文档文本内容
第4 讲 空间向量在立体几何中的折叠、轨迹、截面问题
目 录
题型01 折叠问题
题型02 轨迹问题
题型03 截面问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 折叠问题
题型点拨
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，
哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明。
【典例1】（25-26·浙江金华）如图，
是正方形
的中心，把正方形
沿对角线
折成二面角
，
，
分别为
，
的中点，
(1)当折成直二面角时（图1），求直线
与
所成角的大小；
(2)当折成二面角
的平面角为
（图2），求直线
与平面
所成角的正弦值．
【变式1】（25-26·云南昆明）如图，平面四边形
中，
，
且
，
现将△
沿
折起，使得
，如图
．
(1)证明：平面
⊥平面
；
(2)点
在线段
上，平面
把三棱锥
分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值．
【变式2】（25-26·福建厦门）如图，在
中，
是
中点，
分别是
边上的动点，且
，将
沿
折起，将点
折至点
的位置，得到四棱锥
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，二面角
是直二面角，求线段
中点
到平面
的距离；
(3)当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围.
题型2 轨迹问题
题型点拨
1、由动点保持平行性求轨迹
（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
2、动点保持垂直求轨迹
（1）可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；
（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解
轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.
4、由动点保持定角求轨迹
（1）过定点的动直线与定平面或定直线成定角时，其轨迹可能是圆锥面的一部分；（2）利用空间坐标
系计算求轨迹.
5、投影求轨迹
（1）球的非正投影可能是椭圆或椭圆区域；（2）多面体的投影，多为多边形.
6、翻折与动点求轨迹
（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利
用空间坐标运算求轨迹.
【典例1】（25-26·福建三明）（多选）在正方体
中，
，
，则（ ）
A．若
，则点
的轨迹为线段
B．若
，则点
的轨迹为连接棱
的中点和棱
中点的线段
C．若
，则三棱锥
的体积为定值
D．若
，则
与平面
所成角的余弦值的最大值为
【变式1】（25-26·安徽铜陵）正方体
的棱长为
，
为
的中点，
点是正方形
内的动点，若
平面
，则
点的轨迹长度为 ．
【变式2】（25-26·安徽）如图，在棱长为3 的正方体
中，
，点
是底面
内（包括边界）的动点，且满足
，则符合条件的点
形成的轨迹的长度为 ．
题型3 截面问题
题型点拨
1、截面问题的理论依据
（1）确定平面的条件
①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
（4）如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行
（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
2、截面问题的基本思路
（1）定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③截平面与几何体的棱的交点叫做实截点.
④作图过程中相关直线与几何体棱或棱的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截平面上已经确定的一部分图形叫做截小面.
（2）作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3、作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截平面上已确定的一条直线，与几何体的棱或棱的延长线相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
4、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是
找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找
直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F 是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等
分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
②“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1 点较为特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在
何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
5、正方体中的基本截面类型
【典例1】（25-26·云南曲靖）（多选）在正方体
中，
，点P 满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
平面
时，
不可能垂直
B．若
与平面
所成角为
，则点P 的轨迹长度为
C．当
时，正方体经过点
、P、C 的截面面积的取值范围为
D．当
时，
的最小值为
【变式1】如图所示的一块长方体木料中，已知
，设E 为底面ABCD 的中心，且
，则该长方体中经过点
的截面面积的最小值为 ．
【变式2】（25-26·上海）如图，棱长为1 的正方体
有一个截面
，其中
、
分别在棱
上.若
是正方形，则截面UVWXYZ 的
面积为 .
强化训练（共10 题）
1．（25-26·安徽马鞍山）（多选）如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
上一动点，
是侧面
内的动点，
是空间内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．存在点
，使
B．若
，则动点
的轨迹为圆的一部分
C．当
时，过点
作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为
D．
，直线
与
所成角的正切值的取值范围为
2．（25-26·四川宜宾）（多选）如图，正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，
点M 是其侧面
上的动点（含边界），下列说法正确的是（ ）
A．过点
的平面截该正方体所得截面面积为
B．当
平面
时，点
的轨迹长度为
C．当
时，三棱锥
的体积为
D．过
作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
3．（25-26·江苏南通）如图，在正方体
中，
，点
分别为
的中点，则
平面
截正方体所得截面面积为 ，动点
满足
，且
，
则当
取得最小值时二面角
的余弦值为 .
4．（25-26·湖北襄阳）在
中，
，
，
，
，
分别是
，
上的点，满足
，且
．将
沿
折起到
的位置，使
，存在动点
使
如图所示．
(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成线面角为
，求
的最大值．
5．（25-26·湖北武汉）如图（1），在平面四边形
中，
，
，
，
，过点
作
，垂足为
.如图（2），将
沿
折起，使得点
到达点
处，且
.
(1)证明：
.
(2)若点
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
6．（25-26·山东泰安）如图，在平面四边形
中，
，点
满足
，
，将
沿
折起至
位置，使得点
不在平面
内．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
7．（25-26·湖北十堰）如图1，在梯形
中，
为
的中
点，
与
交于点
.将
沿
折起到
的位置，得到三棱锥
，使得二面角
为直二面角（如图2）.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小；
(3)在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明
理由.
8．（25-26·重庆铜梁）如图1，已知正方形
的边长为
，
分别为
的中点，将正方形
沿
折成如图2 所示的二面角，使得
，点
是线段
上的动点（包含端点）.
(1)若
为
的中点，直线
与平面
的交点为
，试确定点
的位置，并证明直线
平面
；
(2)是否存在点
，使二面角
为
？若存在，求出线段
的大小；若不存在，请说明理由.
9．（25-26·重庆）如图1，在边长为4 的菱形ABCD 中，
，点M，N 分别是边BC，CD 的中点，
.沿MN 将
翻折到
的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2 所示
的五棱锥
.
(1)在翻转过程中是否总有平面
平面PAG？证明你的结论；
(2)设点E 为线段PA 的中点，点
在线段BE 上，且
，当四棱锥
MNDB 的体积最大
时，是否存在满足条件的实数
，使直线MQ 与平面PAB 所成角的正弦值取得最大值.若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
10．（25-26·广东惠州）如图1，在直角梯形ABCD 中，
是AD
的中点，
是AC 与BE 的交点.将
沿BE 折起到
的位置，使得平面
平面BCDE，如图
2．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·黑龙江齐齐哈尔）正方体
的棱长为
为棱
中点，
为正方形
内（舍边界）的动点，若
，则动点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26·上海）若正四面体
的侧面
内一动点
到底面
的距离与到棱
的距离相等，
则动点
的轨迹与
组成图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·山西）（多选）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
是
的中点，点
是
底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．存在点
满足
B．满足
的点
的轨迹长度是
C．满足
平面
的点
的轨迹长度是
D．满足
的点
的轨迹长度是
4．如图，在棱长为1 的正方体
中，点E，F 分别是棱BC、
的中点，P 是侧面
内一点（含边界），若
平面AEF，点P 的轨迹长度为 ．
5．在长方体
中，已知
，
，
分别为
，
的中点，则长方体
的外接球表面积为 ，平面
被三棱锥
外接球截得的截面圆面积为
．
