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西城区高三模拟测试试卷数学
2025.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可.
【详解】 ，
错误， 错误， 错误，
，
所以 ，D正确，
故选：D
2. 设 为虚数单位，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算化简，即可求解.
【详解】 ，
所以复数 对应的点 ，位于第四象限，
故选：D.
3 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.
【详解】由 ，可得 .
故选：B.
4. 若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】法一：通过赋值 ，代入即可求解；
法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
所以原式左边为 ，
原式右边为
，
所以 .
法二：根据二项式定理，得
所以
所以 .
故选：A.5. 设圆 的圆心为 ，直线 与该圆相交于两点 ．若 ，
则实数 （ ）
A. 1 B. 3或1 C. 3 D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】将直线 代入圆的方程可得： ，
，
设 ，
所以 ，
，则 ，
所以
，
化简得： ，
解得： 或 ，
故选：D
6. 设 为双曲线 的右焦点．已知 成等差数列，那么双曲线 的离
心率等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质、双曲线的定义即可求解.【详解】由题意知， ，即
，由于 ，解得 .
故选：B.
7. 设平面向量 与 不共线， ，则“ 与 共线”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线定理可得 ，由 与 不共线，得 且 ，即可结
合充要条件的定义求解.
【详解】若 与 共线，则存在非零实数 ，使得 ，即
，
由于平面向量 与 不共线，所以 且 ，故 ，
因此“ 与 共线”是“ ”的充要条件，
故选：C
8. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁
好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以
拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽
约为（ ）
A. 840mm，594mm B. 840mm，588mm C. 594mm，420mm D. 588mm，420mm
【答案】A
【解析】
【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果.
【详解】A4纸的宽为 ，设其长为 ，
若两张A4纸的宽拼在一起，则A3纸的宽为 ，长为 ，
且 ，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
即A3纸的宽为 ，长为 ，
A2纸的宽为 ，长为 ，
A1纸的宽为 ，长为 ，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得 ，解得 ，则 ，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm.
故选：A
9. 设正方体 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 的距离与它到平面
ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得点 的坐标满足 ，由题意分六种情况讨论即可求解.
【详解】以 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，显然点 到平面 的距离为 ，
设点 ，在 上取一点 ，而 ，
所有 ，从而 ，
所以点P到直线 的距离为 ，
所以 ，
令 ，得 ，此时点 的轨迹就是一个点，此时点 的轨迹长度是0，
令 ，得 ，此时点 在以 为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，
此时点 的轨迹长度是 ，
令 ，得 ，即 ，此时点 的轨迹长度是0，
令 ，得 ，即 ，此时点 在线段 上运动，轨迹长度是 ，
令 ， ，即 ，此时点 在线段 上运动，轨迹长度
为 ，
令 得， ，即 ，此时点 的轨迹长度是0，
综上所述，所求为 .
故选：D.
10. 已知函数 若对于任意的 ，都有 ，那么实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【 分 析 】 先 考 虑 ， ， 求 出 ， 再 考 虑 ， 此 时
，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等
式，求出 的取值范围.
【详解】若 ，即 ，
此时 ，满足要求；
若 ，则 ，
此时 ，
故 恒成立，
其中 ，故 ；
若 且 ，即 ，
此时
，对称轴为 ，
若 ，此时 在 上单调递增，
故只需 ，即 ，解得 ，故 ；
若 ，此时 在 上单调递减，
在 上单调递增，
故 ，令 ，解得 ，
与 取交集得 ，
若 ，此时 在 上单调递减，
故只需 ，即 ，解得 ，与 取交集得 ；
综上，实数 的取值范围为 .
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组 ，进而求得函数的定义域，得到答案.
【详解】由函数 有意义，则满足 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
12. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体
积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱及圆锥的体积计算公式即可得出结果.
【详解】由题可知 ， ，∴该模具的体积为 ，
故答案为： .
13. 设函数 ，则使得函数 在区间 上存在最大值的一个
值为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】首先求出 的解析式，再根据正弦函数的性质求出 的范围，即可得解.
【详解】因为 ，则 ，
令 ，所以 ，
因为 在区间 上存在最大值，
所以 ，
则 ，
又 ，即 ，所以 或 ，
所以符合题意的一个 值为 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
14. 在数列 中， ，且任意连续三项 的和均为7，则 ______；记数列 的前 项和为 ，则使得 成立的最大整数 ______．
【答案】 ①. 6 ②. 44
【解析】
【分析】首先得出数列 是周期为3的周期数列，进一步可根据数列任意连续三项的和均为7，即可求
解第一问，至于第二问分三种情况讨论即可求解.
【详解】由题意 ，所以数列 是周期为3的周期数列，
所以 ，故 ；
当 时， ，解得 ，此时最大整数为42，
当 时， ，解得 ，此时最大整数为42，
当 时， ，解得 ，此时最大整数为44，
综上所述， ，使得 成立的最大整数 .
故答案为：6，44.
15. 数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线 就是其中之一（如
图），其定义为：在平面内，到两个定点 和 的距离之积为常数 的点的轨迹．
设 为 上一点，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③若点 在第一象限，则 ；④ 的周长可以等于 ．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】令 ，求得 ，可判定①正确；设 ， ，
结合 ，得到 ，可判定②正确；由 ，得到 ，可判
定③正确；设 ，由余弦定理求得 ，得到 ，可
判定④错误.
【详解】对于①中，由双纽线 ，
令 ，可得 ，解得 或 ，所以 ，所以①正确；
对于②中，设 ，其中 ，且 ，
由 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
所以 ，所以②正确；
对于③中，若点 位于第一象限，要证 ，
即证 ，等价于 ，由双纽线 ，可得 ，所以③正确；
对于④中，设 ，则三角形 的周长为 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知 中， ．
（1）求 的大小；
（2）设 为 的中点，且 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；
（2）由正弦定理求得 ，再结合余弦定理求得 ，结合三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由 ，得 ．
由 ，得 ，故 ，所以 ．
【小问2详解】
由正弦定理得， ，即 ．
由余弦定理得， ，
即 ，解得 或 （舍）．
所以 ，
故 ．
17. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 分别为 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 ，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 与平
面 夹角的余弦值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直得出 平面 ，进而得证结论；
（2）根据选择的条件先证明 两两垂直，建系，利用法向量可求答案.
【小问1详解】
因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
由 分别为 中点，得 ，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
【小问2详解】
选择条件①②：
因为 ，
所以 ，则 ．
所以 ．
由 平面 ，得 ．
故 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
， ， ， ．设平面 的法向量为 ，
则 ，即 .
令 ，则 ．于是 ．
易知平面 的一个法向量 ．
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ．
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
选择条件①③；
由 平面 ，得 ．
因为 ，
所以 平面 ．
所以 ．故 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系 ，以下同选条件①②，略．
选择条件②③；
由 平面 ，得 ．
因为 ，
所以 平面 ．
所以 ．故 两两垂直．
又因为 ，
所以 ．
如图建立空间直角坐标系 ，以下同选条件①②，略．18. 网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到
该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：
1 4 5 9 10 11 12 13 14 15
时间 2号 3号 6号 7号 8号
号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
.
5
搜索量 6.2 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9
1
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
时间
号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6
用频率估计概率.
（1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
（2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量
的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；
（3）记表中30天的搜索量的平均数为 ，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平
均数为 ，试给出 与 的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率
公式计算即可；
（2）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于 10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的
即可；
（3）分别计算 即可比较大小.
【小问1详解】
记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，根据数据知，仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，
所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率 ．
【小问2详解】
记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，
根据数据知，在未来的日子里，某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为 ，低于8万的概率
可估计为 ．
则 ．
所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为
．
【小问3详解】
，
最大的三个数为： ，最小的三个数为： ，
这6个数之和为 ，
故 ，
故 .
19. 已知椭圆 ，直线 经过椭圆 的左顶点 和下顶点 ．
（1）求椭圆 的方程和离心率；（2）设过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 两点，直线 与直线 的交点
分别为 ，线段 的中点分别为 ．若直线 经过坐标原点，求 的取值范围．
【答案】（1） ，离心率
（2）
【解析】
【分析】（1）由直线方程确定 ，进而可求解；
（2）设 方程为 ，点 ，联立椭圆方程，结合韦达定理得到 的
坐标为 ，再由直线 ： ，直线 ： ．得点
．再由线段 的中点为 ，得 ，化简得
到 ，进而可求解.
【小问1详解】
因 为直线 与坐标轴交点为 和 ，
所以 ．
由 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，离心率 ．
【小问2详解】由题意，直线 的斜率存在，故设其方程为 ，
设点 ，
由 得 ，
所以 ．
所以点 的横坐标 ，纵坐标 ．
结合直线 过坐标原点，可得直线 的方程为 ．
令 ，得点 的坐标为 ．
当 时，显然点 不在 轴上．
则直线 ： ，直线 ： ．
令 ，得点 ．
由线段 的中点为 ，得 ，
整理，得 ，即 ，
化简，得 ．
由 ，得 ．
当 时，由题意，点 中有一个与点 重合（不妨设点 与点 重合），
处 为 中点，且 ，
在 中， ，则直线 的方程为 ，
由 的中点为 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立．
综上， 的取值范围为 .
20. 已知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线经过点 ，求 的值；
（2）证明：函数 存在极小值；
（3）记函数 的最小值为 ，求 的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）0
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；
（2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；
（3）由（2）得到 ，构造函数 ，求导确定单调性，进而
可求解.【小问1详解】
求导，得 ，
所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 代入切线方程，得 ．
【小问2详解】
函数 的定义域为 ．
设函数 ，则 ，
由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ．
当 变化时， 与 的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
故函数 存在极小值 ．
【小问3详解】由（2）知，函数 有最小值 ．
由 ，得 ．
所以 ．
设函数 ，则 ．
今 ，得 （舍）或 ．
当 变化时， 与 的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以当 时， ，即当 时， ．
结合 ，知当 时， ．
由函数 的导数 ，知其在区间 上单调递减，
故当且仅当 时 ．
所以当 时， 取得最大值0．
21. 已知 项数列 ，对于给定 ，定义变换 ：将数列 中的项替换为 ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 ．其中，当 时， ；当
时， ；当 时， ．若将数列 再进行上述变换
，记得到的新数列为 ，重复操作，得到数列 ，
并称 为第一次 变换， 为第二次 变换，⋯．
（1）若数列 ： ，求数列 和 ；
（2）设 为递增数列，对 进行有限次 变换后得到数列 ．证明： 为递增数列；
（3）当第 次 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 ；否则 ．对于给定
的 项数列 ，进行2025次 变换，证明： ．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案；
（2）根据题设中新的变换，得到 仍为递增数列，进而得到 仍为递增数列，证得 仍为
递增数列，以此类推，对 进行有限次 变换后，所得的数列 为递增数列；
（3）设 中相邻两项乘积为负数的有 对， 中相邻两项乘积为负数的有 对，得到 ，
得到数列 中相邻两项乘积为负数的仍有 对，分情况讨论，即可得证.
【小问1详解】解：由题意得，数列 ，数列 ，
故数列 ．
【小问2详解】
证明：若对 ： 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，得 ，故 仍为递增数列；
若对 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，很 ，故 仍为递增数列：
若对 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，得 ，故 仍为递增数列．
综上，对于任意 ，对 进行 变换后 仍为递增数列．
以此类推，知对 进行有限次 变换后，所得的数列 为递增数列．
【小问3详解】
解：记数列 ： 中去除等于0的项后得到的数列为 （其余项相对位置不变，下同），
中去除为0的项后得到的数列为 ．
设 中相邻两项乘积为负数的有 对， 中相邻两项乘积为负数的有 对，
则 ．如果对 进行 变换，即将 替换为 ，
此时若 与 同号，则数列 中相邻两项乘积为负数的仍有 对，即 ；
若 与 异号，则 或 ；
若 与 中有0，则 一定不与 异号，故 ．
如果对 进行 变换，即将 替换为 ，
此时若 与 同号，则 ；
若 与 异号，有以下三种情况：
①若 与 同号，显然 也与 异号，则 ；
②若 与 异号，则 ；
③若 与 中有0，只有一个0，
不妨设 ，则 与 异号，故 ，或 ，或 ．
若 与 同为0，则 ；
若 ， ，不妨设 ，则 与 同号，故 ；
若 ， ，不妨设 ，则 与 异号，故 或 ；
对 进行 变换与进行 变换类似．
综上，对 进行一次 变换后， ．以此类推，对 进行2025次 变换，每一次变换后所得数列中去除等于 0的项后相邻两项乘积为负数的
对数 比变换前的并不会增大，且 ．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是 变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对．
所以对 进行2025次 变换时，其第一项的正负号最多发生 次改变，
即 ．
