 : 共有 60 包洗衣粉 。
: 24 。
n 所以哥哥今年 岁 类型二 双盈双亏
+ =25, 25 。 类型三 其他年龄问题
1. . 【解析】甲数是 . .
4 5 49 5÷(1+10)=4 5。 类型二 与倍数有关的年龄问题
2. 【解析】 银行最终人数为 人 11. 【解析】 个人的年龄和 岁 年龄最大
6.
128
【解析】两种吃法下
,
萝卜剩余数量的差为
48-8=40
29 B (34+38)÷(7+1)=9( ),B 40 6 :25×6=150( ),
银行有 38-9=29( 人 ) 去了 A 银行 。 4. 12 【解析】根据年龄差不变 , 则当父亲年龄是儿子年龄 11 倍 的人最多是 150-(20+21+22+23+24)=40( 岁 )。 ( 个 ), 每天吃萝卜数量的差为 6-4=2( 个 ), 则计划吃的天数
3. 解:欧洲的意向创始成员国个数 的时候 儿子的年龄为 岁 12. 【解析】现在 位老人的年龄之和是
为
40÷2=20(
天
),
萝卜总数为
4×20+48=128(
个
)。
:(57-5+2)÷(2+1)= , :(45-15)÷(11-1)=3( ),15-3=12 90 25 2000-2×25= 7. 【解析】绳子对折垂到水面时 还剩 米 则绳子
18(
个
),
所以亚洲的意向创始成员国个数
:2×18-2= (
年
),
所以
12
年前父亲的年龄是儿子年龄的
11
倍
,
故答案
1950(
岁
),
设年龄最小的老人n岁
,
则其他老人年龄由小 1
还
1
剩
4
余
2
米 把绳子三折后
,
垂到水
10
面时
,
还剩
34( 个 )。 为 12。 到大依次是 ( n +1) 岁 、( n +2) 岁 、…、( n +24) 岁 , 根据等差 米 则绳 2 子 ×1 还 0= 剩 20 余 ( ) ; 米 两者相差 米 3
答 : 亚洲的意向创始成员国有 34 个 , 欧洲的意向创始成员 解题技巧 变倍年龄问题:两人年龄差 (倍数 ) 较 数列求和公式可得 n n 解得n , 3×3=9( ), 20-9=11( ) ,
÷ -1 = ( + +24)×25÷2=1950, =66, 折数相差 则桥高 米 绳子长
国有 个
18 。 小年龄。 年龄最大的老人今年 岁 3-2= 1, 11÷1= 11( ), 11×2+
66+24=90( )。 米
类型二 差倍问题 5. 【解析】设 年时姐姐和妹妹的年龄和是 x 岁 13. 【解析】 年前他们全家的年龄和是 岁 年后他 20=42( )。
1961 2015 , 33 4 60 ,4
类型三 一盈一尽或一亏一尽
则 年爸爸的年龄是 x岁 年 们全家的年龄和是 岁 说明儿子四
4. 1 【解析】一个小数的小数点向右移动一位是原数的
2015 3 。 2021-2015=6( ),6×2= 60+4×4=76( ),76>75,
10 岁 根据题意得 x x 解得 x 爸爸 年前还没出生 则儿子今年的年龄是 8. 【解析】设每个盒子一开始装橘子的数量为x个 x
3 12( ), 3 +6=2( +12), =18, 。 :4-(76-75)= 3 C ,52 +8
1x 解得x 则共有橘子 个 2. 【解析】假设全租大船 可以坐 人 与实际相 每天多加工的竹椅 把 乙车间的工人数 时 d最大为 验证 当a 时 S
=60×( -2), =16, 52×16+8=840( )。 3 , 5×6=30( ), 43-15=28( ), :588 , 5+18=23。 : =5 , =51-2×5=41,
9. 解:两次分配的差为 人数差为 差 人 一只大船和一只小船人数相差 人 甲车间的工人数 人 甲车间 b c 取b c 满足
8-6=2, 20 30-24=6( ), 6-4= ÷28=21( ), :94-21=73( ), + = 33- 4× 5= 13, =6, =7( 5<6<7<23)。
根据盈亏问题公式可知寝室共有 间 人 则小船有 只 每天竹椅产量 把 乙车间每天竹椅产量
20÷(8-6)=10( ) 2( ), :6÷2=3( )。 :73×15=1095( ), : 类型三 根据平均数求某个数
答 学生宿舍有 间寝室 3. 【解析】 这期间雨天共有 把 多的把数 把
: 10 。 5 (35×11-350) ÷(35- 21×43=903( ), :1095-903=192( )。
7. . 分 【解析】 . . 分
专题 植树问题 天 12. 解:将 只四脚蛇和 只双头龙捆在一起 共有 头 只 2 5 9 5×(6-1)-9×(6-1)=2 5( )。
19 28)=5( )。 2 1 , 4 12 8. . 【解析】前 个数和为 . . 后 个数和为
4. 【解析】做错了 道 做对了 脚 相当于 只三脚猫 所以四脚蛇 双头龙也可以假设 23 3 5 10 5×5=52 5, 4
类型一 不封闭路线植树问题 16 (20×5-72)÷(5+2)=4( ), 20 , 4 , 、
. . 第 个数是 . . . .
道 为三脚猫 这样就相当于是三脚猫和独脚兽参加聚会 11 3×4=45 2, 5 52 5+45 2-9 3×8=23 3。
-4=16( )。 , 。
1. 260 【解析】这条公路的长 (27-1)×10=260( 米 )。 5. 62 【解析】设鸡有x只 , 则兔有 (107- x ) 只 , 根据兔的脚数 假设全是三脚猫 , 则共有脚 58×3=174( 只 ), 与实际相差 9. 6 【解析】被改动的数比原来多了 :11×3-10×3=3, 被改
2. 15 【解析】 21÷(8-1)= 3( 分钟 ),42÷3+1= 15( 根 ), 所以 比鸡的脚数多 56 只 , 列方程得 4×(107- x )-2 x =56, 解得 174-160=14( 只 ), 一只三脚猫与一只独脚兽脚数相差 动的数原来是 9-3=6。
这个老人走到了第 15 根电线杆处 。 x =62, 所以鸡有 62 只 。 3-1=2( 只 ), 则有独脚兽 :14÷2=7( 只 )。 10. 22 【解析】因为 13 9 = 178 , 那么原来写出的数的个数
3. 【解析】由题可知 A B 两地相距 6. 【解析】鸡和兔共有 只 假 答 有 只独脚兽参加聚会 13 13
14 、 36×(61-1)= 2160 16 :(144+120)÷(4+2)=44( )。 : 7 。 应比 的倍数多 即为 或 假设是 个数 则总
( 米 ), 每隔 [36,48]=144( 米 ) 的电线的杆不用移动 , 则A 、 设 44 只全是兔 , 则共有 44×4=176( 条 ) 腿 , 与实际相差 专题 平均数问题 13 1, 14 27, 14 ,
和为 不符合题意 则应为 个数
B两地共有 根 不用移动 除去 A B 两 条 腿 一只兔与一只鸡腿数相差 21 :(1+14)×14÷2=105, , 27 ,
2160÷144+1=16( ) , 、 176-144=32( ) , 4-2=2
类型一 直接求平均数
端之外还有 根 不用移动 条 则原来鸡有 只 那么擦掉的自然数是 178
16-2=14( ) 。 ( ), :32÷2=16( )。 :[(1+27)×27÷2]- ×26=28×
4. 【解析】马路一端有彩旗时 还要插彩旗的面数 间隔 7. 解: 枚 分的换成 枚 分的 枚数减少 枚 1. . 【解析】 . 分 这个 13
10 , = 5 1 1 5 , 5-1=4( ), 86 6 [86×(40-2)+98×2]÷40=86 6( ), 所以擦掉的数是
数 间隔数是 还要插 面彩旗 枚 分的换成 枚 分的 枚数减少 枚 班级期中语文平均分是 . 分 27÷2-178×2=378-356=22, 22。
, 40÷4=10, 10 。 5 2 2 5 , 5-2=3( ), 86 6 。
类型四 根据平均数求某个数的次数
5. 【解析】 根 总的枚数减少了 枚 枚 所以 2. 【解析】设对应朝上的面上写着 三张卡片的
17 28 540÷30=18,18-1=17( )。 17÷2= 26-11=15( ),4×3+1×3=15( ), 14 46,40,61
所以最长的一根柱子是第 根 因为相邻的柱子 分硬币换了 次 分硬币换了 次 朝下面上的三个质数分别为 a b c 根据题意可得 11. 【解析】前 次平均成绩为 分 离平均成绩 分相
8……1, 9 , 1 3 ,2 1 , , , , 46+ 5 4 89 , 95
上依次增加 3 盏灯 , 所以第 9 根柱子上的灯为 3×8+4=28 1 分硬币 :5×3=15( 枚 ),2 分硬币 :5×1=5( 枚 ),5 分硬币 : a =40+ b =61+ c , 由此可得b = a +6, a = c +15, b = c +21, 因为 差 (95-89)×4=24( 分 ), 如果之后考试每次都是 100 分 ,
( 盏 )。 26-15-5=6( 枚 )。 a , b , c是质数 , 所以c =2, a =2+15=17, b =2+21=23,(17+ 24÷(100-95)=4 . 8( 次 ), 所以他至少还要再考 5 次 。
答 原有 分硬币 枚
类型二 封闭路线植树问题 : 5 6 。 23+2)÷3=14, 所以朝下面上的三个数的平均数是 14。 12. 6 【解析】设一共有x人 , 根据总分之差等于小甬两种情
类型二 变形的鸡兔同笼 况的分数差 可得方程 x x 解得x 所以这
6. 【解析】 米 3. 4 【解析】 5 的分子和分母抄颠倒后相差最大 是 5 , 90 -87 =13+5, =6,
360 6×60=360( )。 , : -
7. 【解析】红旗面数 面 黄旗面数 8. 【解析】甲丙的平均价格 元 乙
15 3 3 些同学共有
6
人
。
150 :400÷8=50( ), :(8÷2- 2000 (4+2)÷2=6÷2=3( );
1)×50=150( 面 )。 丁的平均价格 (3+1 . 4)÷2=4 . 4÷2=2 . 2( 元 ); 假设全是甲 5 3 = 1 1 5 6 , 抄错后的平均值和正确答案最大相差 : 1 1 6 5 ÷4= 1 4 5 。 专题 22 容斥原理
8. 48 【解析】由于甲速是乙速的 2 倍 , 所以乙在拐了第一个 丙 6400×3=19200( 元 ),(19200-16000)÷(3-2 . 2)= 3200÷ 4. 14 . 71 【解析】因为自然数都是整数 , 所以这 7 个自然数 类型一 二者容斥
弯时 甲正好拐了两个弯 接着乙走过了 棵树即走过了 0 . 8=4000( 本 );4000÷2=2000( 本 ), 所以丁种练习本共买 的和一定是一个整数 又因为 . . .
, , 5 5
了 本
, 14 7×7=102 9,14 8×7=
1. 【解析】至少答对一题的有 人 两题都
个 间隔 则甲走过了 个 间隔 即正方形 2000 。 . 所以可以知道这 个自然数的和一定是 7 23+27-17=33( ),
-1=4( ) 。 4×2=8( ) , 103 6, 7 103,103÷
9. 【解析】假设全是抬水的 则有 个桶 不对的有 人
操场一边上的间隔数是 个 则四周一共有 56 , 38 ,58-38=20 . 所以正确得数应是 . 40-33=7( )。
4+8=12( ), 12×4 7≈14 71, 14 71。
个 把一个挑水的扁担当作抬水的就会少算 2. 【解析】如解图 两门都得 分的有
=48( 个 ) 间隔 , 所以操场四周一共栽了 48 棵树 。 ( ), 2-1=1 类型二 根据平均数求最值 8 , 100 12+17+26-47=8
个 桶 挑水的小和尚有 人 抬水扁担数为 人
类型三 变形问题 ( ) , 20÷1=20( ), 38 ( )。
根 抬水的小和尚有 人 共有小和 5. 【解析】因为 人的分数是等差数列 则第 名的分数为
-20=18( ), 18×2=36( ), C 15 , 8
9. 【解析】 秒 秒 尚 人 分 第 名的分数为 . 分 所以公差为 .
A 100÷(5-1)=25( ),25×(15-5)=250( )。 20+36=56( )。 75 , 6 78 2 , (78 2-75)÷2=
10. 【解析】 ( ) 小时 时针转一圈 10. 【解析】一共有暖瓶 个 每个暖瓶的 . 分 所以最高分为 . . . 分
2 5× 12-1 =5×11=55( ), 12 14 500×6=3000( ), 1 6( ), 78 2+(6-1)×1 6=86 2( )。
个小时 所以第一次记录时 时 运费是 . 元 假设一个暖瓶也没有损坏 则应 6. 【解析】设这 个不同的正整数分别为a b c d 且a b
,55÷12=4……7,9-7=2。 , 5÷10=0 5( ), , 23 4 , , , , <
针指向 该得运费 . 元 这与实际得到的运费差 c d 根据题目的条件 我们可以得到两个方程 第一个方
2。 3000×0 5=1500( ), < < , , ,
11. . 【解析】 次 . . 了 元 根据每损坏一个 不但不付运 程是a b c d 第二个方程是d a b c
11 75 18÷3-1=6-1=5( ),2 35×5=11 75 (1500-1353)=147( ), , +( + + )÷3=17①, +( + + )÷3=
元 所以全部锯好要付 . 元加工费 费还要赔偿 元的条件可知 则损坏一个暖瓶的要扣 由 可得 d a 因为a b c d且均为正整数
( ), 11 75 。 10 , 10 29②, ①② : = +18, < < < ,
第 题解图
专题 鸡兔同笼问题 . . 元 所以损坏的暖瓶数为 . 所以b c需要满足a b c a 由 化简可得四数总和 2
+0 5=10 5( ), 147÷10 5=14 、 < < < +18。 ① :
20
个 S a b c d a 且 b c S a d a a a 3. 【解析】男生一共有 名 女生一共
类型一 经典的鸡兔同笼 ( )。 = + + + =51-2 , + = - - =(51-2 )- -( + 15 :120+80-75=125( ),
11.
192
【解析】假设
94
个工人全是甲车间的
,
每天共生产
18) = 33- 4
a
。
由于b
>
a
、
c
>
b
,
则b
≥
a
+1,
c
≥
b
+1≥
a
+ 2,
有
260-125=135(
名
);
女生两科竞赛都参加的有
120+80-
1. 【解析】鸡有 只 兔有 竹椅 把 多了的把数 故 b c a a a 因此 a a 解 名 名 所以参加数学竞赛而没有
13 7 [(20×4)-54]÷(4-2)= 13( ), 94×15=1410( ), :1998-1410=588 + ≥ ( +1)+ ( + 2) = 2 +3, 33-4 ≥2 +3, 135=65( ),80-65=15( ),
只 把 乙车间平均每个工人每天比甲车间平均每个工人 得a 又因为a为正整数 a可取 当a取 参加语文竞赛的女生有 名
20-13=7( )。 ( ), ≤5, , 1、2、3、4、5。 5 15 。
2计算 次 所以这次舞会共有 人 2. 【解析】当 B 放在第一层时 BCDA BDAC BADC 三种 元有 种方法
4. 【解析】 3 3 2 名 ,28×2=56( ),56=7×8, 8 9 : , , , 101 551 ;
40 2÷[1-( + - )]=40( )。
5 4 5 参加 方法 当C放在第一层时 CADB CDAB CDBA 三种方法 共有
。 ; : , , , ; :1+11+31+61+101+151+211+281+361+451+551=
5. 解:如解图 , 设会下围棋的人数为x人 , 则会下象棋的人数 5. 78 【解析】 12+1=13( 人 ),13×(13-1)÷2=78( 次 )。 当D放在第一层时 : DABC , DCAB , DCBA , 三种方法 ; 共有 :3 2211( 种 ), 即Q =2211。
为 ( x +5) 人 , 根据题意得x + x +5-20+1=50, 解得x =32。 6. 28 【解析】因为最后一个到会的女生同 7 个男生握过手 , +3+3=9( 种 )。 所以Q - P =2211-2090=121。
答 : 六年级一班会下围棋的有 32 人 。 说明男生比女生多 6 人 , 所以男生人数为 (50+6)÷2=28 3. 9 【解析】根据题意分析可得 , 利用题干中的木棍可组成 类型二 捆绑法
个 的正方形有 边长是 厘米的正方形 种 边长分别
( )。 :① 11 1 , 6. 【解析】A4 A2
7. 解:由于每握一次手 握手的两个人都握了一次手 因此每 为 边长是 厘米的正方形 种 48 4× 2=48。
握一次手 , 两个人握
,
手次数的和就是 2 次 , 所以全
,
部与会 边
:
长
9+
分
2
别
,8
为
+3
:
,
9
7
+
+
1
4
,
,
8
6
+
+
2,
5,
7
②
+3,6+4,③
10
边长是 9 厘米的
1
正方
,
7
8
.
.
1
解
44
:
0
先 将
【
四
解
对
析】
夫
A
妇
6 6× A
的
2 2
整
=1
体
44
位
0。
置安排好 对夫妇位置固定
的人握手的总次数必定是偶数 我们把参加会议的人分 形 种 边长分别为 ,1
。 5 : :9,8+1,7+2,6+3;9,8+1,7+2,5+4;9,
时 另 对夫妇一共有 种 排法 每对夫妇两人
成两类 甲类握手次数是偶数 乙类握手次数是奇数 甲类 边 , 3 3×2×1=6( ) ,
, , , 8+1,6+3,5+4;9,7+2,6+3,5+4;8+1,7+2,6+3,5+4,④ 可以互换位置 每对有 种排法 所以一共有
人握手的总次数显然是偶数 注意甲类人握手的总次数加 长是 厘米的正方形 种 边长分别为 , 2 , 6×2×2×2×2
第 5 题解图 , 8 1 , :8,7+1,6+2,5+3, 种 排法
上乙类人握手的总次数等于全部参会的人握手的总次数 边长是 厘米的正方形 种 边长分别为 =96( ) 。
类型二 三者容斥 , ⑤ 7 1 , :7,6+1,5+2,4 答 一共有 种安排座位的方法
所以乙类人握手的总次数也应当是偶数 由于乙类人每次 边长小于等于 时 不能凑够四条正方形的边长 能 : 96 。
, +3。 6 , ,
6. 【解析】不会游泳的有 人 不会骑自行车 握手的次数都是奇数 而偶数个奇数相加 和才能为偶数 拼出的正方形只有边长为 厘米 厘米 厘米 厘米 类型三 插空法
A 48-27=21 ( ), , , , 7 ,8 ,9 ,10 ,
的有 48-33=15( 人 ), 不会打乒乓球的有 48-40=8( 人 ), 因此乙类人必为偶数个 , 即握手次数是奇数的那部分人 , 11 厘米 , 总共有 1+1+5+1+1=9( 种 ) 不同方法 。 9. D 【解析】由于M位上放置标有数码 “2” 的纸片 , 另一个
所以至少有一项运动不会的最多有 人 那 人数是偶数 4. 【解析】颠倒后不变的 两端都为 有 标有数码 的纸片只能放置在左下角或右下角 如解图
21+15+8=44( ), 。 15 :① 0 000,010,080 “2” (
共 种情况 两端都为 有 共 种情况
么全班三项运动都会的至少有 48-44=4( 人 )。 类型三 比赛场次 3 ;② 1 101,111,181 3 ;③ ① 所示 ), 对于每一种可能性 , 标有数码 “1”,“3”,“4” 的纸
7. 1 【解析】根据题意得 3 门学科都擅长的人数是 20-10- 8. 【题图分析】由解图可 知 戊赛了 场
两端都为
8
的有
808,818,888
共
3
种情况
;④
两端为
6
和
9 片放置在 A , B , C 三个位置 , 只有六种方法 ( 如解图 ② 所
人 设只擅长数学但不擅长语文体育的同学人数 2 , 2 。 的有 共 种情况 所以一共有 示 所以总共有 种 不同的放置方法
4-3=3( ), 609,906,619,916,689,986 6 , 3 ), 6×2=12( ) 。
个 车牌倒过来恰好还是原来的车牌
是x 则只擅长体育不擅长语文数学的同学人数是 x 可 +3+3+6=15( ) 。
, 2 。
5. 解:P的可能如下 元的有 张时 元 元 元组成
得 x x 解得x 则擅长体育数学 :10 9 ,1 、2 、5 9
30- -10-3=35-2 -4-3, =11,
元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
但不擅长语文的人数是 人 至少擅长一
8 ;10 8 ,1 、2 、5 19
30-10-3-11=6( ),
门学科的人数是 人 则三 第 题解图 有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
20+30+35-4-6-10-3-3=59( ), 8 26 ;10 7 :1 、2 、5 29 , 第 题解图
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元 9 ①
门学科都不擅长的人数是 人 9. 【解析】 54 ;10 6 ,1 、2 、5 39
60-59=1( )。 176 8×(8-1)÷2×2+8×8+8×(8-1)÷2×2=176
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
8. 解:参加 米短跑的人数 人 参加 米 场 92 ;10 5 ,1 、2 、5 49
200 :156+40=196( ), 50 ( )。
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
短跑的人数 人 同时参加 米和 米 10. 解:设有x名选手参赛 每两个人都要赛一场 则总场数 140 ;10 4 ,1 、2 、5 59
:156-26=130( ), 50 200 , ,
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
的人数 人 参加 米 米 米的共有 为x x 全部选手的总分即为 x x 且为 198 ;10 3 ,1 、2 、5 69
:80÷2=40( ), 50 、100 、200 : ·( -1)÷2, ·( -1),
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
偶数 266 ;10 2 ,1 、2 、5 79
156+196+130-74-80-40+30=482-74-80-40+30=318
有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元
人 根据题意可列方程x x 总分 因为 344 ;10 1 ,1 、2 、5 89 第 题解图
( )。 ·( -1) = , 24×23=552, 有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 元 9 ②
答 这次运动会中参加 米 米 米短跑的共有 所以总分为 时有解 这个数是正确的 选手人数为 432 ;10 0 ,1 、2 、5 99 10. 【解析】当A C栽种同一种植物时 A C有 种栽种
: 50 、100 、200 552 , , 24 有 种方法 18 , , , 3
人 名 当总分为其他时 方程无整数解 530 ; 方案 则B与D各有 种栽种方案 此时有
318 。 ; , 。 共有 , 2 , 3×2×2=12
专题 计数原理 答 共有 名选手参赛 :8+26+54+92+140+198+266+344+432+530=2090 种 栽种方案 当A C种植不同植物时 A有 种栽种方
23 : 24 。 种 即P ( ) ; , , 3
专题 排列组合 ( ), =2090。 案 C有 种栽种方案 B与D各有 种栽种方案 此时有
类型一 车票问题
24
Q的可能如下 元的有 张时 元 元 元组成 , 2 , 1 ,
:10 10 ,1 、2 、5 1 种 栽种方案 故一共有 种 不同
类型一 枚举法 元 有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 3×2×1×1=6( ) , 12+6=18( )
1. 【解析】 种 所以共有 种票价 , 1 ;10 9 ,1 、2 、5 11 的栽种方案
6 3×4÷2=6( ), 6 。 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 。
2. 【解析】加上甲 乙两市共 个 站点 应制 1. 【解析】如解图 最短的行走方法共有如下 种 AD- 11 ;10 8 ,1 、2 、5 21 11. 【解析】 名学生中插入 名老师且老师不在两端
28 56 、 6+2=8( ) , C , 10 : 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 3600 6 1 ,
定 种 不同的票价 应设计 CKLB ADJKLB ADJILB ADJIHB AEJKLB AEJILB AEJIHB 31 ;10 7 ,1 、2 、5 31 共有 个空位 共 种排法 名学生之间不同站法有
8×(8-1)÷2=28( ) ; 28×2=56 , , , , , , , 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 5 , 5 ;6 6×
种 不同的车票 AEFILB AEFIHB AEFGHB 61 ;10 6 ,1 、2 、5 41 种 排法 则共有 种
( ) 。 , , 。 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 5×4×3×2×1=720( ) , 5×720=3600( )
3. 【解析】新增车站前共有车票 101 ;10 5 ,1 、2 、5 51 排法
C :(1+2+3+…+6)×2=42 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 。
种 新增车站后共有车票 种 151 ;10 4 ,1 、2 、5 61
( ), :(1+2+3+…+9)×2=90( ), 类型四 插板法
元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成
需要增加 种 211 ;10 3 ,1 、2 、5 71
:90-42=48( )。 元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 12. 【解析】每个盒子中至少放 个 所以余下 个 若
281 ;10 2 ,1 、2 、5 81 20 1 , 3 。
类型二 握手问题
元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 把余下的 个放在一个盒子中 有 种放法 若把余下的
361 ;10 1 ,1 、2 、5 91 3 , 4 :
4. 【解析】根据握手次数 人数 人数 代入数据
第
1
题解图
元有 种方法 元的有 张时 元 元 元组成 个分成 和 放在两个盒子中 有 种放法 若把余下
C = ×( -1)÷2 451 ;10 0 ,1 、2 、5 3 2 1 , 12 ;
3的 个分成 和 放在三个盒子中 有 种放法 所以 员中选 名 有 种 选法 从 名女队员中选 示 整个一圈可以分为两个部分 一个部分正好放一串 场胜 共有 种 出场方式 若三 四 五场
3 1、1 1 , 4 。 2 , 8×7÷2=28( ) , 8 , , , 2×2×2×1-1=7( ) ; 、 、
共有不同的放法 种 名与选出的男队员搭档 也有 种 选法 所 数 由于题目已经规定两个 的位置 所以与分割线接近 胜 共有 种 出场方式 综上所述 共有
4+12+4=20( )。 2 , 8×7÷2=28( ) , , 5 , , 2×2×2×2-1=15( ) 。 ,
13. 【解析】吃一天有 种吃法 吃两天有 种吃法 以共有 种 选人的方案 然后再进行分组 的四个位置都放 所以位置 有 个数可以选择 种 出场方式
6 1 ; 4 :3+6、 28×28=784( ) ; , 5, 1 4 (1,2, 1+1+3+7+15=27( ) 。
吃三天有 种吃法 所以共有 根据排列组合的乘法原理 可得共有 对 一旦确定了 一串数就用了位置 所在的半圈 第 专题 牛吃草问题
4+5、5+4、6+3; 1 :3+3+3, 1+ , :784×2=1568( ) 4,6), , 2 :
种 不同的吃法 不同的阵容 故答案为 一种情况 如果位置 所在的半圈用了 串数 位置 所 25
4+1=6( ) 。 ; 1568。 : 1 ① , 2
类型一 草长型
14.
462
【解析】把
12
块糖排成一排
,
因为要分
6
天吃完
,
相 类型六 传球法 在的半圈只能用
②
串数
,
位置
2
有两个数可以选择
(6,
当于要把这一排糖分成 份 在 块糖形成的 个间隔 第二种情况 如果位置 所在的半圈用了 串数 位 1. 【解析】设每头牛每天吃草的量为 份 则每天草的生
6 , 12 11 20. 【解析】经典爬楼梯问题的变形 列举出取第 n 根 4), : 1 ② , C 1 ,
中插入 个板子 这样就可以把 块糖分成 份 每份对 C , ( +2) 置 所在的半圈只能用 串数 位置 有两个数可以选 长量为 份 为保证牧草永远
5 , 12 6 , 筷子的取法数量 取第 n 根筷子的取法数量 取第n 2 ① , 2 (21×8-24×6)÷(8-6)= 12( ),
应一天吃的糖数 且每份至少有 块糖 共有 5 = ( +1) + 择 所以位置 有 个数可以选择 根据乘法原理 吃不完 至多可以放牧 头 牛
, 1 , C11 = 根筷子的取法数量 (1,2), 2 2 , , , 12÷1=12( ) 。
11×10×9×8×7 种 吃法
。 有
4×2=8(
种
)
不同的方法
。 2. 5 【解析】设每头牛每天吃的草量为 1 份 ,11 头牛可以吃
=462( ) 。 取第
5×4×3×2×1 x天 根据两种吃草方案草的生长速度相同 可以列出方程
15. 【解析】 盏路灯需关 盏 共亮 盏 灯 几根
, ,
20 10 3 , 10-3=7( ) ,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x x x x
号 号已固定为亮灯 因此还需从 号灯 共 盏 筷子 11 -12×( -5) = 11 -17×( -15) , 解得x =25, 草的生长速
、10 , 2~9 ( 8 ) 5 15
中选
7-2=5(
盏
)
灯亮着
。
亮着的
7
盏灯按编号顺序排 取法 度
:[11×25-12×(25-5)]÷5=7(
份/天
),
则原有草量
:11×
列 形成的中间空隙 两端空隙 号左侧 号右侧无 /种 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144233
份 头牛可吃 天
, ( :1 、10 25-25×7=100( ),27 :100÷(27-7)=5( )。
灯
,
无效
)
数量为亮灯数量
-1=7-1=6(
个
),
关掉的
3
盏
21. 【解析】小兔要从A处走到B处 从第一个圆走向第二
第
24
题解图
3. 【解析】假设 只羊 天吃 份草 只羊 天吃完
6 , 2 1 1 1 。 50 18 3
灯需放入这
6
个空隙中
(
每个空隙最多放
1
盏
,
避免相
个圆有 种走法 从第二个圆走向第三个圆有 种走法 25. 解: 如解图 答案不唯一
2 , 3 , (1) 。 ( ) 块草地上的草 可看作50只羊 天吃完 块草地上的草
, 18 1 。
邻
),
共有C3
6=
3
6
×
×
2
5
×
×
1
4
=20(
种
)
关灯方法
。
22.
根据
【
乘
解
法
析
原
】设
理
大
可
卫
得
为
共
甲
有
皮
2×
特
3=
为
6
乙
(
种
迈
)
选
克
择
为
。
丙 甲第一个传 只羊 天吃完 块
3
草地上的草 可看作 只羊 天
40 12 2 , 20 12
16. 解:如解图 个红球把圆环分成 段 用A B C表示 每 5 , , ,
,3 3 , , , , 球且传递四次后球到丙 可以作出树状图 如解图 共有 吃完 块草地上的草 块草地每天新增的草量
个白球看作一个间隔长度 设AB a BC b CA c 当a , , , ( 1 ) 。 1 :
, = , = , = , = 种不同的传球过程
0 时 , b ≥ a , c ≥ b 时 , b , c 可能的值有 (0,10),(1,9),(2, 5 。 第 25 题解图 5 3 0 ×18-20×12 ÷(18-12)= 10( 份 ),1 块草地原来的草
共 种情况 当a 时 b a 因为每一行从左到右 每一列从上到下分别依次增 量 份 只羊吃草用的时间
8),(3,7),(4,6),(5,5), 6 ; =1 , ≥ , (2) , :20×12-10×12=120( ),70 :120÷
c b时 b c可能的值有 共 大 只有一种填法 只能填在右上角或左下角 天
≥ , , (1,8),(2,7),(3,6),(4,5), ,1、2、9 ,5 ,5 (70-10)=2( )。
种情况 当a 时 b a c b 时 b c 可能的值有 填好后与之相邻的空格可填 任一个 余下两个数 4. 【解析】设原来有x头牛 y天吃完这片草地 每头牛每
4 ; =2 , ≥ , ≥ , , (2, 6、7、8 ; 25 , ,
共 种情况 当a 时 b a c b时 字按从小到大只有一种方法 共有 种 填法 天吃 份草 则
6),(3,5),(4,4), 3 ; =3 , ≥ , ≥ , , 2×3=6( ) 。 1 ,
b , c可能的值有 (3,4), 共 1 种情况 ; 综上 , 一共可以生产 答 : 总共有 6 种填法 。 ì ï ï xy = 原有草量 + y × 每天草生长量 ①
种 不同的圆环 如果在填入 的位置填入 要求每一行从左到右依
6
答
+
:
4
一
+3
共
+1
可
=
以
14
生
(
产
)
14 种不同的
。
圆环 。 第 22 题解图
(
次
3
增
)
大 , 每一列从
4
上到下依次增
5,
大 ,1 只能在 3 上边 ,2 只 î
í ïï (
(
x
x
+
-
1
5
0
)
)
(
(
y +
y -
6
4
)
)
=
=
原
原
有
有
草
草
量
量
+
+
(
(
y +
y -
6
4
)
)
×
×
每
每
天
天
草
草
生
生
长
长
量
量
③
②
能在 的上边 只能在第三行第三列 余下的有 种
23. 【解析】如果是 级 有 种走法 如果是 级 有 5 ,9 , 6 ①-② 得 :4 x -10 y +40=4× 每天草生长量 ④,③-① 得 :6 x -
274 1 , 1 ; 2 , 2 填法
种走法 如果是 级 有 种走法 如 。 5 y -30=6× 每天草生长量 ⑤,⑤×2-④×3 得 :20 y =180, 解
:11,2; 3 , 4 :111,12,21,3; 答 此时还有 种填法
果是 级 有 种走法 如 : 6 。 得y =9, 代入 ④ 得 : 每天草生长量 = x -12 . 5⑥, 将y =9 和 ⑥
4 , 7 :1111,112,121,211,22,13,31;
类型七 其他复杂排列组合 代入 解得原有草量为 . 设卖出 头牛后 t天吃
第
16
题解图 果是
5
级
,
有
13
种走法
:11111,1112,1121,1211,2111,
①, 112 5。 8 ,
可以看出 走法所组 26. 【解析】设A BC DE是满足题意的时刻 则A为 完这片草地 , 则 ( x -8) t =112 . 5+( x -12 . 5) t , 解得t =25。
类型五 除序法 113,131,311,122,212,221,23,32;… : 1260 : : , 8,
成的数列中
,
从
4
级的结果数开始
,
后一个数是它前三个 B
、
D应从
0,1,2,3,4,5
这
6
个数字中任意选择两个不同 5. 解:首先利用分割法可知
,
阴影图形的面积与空白三角形
17. 【解析】首先从物理 化学 生物 历史 地理 政治这 数的和 由此得出 如果是 级 走法有 的数字 所以有 种 选法 而C E应从剩下的 面积的比为 设一头牛一天吃的草量为 份
C 、 、 、 、 、 6 , : 6 , :4+7+13=24 , 6×5=30( ) , 、 7 9∶2, 1 ,
科中选出 科 所以一共有 种 种 如果是 级 走法有 种 如果是 个数字中任意选择两个不同的数字 所以有 那么 头牛吃 天 吃了 份
3 , :6×5×4÷(3×2×1)= 20( ), ( ); 7 , :7+13+24=44( ); 8 , 7×6=42 27 10 , 1×27×10=270( ),
所以一共有 种不同的选择 级 走法有 种 如果是 级 走法有 种 选法 所以共有 种 选法 所以此表的 头牛吃 天 吃了 份
20 。 , :13+24+44=81( ); 9 , :24+ ( ) , 30×42=1260( ) , 15 30 , 1×15×30=450( ),
18. 【解析】把英语单词 的字母顺序写错了 种 如果是 级 走法有 个数字都不相同的时刻一共有 个 阴影部分每天新长的草为 份
359 “matter” , 44+81=149( ); 10 , :44+81+149=274 5 1260 。 (450-270)÷(30-10)=9( ),
有 个字母 所以排法有 种 27. 【解析】显然第一场比赛田忌无法获胜 若田忌后四 阴影部分原有的草为 份
“matter” 6 , 6×5×4×3×2×1=720 ( )。 27 。 270-9×10=180( ),
种 因为有两个t重复 总数要除以 可能出现的错误 24. 【解析】由题图知 六张多米诺骨牌的点数分别是 场全胜 则只有五一二三四这 种出场方式 若二 三 四 这样空白三角形每天新长的草为 份 原有的草为 份
( ), , 2, 8 : 1- , 1 ; 、 、 2 , 40 ,
种数再减去 种正确的 所以可能出现的错误共有 要求相邻两张牌的对应区域 场胜 第五场败 则只有四一二三五这 种出场方式 若 所以中间三角形的草地可供 头 牛恰好
1 , 720÷2 2,1-5,2-5,4-5,4-6,5-6, , , 1 ; (40+4×2)÷4=12( )
种 点数相同 能连着串出两串数 二 三 五场胜 则第二场必出一 第三场必出二 第五场 天吃完
-1=359( )。 , ,①5-1⇔1-2⇔2-5;②5-6 、 、 , , , 4 。
19. 【解析】男女混合双打比赛 首先需要从 名男队 每串数字的方向也可以反过来 如解图所 可出三 四 共有 种 出场方式 若二 四 五 答 中间三角形的草地可供 头牛恰好吃 天
1568 , 8 ⇔6-4⇔4-5( ) 、 , 2×2×1-1=3( ) ; 、 、 : 12 4 。
4类型二 草枯型 个收银台能服务 80×4=320( 人 ), 所以原来有 320-240= 3×3=9( 个 )。 为 é êê n ù úú或 é êê n ù úú 两个长度差为 的序列 要使取出的
人 排队 两个收银台同时开始工作 每小时服务 5. 【解析】把学校数看作抽屉 人看作 个元
ë
13
û ë
13
û+1, 1 ,
6. 解:设每头牛每天吃的草量为 份 则草每天减少 80( ) , , 80× 124 ,1123 1123
1 , :(20×5- 人 除去每小时来的 人 还可以服务已经在 素 利用抽屉原理最差情况 要使学校数最多 只要使每个 数中没有两个数的差为 这两个序列能够被取得的数
13,
份 原有草 份 则 2=160( ), 60 , , : ,
头 16 牛 ×6 可 )÷ 以 (6 吃 -5)=4( ), 天 :20×5+4×5=120( ), 11 排队的 160-60=100( 人 ),80÷100=0 . 8( 时 ), 所以付款 抽屉的元素数先有 10-1=9( 个 ), 那么 1123÷9=124( 个 ) 的个数之差也不会超过 1, 所以为使 57 个数中任意两个
答 可供 : 头 12 牛 0÷ 吃 (11+ 天 4)=8( )。 开始 0 . 8 小时就没有人排队了 。 ……7, 那么最多有 124 个学校参加了这次比赛 。 数的差都不为 13, 则这 57 个数被分配在 13 个序列中 , 在
: 11 8 。 14. 9 时 15 分 【解析】设每个入场口每分钟进入人数为 1 6. 7 【解析】因为新来的人无论坐在何处都与某个人相邻 , 每个序列中被分配的数的个数差不会超过 1, 那么 13 个
类型三 牛长型 份 ,10 时开门 , 开 3 个入场口 ,10:09 就不再有人排队 , 开 所以一定没有连续的三个及以上的空座 , 要使原来人数最 序列中有 8 个序列分配了 4 个数 ,5 个序列分配了 5 个
7. 12 【解析】设 1 头牛 1 天吃草 1 份 , 则 28 天一共吃 1+2+3 5 个入场口 ,10:05 就没有人排队 , 来人的速度为 (9×3-5 少 , 需要空座最多 , 也就是每隔两个座坐一个人 , 即 20÷3= 数 , 则这 13 个序列中 8 个长度为 8,5 个长度为 9, 那么当
人 个 人 所以原来至少有 人 n最小为 时 可以取出 个数 其中任意
+…+28=406( 份 ),16 天一共吃 1+3+5+…+31=256( 份 ), 1 份 开门之前来人数为 1 6( )……2( ),6+1=7( ), 7 8×8+9×5=109 , 57 ,
×5)÷(9-5)= ( ), 3×9- ×9=22 就座 两个数的差不为 所以要使任取 个数必有两个数的
草的生长速度为 (406-256)÷(28-16)= 12 . 5( 份/天 ), 原 2 2 。 13, 57
草量为 406-28×12 . 5=56( 份 )。 假设每天增加三头牛后 , 1 份 第一个观众来的时间距开门时间 1 1 7. 13 【解析】最不利的情况下 , 每次都拿出的是一只脏袜子 差为 13, 那么n的最大值为 108。
( ), 22 ÷ =45 和一只干净袜子 在第 次之后 脏袜子全部扔掉 剩下 13. 证明:将每行 个格子 随机涂上红色或白色 共有
第n天草被吃完 需草量为 n n 2 2 2 , 12 , , 3 , , 2×2×
, 1+4+7+…+(3 -2)=(1+3 -
分 第一个观众到达的时刻是 时 分 时 干净袜子 再拿一次 就能拿到两只干净袜子 所以至少拿 种 涂法 分别是 红 红 红 红 红 白 红
n n n 份 草场 n 天提供的总草量为 ( ), 10 -45 = 9 , , , 2=8( ) , ( , , )、( , , )、( ,
2)× ÷2=(3 -1)× ÷2( ),
分 次 才能保证一定拿到两只干净的袜子 白 红 红 白 白 白 红 红 白 红 白 白 白
. n 份 依次代入天数得 第 天的需草量为 15 。 12+1=13( ) 。 , )、( , , )、( , , )、( , , )、( , ,
(56+12 5 ) , , 11 176
15. 【解析】此题可以看作是牛吃草问题 自动扶梯的长 8. 【解析】根据抽屉原理 王牌和其中一种花色的牌全部 红 白 白 白 这 行中假如有 行涂色相同 则证
份 供草量为 . 份 草未吃完 第 天的需草量为 100 , 31 , )、( , , )。 7 2 ,
, 193 5 , ; 12 210
度就是 原有的草量 走扶梯的速度就是 牛的头数 抽完 然后剩下三种花色的牌各抽 张 此时再任意抽一 明成立 假如 行均不同 那以上 种涂法仅有一种不
份 供草量为 份 草已经被吃完 所以第 天时草将被 “ ”, “ ”, , 5 , 。 7 , 8
, 206 , , 12
扶梯运行的速度就是 草量的增长速度 因此扶梯的运 张 就满足至少包含两种花色 且这两种花色的牌至少都 能涂 如 红 红 红 不行 则 白 红 白 与 白 白 白
吃完 “ ”, , , , ( , , ) , ( , , ) ( , , )
。
8. 【解析】设每头牛每天吃的草量为 份 每天长草
行速度为
(2×100-3×50)÷(100-50)= 1(
米/秒
),
自动扶 各有
6
张
,
则最少取出的数量是
2+13+3×5+1=31(
张
)。
可组成矩形
,
以此类推
,
证明成立
。
10 1 。 :(8
×16-9×12)÷(16-12)= 5( 份 ), 原有草 :9×12-5×12=48 梯的长度为 3×50-1×50=100( 米 )。 9. 73 【解析】 90÷5=18( 个 ),1~90 中 , 有 18 个数是 5 的倍 14. 证明:将 1,4,7,…,100 这 34 个数 , 去掉 1 与 52, 分成 16
16. 【解析】自动扶梯每分钟走 数 则有 个 数不是 的倍数 所以至少取出 个数对 显然每个数对中
( 份 ), 共吃 12 天 , 后 6 天共有牛 :[48+(5-4)×6]÷6+5= 150 :(20×5-15×6)÷(6-5) , 90-18=72( ) 5 , :(4,100),(7,97),…,(49,55),
14( 头 ), 所以从第 7 天起增加的牛有 :14-4=10( 头 )。 =10( 级 ), 自动扶梯共有 :(20+10)×5=150( 级 )。 72+1=73( 个 ) 数才能保证所取的数中一定有一个数是 5 两数的和为 104。 所取的 20 个数中 , 至少有 20-2=18
17. 【解析】手机只要是开着 无论是否通话都要耗电 所 的倍数 个 取自这 个数对 则根据抽屉原理 其中必有两个
类型四 牛亡型 8 , , 。 ( ) 16 , ,
以设待机手机每小时耗电 份 电池存电量为 10. 【解析】先将与组成 无关的数字全部取出 数a b在同一数对中 它们的和a b 剩下的 个
1 , 24×1= 136 2025 :11+ 、 , + =104。 16
9. 5 【解析】设每头牛每天吃的草量是 1 份 , 则 8 天 10 头牛 24( 份 ), 纯通话 1 小时的耗电量 , 电量为 (24-1×3)÷3= 13+14+16+17+18+19=108( 个 ), 再将数字 2 和 5 的球全 数 , 取自其余的 15 个数对 , 同样根据抽屉原理 , 其中必有
共吃了 8×10=80( 份 )。 15 头牛每天减少一头 ,5 天共吃了 7( 份 ),9 小时里面包括通话 60 分钟 , 即 1 小时的耗电量 部取出 :12+15=27( 个 ), 在此基础上 , 再取 1 个球 , 必然 两个数c 、 d在同一数对中 , 它们的和c + d =104, 所以其中
15+14+13+12+11=65( 份 ), 所以每天草场长草量为 (80- 综上可知 , 她手机已经持续开机 9 小时 , 电池还储存的电量 可以组成 2025, 因此至少要取出 108+27+1=136( 个 ) 球 。 至少有 4 个不同的数a , b , c , d , 使得a + b = c + d =104。
65)÷(8-5)=5( 份 ), 够 5 头牛吃一天 。 为 24-7-9=8( 份 ), 手机还能维持的时间为 8÷1=8( 时 )。 11. 解:考虑最不利的情况 , 当棋子数为 8 枚时 , 可以放置使 15. 解:构造抽屉 : 把报名一门课外学习班 、 报名两门课外学
10.
40
【解析】设每头牛每天吃
1
份草
,
每天长草的份数为
18. 【解析】一只蜗牛恰好用 个昼夜到达井底 白天爬
得一行有
2
枚棋子
,
其他六行各有
1
枚棋子
;
一列有
2
枚
习班 报名三门课外学习班看作 个抽屉 第一个抽屉有
21 6 , 、 3 ,
份 那么牧场原有草 棋子 其他六列各有 枚棋子 此时 对于任意两行和两
(17×30-19×24)÷(30-24)=9( ), 17× 了 分米 另一只蜗牛恰好用 个昼夜到达井 , 1 。 , 种情况 第二个抽屉有 种情况 第三个抽屉有 种情
20×6=120( ); 7 4 , 6 , 4
份 天总草量为 份 列 棋子数之和最多为 例如选择有 枚棋
30-9×30=240( ),8 240+8×9=312( ), 底 白天爬了 分米 黑夜里往下滑 两只蜗 , 2+1+2+1=6( 2 况 一共有 种 情况 至少有
, 15×7=105( ), , , 4+6+4=14( ) , 14×4+1=57
卖掉 头牛 这 天少吃的草量为 份 若不卖掉 子的行和有 枚棋子的行 选择有 枚棋子的列和有
4 , 2 4×2=8( ), 牛滑行的速度是相同的 说明每夜下滑 1 , 2 1 名 学生 才能保证有不少于 名同学参加学习班的情
, (120-105)÷(7- ( ) , 5
头牛 天需要吃的总草量为 份 原来有 枚棋子的列 小于 因此无法保证存在两行和两列棋
4 ,8 312+8=320( ), 分米 所以井深为 分米 ), 7, 况完全相同
6)=15( ), (15+20)×6=210( )= 21 。
头 牛 子数之和不少于 当棋子数为 枚时 假设存在放置方
320÷8=40( ) 。 米 7。 9 , 答 至少有 名学生 才能保证有不少于 名同学参加
( )。 : 57 , 5
类型五 变形问题 式使得任意两行和两列棋子数之和均不超过 设行棋
专题 抽屉原理 6。 学习班的情况完全相同
。
11. 12 【解析】将每台抽水机每分钟抽水量看作 1 份 ,1 小时 类型一 抽
26
屉 原理的直接应用
子
棋
数
子数
最
之
大
和
的
为
两行
B
棋
根
子
据
数
A
之
B
和为 A
因 ,
列
此
棋
A
子数最
B
大
且
的
B
两列
16. 证明:设小华在第i天学了a i 小时 , 则前i天学习的时间
=60 分钟 , 山泉每分钟流入池塘水量为 (1×60-2×20)÷ A 但总棋子数为 。 枚 + 行 ≤ 故 6, A至少为 ≤6- 例如两 ≤ 行 6 各 - 总和为A i= a 1+ a 2+ a 3+…+ a i, 其中 1≤ a i≤12, i =1,2,3,
. 份 池塘原有水量为 . 1. 【解析】 只 只 所以总有一个笼子里 。 9 ,7 , 4( 由题意可得 A A A A
(60-20)=0 5( ), 1×60-0 5×60=30 C 10÷3=3( )……1( ), 有 枚棋子 其他行各有 枚棋子 由A 和 A …,37。 :1≤ 1< 2<…< 37≤60,14≤ 1+13<
份 台抽水机需要 . 分 抽完 至少有 只 兔子 2 , 1 )。 ≥4 ≤6- A A 个整数 范围为在 到 一
( ),3 30÷(3-0 5)=12( ) 。 3+1=4( ) 。 B 得B B 意味着所有列中棋子数均不超过 则 2+13<…< 37+13≤73,74 , 1 73,
12. 【解析】设每人每小时舀水 份 每小时进水量为 2. 【解析】 个 个 个 所以至少 , ≤2。 ≤2 1, 定存在i k 使得A A 即A A 所以暑假期间
17 1 , (5× A 6÷4=1( )……2( ),1+1=2( ), 总棋子数不超过 枚 与 枚矛盾 因此 当棋子数为 , , i- k=13, i= k+13,
份 船内原有水量为 有 个面涂的颜色相同 7 , 9 。 , 9 必定存在连续的若干天 使得小华学习时间总和恰为
10-12×3)÷(10-3)=2( ), 12×3-2×3 2 。 枚时 必然存在两行和两列棋子数之和不少于 , 13
份 想在 小时内舀完 至少需要 3. 【解析】先将两个颜色的筷子取完 再任取两根筷子 , 7。 小时
=30( ), 2 , (30+2×2)÷2= 22 , , 综上 至少要放入 枚棋子 。
人 一定能取出 双不同颜色的筷子 即 根 , 9 。 17. 解:最多有 名考生参加了这次竞赛 举例 设考生得分
17( )。 3 , 2×10+2=22( )。 8 。 :
类型二 构造抽屉
13. . 【解析】因为每小时有 人前来排队 所以从开始 4. 【解析】任两种颜色的球的个数之和都不超过 分别为 根据题意转换后 得分依次为
0 8 60 , 9 7-1=6 0、1、2、3、4、5、6、7。 ,
付款到没人排队的 小时来了 人 小时一 个 所以最多的是每个颜色的球都有 个 共有 12. 【解析】把n个数分成 个序列 每个序列的长度 恰好使原排名颠倒
4 60×4=240( ),4 ( ), 6÷2=3( ), 108 13 , 7、6、5、4、3、2、1、0, 。
5证明如下 设考生得分集合为 a a a 满足a a 续表 移动 根 即可 轮 根 先移动 15. 【解析】假设 个数字全部出现 次 这些数字之和为
: { 1, 2,…, n}, 1< 2 1+5=6( ) ,100÷6=16( )……4( ), 6 6 2 ,
a 转换后得分集合为 a ′ a ′ a ′ 且a ′ a ′ 的人第一次必须移动 根火柴棍 然后与对手 凑 就一 而实际 次数字之和为 说
<…< n, { 1 , 2 ,…, n }, 1 > 2 8 4 1 4 , “ 6”, 2×(1+2+3+4+5+6)=42, 12 47,
... a ′ 由于每个得分唯一且转换后仍唯一 n的最大 定能取胜 明出现 次的数字比出现 次的数字少 在 中只有
> > n 。 , 。 1 3 5, 1~6
值受限于得分的唯一性 考虑得分的最小非负整数序 9 6 1 9. 解:甲要获胜 只要每一次都和乙走的步数凑足 的倍数 所以出现 次的数字是 最后一次记录的数字
。 , 4 6-1=5, 3 6,
根据甲知道百位的数字 但不知道这个数 排除了
列 从 开始 最多可构造 个不同得分 , , 625、 即可 因为每次移动的格数不是合数 所以只能是 或质 就是
,
转
0
换后
,
对应
8
满足
(0
排
、1
名
、2
颠
、3
倒
、4、5
若
、
841、961
三种情形
;
根据乙的第一句话
,
说明乙拿到的数字
数 而
。
质数中除了 其他都是奇数 所
,
以所有质数
1
除 16. 【解
6。
析】当最大的孩子是女孩时 最大的女孩为 岁
, 2 , ( 2 8 , 10 ,
6、7), 7、6、5、4、3、2、1、0, 。 是十位数里可以和 组成平方数的数 所以乙拿到的
考生数超过 则至少有两个得分相同 与 所有考生最 6、8、9 , 外 ) 除以 4 的余数不是 1 就是 3, 共有 2019 个方格 , 需要移 那么最小的男孩为 :10-4=6( 岁 ), 则 4 岁一定是最小的
8, , “ 一定不是 从而只剩下了 根
终得分各不相同 矛盾 因此 最多有 名考生 2、4、6, 196、256、289、576、784 ; 动 2018 个方格 , 甲先走了 2 格 , 还剩下 2018-2=2016( 个 ) 女孩 , 那么最大的男孩为 :4+4=8( 岁 ), 满足题意 ; 当最大
” 。 , 8 。 据丙的话 知道丙拿的一定不是 否则就不可能知道结
答 最多有 名考生参加了这次竞赛 , 6, 方格 ,2016÷4=504。 的孩子是男孩时 , 最大的男孩为 10 岁 , 那么最小的女孩
: 8 。 果 于是又排除了 根据甲的第二句话 知道
为 岁 则 岁一定是最小的男孩 那么最大的
专题 推理问题 , 196、256、576; , 类型三 计算推理 :10-4=6( ), 4 ,
27
甲在乙说完之后还不知道结果
,
因此甲一定是
2,
这个完全
女孩为 岁 也就是说 个年龄不同的女孩的年
平方数是 故这个数是 的平方 10. 【解析】 组数字之和为外圈数字和 内圈数字和
:4+4=8( ), 4
类型一 逻辑推理 289。 17 。 4 6 + =12 龄在 之间 不满足题意 所以最大的男孩 岁
6~8 , , 8 。
1. 小丽 【解析】假设小聪或 小明说了真话 与小丽说的不矛
5.
2
【解析】两只猴不相邻
,
则至少需要
3
个空位
(
两猴前
+6+17+8+10+7+4+13+11+14+9+15=126,
又因为
6
组数
17.
1122
【解析】每一次相邻学生面对面就握手并转身
,
可
, 后 和猴中间 猫不与猴相邻 所以猫在两猴中间时 猫前 字之和都相等 则每组数字之和为 对应的
, ), , , , 126÷6=21,13 等价为 两人交换位置 且各自朝向保持初始状态 面朝
盾 假设小丽说了真话 小明说的与小红说的矛盾 假设小 : , (
; , ; 后各有一个空位 ; 猫在两只猴前时 , 猫在第一位 , 猴在第三 外圈数字应为 21-13=8, 结合题图可知外圈齿轮需要顺 前的仍面朝前 面朝后的仍面朝后 初始面朝前的学生
红说了真话 则这件好事是小丽做的 , )。
, 。 位或第五位 ; 猫在两只猴后时 , 猫在第五位 , 前有空位 。 因 时针转动 4 格 。 位于第 k个位置 k 为了不再有 面对
2.
10
【解析】因为
16
名小矮人排成一列
,
戴红帽子的小矮
为只有 5 只小动物 , 且猫前是狗 , 所以猫不能在第一 , 再结 11. 789333 【解析】假设左边三个数字分别为x , x +1, x +2, 面 的情
3
况 这些面
(
朝
=
前
1、
的
2、
学
3、
生
…
最
、
终
33
需
),
移动到第k个
“
位置
人一直说真话 而戴蓝帽子的小矮人一直说假话 所以每 ” ,
, , 合排在最前面和最后面的不是同一种动物 , 所以五只动物 右边三个相同数字为y , 根据题意可得 : x +( x +1)+( x +2) k 且相邻两个学生不会面对面 第 k个
一名戴红帽子的小矮人的旁边都是戴蓝帽子的 每一名戴 ( =1、2、…、33), 。 3
的排序为猴 猪 猴 狗 猫 从前往后数 猪排在第 个
, 、 、 、 、 , , 2 。 y y y 化简得 x 8y 所以y可取 当y 位置的学生 需从第 k 个位置移动到第 k 个位置 移动
蓝帽子的小矮人一边是戴红帽子的
,
所以小矮人所戴帽子
6. 2 【解析】首先 , 假设去A地 , A地去则B地也去 , 但B地
+3 =10 + , : =
3
-1, 3、6、9, =
距离为 k k
,
k 每
3
移动 个位置 需与相邻面对
,
面学
的情况如下 蓝红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝红蓝红 因此 时 x 当y 或 时 x不符合题意 故x y 所 3 - =2 。 1 ,
: 。 去则C地不能去 , C地不去则D地也不能去 , D地不去则E 3 , =7; =6 9 , , =7, =3, 生握手 次 因此该学生的握手次数为 k 以内 的
最多有 10 名小矮人戴蓝帽子 。 地也不能去 , D 、 E都不去则不符合条件 , 故如果去A地则 以密码是 789333。 倍数的数 1 共 , 个 所以这 位都要从第 2 。 k 10 个 0 位置移 3 动
3. 解:假设丁没有说错 , 则乙也没有说错 , 那么甲和丙两人中 无法按要求完成参观 ; 再次 , 假设 A地不去 , B 地去 , 则情 12. 5 【解析】因为猜对 3 条 、5 条 、6 条谜语的共有 50-16-9 到第k个位置 33 握手 , 33 3
有一人说错了 ; 假设甲说对了 “ 我最高 ”, 那么丙也说对了 况与上面相同 , 也同样无法完成参观 ; 综上所述 , 要完成参 =25( 人 ), 而猜对 3 条和 5 条的人数一样多 , 所以猜对 6 次 , 1×2+2×2+3×2+4×2+…+33×2=1122
“
我没有甲高
,
但还有人比我矮
”,
所以此假设不成立
;
可得 观
,
则B地一定不能去
,
B地不去
,
前提是A地不去
,
故
A、
条的人数为奇数
,
故可能为
1、3、5、…、23
人
,
这
25
人共猜
18.
( )
【
。
解析】无论如何操作 任意两种数的个数的差只有
出甲说错了 , 那么丙就说对了 。 B两地都不能去 , A 、 B两地都不去 , 则E地一定也不能去 。 对 178-2×16-4×9=110( 条 ) 谜语 , 当猜对 6 条的人数为 1 不 2 变 加 和减 三种情况 , 比如说 和 的个数 无论
答 四个人的身高从高到低的排序是 乙 甲 丙 丁 所以 能去的只有C D两地 人时 不符合条件 故舍去 当猜对 条的 、 3 3 ( 1 2 ,
: : 、 、 、 。 , 、 。 1、3、7、9、…、23 , , ; 6 怎样操作 对于这两个数的个数只有 类情况 要么同时
4. 【解析】先枚举出所有三位无重复数字的完全平方数 7. 四 【解析】假设今天周一 狮子 周一说谎 它说的 昨天 人数为 人时 猜对 条和 条的人数是 , 3 ,
17 , : → “ 5 , 3 5 (25-5)÷2=10 减少一个 个数差不变 要么 的个数加 个 的个数减
如下表 周日 是我说谎的日子 是假话 实际昨天狮子说真话 人 则 条 符合条件 综上所 , ; 1 2 ,2
: ( ) ” → , ( ), 5×6+10×3+10×5=110( ), 。 个 个数差减 要么 的个数减 个 的个数加 个
不矛盾 独角兽 周一说真话 它说的 昨天 周日 是我说 述 条全猜对的有 人 1 , 3; 1 1 ,2 2 ,
百 十 个 , : → “ ( ) ,6 5 。 个数差多 那么 看 的个数和 的个数 用 的个数
谎的日子 是真话 但周日独角兽说真话 矛盾 排除 假 13. 【解析】由题意得 3)。 , 1 2 , 2
” → , , 。 28 24 :①1764=2×2×3×3×7×7=(2× 减去 的个数 它们的差是 除以 的余数
1 6 9 设今天周二 狮子 周二说谎 它说的 昨天 周一 是我说 此时和为 1 , 22-11=11,11 3
, : → “ ( ) 2)×3×3×7×7=4×3×3×7×7, :4+3+3+7+7=24; 是 那就是说当 的个数比 的个数多时 它们的个数
2, 2 1 ,
谎的日子 是假话 实际昨天狮子说谎 矛盾 排除 假设
1 9 6 ” → , , 。 ②1764=2×2×3×3×7×7=2×2×(3×3)×7×7=2×2×9×7× 差一定是除以 余 的 但如果 的个数比 的个数多的
今天周三 狮子 周三说谎 它说的 昨天 周二 是我说谎 此时和为 3 2 ; 1 2
2 5 6 , : → “ ( ) 7, :2+2+9+7+7=27;③1764=2×2×3×3×7×7= 话 , 那么个数差除以 3 的余数一定是 1( 可以试着操作几
的日子 是假话 实际昨天狮子说谎 矛盾 排除 假设今 此时和为
” → , , 。 2×(2×3)×3×7×7=2×6×3×7×7, :2+6+3+7+7= 次 让 的个数多于 的个数 这样都算下来比较麻
2 8 9 天周四 狮子 周四说真话 它说的 昨天 周三 是我说谎 , 1 2 )。
, : → “ ( ) 25;④1764=2×2×3×3×7×7=2×2×(3×3)×7×7=1×(2× 烦 观察一些特殊的 不用分类讨论的 可以发现 的个
, , , 1
3 2 4 的日子 是真话 周三狮子确实说谎 独角兽 周四说谎 此时和为
” → , : → 2)×(3×3)×7×7=1×4×9×7×7, :1+4+9+7+7= 数和 的个数 它们的差是 正好是 的倍数 也就是
4 , 33, 3 ,
它说的 昨天 周三 是我说谎的日子 是假话 实际昨天
3 6 1 “ ( ) ” → 28;⑤1764=2×2×3×3×7×7=2×2×(3×3)×7×7=1×(2× 说 操作到最后 剩下的 和 要么一样多 要么个数差
, , 1 4 ,
独角兽说真话 符合条件 同理 验证剩余日期均矛盾 所 此时和为
, 。 , , 3)×(2×3)×7×7=1×6×6×7×7, :1+6+6+7+7= 的倍数 再根据题意 最后只剩下 个数字 如果 的
5 2 9 33 。 , 3 , 1
以今天是星期四 所以甲 乙取出的扑克的数字之和分别为 和
。 27, 、 28 24。 个数为 那么 的个数必然为 不合题意 如果 的个
5 7 6 3, 2 2, ; 3
类型二 取胜策略 类型四 其他推理 数为 而 和 不可能都为 个 所以操作到最后时
3, 1 2 0 , 1
6 2 5
8. 【解析】因为谁移动最后一根算谁输 所以用 14. 【解析】第 次后 下 上 第 次后 下 上 第
的个数和
4
的个数都只能为
0,
而
2
的个数一定是
2,
那么
4 , 101-1= 4 1 :3 1 ; 2 :2 2 ; 3
7 2 9 先移动的人要想取胜只要移动到第 根就可以了 次后 上 下 第 次后 下 即最少经过 次后杯口都 3 的个数就是 1, 所以剩下的三个数是 2 个 2 和 1 个 3, 它
100, 100 , :3 1 ; 4 :4 , 4
们的乘积是
7 8 4 一个人移动 根 另一个就移动 根 只要保证每一轮都 向下 12。
1 , 5 , 。
6
