第12讲角（解析版）_26秋小学初中各机构教辅大合集（一本、教材帮、阳光同学、王朝霞、实验班、小典中点、上分卷、白欧、课堂笔记等等）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》

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第12 讲角
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：8 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 角的相关概念
1.角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置
OB 是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形
成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
图1
图2
.
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2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
知识点2 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1 分，
记作“1′”，1′的1
60
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高
一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60 时要向高一位进
位。
知识点3 钟表上夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每小时
转30°，时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
知识点4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB
的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
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注意：
（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
知识点5 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC
是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC = 1
2
∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点6 角的运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，
记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上
的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°的角．
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知识点7 余角和补角
（1）余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C 的余角=90°-∠C 即:∠A 的余角=90°-∠A
（2）补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C 的补角=180°-∠C 即:∠A 的补角=180°-∠A
（3）补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
（4）余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D 则：∠C=∠B。
注意：
①钝角没有余角；
②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C 互余；同样：如∠A+
∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C 互为补角；
③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定
互为余角或补角。
教材习题01
解题方法
角度的换算
【答案案】
（1）
（2）
（3）
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教材习题02
解题方法
线段的运算
【答案】
教材习题03
解题方法
线段的运算
【答案】
教材习题04
解题方法
线段的运算
【答案】
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教材习题05
解题方法
角的运算
【答案】
/
考点一角的概念及表示
1．（24-25 七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（
）
A．סͳ 与סܣᦙ䁡是同一个角
B．סܣᦙ䁡也可以用סᦙ表示
C．סߚൌס䁡ᦙ䁡
D．ס䁡ᦙ䁡可以看作射线ᦙ䁡绕着它的端点O 旋转至ᦙ䁡而形成的图形，也可看作由有公共端点O 的两
条射线ᦙ䁡，ᦙ䁡组成的图形
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果．
【详解】解：A、סͳ 与סܣᦙ䁡是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意；
B、סܣᦙ䁡不可以用סᦙ表示，原说法错误，故本选项符合题意；
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C、סߚൌס䁡ᦙ䁡，说法正确，故本选项不符合题意；
D、ס䁡ᦙ䁡可以看作射线ᦙ䁡绕着它的端点O 旋转至ᦙ䁡而形成的图形，也可看作由有公共端点O 的两
条射线ᦙ䁡，ᦙ䁡组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024 七年级上·全国·专题练习）如图，从点O 出发的四条射线．可以组成角的个数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其
它的射线组成一个角，所以从点O 出发的n 条射线，可以组成角的个数为݊݊
െͳ
ʹ
，据此求出从点O 出发
的四条射线可以组成角的个数为多少即可．
【详解】解：从点O 出发的四条射线，可以组成角的个数为：
ͶൈͶെͳ
ʹ
ൌ͸，
故选：B．
3．（24-25 七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（
）
A．סͳ 和סܣᦙ䁡是同一个角
B．סܣᦙ䁡也可以用סᦙ表示
C．图中有三个角
D．סߙ和ס䁡ᦙ䁡是同一个角
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可
以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一
个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用
一个希腊字母（如סߙ，סߚ，סߛ、…）表示，或用阿拉伯数字（סͳ，סʹ…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、סͳ 和סܣᦙ䁡是同一个角，说法正确，不符合题意；
B、סܣᦙ䁡不能用סᦙ表示，故原说法错误，符合题意；
C、图中有סͳ、סߙ和סܣᦙ䁡三个角，说法正确，不符合题意；
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D、סߙ和ס䁡ᦙ䁡是同一个角，说法正确，不符合题意．
故选：B．
4．（24-25 七年级上·河南许昌·期末）如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中סͳ 还可以表示为（
）
A．סܣ
B．ס䁡ܣ䁡
C．סܦܣ䁡
D．סܣ䁡䁡
【答案】B
【分析】本题考查了角的表示方法．角的表示方法有四种：ᬅ用三个字母，中间的字母表示顶点，其它
两个字母分别表示角的两边上的点；ᬆ当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表
示；ᬇ用一个数字表示一个角；ᬈ用一个希腊字母表示一个角．
【详解】解：׶ סͳ 的顶点是点ܣ，סͳ 的两条边分别是ܣ䁡和ܣ䁡，其中点䁡在ܣ䁡边上，点䁡在ܣ䁡边
上，
׵ סͳ 还可以表示为ס䁡ܣ䁡．
故选：B ．
考点二度分秒换算
1．（24-25 六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（
）
A．ͳ㜴Ͷ㔶ι ൌͳͶ㔶Ԣ
B．ʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌʹͺ㜴  ι
C．ͳͺ㠹ι െʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌͳ㔶ͳιͶʹԢͶʹԣ
D．͸㔶㜴ʹ㔶ι ൌ͸㔶ιͳ㔶Ԣ
【答案】D
【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确ͳι ൌ͸㠹Ԣ，ͳԢ ൌ͸㠹ԣ，按照角的度量单位进行转化即
可判断．
【详解】A、ͳ㜴Ͷ㔶ι ൌͳ㜴Ͷ㔶ൈ͸㠹Ԣ ൌͺ͹Ԣ，故该选项错误；
B、ʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌʹͺιͳͺ㜴 Ԣ ൌʹͺ㜴 㠹㔶ι，故该选项错误；
C、ͳͺ㠹ι െʹͺιͳͺԢͳͺԣ ൌͳ㔶ͳιͶͳԢͶʹԣ，故该选项错误；
D、͸㔶㜴ʹ㔶ι ൌ͸㔶ιͳ㔶Ԣ，故该选项正确，
故选：D．
2．（24-25 七年级上·河北石家庄·期中）将ʹ ι͸Ԣ ͸ԣ化表示为度
．
【答案】ʹ 㜴ͳͳι
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ͳԢ ൌ͸㠹ԣ，
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∴ ͸ԣ ൌ㠹㜴͸Ԣ，
∵ͳι ൌ͸㠹Ԣ，
∴͸㜴͸Ԣ ൌ㠹㜴ͳͳι，
∴ʹ ι͸Ԣ ͸ԣ ൌʹ 㜴ͳͳι，
故答案为：ʹ 㜴ͳͳι．
3．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式：͹㠹ι 㠹Ԣ ൌ
ι
【答案】͹㠹㜴㔶
【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据ͳι ൌ͸㠹Ԣ可得 㠹Ԣ ൌ
㠹㜴㔶ι，由此即可得．
【详解】解：∵ͳι ൌ͸㠹Ԣ，
∴ 㠹Ԣ ൌ㠹㜴㔶ι，
∴͹㠹ι 㠹Ԣ ൌ͹㠹ι ൅ 㠹Ԣ ൌ͹㠹ι ൅㠹㜴㔶ι ൌ͹㠹㜴㔶ι，
故答案为：͹㠹㜴㔶．
4．（2025·湖南张家界·二模）已知סߙൌʹͶιͳ㔶̵ ，סߚൌʹͶ㜴ͳ㔶ι，则סߙ
סߚ（填“൐”，“൏”或“ൌ”）．
【答案】൐
【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据ͳι ൌ͸㠹̵ 把ʹͶ㜴ͳ㔶ι化成ʹͶιͻ̵ ，再比较ʹͶιͻ̵ 和ʹͶιͳ㔶̵
的大小即可．
【详解】解：׶ סߚൌʹͶ㜴ͳ㔶ι ൌʹͶιͻ̵ ，ʹͶιͳ㔶̵ ൐ʹͶιͻ̵
׵ סߙ൐סߚ．
故答案为：൐．
考点三钟面角
1．（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）时钟9 点30 分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（
）
A．͹㔶ι
B．ͻ㠹ι
C．ͳ㠹㔶ι
D．ͳʹ㠹ι
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上每大格代表 㠹ι计算即可得解．
【详解】解：时钟9 点30 分时，分针和时针之间形成的角的大小等于 㠹ι ൈ  ൅ͳ㔶ι ൌͳ㠹㔶ι，
故选：C．
2．（24-25 七年级上·江苏盐城·期末）在正常的钟表面上，时间为ͳ㠹ǣ 㠹时，时针与分钟所夹的角是（
）
A．ͳͶ㠹ι
B．ͳ 㔶ι
C．ͳʹ㠹ι
D．ͳ㠹㔶ι
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角．根据时钟上一大格是 㠹ι进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：Ͷ㜴㔶ൈ 㠹ι ൌͳ 㔶ι，
∴在正常的钟表面上，时间为ͳ㠹ǣ 㠹时，时针与分钟所夹的角是ͳ 㔶ι，
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故选：B．
3．（24-25 七年级上·湖北孝感·期末）如图，在͸ǣʹ㠹这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（
）
A．͸㠹ι
B．͹㠹ι
C．͹㔶ι
D．ͺ㠹ι
【答案】B
【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6 点20 分，时针和分针中间相差ʹ
ͳ
 个大格是解题
的关键．6 点20 分时，时针指向6 和7 的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差ʹ
ͳ
 个大格，再根据
一大格为30 度进行求解即可．
【详解】解：
ʹ㠹
͸㠹ൌ
ͳ
 
6 点20 分，时针和分针中间相差ʹ
ͳ
 个大格．
∵钟表12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 㠹ι，
∴6 点20 分时分针与时针的夹角是ʹ
ͳ
  ൈ 㠹ι ൌ
͹
  ൈ 㠹ι ൌ͹㠹ι．
故选：B．
4．（24-25 七年级下·黑龙江大庆·期中）从ͳǣͶ㔶到ʹǣ㠹㠹，钟表的分针旋转了
．
【答案】ͻ㠹ι/90 度
【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，在钟表问题中，应明确钟表分12 个大格，每个大格之间的
夹角为 㠹ι．从ͳǣͶ㔶到ʹǣ㠹㠹，钟表的分针从数字9 旋转到数字12，共旋转了3 大格，是： 㠹ι ൈ  ൌͻ㠹ι，
据此即可解题．
【详解】解： 㠹ι ൈ  ൌͻ㠹ι，
答：从ͳǣͶ㔶到ʹǣ㠹㠹，钟表的分针旋转了ͻ㠹ι．
故答案为：ͻ㠹ι．
考点四方位角
1．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（
）
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A．丙家在甲家北偏西 㠹ι方向
B．甲家在丙家南偏东 㠹ι方向
C．甲家在乙家南偏西㔶㠹ι方向
D．丙家在乙家北偏东ͺ㠹ι方向
【答案】D
【分析】根据方向角的应用，判定解答即可．
本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角是解题的关键．
【详解】解：A. 丙家在甲家南偏东 㠹ι方向，此选项不符合题意；
B. 甲家在丙家北偏西 㠹ι方向，此选项不符合题意；
C. 甲家在乙家北偏东㔶㠹ι方向，此选项不符合题意；
D. 丙家在乙家北偏东ͺ㠹ι方向，此选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点ܣ看点䁡，仰角为ʹʹι，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述
换成用方向角来描述，则点䁡位于点ܣ的（
）
A．南偏西͸ͺι方向上
B．南偏西ʹʹι方向上
C．北偏东ʹʹι方向上
D．北偏东͸ͺι方向上
【答案】D
【分析】本题考查了仰角与方向角；过A作水平方向射线ܣ䁡，垂直方向射线ܣܦ，则סܦܣ䁡ൌͻ㠹ι，ס䁡ܣ䁡ൌ
ʹʹι；由此可求得סܦܣ䁡，从而可确定点䁡位于点ܣ的方向．
【详解】解：过A 作水平方向射线ܣ䁡，垂直方向射线ܣܦ，则סܦܣ䁡ൌͻ㠹ι，ס䁡ܣ䁡ൌʹʹι；
则סܦܣ䁡ൌͻ㠹ι െס䁡ܣ䁡ൌ͸ͺι，
∴点䁡位于点ܣ的方向为北偏东͸ͺι方向上．
故意选：D．
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3．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）如图，我国山东号航空母舰行驶在B 处，同时测得黄岩岛A、中国海
军南昌号驱逐舰C 的方向分别为北偏西 㠹ι和西南方向，则סܣ䁡䁡的度数是（
）
A．͹㔶ι
B．ͻ㠹ι
C．ͳ㠹㔶ι
D．ͳ㔶㠹ι
【答案】C
【分析】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义计算即
可．
【详解】解：如图，
由题意得，סܣ䁡ܦൌ 㠹ι，ס䁡䁡䁡ൌͶ㔶ι，
׵ סܣ䁡䁡ൌͳͺ㠹ι െסܣ䁡ܦെס䁡䁡䁡ൌͳ㠹㔶ι．
故选：C．
4．（24-25 七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点E 在点O 的东北方向，点D 在点O 的北偏西 ʹι方向，
那么סܦᦙ䁡的度数为
度．
【答案】77
【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向
角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一
般指锐角），通常表达成北偏东（西）多少度或南偏东（西）多少度，若正好为45 度，则表示为西（东）
南（北）．利用方向角的定义求解即可．
【详解】解：∵D 在点O 的北偏西 ʹι方向，E 在点O 的东北方向，，
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∴סܦᦙ䁡ൌ ʹι ൅Ͷ㔶ι ൌ͹͹ι，
故答案为：͹͹．
考点五角的基本运算
1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，סܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι，סܣᦙ䁡ൌʹ㠹ι，ᦙܦ是ס䁡ᦙ䁡的平分线，则סܣᦙܦ的度
数为（
）
A． 㔶ι
B．㔶㔶ι
C．Ͷ㠹ι
D．͸㠹ι
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出ס䁡ᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡െסܣᦙ䁡ൌ͹㠹ι，又ᦙܦ是ס䁡ᦙ䁡
的平分线，则ס䁡ᦙܦൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙ䁡ൌ 㔶ι，然后通过סܣᦙܦൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙܦ即可求解，掌握知识点的应用
是解题的关键．
【详解】解：∵סܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι，סܣᦙ䁡ൌʹ㠹ι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡െסܣᦙ䁡ൌ͹㠹ι，
∵ᦙܦ是ס䁡ᦙ䁡的平分线，
∴ס䁡ᦙܦൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙ䁡ൌ 㔶ι，
∴סܣᦙܦൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙܦൌʹ㠹ι ൅ 㔶ι ൌ㔶㔶ι，
故选：B．
2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线ܣ䁡、䁡ܦ相交于点ᦙ，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，סܣᦙ䁡ൌ͸ͺι，则סܣᦙ䁡的度
数是（
）
A． Ͷι
B．ͳͶ͸ι
C．ͳͳʹι
D．͸ͺι
【答案】B
【分析】根据题意，得ס䁡ᦙܦൌסܣᦙ䁡ൌ͸ͺι，结合ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，求得ס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙܦ，根据ס䁡ᦙ䁡൅
סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι，解答即可．
本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，
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∴סܦᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙܦ,
∵ס䁡ᦙܦൌסܣᦙ䁡ൌ͸ͺι，
∴סܦᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡ൌ Ͷι,
∵ס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι，
∴סܣᦙ䁡ൌͳͶ͸ι，
故选：B．
3．（24-25 七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线ܣ䁡和䁡ܦ相交于点O，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙ䁡，סܦᦙ䁡ൌͻ㠹ι，若
ס䁡ᦙ䁡ൌ͹㠹ι，则סܣᦙ䁡的度数为
．
【答案】㔶㠹ι
【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平
分线的性质求得ס䁡ᦙ䁡ൌʹס䁡ᦙ䁡ൌͳͶ㠹ι，再根据平角的性质，即可求解．
【详解】解：∵ᦙ䁡平分ס䁡ᦙ䁡，ס䁡ᦙ䁡ൌ͹㠹ι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌʹס䁡ᦙ䁡ൌͳͶ㠹ι，
∴ס䁡ᦙܦൌͳͺ㠹ι െס䁡ᦙ䁡ൌͶ㠹ι，
∵סܦᦙ䁡ൌͻ㠹ι，
∴סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െסܦᦙ䁡െס䁡ᦙܦൌ㔶㠹ι，
故答案为㔶㠹ι．
考点六余角及及性质
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知סߙൌʹͶι㔶㠹Ԣ，则它的余角为（
）
A．͸㔶ιͳ㠹Ԣ
B．͸㔶ι㔶㠹Ԣ
C．ͳ㔶㔶ιͳ㠹Ԣ
D．ͳ㔶㔶ι㔶㠹Ԣ
【答案】A
【分析】本题考查了求一个角的余角，掌握余角的概念是解题的关键；根据余角的概念：和为90 度的
两个角互为余角，进行求解即可．
【详解】解：ͻ㠹ι െסߙൌͻ㠹ι െʹͶι㔶㠹̵ ൌ͸㔶ιͳ㠹̵ ，
故选：A．
2.（24-25 七年级上·云南临沧·期末）已知סͳ 与סʹ 互为余角，סͳ ൌͳ㔶ιʹͺԢ，则סʹ 的度数为（
）
A．͹Ͷι ʹԢ
B．͹㔶ι ʹԢ
C．͹Ͷι͹ʹԢ
D．͹㔶ι͹ʹԢ
【答案】A
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【分析】本题考查余角的概念及角度的计算，解题的关键是明确互余的两个角之和为ͻ㠹ι，并掌握角度
的度分换算规则。
根据余角的定义，用ͻ㠹ι减去סͳ ൌͳ㔶ιʹͺԢ的度数，再进行度分的换算，从而得出סʹ 的度数。
【详解】解：׶ סͳ 与סʹ 互为余角，
׵ סͳ ൅סʹ ൌͻ㠹ι，
׵ סʹ ൌͻ㠹ι െסͳ．
׵ סʹ ൌͻ㠹ι െͳ㔶ιʹͺԢ。
׶ ͳι ൌ͸㠹Ԣ，将ͻ㠹ι写成ͺͻι͸㠹Ԣ，
׵ סʹ ൌͺͻι͸㠹Ԣ െͳ㔶ιʹͺԢ，
׵ סʹ ൌሺͺͻ െͳ㔶䁨ι ൅ሺ͸㠹െʹͺ䁨Ԣ ൌ͹Ͷι ʹԢ，
故选：A．
3．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为 ͸ι，则这个角的度数为
．
【答案】㔶Ͷι/54 度
【分析】本题考查余角的定义．根据两个角的和是ͻ㠹ι，那么这两个角互为余角解答即可．
【详解】解：根据余角的定义知，这个角的度数为ͻ㠹ι െ ͸ι ൌ㔶Ͷι，
故答案为：㔶Ͷι．
4．（24-25 七年级上·江苏宿迁·期末）已知סͳ ൌ㔶㠹ι，סͳ 与סʹ 互余，则סʹ 的度数为
．
【答案】Ͷ㠹ι/Ͷ㠹度
【分析】本题考查了余角的计算，互余的两个角和为ͻ㠹ι，据此即可求解．
【详解】解：סʹ ൌͻ㠹ι െסͳ ൌͶ㠹ι，
故答案为：Ͷ㠹ι．
考点七补角及性质
1．（24-25 七年级下·辽宁锦州·期中）若סܣൌ㔶͸ι，则סܣ的补角为（
）
A． Ͷι
B．ͶͶι
C．ͳͳͶι
D．ͳʹͶι
【答案】D
【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键．
补角是指如果两个角的和是ͳͺ㠹ι，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解．
【详解】解：若סܣൌ㔶͸ι，则סܣ的补角ൌͳͺ㠹ι െ㔶͸ ൌͳʹͶι，
故选：D ．
2．（24-25 七年级下·全国·期中）下列选项中，一定能说明סͳ 和סʹ 互为补角的是（
）
A．סͳ ൌסʹ
B．סͳ ൅סʹ ൌͻ㠹ι
C．סͳ 和סʹ 是对顶角
D．סͳ ൅סʹ ൌͳͺ㠹ι
【答案】D
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【分析】本题主要考查了补角的定义．解答的关键是熟练掌握补角的定义：如果两个角的和等于ͳͺ㠹ι，
就说这两个角互为补角．根据补角的概念求解即可．
【详解】如果סͳ 与סʹ 互为补角，那么סͳ ൅סʹ ൌͳͺ㠹ι．
故选：D．
3．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）已知סܣൌ ͸ιͶʹԢ，则סܣ的补角是
．
【答案】ͳͶ ιͳͺԢ
【分析】本题考查了补角的定义，熟练掌握互为补角的两个角的和等于ͳͺ㠹ι是解题的关键．根据补角
的定义即可求解．
【详解】解：׶ סܣൌ ͸ιͶʹԢ，
׵ סܣ的补角ൌͳͺ㠹ι െ ͸ιͶʹԢ ൌͳͶ ιͳͺԢ．
故答案为：ͳͶ ιͳͺԢ．
4．（24-25 七年级上·湖北宜昌·期末）已知一个角的余角是 㔶ιʹʹԢ，则这个角的补角是
．
【答案】ͳʹ㔶ιʹʹԢ
【分析】本题考查了求一个角的余角、补角，由余角的定义得ͻ㠹ι െ 㔶ιʹʹԢ，由补角的定义即可求解；
理解余角、补角的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得
这个角的为：ͻ㠹ι െ 㔶ιʹʹԢ ൌ㔶Ͷι ͺԢ，
这个角的补角是：ͳͺ㠹ι െ㔶Ͷι ͺԢ ൌͳʹ㔶ιʹʹԢ，
故答案为：ͳʹ㔶ιʹʹԢ．
考点八角的综合运算
1．（22-23 七年级上·广西河池·期末）如图，ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㔶ι，求סܣᦙ䁡的度
数．
【答案】Ͷ㔶ι
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵ᦙ䁡平分ס䁡ᦙܦ，ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㔶ι，
∴ס䁡ᦙܦൌʹס䁡ᦙ䁡ൌ 㠹ι，
∵ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，
∴סܣᦙ䁡ൌס䁡ᦙܦൌ 㠹ι，
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∴סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡ൌͶ㔶ι．
2．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O 为直线ܣ䁡上一点，סܣᦙ䁡ൌ͸㠹ι，ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡，ᦙ䁡
平分ס䁡ᦙ䁡．
(1)求ס䁡ᦙ䁡的度数；
(2)若סܣᦙܦ与סܣᦙ䁡互余，求סܦᦙ䁡的度数．
【答案】(1)͹㔶ι
(2)ͳ 㔶ι
【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌ 㠹ι，利用平角的定义求出ס䁡ᦙ䁡的度数，再利用角
平分线的定义即可求出ס䁡ᦙ䁡的度数；
（2）根据余角的定义得到סܣᦙܦൌ 㠹ι，结合（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）解：׶ ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡，סܣᦙ䁡ൌ͸㠹ι，
׵ סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌ 㠹ι，
׵ ס䁡ᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െסܣᦙ䁡ൌͳ㔶㠹ι，
又׶ ᦙ䁡平分ס䁡ᦙ䁡，
׵ ס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ൈͳ㔶㠹ι ൌ͹㔶ι，
׵ ס䁡ᦙ䁡的度数为͹㔶ι．
（2）解：׶ סܣᦙܦ与סܣᦙ䁡互余，
׵ סܣᦙܦ൅סܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι，
׵ סܣᦙܦൌͻ㠹ι െסܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι െ͸㠹ι ൌ 㠹ι，
由（1）得，סܣᦙ䁡ൌ 㠹ι，ס䁡ᦙ䁡ൌ͹㔶ι，
׵ סܦᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡൅סܣᦙܦൌ͹㔶ι ൅ 㠹ι ൅ 㠹ι ൌͳ 㔶ι，
׵ סܦᦙ䁡的度数为ͳ 㔶ι．
3．（24-25 七年级上·湖南岳阳·期末）如图，סܣᦙ䁡ൌͳʹͶι，ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，סͳ 和סʹ 互余，求ס䁡ᦙ䁡
的度数．
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【答案】ͳ㔶ʹι
【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及余角的知识，首先根据角平分线的定义求得סʹ ൌ͸ʹι，
然后根据余角的定义，通过סͳ ൌͻ㠹ι െסʹ 计算סͳ 的度数，进而即可求解．
【详解】解：∵סܣᦙ䁡ൌͳʹͶι，ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，
∴סʹ ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ൈͳʹͶι ൌ͸ʹι
∵סͳ 和סʹ 互余，
∴סͳ ൌͻ㠹ι െסʹ ൌͻ㠹ι െ͸ʹι ൌʹͺι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌסͳ ൅סܣᦙ䁡ൌʹͺι ൅ͳʹͶι ൌͳ㔶ʹι
4．（24-25 七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线ܣ䁡，䁡ܦ相交于点O，且ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι．
(1)若ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ʹι，求סܣᦙ䁡的度数；
(2)若סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌͳǣ㔶，求סܣᦙ䁡的度数．
【答案】(1) ͺι
(2)ͳʹ㠹ι
【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键．
（1）利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌͳǣ㔶，求出סܣᦙ䁡ൌ 㠹ι，再根据סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡求解即可．
【详解】（1）解：׶ ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ʹι，ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι
׵ סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െס䁡ᦙ䁡െס䁡ᦙ䁡ൌ ͺι，
׵ סܣᦙ䁡的度数为 ͺι；
（2）׶ סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌͳǣ㔶，סܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι，
׵ סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
͸ ൈͳͺ㠹ι ൌ 㠹ι，
׶ ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι，
׵ סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡ൌͳʹ㠹ι，
׵ סܣᦙ䁡的度数为ͳʹ㠹ι．
5．（24-25 七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，סܣᦙ䁡是平角，סܣᦙ䁡ൌͶ㠹ι，ס䁡ᦙܦൌ͸㠹ι，ᦙ䁡是סܣᦙ䁡
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内的一条射线，ᦙ䁡是ס䁡ᦙܦ的平分线．
(1)若ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㠹ι，求סܦᦙ䁡的度数；
(2)若ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，求ס䁡ᦙ䁡的度数．
【答案】(1)סܦᦙ䁡ൌͻ㠹ι
(2)ס䁡ᦙ䁡ൌͳ 㠹ι
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的性质．
（1）利用平角的定义求得ס䁡ᦙܦൌͺ㠹ι，再根据角的和差求解即可；
（2）利用角平分线的定义分别求得סܣᦙ䁡和ס䁡ᦙ䁡的度数，再利用平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：因为סܣᦙ䁡ൌͶ㠹ι，ס䁡ᦙܦൌ͸㠹ι，
所以ס䁡ᦙܦൌͳͺ㠹ι െͶ㠹ι െ͸㠹ι ൌͺ㠹ι，
因为ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㠹ι，
所以סܦᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܦൌͳ㠹ι ൅ͺ㠹ι ൌͻ㠹ι；
（2）解：因为סܣᦙ䁡ൌͶ㠹ι，ס䁡ᦙܦൌ͸㠹ι，
ᦙ䁡是סܣᦙ䁡的平分线，ᦙ䁡是ס䁡ᦙܦ的平分线，
所以סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ൈͶ㠹ι ൌʹ㠹ι，
ס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ ס䁡ᦙܦൌ
ͳ
ʹ ൈ͸㠹ι ൌ 㠹ι，
所以ס䁡ᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െʹ㠹ι െ 㠹ι ൌͳ 㠹ι．
知识导图记忆
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知识目标复核
1. 角的概念及表示
2. 度分秒换算
3. 钟面角
4. 方位角
5. 角的基本运算
6. 余角及及性质
7. 补角及性质
8. 角的综合运算
一、单选题
1．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是Ͷʹι，则这个角的度数是（
）
A． ͺι
B．Ͷͺι
C．㔶ͺι
D．ͳ ͺι
【答案】D
【分析】本题考查了求一个角的补角；根据和为ͳͺ㠹ι的两个互为补角即可求解．
【详解】解：ͳͺ㠹ι െͶʹι ൌͳ ͺι，
即这个角为ͳ ͺι；
故选：D．
2．（24-25 七年级下·福建福州·期中）如图，直线ܣ䁡，䁡ܦ交于点ᦙ，ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，若סͳ ൌ 㠹ι，则ס䁡ᦙ䁡
等于（
）
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A．͹㔶ι
B．ͻ㔶ι
C．ͳ㠹㔶ι
D．ͳ㔶㠹ι
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由平角的定义求出סܣᦙܦ的度
数，再由角平分线的定义求出סܦᦙ䁡的度数，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵סͳ ൌ 㠹ι，סͳ ൅סܣᦙܦൌͳͺ㠹ι，
∴סܣᦙܦൌͳ㔶㠹ι，
∵ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，
∴סܦᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙܦൌ͹㔶ι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െסܦᦙ䁡ൌͳ㠹㔶ι，
故选：C．
3．（2025·河南南阳·二模）星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北
偏西͸㠹ι方向，则爸爸的位置位于妈妈的（
）
A．北偏东͸㠹ι方向B．南偏西͸㠹ι方向C．南偏东͸㠹ι方向
D．南偏东 㠹ι方向
【答案】C
【分析】本题主要考查了方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键，根据妈妈位于爸爸的方向
与爸爸位于妈妈的方向相反且度数相同即可得出答案．
【详解】解：∵妈妈位于爸爸北偏西͸㠹ι方向，
∴爸爸位于妈妈的南偏东͸㠹ι方向，
故选：C．
4．（2025 九年级下·江苏·专题练习）如图，ᦙ䁡为סܣᦙ䁡内部的一条射线，下列各式正确的是（
）
A．סܣᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡
B．ס䁡ᦙ䁡൐סܣᦙ䁡
C．סܣᦙ䁡൐סܣᦙ䁡D．סܣᦙ䁡൐ס䁡ᦙ䁡
【答案】D
【分析】本题考查了角的大小比较，掌握角的和差关系及整体和部分的关系是解决本题的关键．
利用角的平分线的定义及角的和差关系可得结论．
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【详解】解：∵ᦙ䁡是角内的一条射线，不是角的平分线，所以选项A 错误，不符合题意；
∵סܣᦙ䁡ൌס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡，
由于部分小于整体，所以选项B、C 错误，不符合题意；
由于整体大于部分，所以选项D 正确，符合题意．
故选：D．
5．（24-25 七年级上·广东佛山·阶段练习）学校下午ʹǣ㠹㠹考试，考试时间为90 分钟，则考试结束时时针与
分针所夹锐角为（
）
A．ͻ㠹ι
B．͹㔶ι
C．͸㠹ι
D．Ͷ㔶
【答案】B
【分析】本题考查钟面角的问题，解题的关键是明确钟表上12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为
 㠹ι，根据钟表上的角度我们知道一圈有12 大格，每个大格的角度为 㠹ι，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：学校下午ʹǣ㠹㠹考试，考试时间为90 分钟，
∴考试结束时为下午3 点30 分，
3 点30 分，时针和分针中间相差2.5 个大格，
∴钟表12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 㠹ι，
∴  点30 分分针与时针的夹角是ʹ㜴㔶ൈ 㠹ι ൌ͹㔶ι．
故选：B．
二、填空题
6．（24-25 七年级下·四川雅安·期中）已知סܣᦙ䁡ൌ㔶㠹ι，סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌʹǣ ，则ס䁡ᦙ䁡的度数为
．
【答案】ͳ㔶㠹ι或 㠹ι
【分析】本题考查了角的计算．通过分析，可知有两种情况：①ᦙ䁡在ᦙܣ左边；②ᦙ䁡在ᦙܣ右边，画
图后分别计算即可．
【详解】解：①ᦙ䁡在ᦙܣ左边，如图，
∵סܣᦙ䁡ൌ㔶㠹ι，סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌʹǣ ，
∴סܣᦙ䁡ǣ סܣᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌʹǣ ，
∴סܣᦙ䁡ൌͳ㠹㠹ι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㠹㠹ι ൅㔶㠹ι ൌͳ㔶㠹ι；
②ᦙ䁡在ᦙܣ右边，如图，
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∵סܣᦙ䁡ൌ㔶㠹ι，סܣᦙ䁡ǣס䁡ᦙ䁡ൌʹǣ ，
∴סܣᦙ䁡ൌʹ㠹ι，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌ 㠹ι．
故答案为：ͳ㔶㠹ι或 㠹ι．
7．（24-25 七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果סܣᦙܦൌͳʹ㔶ι，
那么ס䁡ᦙ䁡ൌ
．
【答案】㔶㔶ι/55 度
【分析】本题考查角的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据两个直角三角形的直角
顶点重合，סܣᦙܦൌͳʹ㔶ι，从而可推出ס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι，סܣᦙ䁡൅ͻ㠹ι ൌͳʹ㔶ι，结合两个式子即可
求出ס䁡ᦙ䁡的度数．
【详解】解：׶两个直角三角形的直角顶点重合，且סܣᦙܦൌͳʹ㔶ι，
׵ס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌͻ㠹ι，סܣᦙ䁡൅ͻ㠹ι ൌͳʹ㔶ι，
׵ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι െͳʹ㔶ι െͻ㠹ι ൌ㔶㔶ι,
故答案为：㔶㔶ι．
8．
（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）如图，若סܣᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι，סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
Ͷ ס䁡ᦙܰ，ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㔶ǣͶ，
求ס䁡ᦙܰ
的度数为
．
【答案】ͳ 㔶ι/135 度
【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌߙ，则ס䁡ᦙܰ
ൌͶߙ，ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ߙ，根
据סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
൅סܰᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι求出ߙൌͳ㔶ι，即可得解．
【详解】解：∵סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
Ͷ ס䁡ᦙܰ，
∴设סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌߙ，则ס䁡ᦙܰ
ൌͶߙ，
∵ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㔶ǣͶ，
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∴ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ߙ，
∵סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
൅סܰᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι，
∴ߙ൅㔶ߙ൅Ͷߙ൅ߙൌͳ͸㔶ι，
∴ߙൌͳ㔶ι，
∴ס䁡ᦙܰ
ൌס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
ൌͳ 㔶ι，
故答案为：ͳ 㔶ι．
9．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O 处观测到小岛A
在它北偏东͸ʹι㔶ʹԢ的方向上，观测到小岛B 在它南偏东 ͺιͳʹԢ的方向上，则סܣᦙ䁡的补角的度数是
．
【答案】ͳ㠹ͳιͶԢ
【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．
根据已知条件可直接确定סܣᦙ䁡的度数，再根据补角的定义即可求解．
【详解】解：因为ᦙܣ是表示北偏东͸ʹι㔶ʹԢ方向的一条射线，ᦙ䁡是表示南偏东 ͺιͳʹԢ方向的一条射线，
所以סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െ͸ʹι㔶ʹԢ െ ͺιͳʹԢ ൌ͹ͺι㔶͸Ԣ，
所以סܣᦙ䁡的补角的度数是ͳͺ㠹ι െ͹ͺι㔶͸Ԣ ൌͳ㠹ͳιͶԢ．
故答案为：ͳ㠹ͳιͶԢ．
10．
（24-25 九年级上·重庆·阶段练习）如图，若סܣᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι，סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
Ͷ ס䁡ᦙܰ，ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㔶ǣͶ，
求ס䁡ᦙܰ
的度数为
．
【答案】ͳ 㔶ι/135 度
【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌߙ，则ס䁡ᦙܰ
ൌͶߙ，ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ߙ，根据
סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
൅סܰᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι求出ߙൌͳ㔶ι，即可得解．
【详解】解：∵סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌ
ͳ
Ͷ ס䁡ᦙܰ，
∴设סܣᦙ䁡ൌסܰᦙ䁡ൌߙ，则ס䁡ᦙܰ
ൌͶߙ，
∵ס䁡ᦙ䁡ǣס䁡ᦙܰ
ൌ㔶ǣͶ，
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∴ס䁡ᦙ䁡ൌ㔶ߙ，
∵סܣᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅ס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
൅סܰᦙ䁡ൌͳ͸㔶ι，
∴ߙ൅㔶ߙ൅Ͷߙ൅ߙൌͳ͸㔶ι，
∴ߙൌͳ㔶ι，
∴ס䁡ᦙܰ
ൌס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܰ
ൌͳ 㔶ι，
故答案为：ͳ 㔶ι．
三、解答题
11．（24-25 八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知ᦙܣൌʹcmǡᦙ䁡ൌ
ʹ㜴㔶cmǡᦙܲ
ൌͶcm，C 为ᦙܲ
的中点，回答下列问题：
(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？
(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？
(3)若学校距离小明家Ͷ㠹㠹m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【答案】(1)学校和公园
(2)商场在小明家北偏西 㠹ι方向上，学校在小明家北偏东Ͷ㔶ι方向上，公园在小明家南偏东͸㠹ι方向上，停
车场在小明家南偏东͸㠹ι方向上；公园和停车场的方位相同
(3)㔶㠹㠹m；ͺ㠹㠹m
【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键．
（1）求出ᦙ䁡的长，得到ᦙܣൌᦙ䁡൏ᦙ䁡൏ᦙܲ
即可得到答案；
（2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可；
（3）根据题意可知地图上ͳcm 表示实际Ͷ㠹㠹ൈ
ͳ
ʹ m，据此列式求解即可．
【详解】（1）解：∵C 为ᦙܲ
的中点，ᦙܲ
ൌͶcm，
∴ᦙ䁡ൌܲ
䁡ൌ
ͳ
ʹ ᦙܲ
ൌʹcm，
∴ᦙܣൌᦙ䁡൏ᦙ䁡൏ᦙܲ，
∴图中距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）解：由题意得，商场在小明家北偏西ͻ㠹ι െ͸㠹ι ൌ 㠹ι方向上，
学校在小明家北偏东ͻ㠹ι െͶ㔶ι ൌͶ㔶ι方向上，
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公园在小明家南偏东ͻ㠹ι െ 㠹ι ൌ͸㠹ι方向上，
停车场在小明家南偏东ͻ㠹ι െ 㠹ι ൌ͸㠹ι方向上，
∴公园和停车场的方位相同．
（3）解：∵学校距离小明家Ͷ㠹㠹m，
∴商场距离小明家Ͷ㠹㠹ൈ
ʹ㜴㔶
ʹ ൌ㔶㠹㠹m，停车场距离小明家Ͷ㠹㠹ൈ
Ͷ
ʹ ൌͺ㠹㠹m．
12．（24-25 七年级上·河南商丘·期末）如图，סܣᦙ䁡与ס䁡ᦙ䁡互为补角，ᦙܣ与ᦙ䁡位于ᦙ䁡异侧，סܣᦙ䁡与
סܣᦙܦ互为余角，ᦙ䁡与ᦙܦ位于ᦙܣ异侧，且ס䁡ᦙ䁡ൌͻסܣᦙ䁡．
(1)求סܣᦙ䁡的度数；
(2)若ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，求ס䁡ᦙ䁡的度数．
【答案】(1)ͳͺι
(2)㔶Ͷι
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角和补角，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角
之间的关系．
（1）根据ס䁡ᦙ䁡ൌͻסܣᦙ䁡和平角的定义即可求解；
（2）根据סܣᦙ䁡与סܣᦙܦ互为余角，求出סܣᦙܦ，再根据ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，求出סܣᦙ䁡，即可求解．
【详解】（1）解：׶ ס䁡ᦙ䁡ൌͻסܣᦙ䁡，
∴ס䁡ᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌͳ㠹סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι，
׵ סܣᦙ䁡ൌͳͺι．
（2）解：׶ סܣᦙ䁡൅סܣᦙܦൌͻ㠹ι，
׵ סܣᦙܦൌͻ㠹ι െͳͺι ൌ͹ʹι，
׶ ᦙ䁡平分סܣᦙܦ，
׵ סܣᦙ䁡ൌסܦᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙܦൌ ͸ι，
׵ ס䁡ᦙ䁡ൌסܣᦙ䁡൅סܣᦙ䁡ൌͳͺι ൅ ͸ι ൌ㔶Ͷι．
13．（24-25 七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点ᦙ是直线ܣ䁡上一点，ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㠹㠹ι，ס䁡ᦙܦൌͻ㠹ι，
ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡．
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(1)求ס䁡ᦙܦ的度数；
(2)若ס䁡ᦙܲ
与ס䁡ᦙ䁡互余，求ס䁡ᦙܲ
的度数．
【答案】(1)㔶㠹ι
(2)㔶㠹ι
【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关
角的度数是解题的关键．
（1）由已知角度结合平角的定义可求解סܣᦙܦ、סܣᦙ䁡的度数，再利用角平分线的定义可求解；
（2）根据余角的定义求出ס䁡ᦙܲ
൅ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解．
【详解】（1）解：∵ס䁡ᦙ䁡ൌͳ㠹㠹ι、ס䁡ᦙܦൌͻ㠹ι，
∴ס䁡ᦙ䁡൅ס䁡ᦙܦൌͳ㠹㠹ι ൅ͻ㠹ι ൌͳͻ㠹ι，
∵סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι，
∴סܣᦙܦൌͳͻ㠹ι െͳͺ㠹ι ൌͳ㠹ι，סܣᦙ䁡ൌͳͺ㠹ι െͳ㠹㠹ι ൌͺ㠹ι，
∵ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡，
∴סܣᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌͶ㠹ι，
∴ס䁡ᦙܦൌסܣᦙ䁡൅סܣᦙܦൌͶ㠹ι ൅ͳ㠹ι ൌ㔶㠹ι；
（2）解：∵ס䁡ᦙܲ
与ס䁡ᦙ䁡互余，
∴ס䁡ᦙܲ
൅ס䁡ᦙ䁡ൌͻ㠹ι，
∵ᦙ䁡平分סܣᦙ䁡，
∴ס䁡ᦙ䁡ൌ
ͳ
ʹ סܣᦙ䁡ൌͶ㠹ι，
∴ס䁡ᦙܲ
ൌͻ㠹ι െͶ㠹ι ൌ㔶㠹ι．
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