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专题14 函数模型及其应用
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：用函数图象刻画变化过程
题型二：幂型函数模型
题型三：指数型函数模型
题型四：对数型函数模型
题型五：分段函数模型
题型六：y＝x＋(a>0)型函数模型
题型七：已知函数模型的实际问题
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”
“直线上升”等术语的含义.
2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问
题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
【考点预测】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
y＝ax
y＝logax
y＝xn
1
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性质
(a>1)
(a>1)
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象
的变化
随x 的增大逐渐表
现为与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴
平行
随n 值
变化而
各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0)
【常用结论】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增
加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实
际问题的合理性.
【方法技巧】
1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，
从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
2.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
3.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
2
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4.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相
应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
5.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解
决问题，提升数学建模核心素养.
二、【题型归类】
【题型一】用函数图象刻画变化过程
【典例1】如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔
中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的
图象大致是( )
【解析】水匀速流出，所以鱼缸水深h 先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．
故选B.
【典例2】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种
绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制
一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min 测量一次茶水的温度，根据所得数据做
出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度
y 随时间x 变化的规律( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
3
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B．y＝max＋n(m>0,0<a<1)
C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.
故选B.
【典例3】已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点
P 运动的路程为x，△ABP 的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
【解析】依题意知，当0≤x≤4 时，f(x)＝2x；
当4<x≤8 时，f(x)＝8；
当8<x≤12 时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D 项符合要求．故选D.
【题型二】幂型函数模型
【典例1】为迎接2016 年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售
某产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元
满足：p＝3－(其中0≤x≤a，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含
促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)，
将p＝3－代入化简得：y＝16－－x(0≤x≤a)．
(2)y＝17－≤17－2＝13，
当且仅当＝x＋1，即x＝1 时，上式取等号．
当a≥1 时，促销费用投入1 万元时，厂家的利润最大；
当a<1 时，y＝17－在[0，a]上单调递增，所以x＝a 时，函数有最大值，即促销费用投入a 万
元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1 时，促销费用投入1 万元，厂家的利润最大；
当a<1 时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大．
【典例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格
x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5 元/千
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克时，每日可售出该商品11 千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3 元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利
润最大．
【解析】(1)因为x＝5 时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.
从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
42
↘
由上表可得，x＝4 是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【题型三】指数型函数模型
【典例1】有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m3，每天流出湖泊的水量等于流入湖
泊的水量，都为r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)
表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t(天)后的湖水
污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系
式g(t)＝＋e
−r
v t (p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污
染水平下降到开始时污染水平的5%?
【解析】(1)∵g(t)为常数，∴g(0)－＝0，∴g(0)＝.
(2)污染源停止，即p＝0，此时g(t)＝g(0)·e
−r
v t.
设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
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即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·e
−r
v t.
由实际意义知g(0)≠0，∴＝e
−r
v t.
∴t＝ln20，即需要ln20 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
【典例2】某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现，
f(n)近似地满足f(n)＝，其中t＝2
−2
3，a，b 为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3 年后该树木的高
度为栽种时高度的3 倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8 倍．
【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.
所以解得a＝1，b＝8.
所以f(n)＝，其中t＝2
−2
3.
令f(n)＝8A，得＝8A，解得tn＝，
即2
−2n
3 ＝＝2－6，所以n＝9.
答：栽种9 年后，该树木的高度是栽种时高度的8 倍．
【题型四】对数型函数模型
【典例1】某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8 万元以下，没有奖金；②
年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y 万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，
奖金越多；③年销售额超过64 万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，年销售额x(万元)在什么范围内．
【解析】(1)依题意y＝logax 在x∈[8，64]上为增函数，
所以有 ⇒a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64 时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10⇒16≤x≤1024，
所以16≤x≤64.
当x＞64 时，要使y∈[4，10]⇒40≤x≤100，
所以64＜x≤100.
综上可得，当年销售额x 在[16，100](万元)内时，y∈[4，10](万元)．
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【典例2】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，
100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收
益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过5 万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)y＝x＋1；(Ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公
司要求．
【解析】(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5 恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)对于函数模型(Ⅰ)y＝x＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80 时，y＝5，因此，当x>80 时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
对于函数模型(Ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
当x＝100 时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5 恒成立，满足条件②；
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，又x∈[10，100]，∴≤≤，∴h′(x)≤－＜－＝0，所以h(x)在
[10，100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，即f(x)≤恒成立，满足条件③.
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型y＝log2x－2 符合公司要求．
【题型五】分段函数模型
【典例1】为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1 个单位的净化
剂，空气中释放的净化剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式
近似为y＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度
之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作
用．
(1)若一次喷洒4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的
4 天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
【解析】(1)因为一次喷洒4 个单位的净化剂，
所以浓度f(x)＝4y＝
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则当0≤x≤4 时，由－4≥4 解得0≤x＜8，所以此时0≤x≤4.
当4<x≤10 时，由20－2x≥4 解得x≤8，所以此时4<x≤8.
综上得0≤x≤8，即若一次喷洒4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达8 天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度
g(x)＝2＋a
＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4
≥2－a－4＝8－a－4.
因为6≤x≤10，所以14－x∈[4，8]，
而1≤a≤4，所以4∈[4，8]，
故当且仅当14－x＝4 时，y 有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a 的最小值为24－16≈1.6.
【典例2】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，
新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)
与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝ 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化
工产品价值为200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国
家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【解析】(1)当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，
则S＝200x－
＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，
∴当x∈[200，300]时，S<0，因此该项目不获利．
当x＝300 时，S 取得最大值－5 000，
∴国家每月至少补贴5 000 元才能使该项目不亏损．
(2)由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本为
＝
①当x∈[120，144)时，
＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120 时，取得最小值240.
②当x∈[144，500)时，
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＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400 时，取得最小值200.
∵200<240，∴当每月的处理量为400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【题型六】y＝x＋(a>0)型函数模型
【典例1】某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的
总利润y(万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，
每辆客车营运年数为________．
【解析】根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润＝12－，
∵x＋≥10，当且仅当x＝5 时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.
【典例2】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考
虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．
记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪
堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
【解析】由题意可得BC＝－(2≤x<6)，
∴y＝＋≥2＝6.
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2 时等号成立．
【题型七】已知函数模型的实际问题
【典例1】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程
加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了
进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300 万
元，最大产能为100 台．每生产x 台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市场调研知，该
产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x 台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
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(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)由题意可得，当0<x≤40 时，
W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300
＝－2x2＋120x－300；
当40<x≤100 时，
W(x)＝200x－－300
＝－＋1 800，
所以W(x)＝
(2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1 500，
所以当x＝30 时，W(x)max＝1 500 万元．
若40<x≤100，
W(x)＝－＋1 800
≤－2＋1 800
＝－120＋1 800＝1 680，
当且仅当x＝时，
即x＝60 时，W(x)max＝1 680 万元．
所以该产品的年产量为60 台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680 万元．
【典例2】“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间
内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取
得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有
某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一
个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k 为增分
转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100 天
的最后一次模考总分为400 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg
61≈1.79)( )
A．440 分
B．460 分
C．480 分
D．500 分
【解析】由题意得，
f(60)＝＝＝P，
∴k≈＝0.465，
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∴f(100)＝＝
≈＝62，
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．
三、【培优训练】
【训练一】(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程
fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝
log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1 时，甲走在最前面
B．当x>1 时，乙走在最前面
C．当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
【解析】甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x
－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二
次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2 时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A 不正确；
当x＝5 时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B 不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1 时，甲、乙、丙、
丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最
后面，所以C 正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．
【训练二】某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投
资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90 万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1 600]时，
①f(x)是增函数；②f(x)≤90 恒成立；③f(x)≤恒成立．
(1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2－6.试分析这两个函数模型是否符合
公司要求？
(2)已知函数f(x)＝a－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．
【解析】(1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝x＋10，验证条件③：当x＝30 时，f(x)＝12，而＝6，
即f(x)≤不成立，故不符合公司要求；
对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2－6，
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当x∈[25,1 600]时，条件①f(x)是增函数满足；
∴f(x)max＝2－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②；
对于条件③：
记g(x)＝2－6－(25≤x≤1 600)，
则g(x)＝－(－5)2－1，
∵∈[5,40]，
∴当＝5 时，
g(x)max＝－(5－5)2－1＝－1≤0，
∴f(x)≤恒成立，即条件③也成立．
故函数模型： (Ⅱ)f(x)＝2－6 符合公司要求．
(2)∵a≥2，
∴函数f(x)＝a－10 符合条件①；
由函数f(x)＝a－10 符合条件②，
得a－10＝a×40－10≤90，
解得a≤；
由函数f(x)＝a－10 符合条件③，
得a－10≤对x∈[25,1 600]恒成立，
即a≤＋对x∈[25,1 600]恒成立．
∵＋≥2，当且仅当＝，
即x＝50 时等号成立，
∴a≤2，
综上所述，实数a 的取值范围是.
【训练三】如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度
为1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲
线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过
12
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多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【解析】(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，
令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0.解以上关于x 的方程得x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1 时取
等号．
所以炮的最大射程是10 千米．
(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标⇔存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2 成立⇔关于k 的方程a2k2－
20ak＋a2＋64＝0 有正根，
得
解得a≤6.
所以当a 不超过6 千米时，炮弹可以击中目标．
【训练四】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，
经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)(
1
2)
t
h，其中Ta称为环境温度，h
称为半衰期．现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37
℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.
【解析】由题意知Ta＝21 ℃.
令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，
得37－21＝(85－21)·(
1
2)
16
h ，∴h＝8.
令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·(
1
2)
t
8，∴t＝8.
【训练五】某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之
间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50 微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后
重度躁动状态的持续时间．
【解析】(1)由题中图象，设y＝
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当t＝1 时，由y＝4，得k＝4；
由1－a＝4，得a＝3.所以y＝
(2)由y≥0.50，得或
解得≤t≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续
4－＝(小时)．
【训练六】近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单
车公司计划在甲、乙两座城市共投资240 万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80 万元，
由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q 与投
入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：
万元).
(1)当投资甲城市128 万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
【解析】(1)当x＝128，即甲城市投资128 万元时，乙城市投资112 万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88 万元.
(2)由题意知，甲城市投资x 万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160 时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120 时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128 时，y 取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，
故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128 万元，乙城市投资112 万元时，总收益最大，且最大收益为88 万元.
四、【强化测试】
【单选题】
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1. 有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水
航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的
时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的
大致图象是( )
【解析】A
2. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中
的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x
D．y = log 1
2
x
【解析】由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，
分析选项可知B 符合，故选B.
3. 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次
上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费
用)为( )
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
【解析】设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n
元，经历n 次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该
股民这支股票略有亏损．故选B.
4. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020 年11 月24 日，它成功将嫦
娥五号探测器送入预定轨道，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和
燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 000ln.
若火箭的最大速度为11.2 km/s，则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为(参考数据：e0.
005 6≈1.005 6)( )
A．1.005 6 B．0.502 8 C．0.005 6 D．0.002 8
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【解析】由v＝2 000ln＝11.2，可得ln＝＝0.005 6，∴＝e0.005 6－1≈0.005 6.
故选C.
5. 成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三
环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的
运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 千米处建仓库，这两项费用
y1，y2分别是2 万元和8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 千米处
B．4 千米处
C．3 千米处
D．2 千米处
【解析】设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，
所以令反比例系数为m(m>0)，则y1＝.当x＝10 时，y1＝＝2，所以m＝20.因为每月车载货物
的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y2＝nx.当x＝10 时，
y2＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5 时取
等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5 千米处．故选A．
6. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017 年全年投入科研经
费1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的
科研经费开始超过2 000 万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(
)
A．2020 年
B．2021 年
C．2022 年
D．2023 年
【解析】若2018 年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，
可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4 年后，到2021 年科研经费
超过2 000 万元．故选B．
7. 某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400
台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关
系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验
证即可得．故选C．
8. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－
m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等
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是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A． 1010.1
B． 10.1
C． lg 10.1
D． 10－10.1
【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与
E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，
把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg ＝10.1，所以＝1010.1，故选A．
【多选题】
9. 某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量
为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以
为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9 C．8 D．7
【解析】设经过n 次过滤，产品达到市场要求，
则×n≤，即n≤，
由nlg≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7.4，故选BC.
10. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记
录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系
f (x)={
−7
20 x +1,0< x ≤1
1
5 + 9
20 x
−1
2 ,1< x ≤30,
则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9 天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【解析】由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当
1<x≤30 时，f(x)＝1
5 + 9
20 x
−1
2，则f(9)＝1
5 + 9
20 ×9
−1
2＝0.35，即9 天后，小菲的单词记忆保持量
低于40%，故C 正确；f(26)＝＋×26
−1
2>，故D 错误．
故选ABC.
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11. 在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5 个小时的生产情况画出了某种
产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确
判断是( )
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
【解析】由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A 错误，B 项正确；最后两小时内没有
生产产品，故C 项错误，D 项正确．故选BD.
12. 小明在如图1 所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C，
共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，
他与教练间的距离为y(m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2 所示，则这个固定位置不
可能是图1 中的( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【解析】假设这个位置在点M，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象
不符，故A 选项错误；假设这个位置在点N，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大
小应该相同，与函数图象不符，故B 选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，
从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s 时教练到小时的距离，
而点P 不符合这个条件，故C 选项错误；经判断点Q 符合函数图象，故D 选项正确，故选
ABC.
【填空题】
13. 某购物网站在11 月份开展“全部6 折”促销活动，在11 日当天购物还可以再享受“每张
订单金额(6 折后)满300 元时可减免100 元”．某人在11 日当天欲购入原价48 元(单价)的商品
共42 件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．
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【解析】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6 折后)满300 元时可减免
100 元”，即每张订单打折前原金额不少于500 元．由于每件原价48 元，因此每张订单至少
11 件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
答案：3
14. 某市用37 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市
到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部
到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计)
【解析】设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 km
所用的时间，
因此，t＝＝＋≥2＝12，
当且仅当＝，即v＝时取等号．
故这些汽车以 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.
答案：12
15. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放
量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝(如图所示)实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时
对人体无害．
(1)k＝________；
(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过
________分钟人方可进入房间．
【解析】(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2.
(2)由(1)可知，y＝
当t≥时，y＝，令y<0.75，得t>，
所以在消毒后至少经过小时，即40 分钟人方可进入房间．
答案：(1)2 (2)40
16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧
AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形
DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A
到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为
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________cm2.
【解析】如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED 的延长线于Q，AM⊥EF 于M，交DG 于E′，
交BH 于F′，记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难
得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，所以∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH 为等腰直角三
角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，所以5－3m＝7－5m，得m＝1，所以AF′＝
5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，所以OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．
答案：＋4
【解答题】
17. 某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022 年正式投入生产，已知A 产品的前期研发
总花费为50 000 元，该企业每年最多可生产4 万件A 产品．通过市场分析知，在2022 年该企
业每生产x(千件)A 产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，
且R(x)＝
(1)求该企业生产一件A 产品的平均成本p(元)关于x 的函数关系式，并求平均成本p 的最小值
(总成本＝研发成本＋生产成本)；
(2)该企业欲使生产一件A 产品的平均成本p≤66 元，求其年生产值x(千件)的取值区间？
【解析】(1)由题知生产x 千件的总成本为(R(x)＋50)千元，
故生产一件的平均成本为元，
所以p(x)＝
当x∈(0,10]时，p(x)＝x＋60＋单调递减，
故最小值为p(10)＝70，
当x∈(10,40]时，p(x)＝1 8002＋65.5，
故最小值为p(20)＝65.5，所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5 元．
(2)由(1)知，要使p(x)≤66 只需考虑x∈(10,40]，
即70＋－≤66，
整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，
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所以当x∈[15,30]时，生产一件A 产品的平均成本不超过66 元．
18. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价
定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改
革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30 元，浮动价
格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套
丛书的利润＝售价－供货价格，问：
(1)每套丛书售价定为100 元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
【解析】(1)每套丛书售价定为100 元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价
格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x 元时，由
解得0<x<150.
依题意，单套丛书利润
P＝x－＝x－－30，
所以P＝－＋120.
因为0<x<150，所以150－x>0，
则(150－x)＋
≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，
即x＝140 时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为100 元．
19. 如图所示，已知边长为8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4 米，CD＝6 米．
为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM，使点P 在边DE 上．
(1)设MP＝x 米，PN＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM 面积的最大值．
【解析】(1)作PQ⊥AF 于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF 中，＝，所以＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
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(2)设矩形BNPM 的面积为S，则S(x)＝xy＝x
＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当
x∈[4，8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8 时，矩形BNPM 面积取得最大值48 平方米．
20. 某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8 万元以下，没有奖金；
②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y 万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售
额越大，奖金越多；
③年销售额超过64 万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？
【解析】(1)依题意，y＝logax 在x∈[8，64]上为增函数，所以解得a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8，当8≤x≤64 时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以
16≤x≤64；当x>64 时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年
销售额x∈[16，100]时，奖金y∈[4，10]．
21. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养
鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：
尾/立方米)的函数.当x 不超过4 尾/立方米时，v 的值为2 千克/年；当4＜x≤20 时，v 是x 的一
次函数；当x 达到20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0 千克/年.
(1)当0＜x≤20 时，求函数v 关于x 的函数解析式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
【解析】(1)由题意得当0＜x≤4 时，v＝2；
当4＜x≤20 时，设v＝ax＋b，
显然v＝ax＋b 在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，
f(x)＝
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当0＜x≤4 时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4＜x≤20 时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当x＝10 时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5 千克/立方米.
22. 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40 万美元，每生产1 万只还需另投入16 万美
元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，
且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年
利润．
【解析】(1)当0<x≤40 时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，
当x>40 时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①当0<x≤40 时，W＝－6(x－32)2＋6 104，
所以Wmax＝W(32)＝6 104；
②当x>40 时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W 取最大值5 760.
综合①②，当年产量为32 万只时，W 取最大值6 104 万美元．
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