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2023－2024 学年度第二学期 高三数学 热身练习
班级________ 姓名________ 学号________
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 设集合 ， ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面，复数z对应 的点坐标为 ，则 （ ）
A. i B. -i C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
.
A B. C. D.
4. 若双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
5. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实数 （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 展开式中 的系数为10，则实数a等于【】
A. -1 B. C. 1 D. 2
7. 已知函数 ，若 ，且 ，则下面结论错误的是（ ）A. B.
.
C D.
8. 对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为递增数列”是“ 为递增数列”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
的
9. 点F抛物线 焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 ，则
（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
10. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依
次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次
为 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数 的定义域是______.
12. 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 ______.
13. 在 中，若 ， ， ，则 ________， ________.
14. 若直线 与 交于 ， 两点，则 面积的最大值为_________，写出满足“ 面积最大”的 的一个值________.
15. 已知函数 ，下面命题正确的是_________.
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
在
④存 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图.在四棱锥P-ABCD中. 平面 .底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.18. 根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，
分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、
合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、
天津、东莞、武汉、杭州.
（1）从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
（2）从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求
随机变量X的分布列和期望；
（3）从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比
较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
19. 已知椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的 ，三角形
ABC的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴
交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求 的值.
20. 已知函数 ，其中a为常数且 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调区间；
( 1)
（3）当 时，若在点M(x ,f(x )) x > 处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原
0 0 0 e
点，记 的面积为S，求S的最小值.
21. 记集合 .对任意 ，
，记 ，对于非空集合 ，定义集
合 .（1）当 时，写出集合 ；对于 ，写出 ；
（2）当 时，如果 ，求 的最小值；
（3）求证： .
（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）
