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第14 讲平行线和平行线的判定
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：5 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 平行线的定义和画法
考点1：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与b 平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平
行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于
上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点2 平行线的公理
考点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c
.
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注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点3 平行线的判定
考点3：平行线判定
判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴
AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
教材习题01
解题方法
画平行线
【答案案】
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教材习题02
解题方法
平行线的判定
【答案】
/
考点一平面内两直线的位置关系
1．平行、垂直和相交的关系可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
2．表示直线ܽ
、ܾ
互相平行，直线ܽ
、ܿ互相垂直的是（
）
A．ܽ
٣ܾ
，ܽ∥ܿ
B．ܽ
٣ܾ
，ܾ∥ܿ
C．ܽ∥ܾ，ܽ
٣ܿ
D．ܽ∥ܿ，ܾ
٣ܿ
考点二用直尺、三角板画平行线
1．利用直角三角板作图
(1)在图中，过点P 分别作垂线段
．．．，其中ܲ
ܧ٣ ܣܤ于E，ܲܨ٣ ܤܥ于F；
(2)在图中，过点P 作直线
．．ܲܯ，使ܲ
ܯ∥ܣܤ，交ܤܥ于M．
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2．如图，点P 为סܣܤܥ内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P 作射线ܤܥ的垂线，垂足为点D；
(2)过点P 作射线ܤܣ的平行线，交射线ܤܥ于点E；
(3)比较线段ܲ
ܦ和ܲ
ܧ的大小，并说明理由．
3．已知：סܣᦙܤ及סܣᦙܤ内部一点ܲ
．
(1)①过点ܲ
作直线ܲ
ܦ٣ ᦙܤ于点ܦ；
②过点ܲ
作直线ܲ
ܥ∥ᦙܣ交ᦙܤ于点ܥ；
(2)比较线段ܲ
ܥ与线段ܲ
ܦ的大小：ܲܥ______ܲܦ，理由是______．
4．如图，直线ܣܤ与ܥܦ交于点ᦙ，点ܧ在直线ܥܦ上，根据下列语句画图并解决问题．
(1)①过点ܧ画直线ܧܪ٣ ܣܤ，垂足为ܪ；
②过点ܧ画直线ܯܰ，使ܯܰ∥ܣܤ；
(2)线段ܧܪ与ܧᦙ的大小关系是________，依据是________．
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考点三平行公理的应用
1．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（
）
A．①②③
B．②③
C．①②
D．①③
2．如图，过点P 作直线݈
的平行线，可作的平行线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
3．如图是一个可折叠的衣架，ܣܤ是地平线，当סܯܲܤ㐮סܲܤܣ时，ܲܯ∥ܣܤ；סܰܲ
ܣ㐮סܲܣܤ时，ܲܰ
∥ܣܤ，
就可以确定点ܰ
，ܲ，ܯ在同一直线上，这样判定的依据是（
）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
4．如图，ܯܥ∥ܣܤ，ܰܥ∥ܣܤ，则点M，C，N 在同一条直线上，理由是
.
5．已知a，b，c 为不重合的三条直线，ܽ
∥ܾ
，ܾ
∥ܿ，则ܽ
∥ܿ．理由是
．
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考点四平行线的判定-同位角相等两直线平行
1．如图，已知סͳ 㐮סʹ，证明ܣܤ∥ܥܦ．
2．如图，ܦܧ平分סܤܦܥ，若סͳ 㐮䁡ͷι，סʹ 㐮䁡㌮ι，ܣܤ与ܥܦ平行吗？为什么？
3．问题：如图，ܣܤ与ܥܦ相交于点ᦙ，ᦙܣ平分סܧᦙܦ，סܤ㐮סܥᦙܤ．请说明ܤܥ和ᦙܧ的位置关系．
下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程．
解：ܤܥ∥ᦙܧ．理由如下：
∵ᦙܣ平分סܧᦙܦ，
∴סܣᦙܧ㐮__________（
）．
∵ܣܤ与ܥܦ相交于点ᦙ，
∴סܥᦙܤ㐮סܣᦙܦ（
）．
∴סܥᦙܤ㐮__________（等量代换）．
∵סܤ㐮סܥᦙܤ，
∴סܤ㐮__________．
∴ܤܥ∥ᦙܧ（
）．
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4．如图，סܤ㐮䁡㌮ι，סܣܥܧ㐮ͳʹ㌮ι，ܥܦ平分סܣܥܧ，求证：ܣܤ∥ܥܦ．
考点五平行线的判定-内错角相等两直线平行
1．如图，已知ܤܥ平分סܣܥܦ，且סͳ 㐮סʹ，请说明ܣܤ∥ܥܦ的理由．
2．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ܣܤܥ中，ܥܦ٣ ܣܤ于点ܦᦙܧ是ܣܥ上一点，且סͳ סʹ 㐮䁡㌮ι．
请说明：ܦܧ∥ܤܥ．
解：∵ܥܦ٣ ܣܤ（已知），
∴סܣܦܥ㐮_____________（_______________）．
∴סͳ _____________㐮䁡㌮ι．
∵סͳ סʹ 㐮䁡㌮ι（已知），
∴_____________=_____________（_____________）．
∴ܦܧ∥ܤܥ（__________________________）．
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3．如图所示，已知סܣܧܦ㐮䁡ʹι，סʹ 㐮䁡ͳι，ܧܨ平分סܣܧܦ，可以判断ܤܦ∥ܧܨ吗？为什么？
4．如图，已知ܣܤ٣ ܤܥ，ܥܦ٣ ܤܥ，סͳ 㐮סʹ，ܤܧ与ܥܨ平行吗？
考点六平行线的判定-同旁内角互补两直线平行
1．如图，ܤܧ平分סܣܤܦ，ܦܧ平分סܤܦܥ，且סߙסߚ㐮䁡㌮ι，求证：ܣܤ∥ܥܦ．
2．如图，סͳ 㐮䁡ʹι，סܤ㐮ͷ㐮ι，ܣܤ٣ ܣܥ．试说明ܣܦ∥ܤܥ．
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3．填空：如图，סͳ סʹ 㐮ͳ㐮㌮ι，סͳ 㐮ס䁡，图中哪些直线会平行？
解：∵סͳ סʹ 㐮ͳ㐮㌮ι（已知），
∴________∥________（同旁内角互补，两直线平行），
又∵סͳ 㐮ס䁡（________），
∴סʹ ס________㐮ͳ㐮㌮ι（________），
∴ܧܨ∥ܩܪ（________）．
4．已知：如图，直线ܰ
ܨ与直线ܣܤ、ܥܦ分别交于点E、F，直线ܣܯ与直线ܪܤ交于点A，且סͳ 㐮סͶ 㐮ͳ㌮ͷι，
סʹ 㐮䁡ͷι，试说明：ܣܯ∥ܰܨ，ܣܤ∥ܥܦ．
知识导图记忆
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知识目标复核
1. 平面内两直线的位置关系
2. 用直尺、三角板画平行线
3. 平行公理的应用
4. 平行线的判定-同位角相等两直线平行
5. 平行线的判定-内错角相等两直线平行
6. 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行
一．选择题
1．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（
）
A．1 个或3 个
B．0 个或2 个
C．1 个或2 个或3 个
D．0 个或1 个或2 个或3 个
2．如图1 为一长方体水果箱，图2 为其模型，则模型中与ܣܩ平行的棱共有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
3．如图，直线݈ͳ、݈ʹ被l 所截，下列说理过程正确的是（
）
A．因为סͳ 与סʹ 互补，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
B．因为סʹ 㐮ס䁡，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
C．因为סͳ 㐮סʹ，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
D．因为סͳ 㐮ס䁡，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
4．小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出סͳ 㐮סʹ 㐮䁡ͷι，
从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（
）
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A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
5．如图，下列推理中，正确的是（
）
A．如果סʹ 㐮סͶ，那么ܣܦ∥ܤܥ
B．如果סܦסͶ 㐮ͳ㐮㌮ι，那么ܣܤ∥ܥܦ
C．如果סͳ 㐮ס䁡，那么ܣܦ∥ܤܥ
D．如果סܤסʹ 㐮ͳ㐮㌮ι，那么ܣܦ∥ܤܥ
6．下列条件：①סܤ㐮סܦ，②סܦܣܥ㐮סܤܥܣ，③סܤܣܥ㐮סܦܥܣ，④סܤסܤܣܦ㐮ͳ㐮㌮ל中，能判断ܣܦ∥ܤܥ
的是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．②④
二、填空题
7．如图，从正方形ܣܤܥܦ中写出互相平行的边：
8．如图，在长方体ܣܤܥܦെܧܨܩܪ中，与线段ܣܤ平行的线段有
．
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9．若ܽ
∥ܾ，݈∥ܽ
，则݈
与ܾ
的位置关系是
．
10．如图，请添加一个条件，使得ܣܤ∥ܥܦ，则可以添加的条件是
．（写出一个即可）．
11．如图，若将木条ܽ
绕点ᦙ旋转后使其与木条ܾ
平行，则旋转的最小角度为
．
12．如图，סͳ 㐮ͳͳ㐮ιᦙסʹ 㐮Ͷͷι，若使ܾ
∥ܿ，则可将直线ܾ
绕点ܣ逆时针旋转
度．
三、解答题
13．如图，点A，B，E 在一条直线上．在空格上填写推理的依据．
(1) סͳ 㐮ס䁡（已知），∴ܣܤ∥ܦܥ（
）
(2) סܦܣܧ㐮סܥܤܧ（已知）， ܣܦ∥ܤܥ（
）；
(3) סܥܦܣסܦܣܤ㐮ͳ㐮㌮ι（已知），∴ܣܤ∥ܦܥ（
）
14．如图，סͳ 㐮סʹ，ס䁡סͶ 㐮ͳ㐮㌮ι．试说明：ܣܥ∥ܨܩ．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）：
解：因为סͳ 㐮סʹ，
所以______∥______（____________）．
因为ס䁡סͶ 㐮ͳ㐮㌮ι，
所以______∥______（____________），
所以ܣܥ∥ܨܩ（____________）．
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15．如图，ܤܥ٣ ܣܥ于点ܥ，סܧܤܥסܣܥܦ㐮䁡㌮ι，求证：ܤܧ∥ܥܦ
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