文档文本内容
2025 年高考数学第三次模拟考试
高三数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．如图，向量
对应的复数是
，则
的值为（ ）
A．6
B．
C．13
D．
【答案】C
【分析】利用复数的几何意义和复数的四则运算法则计算即得.
【详解】由题意，向量
对应的复数是
，
则
.故选：C.
2．已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解集合
，再得到
，然后根据
，即可求解实数
的取值范围.
【详解】因为
，所以
或
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：
.
3．如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，结合平面向量的减法可得出
，结合
，
，
可得出
，利用
、
、
三点共线，可求出
的值.
【详解】连接
，因为点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
，
即
，所以，
，
又因为
，
，则
，
因为
、
、
三点共线，设
，则
，
所以，
，且
、
不共线，
所以，
，
，故
，因此，
.
故选：C.
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若以
为直径的圆与以点
为圆心、
为半径的圆相切于点
，且点
在
上，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意得点
为
的中点，即可得
的坐标，即可得
，即可得
解出即
可.
【详解】由两圆的圆心分别为
，
.且圆
的半径为
，
，
可得点
在以
为直径的圆内，且两圆内切，
所以点
为
的中点，所以
，
，所以圆
的半径为3，
即
，所以
，解得
，
，所以
的离心率为
，
故选：A.
5．已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
，但
和
的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】分别由题意证出
且
，得出结论即可.
【详解】由于
，所以
，因此
，
又因为
，即
，故
故选：A.
6．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6 的正三棱锥
的三个侧面沿AB，BC，AC 展开得到面
，使得平面
均与平面
ABC 垂直，再将球
放到上面使得
三个点在球
的表面上，若奖杯的总高度为
，且
，
则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由奖杯的总高度为
，结合题意，可将其拆解为多段，得到
，结合题目所给
条件，运用勾股定理计算即可得球
的半径，结合球的表面积公式即可得解.
【详解】如图：连接
、
、
，
取
、
、
中点
、
、
，连接
、
、
，
由已知侧棱长为
的正三棱锥
，
即
，又因为
，
所以
，
因为平面
，
，
均与平面
垂直，
设
，
，
三点所在的圆为圆
，底面
的中心为
，
则
，又因为奖杯总高度为
，
设球半径为
，球心
到圆
面的距离为
，
则
，即
，
如图，易知
≌
，
因为
，
所以
是边长为
的等边三角形，
设
的外接圆半径为，
则
，
则在直角
中，
，
即
，解得
，
所以
．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助奖杯的总高度为
，得到
，从而可由题目
所给条件逐步计算出球
的半径，即可得解.
7．若函数
的定义域内存在
，
（
），使得
成立，则称
为“完整函
数”．已知
（
）是
上的“完整函数”，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简
，再结合给定定义并对
进行分类讨论，得到参数取值
范围即可.
【详解】由题意得
，
，
因为
，所以
，
故
在
上有两个最大值点，
令
，则函数
在区间
上至少存在两个最大值点，
则
，解得
．当
，即
时，显然符合题意．
当
时，因为
，所以
，
因为
，所以
，
，分以下两种情况讨论：
①当
，即
时，
，即
，所以
；
②当
，即
时，
，即
，所以
．
综上，
的取值范围为
，故B 正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是先化简函数，然后结合给定定义并对参数分类讨
论，得到所要求的参数范围即可．
8．已知正实数
，
满足
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将已知
变形为
,然后再运用基本不等式得到
,利用导数求证
再用取得等号时的条件可得
，即可求解.
【详解】由题设可得
(当且仅当
时取等号),
即
,由于
，
均为正实数，即
，
设
，
则当
时，
在
单调递减，当
时，
在
单调递增，
故当
，
故
当且仅当
时取等号，
因此
，故
，则
，
故
，解得
,所以
,
故选：C.
【点睛】结论点睛：常用的不等式：
，
，
，
，
，
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A．数据
的第25 百分位数是1；
B．若一组样本数据
的对应样本点都在直线
上，则这组样本数据的相关
系数为
；
C．已知随机变量
，若
，则
；
D．某班有50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布
，则理论上说在
分的人
数约为17 人．（参考数据：
，
，
【答案】ACD
【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，8 个数据从小到大排列，由于
，
所以第25 百分位数应该是第二个与第三个的平均数
，故A 正确；
对于选项B，因为样本点都在直线
上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为
，
故B 错误．
对于选项C，因为
，
所以
，解得
，故C 正确；
对于选项D，由
，
可得在90~100 分的人数是
，故D 正确.
故选：ACD．
10．已知函数
，则（ ）
A．函数
的定义域为
B．当
时，函数
在定义域上单调递增
C．曲线
是中心对称图形
D．若
，且
的最小值是0
【答案】ABC
【分析】利用对数函数定义域求法可得A 正确，由复合型对数函数单调性可判断B 正确，利用函数对称性
定义代入计算可得
，因此C 正确，求导可得
，再由基本不等式计算
可得
即可，可判断D 错误.
【详解】对于A，由函数解析式可得
，解得
，因此函数
的定义域为
，显然A 正
确；
对于B，当
时
，
易知函数
单调递增，
单调递减，所以函数
在定义域上单调递增，B 正确；
对于C，令
，
，
因此
的图象关于点
中心对称，
易知
满足
，
可得
的图象关于点
中心对称，可得C 正确；
对于D，
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，
而
成立，故
，即
，所以
的最小值为
，即D 错误.
故选：ABC.
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线
就是其中之一下列说法正确的是（
､
）
A．曲线
有4 条对称轴
B．曲线
内有9 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若
是曲线
上的任意一点，则
的最大值为5
D．设直线
与曲线
交于
两点，则
的最大值为4
【答案】ABD
【分析】求出曲线对称轴判断A；求出曲线的范围并求出整点判断B；令
，与曲线
的方程联
立，利用判别式求出最大值判断C；联立直线与曲线方程，利用弦长公式，结合基本不等式求出最大值判
断D.
【详解】对于A，点
是曲线
上任意点，显然
都满足曲线
的方程，
因此曲线
关于
轴、
轴、直线
、直线
都对称，A 正确；
对于B，由
，得
，
解得
，同理
，因此曲线
在两组平行直线
所围成的正方形及内部，
而点
中，任意一点坐标都使
，
因此曲线
内有9 个整点，B 正确；
对于C，由曲线
的对称性知，当
位于第二象限时，
取得最大值，
此时方程为
，令
，将
代入
，
得
，故
，解得
，
因此
的最大值为
，C 错误；
对于D，由
消去
得
，解得
，
则
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值或范围．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．若
为锐角，
＝
，则
.
【答案】
【分析】由
为锐角，
，运用三角函数的同角公式，可得
，进而可得
的值，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．
【详解】
为锐角，
，
又
，
，
，
，
故答案为：
．
13．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9 个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中
一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点
亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则
灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
【答案】
【分析】根据相邻原则把9 个灯区分为三类：第一类
灯区，第二类
灯区，第三类
灯
区，然后由题意分别按各类中的两个保持
灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总
的方法数，最后由概率公式计算概率．
【详解】从9 个灯区中随机先后按下两个灯区，共有
种按法．
与
相邻的灯区为
；与
相邻的灯区为
，故将9 个灯区分为三类：第一类
灯区，第二类
灯区，第三类
灯区．若要使得
灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随
机先后按两个不同灯区．
①若先后按下的是
两个灯区，则
灯区最终仍处于“点亮”状态，共有
种按法；
②若先后按下的是
灯区中的两个，则
灯区最终仍处于“点亮”状态，共有
种按法；
③若先后按下的是
灯区中的两个，则
灯区最终仍处于“点亮”状态，共有
种按法．故
灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为
．
故答案为：
．
14．已知
的内角
对边分别为
，
边上的高为h，
，则
的最小值为
.
【答案】
/
【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出
与
的关系；通过几何图形作辅助线，构
造可得
，求出
的范围，进而根据二倍角公式，求得
的取值范围.
【详解】在
中，
，
，
即
；
又
，
，即
，又
；
故
，
如图，在
中，过
作
的垂线
，且使
，则
，
，即
，可得
，
，即
，
，
,
设
，
，
在区间
单调递减，
，即
,
，当且仅当
时，即
三点共线时等号成立.
验证：如下图中
，若
时，满足
，
此时
，
，
故存在这样的
，使得
成立.
因此
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系
；二是构造几何图形求解
的范围，进而利用二倍角公式求解
的范围.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知数列
为等差数列，且满足
．
(1)若
，求数列
的前
项和
；
(2)若数列
满足
，且数列
的前
项和
，求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出
，再应用裂项相消法计算求和；
（2）先应用
，再结合
解得
，得出
，最后计算得出
.
【详解】（1）当
时，由
，
则
，由
，则
，
所以等差数列
的公差为
，所以
，
故
故数列
的前
项和
．.............6 分
（2）当
时，
，可得
，
当
时，
，
将
代入上式，则
，
综上所述，
．
，可得
，
又因为
，则
，
由方程
，可得
，解得
，
由
，则等差数列
的公差为3，所以
，
由
，则
．.............13 分
16．（15 分）
如图，椭圆
过点
，短轴长为
，椭圆的左、右顶点分别为
，
，过椭
圆
的右焦点
且与
轴相交的直线与椭圆相交于
，
两点，与抛物线
相交于
，
两点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，求直线在
轴上截距的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知
，进而解方程即可求得答案；
（2）设
，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长
，
，进而计算面积
，
，再结合已知求得
，且
再求直线在
轴上截距的范
围即可.
【详解】（1）根据题意得
解得
所以
，焦点
.
所以椭圆
的方程是：
..............4 分
（2）由题可设直线方程为：
，
，
，
，
.
由
得
,
由题知
，
，
,.............6 分
.
又点
到直线的距离
，
.............10 分
由
得
，由题知
，得
，
.
.
，
，解得：
且
,
或
，
直线在
轴上截距的取值范围是
............15 分
17．（15 分）
某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球
个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：
摸到红球记分，摸到白球记
分，摸到黑球记
分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为
，若
，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列答案见解析，
【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数
原理结合古典概型的概率公式可求得
的值；
（2）记事件
乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件
乙顾客第二次摸到红球，求出
、
的
值，利用条件概率公式可求得
的值；
（3）分析可知随机变量
的可能取值有
、
、
、
、、
、，计算出随机变量
在不同取值下
的概率，可得出随机变量
的分布列，进而可求得
的值.
【详解】（1）若
，则甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，
.............4 分
（2）记事件
乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知
，
记事件
乙顾客第二次摸到红球，则
，
，
所以，
...........9 分
（3）摸到次红球的概率为
，摸到次白球的概率为
，摸到次黑球的概率为
，
则
的可能取值有
、
、
、
、、
、，
，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
故
...........15 分
18．（17 分）
已知
，函数
在
处取得极值．
(1)求a；
(2)证明：对任意的m，
，都有
；
(3)若存在实数
，使得
成立，求k 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)5．
【分析】（1）先求导
，由
在
处取得极值，得
解出验证即可；
（2）设
，验证
的单调递增，即有
，即可得证；
（3）存在实数
，使得
成立，即
成立．构造函数
，即求
即可.
【详解】（1）
，
因为
在
处取得极值，
所以
，所以
，
解得
．
经验证当
时，
在
处取得极小值，符合题意，
故
．...........4 分
（2）对任意的m，
，设
，则
，
由（1）知
，则
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
故
．.............6 分9
（3）存在实数
，使得
成立，即
成立．
令
，
，则
，
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增．
又
，
，
故存在唯一的
，使得
，即
．
当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，结合
，得
，
故k 的最小整数值为5．.............17 分
19．（17 分）
空间直角坐标系
中，任何一个平面的方程都能表示成
（其中
），且
为该平面的法向量.
(1)若平面
，
，且
，求实数
的值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点
到平面
的距离为
，若记集合
所围成的几何体为
，求
的内切球的表
面积；
(3)记集合
中所有点构成的几何体为
.
①求
的体积
的值；
②求
的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)①16；②
【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解；
（2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体
积法求内切圆半径，即可得表面积；
（3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面
角.
【详解】（1）根据题意，平面
的法向量
，平面
的法向量
，
所以
，故
...........3 分
（2）不妨设
，在平面
内取一点
，则向量
，
取平面
的一个法向量
，
所以点
到平面
的距离为
对于
，
当
时，
表示经过
，
，
的平面在第一象限的部分.
由对称性可知
表示
，
，
这六个顶点形成的正八面体.
法1：设内切球的半径为，则即为原点
到平面
的距离，
则
.
所以内切球的表面积为
；.............9 分
法2：考虑
；
即为三个坐标平面与
围成的四面体，其四个顶点分别为
，
，
，
，
此四面体的体积为
，
由对称性知，正八面体
的体积
，
设内切球的半径为，正八面体
的表面积为
，
所以
，解得：
.
所以内切球的表面积为
；............9 分
（3）由（2）可知
所围几何体是关于平面
，
，
对称的，
其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中
、OB、
两两垂直，且
.
集合
所表示的几何图形
也关于平面
，
，
对
称，
其在第一卦限内的部分
的图形如图（1），
图1
①如图2，就是把图1 的几何图形进行分割的结果.
图2
所以
所构成的几何体
如图3 所示.
图3
法一：其中正方体
记为集合
所构成的区域.
而
构成了一个正四棱锥，且
到面
的距离为1，
所以
，
所以几何体
的体积
.
法二：从图2 可以看出，几何体
在第一卦限的部分为有公共底面
的两个三棱锥
和
.
设其体积为
.
由正方体的性质可知
面
.
因为
，
，
所以其体积
.
所以几何体
的体积
.
②由题意可知：面
方程为
，所以其法向量
，面
方程为
，其法向
量
.
所以
由图知两个相邻的面所成角为钝角.
故
相邻两个面所成角为
.............17 分
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法
得到所要求的二面角余弦值即可．
