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３ １８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§７．２ 简单的线性规划
简单的线性规划 学生用书Ｐ１１６ ｘ ｙ的最小值为 ．
＝３ －４
{ｘ ｙ ９． 答案 －１
＋ ≥４，
１．（２０２１全国乙文，５，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ 以下为教师用书专用（１—３５）
， － ≤２， ＝
ｙ ≤３， １．（２０１８ 天津，理 ２，文 ２，５ 分）设变量 ｘ ｙ 满足约束条件
ｘ ｙ的最小值为 ，
３ ＋ （ ） ì ï ｘ ＋ ｙ ≤５，
Ａ．１８ Ｂ．１０ Ｃ．６ Ｄ．４ ï ｘ ｙ
１． 答案 Ｃ í２ － ≤４，则目标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为
ï ｘ ｙ ＝３ ＋５ （ ）
{ｘ ｙ ï－ ＋ ≤１，
２．（２０２０浙江，３，４分）若实数ｘ ｙ满足约束条件 －３ ＋１≤０，则 îｙ
， ｘ ｙ ≥０，
＋ －３≥０，
ｚ ｘ ｙ的取值范围是 Ａ．６ Ｂ．１９ Ｃ．２１ Ｄ．４５
＝ ＋２ （ ） 答案 Ｃ 本题主要考查线性目标函数最值的求解．
Ａ．（－∞，４］ Ｂ．［４，＋∞） 由变量ｘ ｙ满足的约束条件画出可行域 如图阴影部分所示 ．
， （ ）
Ｃ．［５，＋∞） Ｄ．（－∞，＋∞）
２． 答案 Ｂ
ìｘ ｙ
ï ＋ －２≤０，
ïｘ ｙ
３．（２０１９天津，２，５分）设变量ｘ ｙ满足约束条件í － ＋２≥０，则
， ïｘ
ï ≥－１，
îｙ
≥－１，
目标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为
＝－４ ＋ （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６
３． 答案 Ｃ
{ｘ ｙ 作出基本直线ｌ ｘ ｙ 平移直线ｌ 当经过点Ａ 时 ｚ
－３ ＋４≥０， ０：３ ＋５ ＝０， ０， （２，３） ，
４．（２０１９浙江，３，４分）若实数ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则 取最大值 ｚ 故选 ．
， ３ － －４≤０， ， ｍａｘ＝３×２＋５×３＝２１， Ｃ
ｘ ｙ ２．（２０１７ 课 标 文， ５， ５ 分） 设 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件
ｚ ｘ ｙ的最大值是 ＋ ≥０， { ｘ ｙ Ⅲ ，
＝３ ＋２ （ ） ３ ＋２ －６≤０，
ｘ 则ｚ ｘ ｙ的取值范围是
Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ≥０， ＝ － （ ）
４． 答案 Ｃ ｙ
≥０，
５．（２０１９北京，５，５分）若ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 且ｙ 则 ｘ ｙ
， ｜ ｜≤１－ ， ≥－１， ３ ＋ Ａ．［－３，０］ Ｂ．［－３，２］ Ｃ．［０，２］ Ｄ．［０，３］
的最大值为 答案 Ｂ 由题意 画出可行域 如图中阴影部分所示 易
（ ） ， （ ），
知Ａ Ｂ ．
Ａ．－７ Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．７ （０，３）， （２，０）
５． 答案 Ｃ 由图可知 目标函数ｚ ｘ ｙ在点Ａ Ｂ处分别取得最小值与最
， ＝ － ，
６．（２０２０ 课标 ，文 １３，理 １３，５ 分）若 ｘ ｙ 满足约束条件 大值 ｚ ｚ
{ ｘ ｙ Ⅰ ， 故ｚ ， ｘ ｍｉｎ ｙ ＝ 的 ０ 取 －３ 值 ＝－ 范 ３ 围 ， ｍ 是 ａｘ＝２－０＝２ ．故 ， 选 ．
２ ＋ －２≤０， ＝ － ［－３，２］ Ｂ
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
－ －１≥０， ＝ ＋７
ｙ
＋１≥０，
６． 答案
１
７．（２０２０ 课标 ，文 １３，理 １３，５ 分）若 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅲ ，
{ｘ ｙ
＋ ≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
２ － ≥０， ＝３ ＋２
ｘ
７． 答 ≤ 案 １， {ｘ ＋３ ｙ ≤３，
７
{ｘ －２ ｙ －２≤０， ３．（２０１７课标 Ⅰ 文，７，５分）设ｘ ， ｙ满足约束条件 ｘ － ｙ ≥１， 则ｚ ＝
８．（２０１８课标 ，１３，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ ｙ
Ⅰ ， － ＋１≥０， ≥０，
ｙ ≤０， ｘ ＋ ｙ的最大值为 （ ）
ｘ ｙ的最大值为 ．
＝３ ＋２ Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
８． 答案 答案 Ｄ 本题考查简单的线性规划问题．
６
{ｘ ｙ 作出约束条件表示的可行域如图
－ ≥０， ：
９．（２０１７课标 ，１３，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ
Ⅲ ， ＋ －２≤０，
ｙ
≥０，
第七章 不等式 ３ １９
平移直线ｘ ｙ 可得目标函数ｚ ｘ ｙ在Ａ 处取得最大
＋ ＝０， ＝ ＋ （３，０）
值 ， 一 ｚ ｍａ 题 ｘ＝ 多 ３， 解 故选 由 Ｄ 约 ． 束条件求出三个交点的坐标（ ， ），（ ， ｘ 面 ２ ＋ 区 ｙ２ 域 表 内 示 的 平 点 面 Ａ 区 （３ 域 ，－ 内 １） 的 到 点 原 到 点 原 的 点 距 的 离 距 最 离 大 的 ， 所 平 以 方 ， ｘ２ 由 ＋ ｙ 图 ２ 易 的 知 最 平 大
３ ０ １
( ) 值是 故选 ．
１０， Ｃ
０ ）， ３ ，１ ，分别代入目标函数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙ，得到ｚ ｍａｘ＝３ ． 评析 本题考查了数形结合的思想方法．利用ｘ２ ＋ ｙ２ 的几何意
２ ２
{ ｘ ｙ 义是求解的关键．
２ － ≤０，
４．（２０１６北京理，２，５ 分）若 ｘ ｙ 满足 ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 的最大 ７．（２０１６浙江，３，５分）在平面上 过点Ｐ作直线ｌ的垂线所得的
，
ｘ
＋ ≤３， ２ ＋ ， {ｘ
≥０，
－２≤０，
值为 垂足称为点Ｐ在直线ｌ上的投影．由区域 ｘ ｙ 中的点在
（ ） ＋ ≥０，
ｘ ｙ
Ａ．０ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
－３ ＋４≥０
答案 Ｃ 画出可行域 如图中阴影部分所示 令ｚ ｘ ｙ 直线ｘ ｙ 上的投影构成的线段记为ＡＢ 则 ＡＢ
， ， ＝２ ＋ ， ＋ －２＝０ ， ｜ ｜＝ （ ）
则ｙ ｘ ｚ 当直线ｙ ｘ ｚ过点Ａ 时 ｚ最大 ｚ ．
＝－２ ＋ ， ＝－２ ＋ （１，２） ， ， ｍａｘ＝４ Ａ．２ ２ Ｂ．４ Ｃ．３ ２ Ｄ．６
故选 ． 答案 Ｃ 由不等式组画出可行域 如图中的阴影部分所
Ｃ ，
示．因为直线ｘ ｙ 与直线ｘ ｙ 平行 所以可行域内的
＋ －２＝０ ＋ ＝０ ，
点在直线ｘ ｙ 上的投影构成的线段的长 ＡＢ 即为 ＣＤ ．易
＋ －２＝０ ｜ ｜ ｜ ｜
得Ｃ Ｄ 所以 ＡＢ ＣＤ ２ ２
（２，－２）， （－１，１）， ｜ ｜＝｜ ｜＝ （２＋１） ＋（－２－１） ＝
．故选 ．
３ ２ Ｃ
思路分析 先画出可行域，再令ｚ ｘ ｙ并改写成斜截式，
＝２ ＋
找到令ｚ取最大值时的点，代入求值．
评析 本题考查简单的线性规划，属容易题．
５．（２０１６ 天津理， ２， ５ 分） 设变量 ｘ ｙ 满足约束条件
{ｘ ｙ ， {ｘ ｙ
－ ＋２≥０， ＋ －３≥０，
ｘ ｙ 则目标函数ｚ ｘ ｙ的最小值为 ８．（２０１６浙江，４，５分）若平面区域 ｘ ｙ 夹在两条斜率为
２ ＋３ －６≥０， ＝２ ＋５ （ ） ２ － －３≤０，
ｘ ｙ ｘ ｙ
３ ＋２ －９≤０， －２ ＋３≥０
的平行直线之间 则这两条平行直线间的距离的最小值是
Ａ．－４ Ｂ．６ Ｃ．１０ Ｄ．１７ １ ，
答案 Ｂ 由线性约束条件画出可行域 如图中阴影部分 ．
（ ） （ ）
３ ５ ３ ２
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ． Ｄ． ５
５ ２
答案 Ｂ 作出可行域如图．
当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ａ 时 ｚ 故选 ．
２ ＋５ － ＝０ （３，０） ， ｍｉｎ＝２×３＋５×０＝６， Ｂ
评析 本题考查了简单的线性规划问题，正确画出可行域是
求解的关键．
{ｘ ｙ
＋ ≤２，
６．（２０１６山东，４，５分）若变量ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则ｘ２ ｙ２ 的最
， ２ －３ ≤９， ＋
ｘ { ｘ ｙ
≥０， 由 ２ － －３＝０，得Ａ
大值是 ｘ ｙ （２，１），
（ ） ＋ －３＝０，
{ｘ ｙ
Ａ．４ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 由 ＋ －３＝０， 得Ｂ ．
答案 Ｃ 作出不等式组所表示的平面区域 如图 阴影部 ｘ ｙ （１，２）
， （ －２ ＋３＝０，
分 所示 斜率为 的平行直线ｌ ｌ 分别过Ａ Ｂ两点时它们之间的距离
） ， １ １，２ ，
最小．过Ａ 的直线ｌ ｙ ｘ 过Ｂ 的直线ｌ ｙ ｘ
（２，１） １： ＝ －１， （１，２） ２： ＝ ＋
此时两平行直线间的距离ｄ ２ ．故选 ．
１， ＝ ＝ ２ Ｂ
２
３ ２０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ｘ ｙ 原料的可用限额如下表所示．如果生产 吨甲 乙产品可获利
＋ －２≤０， １ 、
９．（２０１５重庆，１０，５分）若不等式组 ｘ ｙ 表示的平面区 润分别为 万元 万元 则该企业每天可获得最大利润为
＋２ －２≥０， ３ 、４ ，
ｘ ｙ ｍ
－ ＋２ ≥０ （ ）
域为三角形 且其面积等于 ４ 则ｍ的值为 甲 乙 原料限额
， ， （ ）
３
Ａ 吨
（ ） ３ ２ １２
４
Ａ．－３ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．３ Ｂ 吨
３ （ ） １ ２ ８
答案 Ｂ 如图 要使不等式组表示的平面区域为三角形
， ， 万元 万元 万元 万元
则 ｍ 即 ｍ 所围成的区域为 ＡＢＣ Ｓ Ｓ Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８
－２ ＜２， ＞－１， △ ， △ ＡＢＣ ＝ △ ＡＤＣ 答案 Ｄ 设该企业每天生产甲产品ｘ吨 乙产品ｙ吨 获
Ｓ ． ， ，
－ △ ＢＤＣ 利ｚ万元 则
，
ì ｘ ｙ
ï３ ＋２ ≤１２，
ïｘ ｙ
由题设可得í ＋２ ≤８， ｚ ｘ ｙ．
ïｘ ＝３ ＋４
ï ≥０，
îｙ
≥０，
画出可行域 图略 利用线性规划知识可求得 ｚ 故
（ ）， ｍａｘ＝１８，
选 ．
Ｄ
１３．（２０１４ 课标 理，９，５ 分，０．７９８）设 ｘ ｙ 满足约束条件
点Ａ的纵坐标为 ｍ 点Ｂ的纵坐标为 ２ ｍ Ｃ Ｄ两点的 Ⅱ ，
１＋ ， （１＋ ）， ， {ｘ ｙ
３ ＋ －７≤０，
横坐标分别为 ｍ ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为
２，－２ ， －３ ＋１≤０， ＝２ － （ ）
ｘ ｙ
所以Ｓ １ ｍ ｍ １ ｍ ２ ｍ ３ － －５≥０，
△ ＡＢＣ＝ （２＋２ ）（１＋ ）－ （２＋２ ）· （１＋ ）
２ ２ ３ Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．３ Ｄ．２
答案 Ｂ 由约束条件得可
１ ｍ ２ ４
＝ （１＋ ） ＝ ， 行域如图阴影部分所示． 由
３ ３
解得ｍ 舍去 或ｍ ． {ｘ ｙ
＝－３（ ） ＝１ ＋ －７＝０，得 Ａ ．当直线
故选 ． ｘ ｙ （５，２）
Ｂ {ｘ ｙ ｘ － ｙ ３ ＋ ｚ １ 过 ＝ 点 ０ Ａ时 ｚ ｘ ｙ取得
－ ≥０， ２ － ＝ ， ＝２ －
１０．（２０１５山东理，６，５分）已知ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 若ｚ 最大值．其最大值为 ．
， ＋ ≤２， ＝ ２×５－２＝８
ｙ ． 故选 ．
≥０ Ｂ
ａｘ
＋
ｙ的最大值为
４，
则ａ
＝ （ ）
方法总结 解决线性规划问题的一般步骤： 画出可行
①
Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－３ 域； 根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点，并
答案 Ｂ 作出可行域如图． ②
求出该点坐标； 求出目标函数的最大值或最小值．
③
１４．（２０１４ 课标 文，９，５ 分，０．７００）设 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅱ ，
{ｘ ｙ
＋ －１≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为
－ －１≤０， ＝ ＋２ （ ）
ｘ ｙ
－３ ＋３≥０，
． ．
Ａ８ Ｂ７
． ．
Ｃ２ Ｄ１
当ａ 时 显然ｚ ａｘ ｙ的最大值不为 当ａ 时 ｚ ｙ 答案 Ｂ 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分
① ＜０ ， ＝ ＋ ４；② ＝０ ， ＝
在Ｂ 处取得最大值 为 不符合题意 当 ａ 时 ｚ 所示
（１，１） ， １， ；③ ０＜ ＜１ ， ，
ａｘ ｙ在Ｂ 处取得最大值 ｚ ａ 故ａ 舍去
＝ ＋ （１，１） ， ｍａｘ＝ ＋１＝４， ＝３， ；
当ａ 时 ｚ ｘ ｙ 的最大值为 不符合题意 当 ａ
④ ＝１ ， ＝ ＋ ２， ；⑤ ＞１
时 ｚ ａｘ ｙ在Ａ 处取得最大值 ｚ ａ 得ａ 符
， ＝ ＋ （２，０） ， ｍａｘ＝２ ＝４， ＝２，
合题意．综上 ａ ．
， ＝２
１１．（２０１５ 福建文， １０， ５ 分） 变量 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ
＋ ≥０，
ｘ ｙ 若ｚ ｘ ｙ的最大值为 则实数ｍ等于
－２ ＋２≥０， ＝２ － ２，
ｍｘ ｙ ． ｚ ｚ ｚ
－ ≤０ 由ｚ ｘ ｙ 得ｙ １ ｘ 为直线ｙ １ ｘ 在ｙ轴上
＝ ＋２ ， ＝－ ＋ ， ＝－ ＋
（ ） ２ ２ ２ ２ ２
ｚ ｚ
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２ 的截距 ， 要使ｚ最大 ， 则需 最大 ， 所以当直线ｙ ＝－ １ ｘ ＋ 经
答案 Ｃ 当ｍ 时 约束条件所表示的平面区域是开放 ２ ２ ２
＜０ ， 过点Ｂ 时 ｚ最大 最大值为 故选 ．
的 目标函数ｚ ｘ ｙ无最大值 排除 当ｍ 时 目标 （３，２） ， ， ３＋２×２＝７， Ｂ
， ＝２ － ， Ａ，Ｂ， ＝２ ， １５．（２０１４ 课标 文，１１，５ 分，０．２３６）设 ｘ ｙ 满足约束条件
函数ｚ ｘ ｙ的最大值为 于是排除 故选 ． Ⅰ ，
＝２ － ０， Ｄ， Ｃ {ｘ ｙ ａ
１２．（２０１５陕西，理１０，文１１，５分）某企业生产甲 乙两种产品均 ＋ ≥ ， 且ｚ ｘ ａｙ的最小值为 则ａ
、 ｘ ｙ ＝ ＋ ７， ＝ （ ）
需用Ａ Ｂ两种原料．已知生产 吨每种产品所需原料及每天 － ≤－１，
， １
第七章 不等式 ３ ２１
． ．
Ａ －５ Ｂ３ １ １
． 或 ． 或 Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
Ｃ －５ ３ Ｄ５ －３ ４ ２
答案 Ｂ 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示 答案 Ｂ 由约束条件画出可行域 如图所示的 ＡＢＣ及
， （ △
(ａ ａ ) (ａ ａ ) 其内部
其中Ａ －１ ＋１ ．平移直线ｘ ａｙ 可知在点Ａ －１ ＋１ ），
， ＋ ＝０， ，
２ ２ ２ ２
处 ｚ取得最值
， ，
{ｘ
由 ＝１， 得Ａ ａ
ｙ ａ ｘ （１，－２ ），
＝ （ －３）
ａ ａ 当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ａ时 ｚ ｘ ｙ取得最小值 所以
因此 －１ ａ ＋１ 化简得ａ２ ａ ２ ＋ － ＝０ ， ＝２ ＋ ， １＝２×
＋ × ＝７， ＋２ －１５＝０，
２ ２ ａ 解得ａ １ 故选 ．
解得ａ 或 ａ 但 ａ 时 ｚ 取得最大值 故舍去 故 １－２ ， ＝ ， Ｂ
＝３ ＝－５， ＝－５ ， ， ， ２
选 ． 解题关键 根据约束条件准确画出可行域，从而经过平移确
Ｂ
解后反思 本题也可由排除法选出答案，当ａ 时，目 定直线ｚ ｘ ｙ过可行域内的点Ａ时ｚ 取得最小值是解题的
＝－５ ＝２ ＋
标函数无最小值，当ａ 时，可以判断出目标函数的最小值 关键．
＝３
为 ，所以选 ． １９．（２０１３湖北文，９，５分）某旅行社租用Ａ Ｂ两种型号的客车安
７ Ｂ 、
{ｘ ｙ 排 名客人旅行 Ａ Ｂ两种车辆的载客量分别为 人和
＋ －２≥０， ９００ ， 、 ３６ ６０
１６．（２０１４北京理，６，５分）若ｘ ｙ满足 ｋｘ ｙ 且ｚ ｙ ｘ的 人 租金分别为 元／辆和 元／辆 旅行社要求租车
， － ＋２≥０， ＝ － ， １６００ ２ ４００ ，
ｙ 总数不超过 辆 且 Ｂ 型车不多于 Ａ 型车 辆．则租金最
≥０， ２１ ， ７
最小值为 则ｋ的值为 少为
－４， （ ） （ ）
元 元 元 元
１ １ Ａ．３１２００ Ｂ．３６０００ Ｃ．３６８００ Ｄ．３８４００
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ． Ｄ．－ 答案 Ｃ 设旅行社租用Ａ型客车ｘ辆 Ｂ型客车ｙ辆 租
２ ２ ， ，
{ｙ ｘ ìｘ ｙ
答案 Ｄ 由 － ＝－４，得Ａ ． ï ＋ ≤２１，
ｙ （４，０） ïｙ ｘ
＝０ ï － ≤７，
金为ｚ元 则线性约束条件为í ｘ ｙ 目标函数为ｚ
， ï３６ ＋６０ ≥９００， ＝
ｘ
ïï ≥０，
îｙ
≥０，
ｘ ｙ．
１６００ ＋２４００
画出可行域
：
由图推测直线ｋｘ ｙ 必过Ａ 得ｋ １ 经验证符
－ ＋２＝０ （４，０）， ＝－ ，
２
合题目条件．故选 ．
Ｄ
１７．（２０１３ 课标 文，３，５ 分，０．６９３）设 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅱ ，
{ｘ ｙ
－ ＋１≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最小值是 当目标函数ｚ ｘ ｙ经过点Ａ 时 ｚ
ｘ
＋ －１≥０， ＝２ －３ （ ） ＝１６００ ＋
．选
２４０
．
０ （５，１２） ， ｍｉｎ＝１ ６００
≤３， ×５＋２４００×１２＝３６８００ Ｃ
２０．（２０１２课标，５，５ 分）已知正三角形 ＡＢＣ 的顶点 Ａ Ｂ
Ａ．－７ Ｂ．－６ Ｃ．－５ Ｄ．－３ （１，１），
答案 Ｂ 由约束条件得可行域 如图 当直线 ｘ ｙ ｚ 顶点Ｃ在第一象限 若点 ｘ ｙ 在 ＡＢＣ内部 则ｚ
（ ）， ２ －３ － ＝ （１，３）， ， （ ， ） △ ， ＝
过点Ａ 时 ｚ ．故选 ． ｘ ｙ的取值范围是
０ （３，４） ， ｍｉｎ＝２×３－３×４＝－６ Ｂ － ＋ （ ）
Ａ．（１－ ３，２） Ｂ．（０，２）
Ｃ．（ ３－１，２） Ｄ．（０，１＋ ３）
答案 Ａ 由题意知可行域为 ＡＢＣ 不含边界 ．
△ （ ）
１８．（２０１３课标 理，９，５分，０．７８８）已知ａ ｘ ｙ满足约束条件
Ⅱ ＞０， ，
{ｘ
≥１，
ｘ ｙ 若ｚ ｘ ｙ的最小值为 则ａ
＋ ≤３， ＝２ ＋ １， ＝ （ ）
ｙ ａ ｘ ． 当直线 ｘ ｙ ｚ 过点Ｃ 时 ｚ 当过点Ｂ
≥ （ －３） － ＋ － ＝０ （１＋ ３，２） ， ｍｉｎ＝１－ ３；
３ ２２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
时 ｚ ．故选 ．
（１，３） ， ｍａｘ＝２ Ａ
评析 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想．
正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键．
{ｘ ｙ
＋ ≥－１，
２１．（２０２０课标 文，１５，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
Ⅱ ， － ≥－１，
ｘ ｙ
２ － ≤１，
ｚ ｘ ｙ的最大值是 ．
＝ ＋２
答案
８
解析 作出约束条件表示的可行域 如图所示．由图可知直 当直线ｘ ｙ ｚ 经过点Ａ 时 ｚ ｘ ｙ取得最大值 最大
， ＋ － ＝０ （５，４） ， ＝ ＋ ，
线ｚ ｘ ｙ 过点Ａ 时 ｚ 取得最大值 最大值为 值为 ．
＝ ＋２ （２，３） ， ， ２＋２×３ ９
． ２４．（２０１８ 课标 文，１５，５ 分）若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
＝８ Ⅲ ，
{ ｘ ｙ
２ ＋ ＋３≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ １ ｙ的最大值是 ．
－２ ＋４≥０， ＝ ＋
ｘ ３
－２≤０，
答案
３
解析 本题考查简单的线性规划．
解法一 根据约束条件作出可行域 如图所示．
： ，
２２．（２０１９ 课标 文，１３，５ 分）若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅱ ，
{ ｘ ｙ
２ ＋３ －６≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值是 ．
＋ －３≤０， ＝３ －
ｙ
－２≤０，
答案
９
解析 本题考查简单的线性规划问题 以二元一次不等式
；
组作为约束条件考查学生数形结合思想及运算求解能力 考
；
查数学运算的核心素养． ｚ ｘ １ ｙ可化为ｙ ｘ ｚ．
＝ ＋ ＝－３ ＋３
作出可行域 如图阴影部分所示 ． ３
（ ） 求ｚ的最大值可转化为求直线ｙ ｘ ｚ纵截距的最大值
＝－３ ＋３ ，
显然当直线ｙ ｘ ｚ过Ａ 时 纵截距最大
＝－３ ＋３ （２，３） ， ，
故ｚ １ ．
ｍａｘ＝２＋ ×３＝３
３
解法二 画出可行域 如上图 由图知可行域为三角形区域
： （ ）， ，
易求得顶点坐标分别为 将三点坐
（２，３），（２，－７），（－２，１），
标代入 可知ｚ １ ．
， ｍａｘ＝２＋ ×３＝３
３
２５．（２０１８北京，理１２，文１３，５分）若ｘ ｙ满足ｘ ｙ ｘ 则 ｙ
， ＋１≤ ≤２ ， ２
易得Ａ Ｂ Ｃ ． ｘ的最小值是 ．
（３，０）， （１，２）， （０，２） －
将ｚ ｘ ｙ 化为 ｙ ｘ ｚ 由图知 当直线 ｙ ｘ ｚ 经过点 答案
＝３ － ＝３ － ， ， ＝３ － ３
Ａ 时 截距 ｚ取得最小值 从而ｚ取得最大值． 解析
（３，０） ， － ，
ｚ ．
ｍａｘ＝３×３＝９
易错警示 因为目标函数中ｙ的系数为负值，所以容易理
解为在点Ｃ处取得最大值，导致错误．
２３．（２０１８ 课标 理， １４， ５ 分） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅱ ，
{ｘ ｙ
＋２ －５≥０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
－２ ＋３≥０， ＝ ＋
ｘ
－５≤０，
答案
９
解析 本题考查简单的线性规划．
由线性约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 ．
（ ）
第七章 不等式 ３ ２３
本题主要考查简单的线性 {ｘ ｙ
－ ＋１≥０，
规划问题． ２８．（２０１６课标 ，１４，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ
Ⅱ ， ＋ －３≥０，
由ｘ ｙ ｘ 作出可行 ｘ
＋１≤ ≤２ －３≤０，
域 如图中阴影部分所示． ｘ ｙ的最小值为 ．
， ＝ －２
答案
设ｚ ｙ ｘ 则 ｙ １ ｘ －５
＝２ － ， ＝ ＋ 解析 解法一 由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所
２ ： ，
示 包括边界 ．当直线ｘ ｙ ｚ 过点Ｂ 时 ｚ取得最小
１ ｚ （ ） －２ － ＝０ （３，４） ，
，
２ 值 ｚ ．
， ｍｉｎ＝３－２×４＝－５
当直线ｙ １ ｘ １ ｚ过Ａ 时 ｚ取得最小值 ．
＝ ＋ （１，２） ， ３
２ ２
方法总结 解决简单的线性规划问题的方法
先利用线性约束条件作出可行域，然后利用变形后的目标函
数所对应的直线找到最优解，从而求得最值．
{ｘ ｙ
－ ≥０，
２６．（２０１８浙江，１２，６分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则ｚ ｘ
， ２ ＋ ≤６， ＝
ｘ ｙ
＋ ≥２， 解法二 易知可行域为封闭区域 所以线性目标函数的最值
ｙ的最小值是 最大值是 ． ： ，
＋３ ， 在交点处取得 易求得交点分别为 依
答案 ， （３，４），（１，２），（３，０），
－２；８
次代入目标函数可求得ｚ ．
由
解
约
析
束 条
本
件
小
得
题
可
考
行
查
域
简
是
单
以
的
Ａ （
线
１，
性
１）
规
，
划
Ｂ （
．
２，２）， Ｃ （４，－２） 为顶点
ｍｉｎ＝－５
{ ２ ｘ － ｙ ＋１≥０，
２９．（２０１６课标 ，１３，５分）设ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
的三角形区域 含边界 如图． Ⅲ ， －２ －１≤０，
（ ），
ｘ
≤１，
ｚ ｘ ｙ 的最小值为 ．
＝２ ＋３ －５
答案
－１０
解析 可行域如图所示 包括边界 直线 ｘ ｙ 与ｘ
（ ）， ２ － ＋１＝０ －
ｙ 相交于点 当目标函数线过 时 ｚ
２ －１＝０ （－１，－１）， （－１，－１） ，
取最小值 ｚ ．
， ｍｉｎ＝－１０
ｚ
当直线ｙ １ ｘ 过点Ｃ 时 ｚ ｘ ｙ 取得最小值
＝－ ＋ （４，－２） ， ＝ ＋３
３ ３
过点Ｂ 时 ｚ ｘ ｙ取得最大值 ．
－２， （２，２） ， ＝ ＋３ ８
思路分析 （ ）作出可行域，并求出顶点坐标．
１
（ ）平移直线ｙ １ ｘ，当在ｙ轴上的截距最小时，ｚ ｘ ｙ取
２ ＝－ ＝ ＋３
３
得最小值，当在ｙ轴上的截距最大时，ｚ ｘ ｙ取得最大值．
＝ ＋３
２７．（２０１６ 课标 理， １３， ５ 分） 若 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅲ ，
{ｘ ｙ {ｘ ｙ
－ ＋１≥０， ＋ －５≤０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ． ３０．（２０１５课标 ，１４，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则
－２ ≤０， ＝ ＋ Ⅱ ， ２ － －１≥０，
ｘ ｙ ｘ ｙ
＋２ －２≤０， －２ ＋１≤０，
ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
答案 ３ ＝２ ＋
答案
２ ８
解析 由题意画出可行域 如图所示 其中Ａ 解析 由约束条件画出可行域 如图所示 ．解方程组
（ ）， （－２，－１）， （ ）
( ) {ｘ ｙ
Ｂ １ Ｃ 由ｚ ｘ ｙ知ｙ ｘ ｚ 当直线ｙ ｘ ｚ过 ＋ －５＝０，得Ａ ．当动直线 ｘ ｙ ｚ 经过点Ａ
１， ， （０，１）， ＝ ＋ ＝－ ＋ ， ＝－ ＋ ｘ ｙ （３，２） ２ ＋ － ＝０ （３，２）
２ －２ ＋１＝０
( )
时 ｚ ．
点Ｂ
１，
１ 时
，
ｚ取最大值 ３ ． ， ｍａｘ＝２×３＋２＝８
２ ２
评析 本题主要考查简单的线性规划，常用数形结合法求 评析 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的思想
解，理解目标函数ｚ的几何意义是解题关键． 方法．
３ ２４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ｘ ｙ 由ｚ ｘ ｙ 得ｙ ｘ ｚ． ｚ的几何意义是直线ｙ ｘ ｚ在ｙ轴
＋ －２≤０， ＝２ － ， ＝２ － － ＝２ －
３１．（２０１５课标 ，１５，５分）若ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则 上的截距 要使ｚ最大 则 ｚ最小 所以当直线ｙ ｘ ｚ过点
Ⅰ ， －２ ＋１≤０， ， ， － ， ＝２ －
ｘ ｙ Ａ 时 ｚ最大 最大值为 ．
２ － ＋２≥０， （３，３） ， ， ２×３－３＝３
ｚ ｘ ｙ的最大值为 ． ìｘ ｙ
＝３ ＋ ï － ≥－１，
答案 ïｘ ｙ
４ ３４．（２０１２课标理，１４，５分）设ｘ ｙ满足约束条件í ＋ ≤３， 则ｚ
解析 由线性约束条件画出可行域 如图． ， ïｘ
， ï ≥０，
îｙ
≥０，
ｘ ｙ的取值范围为 ．
＝ －２
答案
［－３，３］
解析 由不等式组画出可行域 如图所示 ．
（ ）
{ｘ ｙ {ｘ
解方程组 ＋ －２＝０，得 ＝１，即 Ａ点坐标为 ．当动直
ｘ ｙ ｙ （１，１）
－２ ＋１＝０ ＝１，
线 ｘ ｙ ｚ 经过点Ａ 时 ｚ取得最大值 ｚ
３ ＋ － ＝０ （１，１） ， ， ｍａｘ＝３×１＋１
．
＝４
{ｘ ｙ
＋ －２≥０，
３２．（２０１４安徽，１３，５分）不等式组 ｘ ｙ 表示的平面区域
＋２ －４≤０， 当直线ｘ ｙ ｚ 过点Ｂ 时 ｚ
ｘ ｙ －２ － ＝０ （１，２） ， ｍｉｎ＝－３；
＋３ －２≥０ 过点Ａ 时 ｚ ．
的面积为 ． （３，０） ， ｍａｘ＝３
ｚ ｘ ｙ的取值范围是 ．
答案 ∴ ＝ －２ ［－３，３］
４ 评析 本题考查了简单线性规划知识；考查了数形结合的思
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
想方法．
{ｘ ｙ {ｘ
由 ＋３ －２＝０，得 ＝８， ３５．（２０１１ 课标文，１４，５ 分） 若变量 ｘ ｙ 满足约束条件
ｘ ｙ ｙ ． ，
＋２ －４＝０ ＝－２ { ｘ ｙ
Ａ Ｂ Ｃ ． ３≤２ ＋ ≤９，则ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
∴ （０，２）， （２，０）， （８，－２） ｘ ｙ ＝ ＋２
６≤ － ≤９，
答案
－６
解析 画出约束条件所表示的平面区域 如图阴影部分所示
， ：
直线ｘ ｙ 与ｘ轴的交点Ｄ的坐标为 ．
＋２ －４＝０ （４，０）
因此Ｓ Ｓ Ｓ １ １ ．故答案为 ．
△ ＡＢＣ＝ △ ＡＢＤ＋ △ ＢＣＤ＝ ×２×２＋ ×２×２＝４ ４
２ ２
３３．（２０１３ 课标 ，１４，５ 分，０．６６０） 设 ｘ ｙ 满足约束条件
Ⅰ ，
{ ｘ
１≤ ≤３， 则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
ｘ ｙ ＝２ － 当目标函数表示的直线经过点Ａ 时 ｚ有最小值 ｚ
－
答
１≤
案
－ ≤０，
．
（４，－５） ， ， ｍｉｎ＝
３ ４＋２×（－５）＝－６
解析 可行域为如图所示的阴影部分 失分警示 本题易将平面区域画错或者将目标函数表示
，
的直线的斜率看成 １ 而致错．
２
评析 本题考查线性规划问题，正确作图是得分的前提．
学生用书Ｐ１１６
表示直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 某一侧所有点组成的平面区域．我们把直
＋ ＋ ＝０
考点 简单的线性规划
线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不
等式Ａｘ Ｂｙ Ｃ 所表示的平面区域时 此区域包括边界直线
１．二元一次不等式表示的平面区域 ＋ ＋ ≥０ ， ，
则把边界直线画成实线．
一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式Ａｘ Ｂｙ Ｃ
， ， ＋ ＋ ＞０
第七章 不等式 ３ ２５
对于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 同一侧的所有点 把坐标 ｘ ｙ 代入 -@
＋ ＋ ＝０ ， （ ， ）
Ａｘ Ｂｙ Ｃ中 所得实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一
＋ ＋ ， ， 如果目标函数只存在一个最优解 那么最优解通常
侧取一个特殊点 ｘ ｙ 由Ａｘ Ｂｙ Ｃ的正负即可判断Ａｘ Ｂｙ （１） ，
（ ０， ０）， ０＋ ０＋ ＋ 在可行域的顶点处取得 如果目标函数存在多个最优解 那么
Ｃ 表示直线哪一侧的平面区域． ； ，
＋ ＞０ 最优解通常在可行域的边界取得．
说明 直线同侧同号 异侧异号．
： ， 最优解不一定唯一．
２．二元一次不等式表示的平面区域的判断方法 （２）
方法 特殊点法
１
只需在直线的某一侧任取一点 ｘ ｙ 根据Ａｘ Ｂｙ Ｃ的正
（ ０， ０）， ０＋ ０＋
负即可判断Ａｘ Ｂｙ Ｃ 或 表示直线的哪一侧区域．若直线不过 ＋ ＋ ＞０（ ＜０）
原点 即Ｃ 常把原点 作为特殊点．若直线经过原点 即Ｃ
（ ≠０）， （０，０） （
常选 等特殊点代入判断．
＝０）， （１，０），（－１，０），（０，１），（０，－１）
方法 一般式（Ａ ），大为右，小为左 ２ ＞０
当Ａ 时 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 表示直线右方区域 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 表
＞０ ， ＋ ＋ ＞０ ； ＋ ＋ ＜０
示直线左方区域．
方法 一般式，“同”为上，“异”为下
３
观察Ｂ的符号与不等式的符号 若Ｂ的符号与不等式的符
，
号 相同 则表示直线上方的区域 若Ｂ的符号与不等式的符号
“ ”， ；
相异 则表示直线下方的区域．
“ ”，
３．线性规划的有关概念
名称 意义
约束条件 由变量ｘ ｙ组成的不等式 组
， （ ）
线性约束条件 由变量ｘ ｙ组成的一次不等式 组
， （ ）
目标函数 关于ｘ ｙ的函数解析式
，
线性目标函数 关于ｘ ｙ的 一次函数解析式
， ①
可行解 满足约束条件的解 ｘ ｙ
（ ， ）
可行域 所有 可行解组成的集合
②
最优解 使目标函数取得 最大值或最小值的可行解
③
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最
线性规划问题
小值问题
４．常见的目标函数
ａ
截距型 形如ｚ ａｘ ｂｙ ｂ 可以转化为 ｙ ｘ （１） ： ＝ ＋ （ ≠０）， ＝－ ｂ ＋
ｚ
利用直线在ｙ轴上的截距大小确定目标函数的最值
ｂ ， ；
点到点的距离型 形如ｚ ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ 表示区域内 （２） ： ＝（ － ） ＋（ － ） ，
的动点 ｘ ｙ 与定点 ａ ｂ 的距离的平方
（ ， ） （ ， ） ；
ｙ ｂ
斜率型 形如 ｚ － 表示区域内的动点 ｘ ｙ 与定点
（３） ： ＝ｘ ａ， （ ， ）
－
ａ ｂ 连线的斜率
（ ， ） ；
点到直线的距离型 形如ｚ Ａｘ Ｂｙ Ｃ 表示区域内的
（４） ： ＝｜ ＋ ＋ ｜，
动点 ｘ ｙ 到直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 的距离的 Ａ２ Ｂ２倍．
（ ， ） ＋ ＋ ＝０ ＋
学生用书Ｐ１１７
目标函数最值（范围）问题的求解方法 { ｘ ｙ
２ － ≤０，
１．线性目标函数的最值（范围）问题的求解方法 例 若变量ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 则 ｘ ２
（１） ， ＋ －３≤０， （ －１） ＋
方法 图解法（常用方法） ｘ
１ ≥０，
用图解法求目标函数ｚ ａｘ ｂｙ的最值的步骤 ｙ２ 的最小值为
＝ ＋ ： （ ）
４ ２ ５ ５
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５
（２０１７ 课标 ，１４，５ 分） 设 ｘ ｙ 满足约束条件
（２） Ⅰ ，
{ｘ ｙ
＋２ ≤１，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最小值为 ．
２ ＋ ≥－１， ＝３ －２
ｘ ｙ
－ ≤０，
方法 界点定值法 解题思路
２
当目标函数和约束条件都是线性的 且对应目标函数的最
， （１） 先画出可行域 ， 然后确定ｚ ＝（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ 的几何意义为
优解是可行域所对应图形的边界或顶点时 要求目标函数的最
区域内的点到定点 的距离的平方 最后数形结合确定最小
，
（１，０） ，
值只要把可行域的几个顶点的坐标代入 通过对比目标函数的
，
值位置 由点到直线距离公式计算可得．
，
对应取值
，
即可得到最值．
（２） 思路一 ： 先画出可行域 ， 然后平移直线 ３ ｘ －２ ｙ ＝０， 最后由
２．有关非线性目标函数的问题的解决思路
ｚ与截距的关系得最优解位置 计算即可．
，
将非线性目标函数进行转化变形 直到可以看出其所表示 思路二 先求出可行域的顶点坐标 然后分别计算出顶点处
， ： ，
的几何意义为止 从而利用几何意义解题． 的目标函数值 通过比较大小得到ｚ的最小值．
， ，
３ ２６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ ｘ ｙ 答案 Ｂ
２ － ≤０， （１） （２）－５
解析 画出约束条件 ｘ ｙ 表示的可行域 如图 {ｘ ｙ
（１） ＋ －３≤０， ， －２ ＋１≥０，
ｘ １－１ 已知实数ｘ ｙ满足 ｘ 则ｚ ｘ ｙ 的取
≥０ ， ＜２， ＝｜２ －２ －１｜
中阴影部分所示． ｘ ｙ
＋ －１≥０，
设ｚ ｘ ２ ｙ２ 则其几何意义是区域内的点到定点 值范围是
＝（ －１） ＋ ， （１，０） （ ）
的距离的平方 由图知点 到直线 ｘ ｙ 的距离最小 [ ] [ )
， （１，０） ２ － ＝０ ， ５ ５
Ａ． ，５ Ｂ．［０，５） Ｃ．［０，５］ Ｄ． ，５
点 到直线 ｘ ｙ 的距离ｄ ｜２×１－０｜ ２ ３ ３
（１，０） ２ － ＝０ ＝ ＝ ， １－１． 答案 Ｂ
２
２
＋（－１）
２
５ {ｘ ｙ ｘ ｙ
则ｚ ｍｉｎ＝ ｄ２ ＝
５
４ ， 所以 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ 的最小值为 ４
５
． １－２ 已知实数ｘ ， ｙ满足
｜
－ ｘ
｜
２
－
ｙ ＋
－
１
１
≥
≤
０
０
，
，
则ｚ ＝ ２ ＋ ｘ ＋２的取值
故选 ． 范围为
Ｂ （ ）
[ ] [ )
１０ １０
Ａ． ０， Ｂ．（－∞，２］∪ ，＋∞
３ ３
[ ] [ )
１０ １０
Ｃ． ２， Ｄ．（－∞，０］∪ ，＋∞
３ ３
１－２． 答案 Ｄ
{ｘ
≥０，
１－３ 当实数ｘ ｙ满足不等式组 ｙ 时 恒有ａｘ ｙ
、 ≥０， ， ＋ ≤３
ｘ ｙ
解法一 图解法 由约束条件作出可行域 如图中阴 ２ ＋ ≤２
（２） （ ）： ， 成立 则实数ａ的取值范围为
影部分所示． ， （ ）
ａ ａ
平移直线 ｘ ｙ 可知 目标函数ｚ Ａ． ≤０ Ｂ． ≥０
３ －２ ＝０ ， ａ ａ
ｘ ｙ 在 Ａ 点 处 取 最 小 值 由 Ｃ．０≤ ≤２ Ｄ． ≤３
＝ ３ － ２ ， １－３． 答案 Ｄ
{ｘ ｙ {ｘ
＋２ ＝１，解得 ＝－１，即Ａ 所以 １－４ 某高科技企业生产产品 和产品 需要甲 乙两种新
ｘ ｙ ｙ （－１，１）， Ａ Ｂ 、
２ ＋ ＝－１ ＝１， 型材料．生产一件产品 需要甲材料 ． 乙材料 用 个
ｚ ． Ａ １５ ｋｇ， １ ｋｇ， ５
ｍｉｎ＝３×
解
（－
法
１）－
二
２×１
界
＝－
点
５
定 值 法 由 题 意 知 约 束 条 件
工时
；
生产一件产品
Ｂ
需要甲材料
０
．
５ ｋｇ，
乙材料
０
．
３ ｋｇ，
用
３
个
（ ）： ， 工时．生产一件产品 的利润为 元 生产一件产品 的利润
{ｘ ｙ Ａ ２１００ ， Ｂ
＋２ ≤１， 为 元．该企业现有甲材料 乙材料 则在不超过
ｘ ｙ 所表示的平面区域为三角形及其内部 其顶点分别 ９００ １５０ ｋｇ， ９０ ｋｇ，
２ ＋ ≥－１， ， 个工时的条件下 生产产品 产品 的利润之和的最大值
ｘ ｙ ６００ ， Ａ、 Ｂ
－ ≤０ 为 元．
( ) ( )
为 １ １ １ １ ．将三点的坐标分别代入 ｚ １－４． 答案
（－１，１）， － ，－ ， ， ＝ ２１６０００
３ ３ ３ ３
ｘ ｙ 得ｚ ．
３ －２ ， ｍｉｎ＝－５
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１１８
简单的线性规划 标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为 则实数ａ
＝ ＋２ １２， ＝ （ ）
１．（２０２０湖南长郡中学第二次适应性考试，６）已知实数ｘ ｙ满足 Ａ．１２ Ｂ．－１２ Ｃ．４ Ｄ．－４
{ｘ ｙ ， ２． 答案 Ｂ
－ ≥０， ３．（２０２０湖南长郡中学第二次适应性考试，１３）已知实数ｘ ｙ满足约束
不等式组 ｘ ｙ 则点 ｘ ｙ 构成平面区域的面积是 ，
２ ＋ ≤６， （ ， ） （ ） {ｙ
ｘ ｙ ≤２，
＋ ≥２， 条件 ｘ ｙ 若ｚ ｘ ｔｙ ｔ 的最大值为 则实数ｔ ．
＋ ≥１， ＝ ＋ （＞０） １１， ＝
５ ３ ｙ ｘ ．
Ａ．３ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ． ≥２（ －２）
１． 答案 Ａ
２ ２ ３． 答案
４
{ｘ ｙ
＋ －３≥０，
２．（２０２１广东珠海一模，６）变量ｘ ｙ满足约束条件 ｘ ｙ 若目
， － ≥０，
ｘ ｙ ａ
４ － ＋ ≤０，
第七章 不等式 ３ ２７
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１１８ ２０分钟 ３０分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） {ｘ２ ｙ２
形中 阴影部分可以用不等式组 ＋ ≤４， 表
１．（２０２０ 湖北八校第二次联考，７） 已知点 Ｐ 为不等式组 ， ｘ ｘ２ ｙ ｘ ２
｛ ＋［ －ｓｇｎ（ ）］ －１｝≥０
{ ｘ ｙ 示的是
３ － ≥０， （ ）
ｘ ｙ 所表示的可行域内任意一点 点Ａ Ｏ为
＋ －２≤０， ， （－１， ３），
ｙ
≥０
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｐ
坐标原点 则 · 的最大值为
， （ ）
Ｏ→Ｐ
｜ ｜
１
Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．
２ Ａ Ｂ
１． 答案 Ｂ
２．（２０２１百校大联考第６次联考，１１）若实数ｘ ｙ满足不等式组
，
{ｘ ｙ
－ ＋２≥０，
ｘ ｙ 则 ｘ ｙ的最大值为
＋ －４≤０， ４ ＋８ （ ）
ｘ ｙ
－３ ＋３≤０，
Ａ．２８ Ｂ．２３ Ｃ．４ Ｄ．１
２． 答案 Ａ Ｃ Ｄ
４． 答案 Ｂ
３．（２０２１东北三校（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验）联
{ｘ ｙ 二、填空题（每小题５分，共１０分）
＋ ≤１，
考，４）若实数ｘ ｙ 满足约束条件 ｘ ｙ 则 ｚ ｘ ｙ 的最大 ５．（２０２１ 福建福州一中期中，１４）设变量 ｘ ｙ 满足约束条件
， － ≤１， ＝ －３ ，
ｘ {ｘ ｙ
≥０， － ≥－１，
值是 ｘ ｙ 则目标函数ｚ ｘ ｙ的最大值为 ．
（ ） ＋ ≤４， ＝ ＋２
ｙ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ≥２，
３． 答案 Ｂ
５． 答案 １３
４．（２０２１河北张家口期末，８）太极图被称为 中华第一图 ．从孔
“ ” ２
庙大成殿梁柱 到老子楼观台 三茅宫 白云观的标记物 到中 ６．（２０２１江苏宿迁模拟，１５）以点 Ｃ 为圆心作圆 过点 Ｐ
， 、 、 ， （－１，２） ，
医 气功 武术及中国传统文化的书刊封面 会徽 会标 这种 作圆Ｃ的切线 切线长为 直线ＯＰ 其中Ｏ为坐标原
、 、 、 、 ， （２，４） ， ２， （
广为人知的太极图 其形状如阴阳两鱼互纠在一起 因而也被 点 交圆Ｃ于Ａ Ｂ 两点 当点 Ｍ ｘ ｙ 在优弧 ＡＢ 上运动时
， ， ） ， ， （ ， ） ，
{ ｘ ｘ ｙ ｘ ｙ的最大值为 ．
１， ＞０， ｜ －２ －１｜＋２ －
称为 阴阳鱼太极图 ．已知函数 ｘ ｘ 则以下图 ６． 答案
“ ” ｓｇｎ（ ）＝ ０， ＝０， ２＋３ ２
ｘ
－１， ＜０，
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ２．（２０２１河南中原名校联盟４ 月联考，８）设 ｘ ｙ 满足约束条件
，
{ｘ ｙ {ｘ ｙ
＋２≥ ， － ＋２≥０，
１．（２０２１四川南充二模，６）已知实数ｘ ｙ满足 ｘ 若ｚ ｘ ｘ ｙ 若ｚ ａｘ ｙ取得最大值的最优解不唯一 则实数
， ≤２， ＝ ＋ ＋２ －６≤０， ＝ ＋ ，
ｙ ． ｘ ｙ
－１≥０ －２ ≤０，
ｍｙ ｍ 的最大值为 则ｍ ａ的值是
（ ＞０） １０， ＝ （ ） （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １ １ 或 １ 或
答案 Ｂ 在平面直角坐标系 Ａ． Ｂ．－１ Ｃ． －１ Ｄ．－ １
２ ２ ２
中 作出可行域 如图中阴影部分 答案 Ｃ 画出可行域 如图中阴
， ， （
{ｘ 影部分 由ｚ ａｘ ｙ 得ｙ ａｘ ｚ 所
所示 由 ＝２， 解得Ａ ｚ ）， ＝ ＋ ， ＝－ ＋ ，
， ｘ ｙ （２，４）， ＝ 以ｚ的几何意义是直线ｙ ａｘ ｚ在
＋２＝ ， ＝－ ＋
ｚ ｙ轴上的截距．ｚ 取最大值时的最优
ｘ ｍｙ ｍ 可化为ｙ １ ｘ
＋ （ ＞０） ＝－ｍ ＋ｍ， 解不唯一 则直线ｙ ａｘ ｚ与直线ｘ
， ＝－ ＋
ｚ
由图可知 当直线ｙ １ ｘ 过点Ａ时 直线在ｙ轴上的截距 ｙ 平行或与直线ｘ ｙ 平行 ａ 或 ａ １
， ＝－ｍ ＋ｍ ， － ＋２＝０ ＋２ －６＝０ ，∴ － ＝１ － ＝－ ，
２
最大 ｚ取得最大值 即 ｍ 解得ｍ 故选 ．
， １０， ２＋４ ＝１０， ＝２， Ｂ ａ 或ａ １ ．
∴ ＝－１ ＝
２
３ ２８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
３．（２０２１ 河南安阳二模， ８） 已知 ｘ ｙ 满 足 约 束 条 件
，
{ｘ ｙ
＋２ －４≤０，
ｘ ｙ 则ｚ ａｘ ｙ ａ为常数 且 ａ 的最大值为
２ － ＋２≤０， ＝ ＋ （ ， １＜ ＜３）
ｘ ｙ
３ ＋ ＋３≥０，
（ ）
ａ ａ ａ
Ａ．－ Ｂ．２ Ｃ．－２ ＋３ Ｄ．２
答案 Ｄ 画出约束条件所表示的平面区域 如图中阴影部
，
分所示 ｚ ａｘ ｙ可化为ｙ ａｘ ｚ 结合图可知 直线ｙ ａｘ ｚ
， ＝ ＋ ＝－ ＋ ， ， ＝－ ＋ 由ｚ ｘ ｙ得ｙ ｘ ｚ 画出ｙ ｘ 的图象 如图 为折线．
过直线 ｘ ｙ 与直线ｘ ｙ 的交点Ａ 时 ｚ取 ＝２｜ ｜－ ＝２｜ ｜－ ， ＝２｜ ｜ ， ，
２ － ＋２＝０ ＋２ －４＝０ （０，２） ， 当该折线沿ｙ轴向上平移经过点 时 ｚ取最大值 为
得最大值 ｚ ． （０，１） ，－ ， １；
， ｍａｘ＝０＋２＝２ ( )
当该折线沿ｙ轴向下平移经过点Ｃ ９ 时 ｚ取最小值
，－１ ，－ ，
２
为 所以 ｚ 从而 ｚ
－１０， －１０≤－ ≤１， －１≤ ≤１０，
故选 ．
Ａ
易错警示 本题考查的是简单的线性规划，属于易错题目．
平面区域的最值问题是线性规划问题中的一类重要题型，在
解题时，关键是正确画出平面区域，分析表达式的几何意义，
然后数形结合，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求
４．（２０２１安徽合肥二模，１１）已知ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ －ｅ － ｘ －ｓｉｎ ２ ｘ ， 单调递增 出答案．要注意发现目标函数的几何意义，主要有两点间连线
等差数列 ａ 满足ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ 则ａ 的
｛ ｎ｝ （ ２－３）≤０， （４ １）＋（７－ ２）≥０， ３ 的斜率，两点间距离，平行直线系的截距变化等，画图时注意
取值范围是
（ ） 边界的实虚．
Ａ．（０，３］ Ｂ．（０，７） { ｘ ｙ
( ] ( ] ３ ＋ －３≥０，
７ ７ ６．（２０２１山西太原一模，８）已知实数ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则ｚ
Ｃ． － ，３ Ｄ． － ，７ ， ２ ＋３ －９≤０，
３ ３ ｘ ｙ
答案 Ｄ 因为ｆ ｘ ｘ － ｘ ｘ 所以ｆ ′ ｘ ｘ － ｘ －２ －１≤０，
（ ）＝ｅ －ｅ －ｓｉｎ ２ ， （ ）＝ｅ ＋ｅ － ｘ ｙ
ｘ 所以ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 又ｆ ｘ － ｘ ｘ ２ ＋ －３的取值范围是
２ｃｏｓ２ ≥０， （ ） ， （－ ）＝ｅ －ｅ －ｓｉｎ ＝ ｘ （ ）
ｘ ｘ － ｘ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 是奇函数 由ｆ ａ －２
（－２ ）＝－（ｅ －ｅ －ｓｉｎ２ ）＝－（ ）， （ ） ， （ ２
ｆ 可得 ａ 由 ｆ ａ ｆ ａ 知 ｆ Ａ．（－∞，１］∪（２，４］ Ｂ．［１，２）∪（２，４］
－３）≤０＝ （０）， ２－３≤０， （４ １）＋ （７－ ２）≥０，
ａ ｆ ａ ｆ ａ 可得 ａ ａ 设 ａ 的公差 Ｃ．［１，２）∪［４，＋∞） Ｄ．（－∞，１］∪［４，＋∞）
（４ １）≥－（７－ ２）＝ （
{ａ
２－７
ｄ
）， ４ １≥ ２－７， ｛ ｎ｝ 答案 Ｄ 本题主要考查简单的线性规划问题
，
考查的学科
１＋ －３≤０， 素养是理性思维．
为ｄ 则有ａ ａ ｄ ａ ｄ 画出不等式组对应的可行
， ３＝ １＋２ ， ３ １－ ＋７≥０，
ｚ ２
ｘ
＋
ｙ
－３
ｙ
＋１ 画出可行域如图中阴影部分所示 其中
ｄ ＝ ｘ ＝２＋ｘ ， ，
＞０， －２ －２
域如图中阴影部分所示 不包括线段ＢＣ上的点 当直线ｄ ｙ
（ ）， ＝－ Ａ Ｂ Ｃ 设ｚ ＋１ 则其几何意义是可行域
（０，３）， （１，０）， （３，１）， １＝ｘ ，
１ ａ １ ａ 过点Ａ 时 ａ 有最大值 即 ａ 当直 －２
１＋ ３ （－１，４） ， ３ ， （ ３）ｍａｘ＝７， 内的点与点Ｄ 连线的斜率．因为ｋ ｋ 所以ｚ
２ ２ ( ) （２，－１） ＣＤ＝２， ＢＤ＝－１， １
ｙ
线ｄ １ ａ ３ ａ 过点Ｂ ７ 时 ａ 有最小值 即最小值 ＋１ 即ｚ ．故选 ．
＝－ １＋ ３ － ，０ ， ３ ， ＝ｘ ∈（－∞，－１］∪［２，＋∞）， ∈（－∞，１］∪［４，＋∞） Ｄ
２ ２ ３ －２
为 ７ 但是可行域不包括边界 ＢＣ 所以 ａ 的取值范围为
－ ， ， ３
３
( ]
７ 故选 ．
－ ，７ ， Ｄ
３
７．（２０２１浙江“超级全能生”３月模拟，３）若实数ｘ ｙ满足约束条
，
{ｙ ｘ
－２ －１≤０，
５．（２０２１浙江“９＋１”联盟４月联考，８）已知实数ｘ ｙ满足不等式 件 ｙ ｘ 则ｚ ｘ ｙ的取值范围是
， ２ － ＋１≥０， ＝ ＋２ （ ）
{ｘ ｙ ｘ ｙ
－ ＋１≥０， ＋ －１≤０，
组 ｘ ｙ 设ｚ ｘ ｙ 则ｚ的取值范围为 ． ． ． ．
２ ＋３ ≤６， ＝２｜ ｜－ ， （ ） Ａ［－３，２］ Ｂ［－３，１］ Ｃ［２，＋∞） Ｄ［－３，＋∞）
ｙ ． 答案 Ａ 作出可行域如图中阴影部分 含边界 所示
＋１≥０ （ ） ，
． ． ． ．
Ａ［－１，１０］ Ｂ［－１，１］ Ｃ［－１０，１］ Ｄ［－１，５］
答案 Ａ 作出不等式组所表示的可行域 如图所示．由
，
{ ｘ ｙ ( )
２ ＋３ ＝６，得点Ｃ ９ ．
ｙ ，－１
＋１＝０ ２
第七章 不等式 ３ ２９
点的坐标不是整数 经过平移可知经过点 满足要求 且
， （５，２） ，
代入得ｚ 故最大值为 ．
＝１９， １９
１１．（２０２１浙江稽阳联谊４月模考，１３）若实数ｘ ｙ满足约束条件
，
{ ｘ ｙ
２ － －３≤０，
ｘ ｙ 则ｚ ｘ ｙ的最大值是 ω ｘ２ ｙ ２
＋ ≤０， ＝ ＋２ ， ＝ ＋（ ＋４）
ｘ
＋２≥０，
的最小值是 ．
目标函数表示斜率为 １ 的平行直线 且易知ｚ ｘ ｙ在Ａ Ｃ
－ ， ＝ ＋２ ，
２ 答案 １
两点处取到最值 故 ｚ 故选 ． ２；
， －３≤ ≤２， Ａ ５
８．（２０２１ 浙江新高考研究卷（一），３） 已知实数 ｘ ｙ 满足 解析 作出可行域 如图中阴
， ，
{ｘ ｙ 影部分所示
＋ －１≥０， ｙ ，
ｘ ｙ 则ｚ 的取值范围是 {ｘ ｙ {ｘ
２ － －２≤０， ＝ｘ （ ） 由 ＋ ＝０， 得 ＝－２， 由
ｘ ｙ ＋１ ｘ ｙ
－２ ＋２≥０， ＝－２ ＝２，
{ｘ {ｘ
． ｚ ． ｚ ２ ＝－２， 得 ＝－２，
Ａ０≤ ≤１ Ｂ０≤ ≤ ｘ ｙ ｙ ．
３ ２ － －３＝０ ＝－７
显然 当直线ｚ ｘ ｙ经过点 时 目标函数ｚ ｘ ｙ取
． ２ ｚ ．ｚ ， ＝ ＋２ （－２，２） ， ＝ ＋２
Ｃ ≤ ≤１ Ｄ ≥０ 得最大值 最大值为 ．
３ ， ２
答案 Ａ 不等式组表示的平面区域 ω
＝
ｘ２
＋（
ｙ
＋４）
２ 的几何意义为点
（０，－４）
到可行域内点的距离
如图中阴影部分所示 含边界 的平方 由点到直线的距离最短可知 ω 的最小值为
（ ）， ，
其三个顶点坐标分别是 Ａ （ ｙ １，０）， Ｂ （０， é ë ê ê｜２×０－（－４）－３｜ ù û ú ú ２ ＝ æ è ç｜１｜ ö ø ÷ ２ ＝ １ ．
１）， Ｃ （２，２）， 目标函数 ｚ ＝ｘ 表示可行 ２ ２ ＋（－１） ２ ５ ５
＋１ １２．（２０２１浙江杭州高级中学高考仿真模拟，１２）实数 ｘ ｙ 满
域内的点 （ ｘ ， ｙ ） 与点 （－１，０） 连线的斜 {ｘ ｙ ，
率 由图易知过Ａ 时 ｚ 过Ｂ 时 ｚ － ＋１≥０，
故
，
ｚ ．选 ．
（１，０） ， ｍｉｎ＝０， （０，１） ， ｍａｘ＝１， 足 ｘ
＋
ｙ
－１≥０，
０≤ ≤１ Ａ ｘ ．
≤２
二、填空题 ｘ ｙ的最大值为
（１） －２ ；
{ｘ ｙ 若 ｙ ａｘ 恒成立 则实数 ａ 的取值范围
－ ≤０， （２） －１≤ － ≤５ ，
９．（２０２１四川绵阳二模，１４）已知实数ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则ｚ 是 ．
， ＋ ＋２≥０，
ｘ ｙ 答案
－２ ＋２≥０， （１）４ （２）［－１，０］
＝
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋２
ｙ
＋３
的最小值为 ． 解析
（１）
依题意作出可行域如图
，
为封闭的
△
ＡＢＣ区域
答案 含边界 三个顶点分别为Ａ Ｂ Ｃ ．将三
３ （ ）， （０，１）， （２，－１）， （２，３）
{ｘ ｙ 个顶点坐标分别代入 ｘ ｙ 得 故 ｘ ｙ 的最大
－ ≤０， －２ －２，４，－４， －２
解析 由 ｘ ｙ 画可行域如图中阴影部分所示 值为 ．
＋ ＋２≥０， ， ４
ｘ ｙ
－２ ＋２≥０
由ｚ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｘ ２
＝ ＋ －２ ＋２ ＋３＝（ －１）
ｙ ２ 知ｚ表示可行域内
＋（ ＋１） ＋１，
的点到 的距离的平方加
（１，－１）
结 合 图 形 得 到 ｚ
１， ｍｉｎ ＝
æ ö２
ç ｜１＋１｜ ÷ ．
è ø ＋１＝３
２ ２
１ ＋（－１）
１０．（２０２０ 云南师大附中第七次月考，１４） 已知 ｘ ｙ 满足
，
ì ï ｘ ＋３ ｙ ≤１５， { （２） 设ｚ ＝ ｙ － ａｘ ， ｚ ＝ ｙ － ａｘ 的最值也在三个顶点处取得 ， 故
í ï ２ ｘ ＋ ｙ ≤１２，则ｚ ｘ ｙ的最大值为 ． －１≤１≤５，
ï ï ｘ ∈ Ｎ ， ＝３ ＋２ －１≤－１－２ ａ ≤５， 解得 －１≤ ａ ≤０ ．
îｙ
∈
Ｎ
， －１≤３－２
ａ
≤５，
答案
１９
解析 本题主要考查处理线性规划中整点问题的基本方
法 考查的核心素养为直观想象和数学运算．
，
根据条件画出可行域如图中阴影
部分所表示的整点 由图可知 ｚ
， ＝
ｘ ｙ 在点 Ｍ 处取得最大值 由
３ ＋２ ，
{ ｘ ｙ ( )
２ ＋ ＝１２，得 Ｍ ２１ １８ 但 Ｍ
ｘ ｙ ， ，
＋３ ＝１５ ５ ５
３ ３０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ１１９
{ｘ ｙ ( ) ( )
＋ －２≤０， １ １
１．（２０２１５·３原创题）已知变量ｘ ｙ满足不等式组 ｘ ｙ 则ｚ Ａ． －∞，－ Ｂ． －∞，－
， －２ －２≤０， ４ ２
ｘ ｙ
２ － ＋２≥０， Ｃ．［－１，０） Ｄ．［－１，０］
ｘ ２ ｙ ２的最大值与最小值分别为 ３． 答案 Ｄ
＝（ －２） ＋（ －２） （ ）
４．（２０２１ ５·３原创题）某次促销活动中 文具店推出 文具组合
Ａ．３２，４ Ｂ．３２，２ Ｃ．１６，２ Ｄ．１６，１ ， “
１． 答案 Ｂ 套餐 特价优惠活动 其中套餐甲包括 支水性笔和 本记事
” ， １ ２
{ｘ ｙ 本 优惠价 元 套餐乙包括 支水性笔和 本记事本 优惠价
－ ＋１≥０， ， ５ ， ３ １ ，
２．（２０２１ ５·３原创题）已知实数ｘ ｙ满足 ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 元．某单位采购办公用品时 需至少购进水性笔 支 记事
， ２ ＋ ＋２≥０， ｜ － －２｜＋ ８ ， １００ ，
ｘ ｙ 本 本 且负责采购的工作人员计划全部通过套餐形式购
２ － －２≤０， １００ ，
ｘ ｙ 的最大值和最小值分别是 买 则此次采购至少需要花费 元．
｜２ －３ ＋２｜ （ ） ，
４． 答案
Ａ．８，７ Ｂ．８，３ Ｃ．８，２ Ｄ．７，３ ３６０
２． 答案 Ｃ ５．（２０２１ ５·３原创题）设平面ｘＯｙ内的点集Ｓ ｘ ｙ ｘ
＝｛（ ， ）｜０≤ ≤
３．（２０２１ ５ ·３ 原创题） 已知实数 ｘ ｙ 满足约束条件 ｙ ｘ ｙ 现从 Ｓ 中随意取出一个点 ｘ ｙ 则
， ２，０≤ ≤２， ＋２ ≥２｝， （ ， ），
{ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ ．
－ ＋１≥０， ｘ ｙ ｘ２ （ ＋２ ≥４）＝
ｘ ｙ 则ｚ ３ ·｜ ｜－ 的取值范围为
ｘ
＋ －
ｙ
１≥０， ＝
２
ｙ
·｜
ｘ
｜－６
ｙ２ （ ） ５． 答案 １
－２ ≤０， ３
