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专题02 匀变速直线运动的研究
[-考点-10-] 追及和相遇问题
[典例]
答案 a≥1.6 m/s2
解析 方法一 物理分析法
甲、乙不相撞的条件是当甲、乙速度相等时，甲、乙仍相距一段距离，即
v1－at＝v2①
x1≤x2＋s②
其中x1＝v1t－at2③
x2＝v2t④
联立①②③④式，解得a≥1.6 m/s2
即a≥1.6 m/s2时，甲、乙不会相撞．
方法二 数学分析法
设甲减速t 时间后，甲、乙相撞
则有x1＝x2＋s，即v1t－at2＝v2t＋s
整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0
若甲、乙不相撞，则以上方程不能有两个解
即判别式应满足Δ＝4(v1－v2)2－8as≤0
解得a≥＝1.6 m/s2.
方法三 图像法
分别画出甲、乙的v－t 图像，如图所示
刚好不相撞时图中阴影部分面积为s
有(v1－v2)t1＝s，＝a
故a＝，且s＝0.5 km
若要使甲、乙不相撞，
则a≥＝1.6 m/s2.
1.答案 BC
解析 由速度－时间图像与t 轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在0～4 s 内的位移
不相等，而在第4 s 末相遇，可知出发点不同，A 错误；xA＝×4×4 m＝8 m，xB＝×6×4 m
＝12 m，已知在第4 s 末相遇，则出发时A 在B 前方4 m 处，B 正确；由于A 图线的斜率小
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于B 图线的斜率，可知A 的加速度小于B 的加速度，C 正确；相遇后A 的速度始终小于B
的速度，所以两物体不会再次相遇，D 错误．
2.答案 B
解析 v－t 图像的斜率表示物体的加速度，由题图可知，乙车的加速度先减小后增大，最
后再减小，故A 错误；在前4 s 的时间内，甲车的位移为x＝v0t＋at2＝5×4 m＋×1.2×16 m
＝29.6 m，故B 正确；在t＝4 s 时，两车的速度相同，但经过的位移不同，故两车没有相
遇，故C 错误；在0～10 s 内，乙车速度一直为正，乙车一直沿正方向运动，故乙车没有
回到起始位置，故D 错误．
3.答案 BCD
解析 由图像可知，甲、乙两辆汽车的速度图线都在时间轴的上方，速度均为正，故甲、
乙两辆汽车的运动方向相同，A 错误；在0～20 s 内，甲的位移为x 甲＝5×20 m＝100 m，
乙的位移为x 乙＝×10×20 m＝100 m，所以在t＝20 s 时，两车相遇，B 正确；在t＝10 s 时，
甲、乙两车速度相等，两车距离最远，此时甲离出发点的距离为x 甲′＝5×10 m＝50 m，此
时乙离出发点的距离为x 乙′＝×(10＋5)×10 m＝75 m，此时甲、乙两车之间的距离为Δx＝x
乙′－x 甲′＝25 m，C 正确；乙车做匀减速运动，则加速度为a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，D 正确．
4.答案 BD
解析 因v－t 图像与坐标轴围成的面积等于位移，根据v－t 图像可知在1～3 s 内两车位移
相等，可以判断在t＝1 s 时，甲、乙车并排行驶，故A、C 错误；在t＝0 时，甲车在乙车
前的Δx＝ m＝7.5 m 处，故B 正确；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距
离也就是从第1 s 末到第3 s 末两车运动的位移Δx′＝ m＝40 m，故D 正确．
5.答案 B
解析 根据速度—时间图线与坐标轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s 时大卡车
的位移为：xb＝vbt＝10×3 m＝30 m．小汽车的位移为：xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×
2 m＝60 m，则：xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s 时发生追尾事故，故B 正确，A、C 错误；若
紧急刹车时两车相距40 m，由v－t 图线可知在t＝5 s 时两车速度相等，小汽车相对于大卡
车的位移：Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m，则不会发生追尾事故且两车最
近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D 错误．
6.答案 10 s
解析 设经时间t 乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为
x 甲＝v 甲t，x 乙＝v 乙t＋at2
追上时的位移关系为x 乙＝x 甲＋x0，
代入数据解得：t1＝10 s，t2＝－4 s(舍去)
故乙车经10 s 能追上甲车．
7.答案 (1)40 s 20 m/s 400 m (2)10 s 225 m
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解析 (1)设甲经过时间t 追上乙，则有x 甲＝a 甲t2，x 乙＝v 乙t，根据追及条件，有a 甲t2＝x0
＋v 乙t，代入数据解得t＝40 s 和t＝－20 s(舍去)这时甲的速度v 甲＝a 甲t＝0.5×40 m/s＝20
m/s 甲离出发点的位移，x 甲＝a 甲t2＝×0.5×402 m＝400 m.
(2)当v 甲＝v 乙，甲、乙之间的距离达到最大值．由a 甲t′＝v 乙，得t′＝＝ s＝10 s，即甲
在10 s 末离乙的距离最大．xmax＝x0＋v 乙t′－a 甲t′2＝225 m.
8.答案 (1)11 s (2)49 m
解析 (1)警车开始运动时，货车在它前面Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2.5 m＝33 m
警车运动位移：x1＝at2
货车运动位移：x2＝v0t
警车要追上货车满足：x1＝x2＋Δx
联立并代入数据解得：t＝11 s(t＝－3 s 舍去)
(2)警车速度与货车速度相同时，相距最远
对警车有：v0＝at′
x1′＝at′2，x2′＝v0t′
最远距离：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m.
9.答案 (1)0.5 m/s2 (2)不会相撞
解析 (1)汽车制动加速度大小a＝＝0.5 m/s2
(2)当汽车减为与货车同速时
t0＝＝28 s
汽车位移x1＝＝364 m
此时间内货车位移为x2＝vBt0＝168 m
Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞．
10.答案 (1)10 s 100 m (2)25 m
解析 (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，设经过t1时间追上货
车，
则v2t1＝at，
代入数据解得t1＝10 s，
x＝at＝×2×102 m＝100 m.
(2)两车距离最远时，两车应具有相等的速度，
设经过时间为t2，则v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s.
最大距离Δx＝v2t2－at＝10×5 m－×2×52 m＝25 m.
11.答案 (1)16 m (2)8 s
解析 (1)当B 车速度等于A 车速度时，两车间距最大．
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设经时间t1两车速度相等，
有：vB′＝vB－at1，vB′＝vA
B 的位移：xB＝vBt1－at，
A 的位移：xA＝vAt1，
则：Δxm＝xB＋7－xA，
解得：Δxm＝16 m.
(2)设B 车停止运动所需时间为t2，
则t2＝＝5 s，
此时A 的位移xA′＝vAt2＝20 m，
B 的位移xB′＝vBt2－at＝25 m，
A、B 间的距离Δx＝xB′－xA′＋7 m＝12 m，
A 追上B 还需时间t3＝＝3 s，
故A 追上B 的总时间t＝t2＋t3＝8 s.
12.答案 (1)2 122.5 m (2)150 s
解析 (1)当巡逻车加速到与卡车速度相等时，它们之间有最大距离L，设此过程时间为
t2，则：
对巡逻车：匀加速阶段有v2＝at1
加速到与卡车速度相等时：v1＝at2，x1＝at
对卡车：x2＝v1t2
最大距离L＝x2＋d－x1
联立以上各式，代入数据解得L＝2 122.5 m.
(2)巡逻车加速过程的位移：x3＝at＝250 m
卡车在此过程中的位移：x4＝v1t1＝350 m
因为x3＜d＋x4，所以巡逻车在加速过程无法追上卡车，要追上，必须有一个匀速过程
设追上至少用的总时间为t.则：
at＋v2(t－t1)＝d＋v1t
解得：t＝150 s.
13.答案 (1)0.5 m/s2 (2)不会相撞 4 m
解析 (1)汽车刹车时加速度大小a＝＝0.5 m/s2
(2)当汽车减速到与货车共速时t0＝＝28 s
汽车运动的位移x1＝＝364 m
此时间内货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m
Δx＝x1－x2＝196 m＜200 m，所以两车不会相撞．
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此时两车相距最近，最近距离Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m.
14.答案 (1)10 s 25 m (2)距停车线100 m 处 10 m/s
解析 (1)由题意知两车速度相等时相距最远，设所用时间为t，汽车做初速度为零的匀加
速直线运动，所以v 汽＝at＝v 自，代入数据得t＝10 s
最远距离x＝x 自－x 汽＝v 自t－at2＝25 m.
(2)汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等，设汽车追上自行车所用时间为t′
此时x 自＝x 汽，即：v 自t′＝at′2.
代入数据得t′＝20 s．此时距停车线距离x′＝v 自t′＝100 m．此时汽车速度v 汽′＝at′＝
10 m/s.
15.答案 (1)9 m (2)4.2 s (3)6 m
解析 (1)甲做匀减速直线运动直至停止，
由v 甲
2＝2a 甲x 甲，得x 甲＝＝9 m.
(2)甲的运动时间为：t＝＝3 s
此过程中乙的位移：x 乙＝a 乙t2＝×1 m/s2×(3 s)2＝4.5 m<9 m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间：
t 乙＝＝≈4.2 s.
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a 乙t′＝v 甲－a 甲t′，得：t′＝2 s
在这2 s 内，甲的位移：
x 甲′＝v 甲t′－a 甲t′2＝8 m
乙的位移：x 乙′＝a 乙t′2＝2 m
二者间的最大距离：Δx＝x 甲′－x 乙′＝6 m.
16.答案 (1)6.5 m (2) m/s2
解析 (1)设经过时间t，甲追上乙，
根据题意有vt－＝s0
将v＝9 m/s，s0＝13.5 m 代入得t＝3 s
此时乙离接力区末端的距离为Δs＝L－＝6.5 m
(2)因为甲、乙的最大速度v 甲＞v 乙，
所以在完成交接棒时甲跑过的距离越长，成绩越好，故应在接力区的末端完成交接，且乙
达到最大速度v 乙，设乙的加速度为a，
加速的时间t1＝
乙在接力区的运动时间t＝
L＝at1
2＋v 乙(t－t1)
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联立以上各式，代入数据解得a＝ m/s2
17.答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)货车的速度为v1＝36 km/h＝10 m/s
警车所不能超过的速度为v m＝90 km/h＝25 m/s
警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1
时间两车的速度相等．则t1＝＝ s＝4 s
x 货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m
x 警＝at1
2＝×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离Δx＝x 货－x 警＝75 m
(2)当警车刚达到最大速度时，运动时间
t2＝＝ s＝10 s
x 货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m
x 警′＝at2
2＝×2.5×102 m＝125 m
因为x 货′＞x 警′，故此时警车尚未追上货车，且此时两车距离Δx′＝x 货′－x 警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt 时间追赶上货车，则Δt＝＝2 s，
所以警车发动后最快追上货车的时间为t＝t2＋Δt＝12 s.
18.答案 (1)5s (2)250m (3)20m
解析 (1)甲车从A 前
的地方以v0匀速运动到A 所需的时间为
所以甲车不能够匀速通过红绿灯，则甲会在到达A 之前做匀减速运动，甲车的刹车距离为
由题意可知甲车将在A 前方10m 开始减速，则甲车从A 前
的地方运动到A 的过程中匀
速运动的时间为
减速运动的时间为
解得甲车从A 前
的地方运动到A 所需要的时间为
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(2)A 变绿灯后，甲车开始做匀加速运动，此时乙车到A 灯的距离为
B 显示红灯还剩的时间为
乙车在8s 时间内继续前进的距离为
B 变绿灯后的10s 内，乙车在10s 时间内继续前进的距离为
此时乙车到B 灯的距离为
易知在之后B 灯20s 红灯时间内乙车无法匀速通过B，根据（1）题分析可知乙车在距B 前
方10m 处会开始减速。综上所述，乙车在A、B 之间匀速行驶的总时间为
甲车开始匀加速运动后，设经过时间t5与乙的速度相等，此时二者之间距离最大，且假设
此段时间内乙车一直匀速运动，则
假设成立，t5时间内甲车行驶的距离为
乙车行驶的距离为
所以甲、乙两车在A、B 之间的最大距离为
(3)将甲、乙两车的运动过程与对应B、C 灯的情况列表如下：
甲行驶5s 到A 灯
B 绿灯剩余6s
C 红灯剩余13s
甲等A 红灯18s
B 红灯剩余8s
C 绿灯剩余5s
甲匀加速行驶4s（行驶20m）
B 红灯剩余4s
C 绿灯剩余1s
甲匀速行驶4s（行驶40m）
B 绿灯剩余10s
C 红灯剩余17s
甲匀速行驶10s（行驶100m）
B 红灯剩余20s
C 红灯剩余7s
甲匀速行驶20s（行驶200m）
B 绿灯剩余10s
C 红灯剩余17s
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甲匀速行驶9s（行驶90m，到
达B 灯）
B 绿灯剩余1s
C 红灯剩余8s
甲直接通过B 灯，匀速行驶8s
（行驶80m）
——
C 绿灯剩余10s
甲匀速行驶4s，（行驶40m，
到达C 灯）
——
C 绿灯剩余6s
甲直接通过C 灯
——
——
乙到A 灯时
B 红灯剩余1s
C 红灯剩余18s
乙匀速行驶1s（行驶10m）
B 绿灯剩余10s
C 红灯剩余17s
乙匀速行驶10s（行驶100m）
B 红灯剩余20s
C 红灯剩余7s
乙匀速行驶20s（行驶200m）
B 绿灯剩余10s
C 红灯剩余17s
乙匀速行驶10s（行驶100m）
B 红灯剩余20s
C 红灯剩余7s
乙匀速行驶3s（行驶30m）
B 红灯剩余17s
C 红灯剩余4s
乙匀减速行驶2s（行驶10m，
到达B 灯）
B 红灯剩余15s
C 红灯剩余2s
乙等B 红灯15s
——
C 红灯剩余17s
乙匀加速行驶4s，（行驶
20m）
——
C 红灯剩余13s
乙匀速行驶9s（行驶90m）
——
C 红灯剩余4s
乙匀减速行驶2s（行驶10m，
到达C 灯）
——
C 红灯剩余2s
乙等C 红灯2s
——
——
由以上数据可知，甲、乙两车从开始到通过C 灯所用时间分别为
所以甲车刚通过C 时，乙车刚匀加速至v0，此时二者距离最近，为
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