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07 万有引力与宇宙航行
[-考点-07-] 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上
做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示．
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进
入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在椭圆轨道B 点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点
时速率分别为vA、vB.在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有
vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A
点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、
r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k 可知T1<T2<T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能
分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3.
典例1 (卫星变轨问题中各物理量的比较)2021 年6 月17 日，神舟十二号载人飞船与天和
核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进
入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；
神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道
Ⅱ运动到B 处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船( )
1
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A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A 点时速度大小相等
B．沿轨道Ⅱ从A 运动到对接点B 过程中速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
答案 C
解析 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A 点时速度大小不相等，
故A 错误；沿轨道Ⅱ从A 运动到对接点B 过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B
错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故C 正确；物体绕地球做匀速圆周运
动，万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝2π，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和
核心舱沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行
的周期，故D 错误．
典例2 (变轨问题中的能量变化)2020 年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射
卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r 的圆轨道上做匀速圆周运动，到A 点时使卫星
加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B 点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径
为r2＝2r 的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积
为定值，卫星在椭圆轨道上A 点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m 地，引力
常量为G，则发动机在A 点对卫星做的功与在B 点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变
化)( )
A.mv2＋
B.mv2－
C.mv2＋
D.mv2－
答案 D
解析 当卫星在r1＝r 的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A 点的
速度为v0＝，所以发动机在A 点对卫星做的功为W1＝mv2－mv0
2＝mv2－；当卫星在r2＝2r
的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B 点的速度为v0′＝，而根
据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B 点时
的速度为v1＝v＝v，故发动机在B 点对卫星做的功为W2＝mv0′
2－mv1
2＝－mv2，所以W1
2
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－W2＝mv2－，D 正确．
典例3 (飞船对接问题)北京时间2021 年10 月16 日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和
核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5 小时．为实现神舟十三
号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各
种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站
200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(
)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到
空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道
上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.
1. 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空
间站，可采取的方法是( )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
答案 B
解析 飞船在轨道上正常运行时，有G＝m.当飞船直接加速时，所需向心力增大，故飞船
做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A 错误；飞船若先减速，它的轨道
半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位
置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B 正确，D 错误；若飞船先加速，它的轨道半
径将增大，但运行速度减小，再减速不会追上空间站，C 错误．
2. 2021 年2 月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021
年5 月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示
意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在
Q 点登陆火星，O 点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q 还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近
火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
3
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A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O 点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O 点的线速度大于运行到Q 点的线速度
答案 A
解析 由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O 点减速，A 正确；
根据开普勒第三定律有＝，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的
周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B 错误；根据v＝可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于
火星的第一宇宙速度，C 错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的
线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O 点的线速度小于运行到Q 点的线速度，D 错误．
3.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道
Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A 的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A 点到地
心的距离为R，远地点B 到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B 变轨进入圆轨道
Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3 倍
D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为－
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由＝ma 得a＝，则a1＝a0＝a0，故A 错
误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝，解得v1＝＝，故B 正确；根据开
普勒第三定律有＝，解得＝，故C 错误；设卫星在椭圆轨道远地点B 的线速度大小为v，
根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要
做的功为W＝mv1
2－mv2＝－，故D 正确．
4.2021 年5 月15 日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功
着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，
运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于
4
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地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(
)
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球
公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A 错误；在与火
星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力
有G＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B 错误；飞
船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C 正
确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D 错误．
5.嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后，于2020 年12 月17 日成功返回，最终收
获1 731 克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100 公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号
从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有
关说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上运动时的加速度大小
C．在N 点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
答案 C
解析 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运
行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A 错误；在轨道Ⅰ上的N 点和轨道Ⅱ上的N
点受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N 点时的加速度相同，故B 错误；从轨道
Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N 点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道Ⅱ进入
轨道Ⅲ返回，故C 正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不
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存在不受万有引力的瞬间，故D 错误．
6.(多选)(2023·陕西省·质检)如图所示，质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引
力势能可表示为Ep＝－，其中G 为引力常量，M 为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨
道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道Ⅲ继
续绕地球运动，其中P 点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q 点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列
判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G
B．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G
C．卫星在Ⅱ轨道经过Q 点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q 点时的加速度
D．卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率
答案 AB
解析 在轨道Ⅰ上，有：G＝m，解得：v1＝，则动能为Ek1＝mv1
2＝，故A 正确；在轨道Ⅲ
上，有：G＝m，解得：v3＝，则动能为Ek3＝mv3
2＝，引力势能为Ep＝－，则机械能为E＝
Ek3＋Ep＝－，故B 正确；由G＝ma 得：a＝，两个轨道上Q 点到地心的距离不变，故向心
加速度的大小不变，故C 错误；卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上，经过P 点时必须点火加速，
即卫星在Ⅰ轨道上经过P 点时的速率小于在Ⅱ轨道上经过P 点时的速率，故D 错误．
7.(多选)(2023·河南省·二模)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的
P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图所示．关于
“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运动至P 时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B. 沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度大于在Q 点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力
势能减小，机械能不变
答案 AD
6
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解析 要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减
速做近心运动，A 正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的
周期，B 错误；万有引力使物体产生加速度，a＝＝G，沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度
小于在Q 点的加速度，C 错误；月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ
上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机
械能不变，D 正确．
8.我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成
功变轨至关重要.如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距
月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达
轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A.飞行器在B 点处点火后，动能增加
B.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π
C.只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B 点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B
点的加速度
D.由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
答案 B
解析 在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的
向心力，故点火后动能减小，故A 错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时
间为T3，则mg0＝mR，解得T3＝2π，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据
开普勒第三定律＝k 以及飞行器在轨道Ⅲ上的运行周期，可求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行
周期，故B 正确，D 错误；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B 点的加速
度与在轨道Ⅲ上通过B 点的加速度相等，故C 错误.
9．(2023·江西·联考)两个天体(包括人造天体)间存在万有引力，并具有由相对位置决定的势
能．如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能为零，则它们距离为r
时，引力势能为Ep＝－G.发射地球同步卫星一般是把它先送入较低的圆形轨道，如图中Ⅰ
轨道，再经过两次“点火”，即先在图中a 点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫
星得到加速，进入图中的椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的远地点b 处第二次“点火”，卫星再次
被加速，此后，沿图中的圆形轨道Ⅲ(即同步轨道)运动．设某同步卫星的质量为m，地球
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半径为R，轨道Ⅰ距地面非常近，轨道Ⅲ距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为
g，并且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星的质量减少可以忽略．求：
(1)从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，合力对卫星所做的总功是多少？
(2)两次“点火”过程中燃气对卫星所做的总功是多少？
答案 (1)－ (2)
解析 (1)卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ做圆周运动，应满足：
G＝m，故Ek1＝mv1
2＝＝mgR
G＝m，故Ek2＝mv2
2＝
合力对卫星所做的总功W＝Ek2－Ek1＝mgR(－)＝－
(2)卫星在轨道Ⅰ上的势能Ep1＝－＝－mgR
卫星在轨道Ⅲ上的势能Ep2＝－＝－
则燃气对卫星所做的总功
W′＝(Ep2＋ Ek2)－(Ep1＋ Ek1)＝(－＋)－(－mgR＋mgR)＝.
10.如图所示为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、
Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆.探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q 点登陆火星，O 点是轨道Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q 还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点.关于探测器，下列说法
正确的是( )
A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O 点加速
B.在轨道Ⅱ的运行周期小于沿轨道Ⅲ的运行周期
C.在轨道Ⅱ运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D.在轨道Ⅲ上，探测器运行到O 点的线速度小于Q 点的线速度
答案 D
解析 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O 点减速，由高轨道进入低轨道需要点火减速，故A 错误；
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根据周期公式T＝2π 可知，轨道半径越大周期越大，所以在轨道Ⅱ的运行周期大于沿轨道
Ⅲ的运行周期，故B 错误；根据v＝可知，在轨道Ⅱ运行的线速度小于火星的第一宇宙速
度，故C 错误；根据开普勒第二定律可知，在近地点的线速度大于远地点的线速度，所以
在轨道Ⅲ上，探测器运行到O 点的线速度小于Q 点的线速度，故D 正确.
11.2020 年7 月22 日，中国火星探测工程正式对外发布“中国首次火星探测任务宇宙飞船
天问一号着陆平台和火星车”.7 月23 日，宇宙飞船天问一号探测器在中国文昌航天发射基
地发射升空.宇宙飞船天问一号从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图2 中椭圆所示.飞
向火星过程中，只考虑太阳对宇宙飞船天问一号的引力.下列说法正确的是( )
A.宇宙飞船天问一号椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B.在与火星会合前，宇宙飞船天问一号的加速度小于火星公转的向心加速度
C.宇宙飞船天问一号在无动力飞行飞向火星的过程中，引力势能增大，动能减少，机械能
守恒
D.宇宙飞船天问一号在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 宇宙飞船天问一号椭圆轨道半长轴大于地球公转半径，由开普勒第三定律可知，宇
宙飞船天问一号椭圆轨道的周期大于地球公转的周期，故A 项错误；宇宙飞船天问一号位
于火星与地球之间，距太阳的距离小于火星距太阳的距离，由G＝ma 解得a＝，宇宙飞船
天问一号的向心加速度大于火星公转的向心加速度，故B 项错误；当天问一号飞向火星过
程中，即在椭圆轨道上，万有引力做负功，引力势能增大，动能减小，机械能守恒，故C
项正确；宇宙飞船天问一号从地球上发射，需要脱离地球的吸引，绕太阳运动，即发射速
度大于第二宇宙速度，故D 项错误.
12.2020 年7 月23 日，天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射，中国航
天开启了走向深空的新旅程．由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射
地火转移、火星捕获、火星停泊、科学探测和离轨着陆六个阶段，其中的着陆巡视器于
2021 年5 月15 日着陆火星，则( )
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A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星停泊段”运行的周期大于它在“科学探测段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需经过加速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆火星过程，机械能守恒
答案 B
解析 由于天问一号需要到达火星，因此其最终会脱离地球的引力束缚，其发射速度应大
于第二宇宙速度，A 错误；由题图可知，天问一号在“火星停泊段”运行的轨道半长轴大
于它在“科学探测段”运行的轨道半长轴，则由开普勒第三定律有＝，可知天问一号在
“火星停泊段”运行的周期大于它在“科学探测段”运行的周期，B 正确；天问一号从
“火星捕获段”进入轨道较低的“火星停泊段”，需要在近火点减速，选项C 错误；假设
着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆火星过程机械能守恒，则随着着陆巡视器到火星表面
的距离降低(重力势能减小)，着陆巡视器的速度会越来越大(动能增大)，到火星表面时速度
达到最大，与实际情况不符(出于安全考虑，着陆巡视器着陆火星时，速度应很小)，故假
设不成立，选项D 错误．
10
