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专题13 函数模型及应用
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题13 函数模型及应用
命题解读
命题预测
复习建议
函数模型是建立在各种函数
基础之上的，对于函数模型
的考察主要集中在模型的建
立，求解和实际应用上，因
此在此节中，要学会解读实
际问题，高考对于这部分的
要求也越来越高，年年出题
考察.
预计2024 年的高考函数模型
及其应用还是必考题，多见
于选择或者填空，要重视模
型的建立.
集合复习策略：
1.认清给定的函数模型，理
解函数模型的应用；
2.结合实际情景选定模型；
3.能利用函数模型的图象性
质求解实际问题.
→➊考点精析←
一、.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现
为与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表现
为与x 轴
平行
随n 值变化
而各有不同
二、几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0)
三、解函数应用题的步骤
第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的
实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其
他相关辅助变量，并用x、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的
数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数
问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．
2
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→➋真题精讲←
1. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每
天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志
愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订
单超过1600 份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成
积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10 名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为
，设需要志愿者x 名，
，
,故需要志愿者
名.
故选：B
2. 【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领
城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的
Logistic 模型：
，其中K 为最大确诊病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已
初步遏制疫情，则
约为（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C
【解析】
，所以
，则
，
3
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所以，
，解得
.
故选：C．
3. 【2020 年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参
数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.
在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间
t(单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R0，T 近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计
出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约
为(ln2≈0.69)
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
【答案】B
【解析】因为
，
，
，所以
，所以
，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为
天，
则
，所以
，所以
，
所以
天.
故选：B．
4. 【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足m2−m1=
，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太
阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1
B．10.1
4
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C．lg10.1
D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足
，
令
，
则
从而
.
故选A.
5. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次
月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个
关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊
桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行．
点是平衡点，位于地月连线的延
长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R，
点到月球的距离为r，根
据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
.设
，
由于
的值很小，因此在近似计算中
，则r 的近似值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5
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【解析】由
，得
，
因为
，
所以
，
即
，
解得
，
所以
故选D.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏·统考三模）星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星
载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为
，其中EP 是激光器输
出的单脉冲能量，Er 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑
面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减
T 满足
（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平
面的光斑面积为75km2，则此时Γ 大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301）
A．－76.02
B．－83.98
C．－93.01
D．－96.02
【答案】B
【详解】因为
，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，
所以
，
则
，
故选：B．
6
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2．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度
变化的冷却模型.如果物体的初始温度是
，环境温度是
，则经过
物体的温度
将满
足
，其中
是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有
的物体，若放在
的空气中冷却，经过
物体的温度为
，则若使物体的温度为
，需要冷却（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得：
，即
，
，
，
由
得：
，即
，解得：
，
若使物体的温度为
，需要冷却
.
故选：C.
3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）血氧饱和度是呼吸循环的重要
生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是
，当血氧饱和度低于
时，需要吸
氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：
描述血氧饱和度
随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中
为初始血氧饱和度，K 为参数.已知
，给氧1 小时后，血氧饱和度为
.若使得血氧饱和度达到
，则至少还需要
给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：
）
A．0.3
B．0.5
C．0.7
D．0.9
【答案】B
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要
小时，
由题意可得
，
，两边同时取自然对数并整理，
得
，
，
则
，则给氧时间至少还需要
小时
故选： B
4．（2023·安徽合肥·校联考三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难
收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一
年后是
；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是
7
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.一年后“进步”的是“退步”的
倍.如果每天
的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的
一万倍.（
）
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】D
【详解】设经过
天“进步“的值是“退步”的值的10000 倍,
则
，
即
，
,
故选：D．
5.【2020 山东省高一期末】如图，某湖泊的蓝藻的面积
（单位：
）与时间（单位：
月）的关系满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6 个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到
所经过的时间分别是
，则一定有
【答案】ACD
【解析】由图可知，函数
图象经过
，即
，则
，∴
；
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∴
不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2 倍，则每个月的增长率为
，A 对、B 错；
当
时，
，C 对；
若蓝藻面积蔓延到
所经过的时间分别是
，则
，
，
，则
，即
，则
，D 对；
故选：ACD．
6.【2019 湖北八校联考】某人根据经验绘制了2018 年春节前后，从12 月21 日至1 月8 日
自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12
月26 日大约卖出了西红柿________千克．
【答案】
【解析】前10 天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解
析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6 时，y＝.
7. 【2020 江苏省盐城市第一中学高三调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，
因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为
元，其它成本投入（如培育管理、
施肥等人工费）
元．已知这种水果的市场售价大约为15 元／千克，且销路畅通供不应
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求．记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
（Ⅰ）求
的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当施用肥料为4 千克时，种
植该果树获得的最大利润是480 元．
【解析】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ )由(Ⅰ )得
当
时，
；
当
时，
当且仅当
时，即
时等号成立．
因为
，所以当
时，
．
∴当施用肥料为4 千克时，种植该果树获得的最大利润是480 元．
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→➍专题训练←
1、已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物
2500mg，设经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．
（1）y 与x 的关系式为 ；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg，病人就
有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时（精确到
0.1）．
（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）
【答案】（1）y＝2500×0.8x，（2）7.2．
【解析】（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，
给某病人注射了该药物2500mg，经过x 个小时后，
药物在病人血液中的量为y＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x（mg），
即y 与x 的关系式为 y＝2500×0.8x；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg，病人就
有危险，
令2500×0.8x≥500，
∴0.8x≥0.2，
∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数，
∴x≤7.2，
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2 小时．
2、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数
的边际函数
定义
为
．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产
台
的收益函数为
（单位：万元），成本函数
（单位：万元），该公司每月最多生产
台该医疗器材．（利润函
数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数
及边际利润函数
；
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（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到
）
（3）求
为何值时利润函数
取得最大值，并解释边际利润函数
的实际意
义．
【答案】（1）
；
；（2）
台，
万元；（3）
或
；
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开
始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【解析】
（1）由题意知：
且
，
，
.
（2）每台医疗器材的平均利润
，当且
仅当
时等号成立.
因为
，当每月生产
台机器时，每台平均约为
万元，每月生产
台时，每
台平均约为
万元，故每月生产
台时，每台医疗器材的平均利润最大为
万
元.
（3）
，
由
，得
，此时
随
增大而增大，
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由
得
，此时
随
增大而减小，
或
时，
取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在
减少.
3.（2020 届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4 万元，每生产一件
产品成本增加100 元，工厂每件产品的出厂价定为
元时，生产
件产品的销售收入是
（元），
为每天生产
件产品的平均利润（平均利润＝总利
润/总产量）.销售商从工厂每件
元进货后又以每件
元销售，
，其中
为最高限价
，
为销售乐观系数，据市场调查，
是由当
是
，
的比例中项时来确定.
（1）每天生产量
为多少时，平均利润
取得最大值？并求
的最大值；
（2）求乐观系数
的值；
（3）若
，当厂家平均利润最大时，求
与
的值.
【答案】（1）400,200；（2）
；（3）
，
.
【解析】
试题分析：（1）先求出总利润＝
，依据（平均利润＝总利润/总产
量）可得
，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得
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，结合比例中项的概念可得
，两边同时除以
将
等式化为
的方程，解出方程即可；（3）利用
平均成本
平均利润
，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得
的值，利用
可得
的值.
试题解析：（1）依题意总利润＝
，
＝
，
,
此时
,
,
即，每天生产量为400 件时，平均利润最大，最大值为200 元 .
（2）由
得
，
是
的比例中项，
，
两边除以
得
，
解得
.
（3）厂家平均利润最大，
元，
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每件产品的毛利为
，
，
元，
（元），
元.
二次函数模型
1、A，B 两城相距100 km，在两城之间距A 城x(km)处建一核电站给A，B 两城供电，为保
证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与
供电量(亿度)之积的0．25 倍，若A 城供电量为每月20 亿度，B 城供电量为每月10 亿度．
(1)求x 的取值范围；
(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；
(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？
【解析】：(1)由
得x 的取值范围为10≤x≤90．
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝．故核电
站建在距A 城km 处，能使供电总费用y 最少．
2、某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x)万
元，当年产量不足80 千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80 千件时，C(x)＝
51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500 元时，该厂年内生产的商品能全
部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】 (1)当0<x<80，x∈N*时，
L(x)＝－x2－10x－250
＝－x2＋40x－250；
当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250
＝1 200－(x＋)，
∴L(x)＝
(2)当0<x<80，x∈N*时，
L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴当x＝60 时，L(x)取得最大值L(60)＝950．
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当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100 时，
L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950．
综上所述，当x＝100 时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
指数函数、对数函数模型
3、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6 份，奖励给分别在6 项(物理、
化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的
总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增
加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999 年诺贝尔奖金发放后基金总额约
为19 800 万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为
f(1)，2000 年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达150 万美
元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1．031 29＝1．32)
【解析】：(1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6．24%)－f(1)·6．24%＝f(1)(1＋3．12%)，
f(3)＝f(2)(1＋6．24%)－f(2)·6．24%
＝f(2)(1＋3．12%)＝f(1)(1＋3．12%)2，
∴f(x)＝19 800(1＋3．12%)x－1 (x∈N*)．
(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)＝19 800(1＋3．12%)9＝26 136，
故2009 年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6．24%≈136(万美元)，与150 万美元相比少了
约14 万美元，是假新闻．
分段函数模型
4、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车
流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到
200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 千米/小时；当车流密度不超过20 辆/千米
时，车流速度为60 千米/小时，研究表明：当20≤x≤200 时，车流速度v 是车流密度x 的
一次函数．
(1)当0≤x≤200 时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小
时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1 辆/小时)
【解析】
(1)由题意可知当0≤x<20 时，v(x)＝60；当20≤x≤200 时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)
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＝ax＋b 在[20，200]上是减函数，由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x<20 时，f(x)为增函数，故当x＝20 时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200 时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100 时，等号成
立，
∴当x＝100 时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当x＝100 时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100
辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333 辆/小时．
17
