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课后训练
1．（2026•牡丹区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
2.（2025•长安区一模）正三棱锥
侧棱长为1，
，
分别是
，
上的动点，
当△
周长的最小值为
时，三棱锥的侧面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（2026•铜川模拟）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”．升篓呈棱台
形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子．如图是一个
正四棱台形的升篓，体积
，上、下底面棱长分别为
，
，则该正四棱
台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023•碑林区校级模拟）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”
的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了
一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台
的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ）
A．
B．32
C．
D．
11．（2024•铜川一模）在2023 年3 月12 日马来西亚吉隆坡举行的
比赛半决赛中，来自中国的9 岁魔方天才王艺衡以4.69 秒的成绩打破了“解三阶魔方平均
用时最短”吉尼斯世界纪录称号．如图，一个三阶魔方由27 个单位正方体组成，把魔方的
中间一层转动了
之后，表面积增加了（ ）
A．54
B．
C．
D．
14．（2023•天津模拟）柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，
因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来
构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构
建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体．古希腊数学家
物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13 种半正多面体（后人称为“阿基米
德多面体” ．现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族中的一
个，又名截角四面体．设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为
A．
B．
C．
D．
15．（2023•兰州模拟）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三
角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分
也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，
它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧
棱的长度（单位：
分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2026•叙州区校级模拟）古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器具，足座常为
正四棱台，上承盘体，下接底座．如图，在一个盛满干果的“笾”中，
，
，若从中取出
干果后，干果的高度约下降半，则剩余的干果的质量约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026•雁江区模拟）如图，正三棱柱
的所有棱长都为2，点
，
，
分别在棱
，
，
上，其中
，
，
，则几何体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026•兴庆区校级二模）如图，一块边长为6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这
些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四
棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．3
D．
7．（2026•津南区校级模拟）在如图所示的三棱锥容器
中，
，
，
分别为三
条侧棱上的小洞，
，
，若用该容器盛水，则最多可盛水的
体积是原三棱锥容器体积的
A．
B．
C．
D．
2．如图，过圆锥
的轴的截面是边长为4 的正三角形，过
的中点
作平行于底面的
截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，圆台
的高为
，
是母线，
，
．现在将圆台的侧面沿
剪开，并展开成平面图形，点
在侧面展开图中对应的点为
，
，则线段
的长
度为（ ）
A．8
B．
C．16
D．
5．已知底面半径为
的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径
为
，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要
点缀．重檐圆亭（图
是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台
（图
的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3 所示，则该圆台部分的侧面
积为（ ）
（参考公式：圆台的表面积
，
分别是上、下底面的半径，
是母线长）
A．
B．
C．
D．
8．碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形状与当今无多大区别．如图，该碗碗
口直径为
，碗底直径为
，它的形状可以近似看作是上部分为圆台，下部分底座为
圆柱的组合体（碗的厚度忽略不计），若圆台部分与圆柱部分的体积之比为
，则圆台
部分与圆柱部分的高之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知圆柱
的底面半径为
，高为
，上、下底面圆的圆心分别是
，
，点
为线段
的延长线上一点，圆锥
的底面为圆柱的下底面，顶点为
．若圆锥
的
表面积与圆柱
的表面积相等，则圆锥
与圆柱
的体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等．若圆台体积为圆锥体积的
倍，则圆
台上，下底面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，四边形
是直角梯形，其中
，
，
，
是
的中
点，以
为直径的半圆
与
相切于点
．
与梯形
以
为旋转轴旋转一
周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为
．
4．（2026•上海校级模拟）在如图所示的多面体中，四边形
是正方形，
，
，
，
．
（1）若点
在边
上，证明：存在
，
，使得
；
（2）若
到平面
的距离为2，将梯形
绕边
旋转一周，求所形成旋转体的
体积．
5．（2026•浦东新区二模）如图，在多面体
中，平面
平面
，
，
，△
是边长为
的等边三角形，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
与平面
所成的角为
，求多面体
的体积．
7．（2026•泉州模拟）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体．其构造过程是：
从一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角
形，并以此小三角形为底面，向外构建小正四面体．如图，持续重复对新生成的几何体执
行上述操作，最终得到科赫四面体．
现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为
的正四面体经
过持续重复上述操作得到的．记第
次操作后生成的几何体为
，设
的表面积为
，体
积为
．
（1）求
，
，
，
；
（2）在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越
强．根据比表面积
随
的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因．
（3）是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；
若不存在，请说明理由．
