第4章相交线和平行线单元测试卷（解析版）_26秋小学初中各机构教辅大合集（一本、教材帮、阳光同学、王朝霞、实验班、小典中点、上分卷、白欧、课堂笔记等等）_26秋初中教辅资料

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第4章相交线和平行线单元测试卷
（考试时间：120分钟
试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，直线ܣ�，ܥܦ相交于点ܱ
，若סܣܱܥൌ͵Ͷל，则ס�ܱܦ的度数为（
）
A．ͳ͹ι
B．͵Ͷι
C．ͷ͸ל
D．ͳͶ͸ל
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作
答．
【详解】解：ס�ܱܦൌסܣܱܥൌ͵Ͷι；
故选：B．
2．已知三角形ܣ�ܥ，用直角三角板过点ܣ作直线�ܥ的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．
【详解】解：选项A 中三角板过点A，但不垂直�ܥ，故不符合题意；
选项B 中三角板过点A，且垂直�ܥ，故符合题意；
选项C 中三角板不过点A，故不符合题意；
选项D 中三角板过点A，但不垂直�ܥ，故不符合题意，
故选：B．
3．如图，直线ܧܨ分别交סܣܱ�的两边于点ܥ，ܦ，则סܣܥܧ和ס�ܦܧ的位置关系是（
）
.
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A．内错角
B．对顶角
C．同旁内角
D．同位角
【答案】D
【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．
结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可．
【详解】根据题意可得，סܣܥܧ和ס�ܦܧ的位置关系是同位角．
故选：D．
4．如图，一根粗细均匀的弯形管道两次拐弯后保持平行（即ܣ�צ ܦܥ）．若ס�＝͸Ͳι，则סܥ为（
）
A．ͳ‹Ͳι
B．ͻͲι
C．͸Ͳι
D．͵Ͳι
【答案】A
【分析】本题考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是理解两直线平行，同旁内角互补．
根据“两直线平行，同旁内角互补”直接求出סܥ．
【详解】解：∵ܣ�צ ܦܥ，ס�＝͸Ͳι，
∴סܥ＝ͳtͲι﹣ס�＝ͳtͲι﹣͸Ͳι＝ͳ‹Ͳι．
故选：A．
5．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（
）
A．线段ܣܲ
ͳ的长
B．线段�ܲ
ͳ的长
C．线段ܥܲ
‹的长
D．线段ܥܲ
的长
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【答案】B
【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂
线段的性质：垂线段最短．
【详解】解：根据垂线段的性质，则表示该运动员成绩的是线段�ܲ
ͳ的长度，
故选B．
6．如图，点P 是直线l 外一点，A、B、C、D 都在直线l 上，ܲ�٣݈
于B，在P 与A、B、C、D 四点的连
线中，线段ܲ
�最短，依据是（
）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
由垂线段最短，即可得到答案．
【详解】解：ܲ�٣݈
于B，在P 与A、B、C、D 四点的连线中，线段ܲ
�最短，依据是垂线段最短．
故选：D
7．已知直线ܽ
צܾ，将一块含͵Ͳι角的直角三角板ס�ܣܥൌ͵Ͳι，סܣܥ�ൌͻͲι 按如图所示的方式放置，顶点
ܣ，ܥ分别落在直线ܽ
，ܾ上，若סͳ ൌ‹Ͳι，则ס‹ 的度数是（
）
A．͸Ͳι
B．ͷͲι
C．Ͷͷι
D．ͶͲι
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，由题意可得סܯܣܥൌͷͲι，进而根据平行线的性质即可求解，掌握
平行线的性质是解题的关键．
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【详解】解：∵ס�ܣܥൌ͵Ͳι，סͳ ൌ‹Ͳι，
∴סܯܣܥൌ‹Ͳι ൅͵Ͳι ൌͷͲι，
∵ܽצܾ，
∴ס‹ ൌסܯܣܥൌͷͲι，
故选：B．
8．如图，当光线从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这就是光的折射现象．其中סͳ 的对顶角是
（
）
A．סܣܱ�
B．ס�ܱܥ
C．סܣܱܥ
D．סܣܱܦ
【答案】A
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，
据此可得答案．
【详解】解：由题意得，סͳ 的对顶角是סܣܱ�，
故选：A．
9．如图，下列条件能判定ܣ�צܥܦ的是（
）
A．סͳ ൌס‹
B．ס‹ ൌס͵
C．סͳ ൌס͵
D．סͳ ൌסͶ
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行逐项判断解题即可．
【详解】解：A.סͳ ൌס‹ 不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
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B、∵ס‹ ൌס͵，∴ܣܦצ �ܥ，故本选项错误；
C、סͳ ൌס͵，不能判定任何一组直线平行，故本选项错误；
D、∵סͳ ൌסͶ，∴ܣ�צ ܥܦ，故本选项正确；
故选：D．
10．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（
）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得同位角相等，两直线平行，
故选：A．
11．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知ܣ�צܥܦ，ܣܨצܦܧ，סͳ ൌͻͲι，ס‹ ൌͳͳͷι，סܥൌͳ͵Ͳι，
则סܥ�ܧ的度数是（
）
A．͸Ͳι
B．͸ͷι
C．͹Ͳι
D．͹ͷι
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，
延长ܣ�交ܦܧ于点ܨ，求出סܧ�ܯൌ‹ͷι和סܥ�ܯൌͷͲι，即可得到答案．
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【详解】解：延长ܣ�交ܦܧ于点ܨ，
׶ ܣܨצܦܧhסͳ ൌͻͲι，
׵ ס�ܯܧൌͻͲι，
׶ ס‹ 是ᇞ�ܯܧ的外角，
׵ ס‹ ൌס�ܯܧ൅סܧ�ܯ，
׶ ס‹ ൌͳͳͷι，
׵ סܧ�ܯൌ‹ͷι，
׵ ܣ�צܥܦ，
׵ סܥ൅סܥ�ܯൌͳtͲι，
׶ סܥൌͳ͵Ͳι，
׵ סܥ�ܯൌͷͲι，
׵ סܥ�ܧൌסܥ�ܯ൅סܧ�ܯൌ͹ͷι，
故选D．
12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果ס‹ ൌ͵Ͳι，那么ܣܥצ ܦܧ；②ס�ܣܧ൅סܥܣܦൌͳtͲι；
③如果�ܥצ ܣܦ，那么ס‹ ൌ͵Ͳι；④如果סܥܣܦൌͳͷͲι，那么סͶ ൌסܥ；正确的是（
）
A．①②③
B．①②③④
C．①③④
D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角板中角度的计算，根据角的和差关系，结合平行线的判
定方法，平行线的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图可知：סܥܣ�ൌסܧܣܦൌͻͲιhס�ൌסܥൌͶͷιhסܦൌ͵Ͳιhסܦൌ͸Ͳι，
当ס‹ ൌ͵Ͳι时，则：סܥܣܦൌסܥܣ�：ס‹ ൅סܧܣܦൌͻͲι ：͵Ͳι ൅ͻͲι ൌͳͷͲι，
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∴סܥܣܦ൅סܦൌͳtͲι，
∴ܣܥצ ܦܧ；故①正确；
∵סܥܣܦ൅ס�ܣܧൌסܥܣ�：ס�ܣܧ൅סܧܣܦ൅ס�ܣܧൌסܥܣ�൅סܧܣܦൌͻͲι ൅ͻͲι ൌͳtͲι，
故②正确；
当�ܥצ ܣܦ时，则：ס͵ ൌס�ൌͶͷι，
∴ס‹ ൌסܧܣܦ：ס͵ ൌͶͷι，故③错误；
当סܥܣܦൌͳͷͲι时，则：סܥܣܦ൅סܦൌͳtͲι，
∴ܣܥצ ܦܧ，
∴סͶ ൌסܥ；故④正确；
故选D．
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共12 分）
13．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相
交线模型，若סܣܱ�൅סܥܱܦൌ͹͸ι，则סܥܱܦൌ
度．
【答案】͵t
【分析】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等得出סܣܱ�ൌסܥܱܦ，结合题意计算即可得解，熟练掌
握对顶角相等是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：סܣܱ�ൌסܥܱܦ，
∵סܣܱ�൅סܥܱܦൌ͹͸ι，
∴סܥܱܦൌ͵tι，
故答案为：͵t．
14．如图，将木条a，b 与c 钉在一起，סͳ ൌͻ͸ι，ס‹ ൌ͸͹ι，要使木条a 与b 平行，木条b 旋转的度数
是
．（旋转度数在Ͳι至ͳtͲι之间）
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【答案】‹ͻι或ͳͷͳι
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
根据平行线的判定可得ס‹ ൌסͳ ൌͻ͸ι时，木条ܽ
与ܾ
平行，然后进行计算即可解答．
【详解】解：当ס‹ ൌסͳ ൌͻ͸ι时，木条ܽ
与ܾ
平行，
׵要使木条ܽ
与ܾ
平行，木条b 逆时针旋转的度数ൌͻ͸ι ：͸͹ι ൌ‹ͻι
或顺时针旋转的度数ͳtͲι ：ͻ͸ι ：͸͹ι ൌͳͷͳι，
故答案为：‹ͻι或ͳͷͳι．
15．如图，סͳ ൌͳ‹Ͳιhס‹ ൌ͸Ͳιhס͵ ൌͳͲͲι，则סͶ ൌ
时，ܣ�צܧܨ．
【答案】ͳͲͲι/100 度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，可证明ס‹ ൌסͷ ൌ͸Ͳι，得到ܣ�צ ܥܦ，则当סͶ ൌס͵ ൌ
ͳͲͲι时，ܥܦצܧܨ，即ܣ�צܧܨ．
【详解】解；∵סͳ ൌͳ‹Ͳι，
∴סͷ ൌͳtͲι ：סͳ ൌ͸Ͳι，
∴ס‹ ൌסͷ ൌ͸Ͳι，
∴ܣ�צ ܥܦ，
∴当סͶ ൌס͵ ൌͳͲͲι时，ܥܦצܧܨ，即ܣ�צܧܨ．
故答案为：ͳͲͲι
16．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ܣ�ܥܦ，点ܧ在ܣܦ上，
点ܨ在�ܥ上，把长方形纸带沿ܧܨ折叠，若סܣ̵ ܧܨൌͶͲι，则סܣ̵ ܩܥ的度数是
ι．
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【答案】100
【分析】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质
进行角的转化和计算．
根据折叠的性质可知סܣܧܨൌסܣ̵ ܧܨൌͶͲι，再由邻补角求出סܦܧܩൌͳͲͲι，再根据平行线的性质即可
求סܣ̵ ܩܥ．
【详解】解：由题知סܣܧܨൌסܣ̵ ܧܨൌͶͲι，ܣܦצ �ܥ，
∵סܦܧܩ൅סܣܧܣ̵ ൌͳtͲι，
∴סܦܧܩൌͳtͲι ：ሺסܣܧܨ：סܣ̵ ܧܨሻൌͳͲͲι，
∵ܣܦצ �ܥ，
∴סܣ̵ ܩܥൌסܦܧܩൌͳͲͲι，
故答案为：100．
三、解答题（本大题共7 个小题，第17 题8 分，第18-21 题每题10 分，第22-23 题每题12 分，共72 分．解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．如图，直线ܣ�hܥܦhܧܨ相交于点O，若סܣܱܥൌ͸ͷι，סܦܱܨൌͷͲι．
(1)试说明：射线ܱ
ܣ平分סܥܱܨ；
(2)求ס�ܱܧ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)ס�ܱܧൌ͸ͷι
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质、平角的意义以及角平分线的定义，熟练掌握知识
点并灵活运用是解题的关键．
（1）利用平角的定义求出סܣܱܨ，即可证明；
（2）由对顶角相等即可求解．
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【详解】（1）证明：∵סܣܱܥൌ͸ͷι，סܦܱܨൌͷͲι，
∴סܣܱܨൌͳtͲι ：סܣܱܥ：סܦܱܨൌ͸ͷι，
∴סܣܱܥൌסܣܱܨ，
∴射线ܱ
ܣ平分סܥܱܨ；
（2）解：∵סܣܱܨൌ͸ͷι，ס�ܱܧൌסܣܱܨ，
∴ס�ܱܧൌ͸ͷι．
18．已知：如图，ܥܦ٣ ܣ�于D，ܧܨ٣ ܣ�于F，סͳ ൌס‹，请问ܦܩצ �ܥ吗？如果平行，请说明理由．
【答案】平行，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，正确识别“三线八角”是解题关键．
欲证明ܦܩצ �ܥ，则要证明ס‹ ൌס�ܥܦ，由ܥܦ٣ ܣ�于ܦ，ܧܨ٣ ܣ�于ܨ，可证明ܥܦצ ܧܨ即סͳ ൌס͵，
从而ס‹ ൌס͵ 即可得证，推出结论．
【详解】答：平行
证明：׶ ܥܦ٣ ܣ�hܧܨ٣ ܣ�（已知），
׵ ס�ܨܧൌסܨܦܥൌͻͲι（垂直定义），
׵ ܥܦצ ܧܨ（同位角相等，两直线平行），
׵ ס‹ ൌס͵（两直线平行，同位角相等），
׶ סͳ ൌס‹（已知），
׵ סͳ ൌס͵（等量代换），
׵ ܩܦצ �ܥ（内错角相等，两直线平行）．
19．将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点�、ܧ分别在ܣܥ、ܦܨ上，ܣܨ分别交�ܦ、ܥܧ于点ܯ，ܰhסͳ ൌס‹hסܣൌסܨ．
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求证：סܥൌסܦ．
证明：因为סͳ ൌס‹（已知）
又因为סͳ ൌסܣܰܥ（____________），
所以___________（等量代换）．
所以�ܦצ ܥܧ（
）
所以סܣ�ܦൌסܥ（____________）．
又因为סܣൌסܨ（已知），
所以ܦܨצܣܥ（____________）．
所以__________（
）．
所以סܥൌסܦ（
）．
【答案】（对顶角相等）；（ס‹ ൌסANC）；（同位角相等，两直线平行）；（两直线平行，同位角相等）；（内
错角相等，两直线平行）；（סܦൌסܣ�ܦ）；（两直线平行，内错角相等）；（等量代换）．
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键．
根据ס‹ ൌסANC 得到�ܦצ ܥܧ，则סܣ�ܦൌסܥ，所以有ܦܨצܣܥ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】证明：∵סͳ ൌס‹（已知），
又∵סͳ ൌסܣܰܥ（对顶角相等），
∴ס‹ ൌסANC（等量代换），
∴�ܦצ ܥܧ（同位角相等，两直线平行），
∴סܣ�ܦൌסܥ（两直线平行，同位角相等），
又∵סܣൌסܨ（已知），
∴ܦܨצܣܥ（内错角相等，两直线平行），
∴סܦൌסܣ�ܦ（两直线平行，内错角相等），
∴סܥൌסܦ（等量代换）．
20．如图，直线ܥܦ，ܧܨ交于点ܱ
，ܱܣ，ܱ�分别平分סܥܱܧ和סܦܱܧ，且סͳ ൅ס‹ ൌͻͲι.
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(1)请判定直线ܣ�与ܥܦ的位置关系，并说明理由；
(2)若ס‹ǣס͵ ൌ‹ǣͷ，求ס�ܱܨ的度数.
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)ͳͶͲι
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是
解题的关键．
（1）由角平分线定义可得סܣܱܥൌ
ͳ
‹ סܥܱܧhס‹ ൌ
ͳ
‹ סܦܱܧ，则可求得סܣܱܥ൅ס‹ ൌͻͲι，从而可求得סͳ ൌ
סܣܱܥ，即可判定ܣ�צ ܥܦ；
（2）由（1）可知ס‹ ൅סܣܱܥൌͻͲι，再根据对顶角性质求解即可．
【详解】（1）解：ܣ�צ ܥܦ；理由如下：
∵ܱܣhܱ�分别平分סܥܱܧ和סܦܱܧ，
∴סܣܱܥൌ
ͳ
‹ סܥܱܧhס‹ ൌ
ͳ
‹ סܦܱܧ，
∵סܥܱܧ൅סܦܱܧൌͳtͲι，
∴סܣܱܥ൅ס‹ ൌͻͲι，
∵סͳ ൅ס‹ ൌͻͲι，
∴סͳ ൌסܣܱܥ，
∴ܣ�צ ܥܦ；
（2）解：由（1）得：ס‹ ൅סܣܱܥൌͻͲι，
∵סܥܱܧൌס͵，ܱܣ平分סܥܱܧ，
∴סܣܱܥൌ
ͳ
‹ ס͵，
∴ס‹ ൅
ͳ
‹ ס͵ ൌͻͲι，
∵ס‹ǣס͵ ൌ‹ǣͷ，
∴ס͵ ൌ
ͷ
‹ ס‹，
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∴ס‹ ൅
ͳ
‹ ൈ
ͷ
‹ ס‹ ൌͻͲι，
解得：ס‹ ൌͶͲι，
∴ס͵ ൌͳͲͲι，
∴ס�ܱܨൌס‹ ൅ס͵ ൌͳͶͲι．
21．如图，射线ܣܯצ�ܰ，连接ܣ�，点ܲ
是射线ܣܯ上的一个动点（与点ܣ不重合），�ܥ，�ܦ分别平分סܣ�ܲ
和סܲ�ܰ，分别交射线ܣܯ于点ܥ，ܦ．
(1)当סܣൌ͸Ͳι时，求证：סܥ�ܦൌסܣ；
(2)用含סܣ的式子表示סܥ�ܦ为________（直接写出答案）；
(3)当点ܲ
在射线ܣܯ上运动时，סܣܲ�与סܣܦ�之间的数量关系始终保持不变，请写出它们关系，并
说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)ͻͲι ：
ͳ
‹ סܣ
(3)סܣܲ�ൌ‹סܣܦ�，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；理解角平分线的定义，能灵活应用平行线的性
质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，可得סܣ�ܰ
ൌͳtͲι ：סܣൌͳ‹Ͳι，再结合角平分线的定义，可得סܲ�ܦ൅
סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ
൅סܣ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ，即可求解；
（2）根据平行线的性质，可得סܣ�ܰ
ൌͳtͲι ：סܣ，再结合角平分线的定义，可得סܲ�ܦ൅סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ
൅סܣ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ，即可求解；
（3）根据平行线的性质，可得סܣܲ�ൌסܲ�ܰ，סܣܦ�ൌסܰ�ܦ，再结合角平分线的定义，可得סܲ�ܰ
ൌ
‹סܰ�ܦ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ܣܯצ�ܰ，סܣൌ͸Ͳι，
∴סܣ�ܰ
ൌͳtͲι ：סܣൌͳ‹Ͳι，
∵�ܥ，�ܦ分别平分סܣ�ܲ
和סܲ�ܰ，
∴סܲ�ܦൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ，סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܲ，
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∴סܲ�ܦ൅סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ
൅סܣ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ，
∴סܥ�ܦൌסܲ�ܦ൅סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ
ൌ͸Ͳι，
∴סܥ�ܦൌסܣ；
（2）解：∵ܣܯצ�ܰ，
∴סܣ�ܰ
ൌͳtͲι ：סܣ，
∵�ܥ，�ܦ分别平分סܣ�ܲ
和סܲ�ܰ，
∴סܲ�ܦൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ，סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܲ，
∴סܲ�ܦ൅סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܲ�ܰ
൅סܣ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ，
∴סܥ�ܦൌסܲ�ܦ൅סܥ�ܲ
ൌ
ͳ
‹ סܣ�ܰ
ൌͻͲι ：
ͳ
‹ סܣ，
（3）解：סܣܲ�与סܣܦ�之间的数量关系是：סܣܲ�ൌ‹סܣܦ�，
理由如下：
∵ܣܯצ�ܰ，
∴סܣܲ�ൌסܲ�ܰ，סܣܦ�ൌסܰ�ܦ，
∵�ܦ平分סܲ�ܰ，
∴סܲ�ܰ
ൌ‹סܰ�ܦ，
∴סܣܲ�ൌ‹סܣܦ�．
22．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板ܩܧܨ的顶点ܩ放
置在直线ܣ�上，旋转三角板סܨൌͻͲι ．
(1)如图1，在ܩܧ边上任取一点ܲ（不同于点ܩ，ܧ），过点ܲ
作ܥܦצ ܣ�，若ס‹ ൌͳͳͲι，求סͳ 的度数；
(2)如图2，过点ܧ作ܥܦצ ܣ�，请探索并说明סܣܩܨ与סܥܧܨ之间的数量关系；
(3)将三角板绕顶点ܩ转动，过点ܧ作ܥܦצ ܣ�，并保持点ܧ在直线ܣ�的上方，在旋转过程中，探索סܣܩܨ
与סܥܧܨ之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)‹ͷι
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(2)סܣܩܨ൅סܥܧܨൌͻͲι，见解析
(3)①当点ܨ在直线ܥܦ的上方时，סܣܩܨ：סܥܧܨൌͻͲι．②当点ܨ在直线ܣ�与直线ܥܦ之间时，סܣܧܨ൅
סܨܩܥൌͻͲι．③当点ܨ在直线ܣ�的下方时，סܥܧܨ：סܣܩܨൌͻͲι
【分析】（1）根据平行线的性质可知סͳ ൌסܧܩ�，结合ס‹ ൅סܨܩܧ൅סܧܩ�ൌͳtͲιhסܨܩܧൌͶͷι，可求
出סͳ 的度数；
（2）过点ܨ作ܨܲ
צ ܣ�，得到ܨܲ
צ ܣ�צ ܥܦ，通过平行线的性质把סܣܩܨ和סܥܧܨ转化到סܧܨܩ上即可；
（3）分三种情形：①如图3−1 中，当点F 在直线ܥܦ的上方时，②当点F 在直线ܣ�与直线ܥܦ之间
时，．③当点F 在直线ܣ�的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1 中，
׶ ܣ�צ ܥܦ，
׵ סͳ ൌסܧܩ�，
׶ ס‹ ൌͳͳͲι，
׶ ס‹ ൅סܨܩܧ൅סܧܩ�ൌͳtͲιhסܨܩܧൌͶͷι，
׵ ͳͳͲι ൅Ͷͷι ൅סܧܩ�ൌͳtͲι，
׵ סܧܩ�ൌ‹ͷι
即סͳ ൌ‹ͷι．
（2）解：סܣܩܨ൅סܥܧܨൌͻͲι，理由如下：
如图，过点ܨ作ܨܲ
צ ܣ�，
׶ ܥܦצ ܣ�，
׵ ܨܲ
צ ܣ�צ ܥܦ，
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׵ סܣܩܨൌסܩܨܲ，סܨܩܥൌסܩܨܲ，
׵ סܣܩܨ൅סܨܩܥൌסܧܨܲ
൅סܩܨܲ
ൌסܧܨܩ，
׶ סܧܨܩൌͻͲι，
׵ סܣܧܨ൅סܨܩܥൌͻͲι；
（3）解：①如图3-1 中，当点ܨ在直线ܥܦ的上方时，过点ܨ作ܯܰ
צ ܣ�．
׶ ܯܰ
צ ܣ�，ܣ�צ ܥܦ，
׵ ܯܰ
צ ܥܦצ ܣ�，
׵ סܣܩܨൌסܰܨܩ，סܥܧܨൌסܰܨܧ，
׶ סܰܨܩ：סܰܨܧൌסܩܨܧൌͻͲι，
׵ סܣܩܨ：סܥܧܨൌͻͲι．
②当点ܨ在直线ܣ�与直线ܥܦ之间时，סܣܧܨ൅סܨܩܥൌͻͲι．
③当点ܨ在直线ܣ�的下方时，过点ܨ作ܯܰ
צ ܣ�．
׶ ܯܰ
צ ܣ�，ܣ�צ ܥܦ，
׵ ܯܰ
צ ܥܦצ ܣ�，
׵ סܣܩܨൌסܰܨܩ，סܥܧܨൌסܰܨܧ，
׶ סܰܨܧ：ܩܨܰ
ൌסܩܨܧൌͻͲι，
׵ סܥܧܨ：סܣܩܨൌͻͲι．
综上所述，①当点ܨ在直线ܥܦ的上方时，סܣܩܨ：סܥܧܨൌͻͲι．
②当点ܨ在直线ܣ�与直线ܥܦ之间时，סܣܧܨ൅סܨܩܥൌͻͲι．
③当点ܨ在直线ܣ�的下方时，סܥܧܨ：סܣܩܨൌͻͲι
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平
行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．【问题情境】
学完平行线的性质与判定后，老师给出如下问题：如图ͳ，点ܧ在线段�ܥ上，סܣൌסܦ，סܣܥ�൅ס�ܧܦൌ
ͳtͲι，ܣ�与ܥܦ平行吗？为什么？
【问题解决】
（1）请解答老师提出的问题．（提示：延长ܦܧ交ܣ�于点ܨ）
【深入探究】
（2）如图‹，ܣ�צܥܦ，�ܩ平分סܣ�ܧ，ܦܪ平分סܧܦܨ交ܩ�的延长线于点ܪ，过点ܪ作ܪܰ
צ ܥܦ，
用等式表示סܦܧ�与סܦܪܩ的数量关系．（提示：过点ܧ作ܣ�的平行线）
【特例探究】
（3）在（‹）的基础上，若סܦܧ�比סܦܪܩ大͸Ͳι，请直接写出סܦܧ�的度数．
【答案】（ͳ）平行，理由见解析；（‹）סܦܧ�ൌͳtͲι ：‹סܦܪܩ；（͵）ͳͲͲι．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ͳ）延长ܦܧ交ܣ�于点ܨ，由סܣܥ�൅ס�ܧܦൌͳtͲι，ס�ܧܦൌסܥܧܨ，证明ܣܥצܦܨ，所以סܣൌסܦܨ�，
又סܣൌסܦ，则סܦܨ�ൌסܦ，从而求证；
（‹）过点ܧ作ܣ�צܧܯ的平行线，则有ܣ�צܪܰצܧܯצܥܦ，所以סܣ�ܩൌסܰܪ�，סܣ�ܧൌסܯܧ�，סܦܧܯ൅
סܧܦܨൌͳtͲι，סܨܦܪൌסܰܪܦ，因为�ܩ平分סܣ�ܧ，ܦܪ平分סܧܦܨ，所以סܣ�ܩൌסܧ�ܩൌ
ͳ
‹ סܣ�ܧ，
סܧܦܪൌסܨܦܪൌ
ͳ
‹ סܧܦܨ，然后通过线段和差即可求解；
（͵）利用（‹）中结论即可求解．
【详解】解：（ͳ）平行，理由如下，
如图ͳ，延长ܦܧ交ܣ�于点ܨ，
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∵סܣܥ�൅ס�ܧܦൌͳtͲι，ס�ܧܦൌסܥܧܨ，
∴סܣܥ�൅סܥܧܨൌͳtͲι，
∴ܣܥצܦܨ，
∴סܣൌסܦܨ�，
∵סܣൌסܦ，
∴סܦܨ�ൌסܦ，
∴ܣ�צܥܦ；
（‹）סܦܧ�ൌͳtͲι ：‹סܦܪܩ，理由如下，
如图‹，过点ܧ作ܣ�צܧܯ的平行线，
∵ܣ�צܥܦ，ܪܰ
צ ܥܦ，
∴ܣ�צܪܰצܧܯצܥܦ，
∴סܣ�ܩൌסܰܪ�，סܣ�ܧൌסܯܧ�，סܦܧܯ൅סܧܦܨൌͳtͲι，סܨܦܪൌסܰܪܦ，
∵�ܩ平分סܣ�ܧ，ܦܪ平分סܧܦܨ，
∴סܣ�ܩൌסܧ�ܩൌ
ͳ
‹ סܣ�ܧ，סܧܦܪൌסܨܦܪൌ
ͳ
‹ סܧܦܨ，
∴סܯܧ�ൌ‹סܣ�ܩൌ‹סܰܪܩ，
∴סܰܪܩ൅סܦܪܩൌ
ͳ
‹ סܧܦܨ，
∴סܧܦܨൌ‹סܰܪܩ൅‹סܦܪܩ，
∴סܦܧܯൌͳtͲι ：‹סܰܪܩ：‹סܦܪܩ，
∴סܦܧ�ൌסܦܧܯ൅סܯܧ�ൌͳtͲι ：‹סܰܪܩ：‹סܦܪܩ൅‹סܰܪܩൌͳtͲι ：‹סܦܪܩ，
即סܦܧ�ൌͳtͲι ：‹סܦܪܩ；
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（͵）∵סܦܧ�比סܦܪܩ大͸Ͳι，
∴סܦܧ�：סܦܪܩൌ͸Ͳι，
由（‹）得סܦܧ�ൌͳtͲι ：‹סܦܪܩ
∴סܦܧ�ൌͳͲͲι．
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