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知识点51：应
三
点解
滑块与
弹簧碰撞
题
用
大观
决
轻
问
【知识思维方法技巧】
滑块与弹簧碰撞模型的特点：
（1）动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒．
（2）机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
（3）弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当
于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
（4）弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（相当于刚完成弹性碰撞）．
考点一：滑块与含弹簧滑块碰撞模型
【知识思维方法技巧】
①两小球速度相同时(相当于完全非弹性碰撞)，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v，能量守恒：m1v0
2＝(m1＋m2)v2＋Epm
②弹簧恢复原长时(相当于完全弹性碰撞)，动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2， 能量守恒：m1v0
2
＝m1v1
2＋m2v2
2，恢复原长时，v1＝v0，v2＝v0；
题型一：水平面运动模型
【典例1 提高题】如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A、B、C，B 的
左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计).设A 以速度v0朝B 运动，压缩弹簧；当A、
B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动.假设B 和C 碰撞过程时间极
短，求从A 开始压缩弹簧直到与弹簧分离的过程中.
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
【典例1 提高题】【答案】(1)mv0
2 (2)mv0
2
【解析】(1)以v0的方向为正方向，对A、B 组成的系统，由动量守恒定律有mv0＝2mv1，
解得v1＝v0，B 与C 碰撞的瞬间，B、C 组成的系统动量守恒，有mv1＝2mv2，解得v2＝，
系统损失的机械能ΔE＝mv1
2－×2mv2
2＝mv0
2
(2)当A、B、C 速度相同时，弹簧的弹性势能最大.以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律
有
mv0＝3mv，解得v＝，根据能量守恒定律，弹簧的最大弹性势能为Ep＝mv0
2－(3m)v2－ΔE
＝mv0
2.
题型二：组合式运动模型
【典例2 提高题】如图所示，CDE 为光滑的轨道，其中ED 是水平的，CD 是竖直平面内的
1
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半圆，与ED 相切于D 点，且半径R＝0.5 m，质量m＝0.1 kg 的滑块A 静止在水平轨道上，
另一质量M＝0.5 kg 的滑块B 前端装有一轻质弹簧(A、B 均可视为质点)以速度v0向左运动
并与滑块A 发生弹性正碰，若相碰后滑块A 能过半圆最高点C，取重力加速度g＝10
m/s2，则：
(1)B 滑块至少要以多大速度向前运动；
(2)如果滑块A 恰好能过C 点，滑块B 与滑块A 相碰后轻质弹簧的最大弹性势能为多少？
【典例2 提高题】【答案】(1)3 m/s (2)0.375 J
【解析】(1)设滑块A 过C 点时速度为vC，B 与A 碰撞后，B 与A 的速度分别为v1、v2，B
碰撞前的速度为v0，过圆轨道最高点的临界条件是重力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg＝m，从D 到C 由动能定理得：－mg·2R＝mv－mv，B 与A 发生弹性碰撞，碰撞过程动
量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：Mv0＝Mv1＋mv2，由机械能
守恒定律得：Mv＝Mv＋mv，由以上代入数据解得：v0＝3 m/s.
(2)由于B 与A 碰撞后，当两者速度相同时弹簧有最大弹性势能Ep，设共同速度为v，A、B
碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：Mv0＝(M＋
m)v，由机械能守恒定律得：Mv＝Ep＋(m＋M)v2，以上各式联立并代入数据解得：Ep＝
0.375 J.
【典例2 提高题对应练习】如图所示，半径为R 的光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，
下端与水平地面在P 点相切，一个质量为2m 的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左
端固定有水平轻弹簧，Q 点为弹簧处于原长时的左端点，P、Q 间的距离为R，PQ 段地面
粗糙、动摩擦因数为μ＝0.5，Q 点右侧水平地面光滑，现将质量为m 的物块A(可视为质
点)从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g.求：
(1)物块A 沿圆弧轨道滑至P 点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A 最终停止位置到Q 点的距离．
【典例2 提高题对应练习】【答案】(1)3mg (2)mgR (3)R
【解析】(1)物块A 从静止沿圆弧轨道滑至P 点，设物块A 在P 点的速度大小为vP，由机械
能守恒定律有：mgR＝mv，在最低点轨道对物块的支持力大小为FN，由牛顿第二定律有：
FN－mg＝m，联立解得：FN＝3mg，由牛顿第三定律可知物块对轨道P 点的压力大小为
2
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3mg.
(2)设物块A 与弹簧接触前瞬间的速度大小为v0，由动能定理有mgR－μmgR＝mv－0，解得
v0＝，当物块A、物块B 具有共同速度v 时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有：
mv0＝(m＋2m)v，mv＝(m＋2m)v2＋Epm，联立解得Epm＝mgR.
(3)设物块A 与弹簧分离时，A、B 的速度大小分别为v1、v2，规定向右为正方向，则有mv0
＝－mv1＋2mv2，mv＝mv＋(2m)v，联立解得：v1＝，设A 最终停在Q 点左侧距Q 点x 处，
由动能定理有：－μmgx＝0－mv，解得x＝R.
考点二：滑块与弹簧连接体碰撞模型
题型一：弹簧连接体两端滑块的压缩（伸长）模型
【典例1 提高题】(多选)如图所示，水平光滑轨道宽度和轻弹簧自然长度均为d，m2的左边
有一固定挡板．m1由图示位置静止释放，当m1与m2相距最近时m1的速度为v1，则在以后
的运动过程中( )
A．m1的最小速度是0
B．m1的最小速度是v1
C．m2的最大速度是v1
D．m2的最大速度是v1
【典例1 提高题】【答案】BD
【解析】由题意结合题图可知，当m1与m2相距最近时，m2的速度为0，此后，m1在前，
做减速运动，m2在后，做加速运动，当再次相距最近时，m1减速结束，m2加速结束，因此
此时m1速度最小，m2速度最大，在此过程中系统动量守恒和机械能守恒，m1v1＝m1v1′＋
m2v2，m1v＝m1v′＋m2v，可解得v′1＝v1，v2＝v1，B、D 选项正确．
【典例1 提高题对应练习】(多选)如图所示，两个小球A、B 大小相等，质量分布均匀，分
别为m1、m2且m1＜m2，A、B 与水平轻弹簧拴接，静止在光滑水平面上，第一次用锤子在
左侧与A 球心等高处水平快速向右敲击A，作用于A 的冲量大小为I1，第二次两小球及弹
簧仍静止在水平面上，用锤子在右侧与B 球心等高处水平快速向左敲击B，作用于B 的冲
量大小为I2，I1＝I2，则下列说法正确的是( )
A．若两次锤子敲击完成瞬间，A、B 两球获得的动量大小分别为p1和p2，则p1＝p2
B．若两次锤子敲击分别对A、B 两球做的功为W1和W2，则W1＝W2
C．若两次弹簧压缩到最短时的长度分别为L1和L2，则L1＜L2
3
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D．若两次弹簧压缩到最短时A、弹簧、B 的共同速度大小分别为v1和v2，则v1＞v2
【典例1 提高题对应练习】【答案】AC
【解析】由动量定理I＝Δp 可知，由于I1＝I2，则两次锤子敲击完成瞬间有p1＝p2，故A 正
确；由于两次锤子敲击完成瞬间两球具有的动量大小相等，且Ek＝，可知A 球获得的初动
能更大，由动能定理可知W1＞W2，故B 错误；由动量守恒可得m1v0＝(m1＋m2)v，得v＝，
由能量守恒有m1v0
2＝(m1＋m2)v2＋Ep，得Ep＝v0
2，由于p1＝p2，则质量越大的球初速度越
小，即A 球获得的初速度较大，则敲击A 球后弹簧的最大弹性势能较大，即L1＜L2，故C
正确；由动量守恒可得m1v0＝(m1＋m2)v，得v＝，则两次弹簧压缩到最短时系统的速度大
小相等，故D 错误．
题型二：滑块与弹簧连接体水平式碰撞模型
【典例2 提高题】如图所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C 三个滑块，滑块A、B
间通过一水平轻弹簧相连，滑块A 左侧紧靠一固定挡板P，某时刻给滑块C 施加一个水平
冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C 撞上滑块B 的瞬间二者粘在一起共同向左运动，
弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释
放势能，已知滑块A、B、C 的质量分别为mA＝mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，(取＝3.17)求：
(1)滑块C 的初速度v0的大小；
(2)当弹簧弹开至恢复到原长的瞬时，滑块B、C 的速度大小；
(3)从滑块B、C 压缩弹簧至弹簧恢复到原长的过程中，弹簧对滑块B、C 整体的冲量．
【典例2 提高题】【答案】(1)9 m/s (2)1.9 m/s (3)1.47 N·s，方向水平向右
【解析】(1)滑块C 撞上滑块B 的过程中，滑块B、C 组成的系统动量守恒，以水平向左为
正，根据动量守恒定律得：mCv0＝(mB＋mC)v1，弹簧被压缩至最短时，滑块B、C 速度为零，
根据能量守恒定律得：Ep＝(mB＋mC)v
解得：v1＝3 m/s，v0＝9 m/s
(2)设弹簧弹开至恢复到原长的瞬间，滑块B、C 的速度大小为v2，滑块A 的大小为v3，根
据动量守恒定律得：mAv3＝(mB＋mC)v2，根据能量守恒定律得：Ep＝mAv＋(mB＋mC)v，解得：
v2≈1.9 m/s
(3)设弹簧对滑块B、C 整体的冲量I，选向右为正方向，由动量定理得：I＝Δp＝(mB＋mC)
(v2＋v1)，解得：I＝1.47 N·s，方向水平向右．
【典例2 提高题对应练习】如图甲所示，物块A、B 的质量分别为mA＝4.0 kg 和mB＝3.0
kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B 右侧与竖直墙壁接触。另有一物块C
从t＝0 时以一定速度向右运动，在t＝4 s 时与物块A 相碰，并立即与A 粘在一起不再分开，
物块C 的vt 图像如图乙所示，求：
4
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(1)物块C 的质量mC；
(2)墙壁对物块B 在4 s 到12 s 的时间内的冲量大小和方向；
(3)物块B 离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep。
【典例2 提高题对应练习】【答案】(1)2 kg (2)36 N·s，方向水平向左 (3)9 J
【解析】(1)由题图乙可知，物块C 与物块A 碰前的速度为v1＝9 m/s，碰后的速度为v2＝3
m/s，C 与A 碰撞过程中动量守恒，由动量守恒定律可得：
mCv1＝(mA＋mC)v2，解得：mC＝2 kg。
(2)由题图乙可知，12s 末物块A 和C 的速度为v3＝－3 m/s，4 s 到12 s 的时间内墙对B 的
冲量为I＝(mA＋mC)v3－(mA＋mC)v2，解得：I＝－36 N·s，方向水平向左。
(3)12 s 末，物块B 离开墙壁之后A、B、C 及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当三者
速度相等时，弹簧的弹性势能最大，以物块A 的速度方向为正方向，由动量守恒定律可得：
(mA＋mC)v3＝(mA＋mB＋mC)v4，由机械能守恒定律可得：(mA＋mC)v3
2＝(mA＋mB＋mC)v4
2＋
Ep，联立并代入数据可解得：Ep＝9 J。
题型三：滑块与弹簧连接体斜面式及竖直式碰撞模型
【典例3 提高题】(多选)竖直放置的轻弹簧下端固定在地上，上端与质量为m 的钢板连接，
钢板处于静止状态。一个质量也为m 的物块从钢板正上方h 处的P 点自由落下，打在钢板
上并与钢板一起向下运动x0后到达最低点Q。下列说法正确的是( )
A．物块与钢板碰后的速度为
B．物块与钢板碰后的速度为
C．从P 到Q 的过程中，弹性势能的增加量为mg(2x0＋)
D．从P 到Q 的过程中，弹性势能的增加量为mg(2x0＋h)
【典例3 提高题】【答案】BC
【解析】物块下落h，由机械能守恒：mgh＝mv1
2；物体与钢板碰撞，则动量守恒：mv1＝
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2mv2，解得v2＝v1＝，选项A 错误，B 正确；从碰撞到Q 点，由能量关系可知：·2mv2
2＋
2mgx0＝Ep，则弹性势能的增加量为Ep＝mg(2x0＋)，选项C 正确，D 错误。
【典例3 提高题对应练习】（多选）如图所示，质量均为m 的A、B 两物体通过劲度系数
为k 的轻质弹簧拴接在一起，竖直放置在水平地面上，物体A 处于静止状态，在A 的正上
方h 高处有一质量也为m 的小球C。现将小球C 由静止释放，C 与A 发生碰撞后立刻粘在
一起，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．C 与A 碰撞后瞬间A 的速度大小为
B．C 与A 碰撞时产生的内能为
C．C 与A 碰撞后弹簧的最大弹性势能为
D．要使碰后物体B 被拉离地面，h 至少为
【典例3 提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】对C 自由下落过程，由机械能守恒得：mgh＝mv0
2，解得：v0＝，对C 与A 组成的
系统，取向下为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝2mv1，解得：v1＝ ，故A 正确；C 与
A 碰撞时产生的内能为：ΔE＝mv0
2－2mv1
2＝mgh，故B 正确；当AC 速度为零时，弹簧的
弹性势能有最大值，Epmax＝×2mv1
2＋2mgΔx>mgh，故C 错误；开始时弹簧的压缩量为：H
＝，碰后物体B 刚被拉离地面时弹簧伸长量为：H＝，则AC 将上升2H，弹簧弹性势能不
变，由系统的机械能守恒得：×2mv1
2＝2mg·2H，解得：h＝，故D 正确。所以A、B、D 正
确，C 错误。
6
