第12讲角（原卷版）_26秋小学初中各机构教辅大合集（一本、教材帮、阳光同学、王朝霞、实验班、小典中点、上分卷、白欧、课堂笔记等等）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》

1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
第12 讲角
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：8 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 角的相关概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置
OB 是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形
成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
图1
图2
.
2 / 14
学科网（北京）股份有限公司
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
知识点2 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1 分，
记作“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高
一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60 时要向高一位进
位。
知识点3 钟表上夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每小时
转30°，时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB
的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
3 / 14
学科网（北京）股份有限公司
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
知识点5 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC
是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点6 角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，
记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上
的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
4 / 14
学科网（北京）股份有限公司
知识点7 余角和补角
（1）余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C 的余角=90°-∠C 即:∠A 的余角=90°-∠A
（2）补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C 的补角=180°-∠C 即:∠A 的补角=180°-∠A
（3）补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
（4）余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
注意：
①钝角没有余角；
②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C 互余；同样：如∠A+
∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C 互为补角；
③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定
互为余角或补角。
教材习题01
解题方法
角度的换算
【答案案】
教材习题02
解题方法
线段的运算
【答案】
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
5 / 14
学科网（北京）股份有限公司
教材习题03
解题方法
线段的运算
【答案】
教材习题04
解题方法
线段的运算
【答案】
教材习题05
解题方法
角的运算
【答案】
/
考点一角的概念及表示
1．（24-25 七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（
）
A．סͳ 与סܣᦙ䁡是同一个角
B．סܣᦙ䁡也可以用סᦙ表示
C．סߚൌס䁡ᦙ䁡
D．ס䁡ᦙ䁡可以看作射线ᦙ䁡绕着它的端点O 旋转至ᦙ䁡而形成的图形，也可看作由有公共端点O 的两
条射线ᦙ䁡，ᦙ䁡组成的图形
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
6 / 14
学科网（北京）股份有限公司
2．（2024 七年级上·全国·专题练习）如图，从点O 出发的四条射线．可以组成角的个数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
3．（24-25 七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（
）
A．סͳ 和סܣᦙ䁡是同一个角
B．סܣᦙ䁡也可以用סᦙ表示
C．图中有三个角
D．סߙ和ס䁡ᦙ䁡是同一个角
4．（24-25 七年级上·河南许昌·期末）如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中סͳ 还可以表示为（
）
A．סܣ
B．ס䁡ܣ䁡
C．סܦܣ䁡
D．סܣ䁡䁡
考点二度分秒换算
1．（24-25 六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（
）
A．ͳ㠵⸴㌹ι ൌͳ⸴㌹Ԣ
B．ʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌʹͺ㠵  ι
C．ͳͺ㔰ι െʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌͳ㌹ͳι⸴ʹԢ⸴ʹԣ
D．͸㌹㠵ʹ㌹ι ൌ͸㌹ιͳ㌹Ԣ
2．（24-25 七年级上·河北石家庄·期中）将ʹ ι͸Ԣ ͸ԣ化表示为度
．
3．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式：͹㔰ι 㔰Ԣ ൌ
ι
4．（2025·湖南张家界·二模）已知סߙൌʹ⸴ιͳ㌹̵ ，סߚൌʹ⸴㠵ͳ㌹ι，则סߙ
סߚ（填“൐”，“൏”或“ൌ”）．
考点三钟面角
1．（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）时钟9 点30 分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（
）
A．͹㌹ι
B．ͻ㔰ι
C．ͳ㔰㌹ι
D．ͳʹ㔰ι
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
7 / 14
学科网（北京）股份有限公司
2．（24-25 七年级上·江苏盐城·期末）在正常的钟表面上，时间为ͳ㔰ǣ 㔰时，时针与分钟所夹的角是（
）
A．ͳ⸴㔰ι
B．ͳ ㌹ι
C．ͳʹ㔰ι
D．ͳ㔰㌹ι
3．（24-25 七年级上·湖北孝感·期末）如图，在͸ǣʹ㔰这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（
）
A．͸㔰ι
B．͹㔰ι
C．͹㌹ι
D．ͺ㔰ι
4．（24-25 七年级下·黑龙江大庆·期中）从ͳǣ⸴㌹到ʹǣ㔰㔰，钟表的分针旋转了
．
考点四方位角
1．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．丙家在甲家北偏西 㔰ι方向
B．甲家在丙家南偏东 㔰ι方向
C．甲家在乙家南偏西㌹㔰ι方向
D．丙家在乙家北偏东ͺ㔰ι方向
2．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点ܣ看点䁡，仰角为ʹʹι，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述
换成用方向角来描述，则点䁡位于点ܣ的（
）
A．南偏西͸ͺι方向上
B．南偏西ʹʹι方向上
C．北偏东ʹʹι方向上
D．北偏东͸ͺι方向上
3．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）如图，我国山东号航空母舰行驶在B 处，同时测得黄岩岛A、中国海
军南昌号驱逐舰C 的方向分别为北偏西 㔰ι和西南方向，则סܣ䁡䁡的度数是（
）
A．͹㌹ι
B．ͻ㔰ι
C．ͳ㔰㌹ι
D．ͳ㌹㔰ι
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
8 / 14
学科网（北京）股份有限公司
4．（24-25 七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点E 在点O 的东北方向，点D 在点O 的北偏西 ʹι方向，
那么סܦᦙ䁡的度数为
度．
考点五角的基本运算
1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，סܣᦙ䁡ൌͻ㔰ι，סܣᦙ䁡ൌʹ㔰ι，ᦙܦ是ס䁡ᦙ䁡的平分线，则סܣᦙܦ的度
数为（
）
A． ㌹ι
B．㌹㌹ι
C．⸴㔰ι
D．͸㔰ι
2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线ܣ䁡、䁡ܦ相交于点ᦙ，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，סܣᦙ䁡ൌ͸ͺι，则סܣᦙ䁡的度
数是（
）
A． ⸴ι
B．ͳ⸴͸ι
C．ͳͳʹι
D．͸ͺι
3．（24-25 七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线ܣ䁡和䁡ܦ相交于点O，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙ䁡，סܦᦙ䁡ൌͻ㔰ι，若
ס䁡ᦙ䁡ൌ͹㔰ι，则סܣᦙ䁡的度数为
．
考点六余角及及性质
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知סߙൌʹ⸴ι㌹㔰Ԣ，则它的余角为（
）
A．͸㌹ιͳ㔰Ԣ
B．͸㌹ι㌹㔰Ԣ
C．ͳ㌹㌹ιͳ㔰Ԣ
D．ͳ㌹㌹ι㌹㔰Ԣ
2.（24-25 七年级上·云南临沧·期末）已知סͳ 与סʹ 互为余角，סͳ ൌͳ㌹ιʹͺԢ，则סʹ 的度数为（
）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
9 / 14
学科网（北京）股份有限公司
A．͹⸴ι ʹԢ
B．͹㌹ι ʹԢ
C．͹⸴ι͹ʹԢ
D．͹㌹ι͹ʹԢ
3．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为 ͸ι，则这个角的度数为
．
4．（24-25 七年级上·江苏宿迁·期末）已知סͳ ൌ㌹㔰ι，סͳ 与סʹ 互余，则סʹ 的度数为
．
考点七补角及性质
1．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）若סܣൌ㌹͸ι，则סܣ的补角为（
）
A． ⸴ι
B．⸴⸴ι
C．ͳͳ⸴ι
D．ͳʹ⸴ι
2．（24-25 七年级下·全国·期中）下列选项中，一定能说明סͳ 和סʹ 互为补角的是（
）
A．סͳ ൌסʹ
B．סͳ ൅סʹ ൌͻ㔰ι
C．סͳ 和סʹ 是对顶角
D．סͳ ൅סʹ ൌͳͺ㔰ι
3．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）已知סܣൌ ͸ι⸴ʹԢ，则סܣ的补角是
．
4．（24-25 七年级上·湖北宜昌·期末）已知一个角的余角是 ㌹ιʹʹԢ，则这个角的补角是
．
考点八角的综合运算
1．（22-23 七年级上·广西河池·期末）如图，ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㌹ι，求סܣᦙ䁡的度
数．
2．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O 为直线ܣ䁡上一点，סܣᦙ䁡ൌ͸㔰ι，ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡，ᦙ䁡
平分ס䁡ᦙ䁡．
(1)求ס䁡ᦙ䁡的度数；
(2)若סܣᦙܦ与סܣᦙ䁡互余，求סܦᦙ䁡的度数．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
10 / 14
学科网（北京）股份有限公司
3．（24-25 七年级上·湖南岳阳·期末）如图，סܣᦙ䁡ൌͳʹ⸴ι，ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，סͳ 和סʹ 互余，求ס䁡ᦙ䁡
的度数．
4．（24-25 七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线ܣ䁡，䁡ܦ相交于点O，且ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㔰ι．
(1)若ס䁡ᦙ䁡ൌ㌹ʹι，求סܣᦙ䁡的度数；
(2)若סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌͳǣ㌹，求סܣᦙ䁡的度数．
5．（24-25 七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，סܣᦙ䁡是平角，סܣᦙ䁡ൌ⸴㔰ι，ס䁡ᦙܦൌ͸㔰ι，ᦙ䁡是סܣᦙ䁡
内的一条射线，ᦙ䁡是ס䁡ᦙܦ的平分线．
(1)若ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㔰ι，求סܦᦙ䁡的度数；
(2)若ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，求ס䁡ᦙ䁡的度数．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
11 / 14
学科网（北京）股份有限公司
知识导图记忆
知识目标复核
1. 角的概念及表示
2. 度分秒换算
3. 钟面角
4. 方位角
5. 角的基本运算
6. 余角及及性质
7. 补角及性质
8. 角的综合运算
一、单选题
1．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是⸴ʹι，则这个角的度数是（
）
A． ͺι
B．⸴ͺι
C．㌹ͺι
D．ͳ ͺι
2．（24-25 七年级下·福建福州·期中）如图，直线ܣ䁡，䁡ܦ交于点ᦙ，ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，若סͳ ൌ 㔰ι，则ס䁡ᦙ䁡
等于（
）
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
12 / 14
学科网（北京）股份有限公司
A．͹㌹ι
B．ͻ㌹ι
C．ͳ㔰㌹ι
D．ͳ㌹㔰ι
3．（2025·河南南阳·二模）星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北
偏西͸㔰ι方向，则爸爸的位置位于妈妈的（
）
A．北偏东͸㔰ι方向B．南偏西͸㔰ι方向C．南偏东͸㔰ι方向
D．南偏东 㔰ι方向
4．（2025 九年级下·江苏·专题练习）如图，ᦙ䁡为סܣᦙ䁡内部的一条射线，下列各式正确的是（
）
A．סܣᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡
B．ס䁡ᦙ䁡൐סܣᦙ䁡
C．סܣᦙ䁡൐סܣᦙ䁡D．סܣᦙ䁡൐ס䁡ᦙ䁡
5．（24-25 七年级上·广东佛山·阶段练习）学校下午ʹǣ㔰㔰考试，考试时间为90 分钟，则考试结束时时针与
分针所夹锐角为（
）
A．ͻ㔰ι
B．͹㌹ι
C．͸㔰ι
D．⸴㌹
二、填空题
6．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）已知סܣᦙ䁡ൌ㌹㔰ι，סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌʹǣ ，则ס䁡ᦙ䁡的度数为
．
7．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果סܣᦙܦൌͳʹ㌹ι，
那么ס䁡ᦙ䁡ൌ
．
8．
（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）如图，若סܣᦙ䁡ൌͳ͸㌹ι，סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
⸴ס䁡ᦙܰ，ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㌹ǣ⸴，
求ס䁡ᦙܰ
的度数为
．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
13 / 14
学科网（北京）股份有限公司
9．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O 处观测到小岛A
在它北偏东͸ʹι㌹ʹԢ的方向上，观测到小岛B 在它南偏东 ͺιͳʹԢ的方向上，则סܣᦙ䁡的补角的度数是
．
10．
（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）如图，若סܣᦙ䁡ൌͳ͸㌹ι，סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
⸴ס䁡ᦙܰ，ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㌹ǣ⸴，
求ס䁡ᦙܰ
的度数为
．
三、解答题
11．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知ᦙܣൌʹcmǡᦙ䁡ൌ
ʹ㠵㌹cmǡᦙܲ
ൌ⸴cm，C 为ᦙܲ
的中点，回答下列问题：
(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？
(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？
(3)若学校距离小明家⸴㔰㔰m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
14 / 14
学科网（北京）股份有限公司
12．（24-25 七年级上·河南商丘·期末）如图，סܣᦙ䁡与ס䁡ᦙ䁡互为补角，ᦙܣ与ᦙ䁡位于ᦙ䁡异侧，סܣᦙ䁡与
סܣᦙܦ互为余角，ᦙ䁡与ᦙܦ位于ᦙܣ异侧，且ס䁡ᦙ䁡ൌͻסܣᦙ䁡．
(1)求סܣᦙ䁡的度数；
(2)若ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，求ס䁡ᦙ䁡的度数．
13．（24-25 七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点ᦙ是直线ܣ䁡上一点，ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㔰㔰ι，ס䁡ᦙܦൌͻ㔰ι，
ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡．
(1)求ס䁡ᦙܦ的度数；
(2)若ס䁡ᦙܲ
与ס䁡ᦙ䁡互余，求ס䁡ᦙܲ
的度数．
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
【温馨提示】本页为广告页，打印前可以把这页删掉
群 
满
或
未
通
过
： 
请 
至 
左 
侧 
资 
料 
库 
文 
档 
获 
取 
最 
新 
二 
维 
码
防失联渠道二：https://link3.cc/xbjf
防失联渠道一
【更多资料关注公众号：瀚升学堂】