文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
绝密★考试结束前
2023 年高考数学全国甲卷文科预测试卷
全卷满分150 分，考试用时120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一 选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
1．已知集合
，
是偶数集，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.
【详解】因为在集合
中，－2，0，2 是偶数，所以
．
故选：D.
2．已知复数满足
，则在复平面内所对应的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算求出，即可得出在复平面内所对应的点.
【详解】由
，得
，
所以在复平面内所对应的点是
．
故选：B.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．函数
的部分图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.
【详解】由
，故D 错误，
当
时，
，A，B 错误．
故选：C.
4．已知点
，
，向量
，
，则
与
的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐标运算求得
，
，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．
【详解】由题意，得
，
，
则
与
的夹角的余弦值为
．
故选：A．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
5．已知
是双曲线
上的一个动点，且点
到
的两个焦点距离的差的绝对值为6，
的焦点到渐近线
的距离为4，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不妨设双曲线方程为
，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得
到
，再利用点到直线的距离公式求出
，从而求出，即可得解.
【详解】解：不妨设双曲线方程为
，则双曲线的渐近线方程为
，即
，
由双曲线的定义知，
，所以
，
由双曲线
的焦点到其渐近线的距离为
，即
，
所以
，
所以
的离心率
．
故选：B
6．某市
年月至
年月的平均气温折线图如图，则（ ）
A．平均高温不低于
的月份有个
B．平均高温的中位数是
C．平均高温的极差大于平均低温的极差
D．月平均高温与低温之差不超过
的月份有个
【答案】C
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，平均高温不低于
的月份有
年
月和
年月，共
个，A 错误；对于B，
将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为
，B 错误；对于C，平均高温的
极差为
，平均低温的极差为
，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正
确；
对于D，月平均高温与低温之差不超过
的月份有
年
月和
年
月，共个，D 错误.
故选：C.
7．若实数x，y 满足约束条件
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】目标函数
的几何意义是可行域内的点到直线l：
的距离的
倍．由约
束条件作出可行域，找到可行域内到直线l 的距离最大的点，求解即可.
【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，
目标函数
的几何意义是可行域内的点到直线l：
的距离的
倍．
数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为
，
且点A 到直线l 的距离
，
则
的最大值为4．
故选：A.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8．已知
表示不超过实数
的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.
【详解】执行第一次循环，
，
，
，
；
执行第二次循环，
，
，
，
；
执行第三次循环，
，
，
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
；
执行第四次循环，
，
，
，
，退出循环，输出
.
故选：C.
9．记数列
的前n 项和为
．若等比数列
满足
，
，则数列
的前n 项和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
，求出等比数列
的公比
及
，数列
也是等比数
列，利用等比数列求和公式可求出答案.
【详解】因为
，
，
所以等比数列
的公比
，所以
，则
，
由
，可知数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
．
故选：D．
10．已知正三棱柱
的所有棱长都相等，
，
，
分别是
，
，
的中点，
是线
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
段
上的动点，则下列结论中正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
平面
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】连接
，即可得到
，再由正三棱柱的性质得到
平面
，即可得到
，从而得到
平面
，再由线面垂直的性质得到
，即可说明
，即可
判断①、②、③，连接
，通过证明平面
平面
，即可说明④.
【详解】解：连接
，因为正三棱柱
的所有棱长都相等，所以
，
．
又
，
分别是
，
的中点，所以
，所以
．
因为
，
，
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．又
，
，
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
．
由题意知
且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，故①、③正确；
与
是异面直线，故②错误；
连接
，因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
又
，同理可证
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
是线段
上的动点，所以
平面
，所以
平面
，故④正确．
故选：C
11．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上有极小值
C．设
在区间
上的最大值为M，最小值为m，则
D．
在区间
内有且只有一个零点
【答案】D
【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.
【详解】因为
，
所以
．
当
时，令
，解得
，则当x 变化时，
，
的变化情况如下表所示．
x
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
－
0
＋
0
－
单调递减
单调递增
单调递减
所以
在区间
上的图象如图所示．
对A，
在区间
上单调递增，A 错；
对B，
在区间
上有极大值，无极小值，B 错；
对C，
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
，
C 错；
对D，
在区间
内有且只有一个零点，D 对.
故选：D.
12．已知三棱锥P－ABC 的所有顶点均在半径为2 的球的O 球面上，底面
是边长为3 的等边三角形．
若三棱锥P－ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设底面
的中心为Q，根据题意可知，当三棱锥P－ABC 的体积取得最大值时，
底面
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
ABC，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.
【详解】设底面
的中心为Q，连接BQ，OQ，
则
，且
底面ABC，
如图，延长QO 交球面于点P，连接OB，此时三棱锥P－ABC 的体积取得最大值，
因为球O 的半径为2，所以
，
在
中，
，
所以三棱锥P－ABC 的体积的最大值为
，
此时
，
所以
，
所以
，解得
．
故选：B.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．如图是一个边长为4 的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600 个
点,其中落入白色部分的有700 个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】9
【分析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积
【详解】由题设可估计落入黑色部分的概率
设黑色部分的面积为,由几何概型计算公式可得
解得
故答案为:9
14．若
是定义在
上的奇函数，且
是偶函数，当
时，
，则
__________.
【答案】
【详解】解：由
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，
可得
，
，即
，
所以
，可得
，
则
的最小正周期为4，当
时，
，
则
．故答案为：
．
15．将函数
向右平移
个周期后所得的图象在
内有个最高点和
个最低
点，则
的取值范围是__________．
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】函数
的最小正周期为
，
将函数
向右平移
后的解析式为
，
由
，可得
，
要使得平移后的图象有个最高点和
个最低点，则需：
，解得
．故答案为：
.
16．已知双曲线
的右焦点为
，虚轴的上端点为
是
上的两点，
是
的
中点，
为坐标原点，直线
的斜率为
，若
，则
的两条浙近线的斜率之积为__________.
【答案】
【分析】设
，进而根据点差法得
，再根据
得
，进而得
，再求渐近线的斜率之积即可得答案.
【详解】解：设
，
因为
是
上的两点，
是
的中点，
为坐标原点，直线
的斜率为
，
所以
①，
②，
③，
④，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，②
③得
，整理得
所以
，因为双曲线
的右焦点为
，虚轴的上端点为
，
所以
，
，因为
，所以
，即
，整理得：
，所
以
，整理得
，
所以
，即
，所以
，整理得
，
因为
的两条浙近线分别为
，所以，
的两条浙近线的斜率之积为
故答案为：
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（12 分）．在
中，角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为边
的中点，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化得
，再结合正弦和角公式得
，进
而可得答案；
（2）根据余弦定理，结合
得
，进而根据余弦定理得
，再计
算面积即可.
【详解】（1）解：因为
，所以
，即
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，因为
，所以
.
（2）解：如图，因为
为边
的中点，且
，
所以
，
，因为
，
所以
，即
，整理得
，因为
，即
，解得
，
所以，
的面积为
．
18（12 分）．2020 年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑
引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8 万余人．为响应国家号召，某校2022 年7 月成立了“强基培
优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100 名的学生中选取了50 名对数学学科研究有志向、有兴
趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞
赛，这100 名学生的成绩（满分为150 分）情况如下表所示．
成绩不低于135 分
成绩低于135 分
总计
参加过培训
40
10
50
未参加过培训
20
30
50
总计
60
40
100
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？
(2)从成绩不低于135 分的这60 名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取
了6 人，再从这6 人中随机抽取2 人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2 人中至少有一人未参加过
培训的概率．
参考公式：
，其中
．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．
(2)
【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与
比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参
加过培训的有4 人，未参加过的有2 人，列举出6 人中随机抽取2 人的所有基本事件，再选出符合条件的
事件数即可求得结果.
【详解】（1））根据列联表代入计算可得：
，
所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．
（2）由题意可知，所抽取的6 名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4 人，记为
，
，
，
，
未参加过“强基培优”拓展培训的有2 人，设为甲、乙．
从这6 人中随机抽取2 人的所有基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15 个，
其中至少有一人未参加过培训的基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，共9 个．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故至少有一人未参加过培训的概率
．
19 （12 分）．如图，在多面体
中，四边形
为正方形，平面
平面
，
，
是棱
上的一点.
(1)是否存在点
，使得
平面
？若存在，则求出
的值；若不存
在，请说明理由；
(2)求多面体ABCDEF 的体积.
【答案】(1)存在，
时，
平面
(2)
（2）分割为两个棱锥，求出
，相加后得到结果.
【详解】（1）当
时，满足
平面
，
过点
作
AD 交AF 于点G，连接BG，则
，
因为
，
，所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，
故
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
，此时
；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）连接AE，DE，四边形ABCD 为直角梯形，过点B 作BN⊥AD 于点N，则四边形BCDN 为正方形，故
BC=DN=1，BN=CD=1，故AN=AD-DN=3-1=2，
由勾股定理得：
，面积为
，
平面
平面
，交线为AB，因为四边形
为正方形，所以
，
平面ABEF，故
平面ABCD，且
则四棱锥
，过点N 作NH⊥AB 于点H，则
，则点D 到
AB 的距离为
，
因为平面
平面
，交线为AB，NH⊥AB，且
平面ABCD，
所以NH⊥平面ABEF，则点D 到平面ABEF 的距离为
，
正方形ABEF 的面积为
，则
，
多面体ABCDEF 的体积为
.
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
20（12 分）．椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，点
到直线
的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交双曲线
右支于点
，
，点
在
上，求
面积的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）直线
方程为
，即
，
到直线
的距离
，化简得
，
又离心率
，即
，且
，解得
，
，
，
所以
的方程为：
.
（2）设直线的方程为
，由于
的渐近线的
斜率为
，所以
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
将方程代入
，化简得
.
设
，
，则
，
，
，
设平行于与椭圆
相切的直线为
，
由
得
，
由
得
，
直线与之间的较小距离
，
直线与之间的较大距离
，则
面积的较小值为
，
面积的较大值为
，设
，
，
，则
，
，
，∴
，
所以
面积的取值范围为
.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21（12 分）．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)极大值为
，无极小值(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，利用导数分析函数
的单调性，即可求得函数
的极值；
（2）分
、
、
三种情况讨论，利用导数分析函数
的单调性，在前两种情况下，直接验证
即可，在
时，利用导数求得
，令
，其中
，利用导数分
析函数
的单调性，可得出
，即可求得实数
的取值范围；
（3）当
时，由（2）可得出
，可得出
，利用不等式的基本性质、等比数列的
求和公式以及对数函数的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）解：当
时，
，该函数的定义域为
，
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
此时，函数
在
处取得极大值，且极大值为
.
（2）解：当
时，
，此时函数
在
上为增函数，
因为
，不合乎题意；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，当
时，
，不合乎题意；
当
时，由
可得
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
令
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，由
可得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）证明：当
时，
对任意的
恒成立，所以，
，
所以，
，
所以，
，
因此，
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
选做题：
22（10 分）．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（为参数），以
为极点，
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
.
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与
有公共点，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再结合
，
即可得到直线方程；
（2）将参数方程代入（1）中的直线方程得
，则转化为
有解，
令
，
，则设
，求出其值域即可.【详解】（1）因为
，所以
，又因为
，
，得
，即的直角坐标方程为
.
（2）将
，代入
，得
，
所以
，即
，
要使与
有公共点，则
有解，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
有解，令
，则
，
令
，
，则对称轴为
，所以
在
上单调递减，在
上单调递
增，所以
，又
，
，所以
，解得
，即
的取值范围是
.
23（10 分）．已知函数
．
(1)解不等式
;
(2)若不等式
对
恒成立,求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)移项,两边平方即可获解;(2)利用绝对值不等式即可.
【详解】（1）
即
即
,即
即
,即
或
所以不等式的解集为
（2）由题知
对
恒成立
因为
.所以
,解得
即
或
,所以实数
的取值范围为
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
24
