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第14 讲平行线和平行线的判定
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：5 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 平行线的定义和画法
考点1：平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与b 平行，记作a∥b．
注意：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平
行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于
上述任何一种位置关系．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点2 平行线的公理
考点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c
.
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注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点3 平行线的判定
考点3：平行线判定
判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴
AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
教材习题01
解题方法
画平行线
【答案案】
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教材习题02
解题方法
平行线的判定
【答案】
/
考点一平面内两直线的位置关系
1．平行、垂直和相交的关系可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了两直线的位置关系，平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，所以平行和相交
是并列存在的，而垂直是相交的一种特殊情况，所以相交包括垂直．
【详解】解：平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，
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当两直线相交，夹角是ͻ˘ι时，两直线互相垂直，
垂直是相交的一种特殊情况，
平行、垂直和相交的关系如下图所示，
故选：D．
2．表示直线ܽ
、ܾ
互相平行，直线ܽ
、ܿ互相垂直的是（
）
A．ܽ
٣ܾ
，ܽ∥ܿ
B．ܽ
٣ܾ
，ܾ∥ܿ
C．ܽ∥ܾ，ܽ
٣ܿ
D．ܽ∥ܿ，ܾ
٣ܿ
【答案】C
【分析】本题考查直线的平行与垂直，解题的关键是掌握两直线平行、垂直的意义及其表示方法．
【详解】解：表示直线ܽ
、ܾ
互相平行，直线ܽ
、ܿ互相垂直的是ܽ
∥ܾ，ܽ
٣ܿ．
故选：C．
考点二用直尺、三角板画平行线
1．利用直角三角板作图
(1)在图中，过点P 分别作垂线段
．．．，其中ܲ
ܧ٣ ܣܤ于E，ܲܨ٣ ܤܥ于F；
(2)在图中，过点P 作直线
．．ܲܯ，使ܲ
ܯ∥ܣܤ，交ܤܥ于M．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画垂线和画平行线，熟知画垂线和画平行线的方法是解题的关键．
（1）根据画垂线的方法作图即可；
（2）根据画平行线的方法画图即可．
【详解】（1）解；如图所示，线段ܲ
ܧ，ܲܨ即为所求；
（2）解：如图所示，直线ܲ
ܯ即为所求．
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2．如图，点P 为סܣܤܥ内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P 作射线ܤܥ的垂线，垂足为点D；
(2)过点P 作射线ܤܣ的平行线，交射线ܤܥ于点E；
(3)比较线段ܲ
ܦ和ܲ
ܧ的大小，并说明理由．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)ܲܦ൏ܲ
ܧ，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短
【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短，熟练掌握相关知识，能利用直尺与三角板准确作图
是解题的关键；
（1）借助三角板画垂线即可；
（2）利用直尺和三角板画平行线即可；
（3）根据垂线段最短，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，线段ܲ
ܦ即为所求；
（2）如图，直线ܲ
ܧ即为所求；
（3）ܲܦ൏ܲ
ܧ，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．
3．已知：סܣᦙܤ及סܣᦙܤ内部一点ܲ
．
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(1)①过点ܲ
作直线ܲ
ܦ٣ ᦙܤ于点ܦ；
②过点ܲ
作直线ܲ
ܥ∥ᦙܣ交ᦙܤ于点ܥ；
(2)比较线段ܲ
ܥ与线段ܲ
ܦ的大小：ܲܥ______ܲܦ，理由是______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)；垂线段最短
【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键．
（1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用垂线段最短即可解答．
【详解】（1）解：①如图所示，直线ܲ
ܦ即为所求：
②如图所示，直线ܲ
ܥ即为所求：
（2）解：根据垂线段最短可知，ܲܥܲ
ܦ．
故答案为：；垂线段最短．
4．如图，直线ܣܤ与ܥܦ交于点ᦙ，点ܧ在直线ܥܦ上，根据下列语句画图并解决问题．
(1)①过点ܧ画直线ܧܪ٣ ܣܤ，垂足为ܪ；
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②过点ܧ画直线ܯܰ，使ܯܰ∥ܣܤ；
(2)线段ܧܪ与ܧᦙ的大小关系是________，依据是________．
【答案】(1)见解析
(2)ܧܪ൏ܧᦙ，垂线段最短
【分析】本题主要考查了画垂线、平行线，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关知识．
（1）①根据题意画图即可；②根据平行线作图步骤画图即可；
（2）根据垂线段最短进行判断求解，即可解题．
【详解】（1）解：①如图所示，ܧܪ即为所作：
②如图所示，ܯܰ
即为所作：
（2）解：线段ܧܪ与ܧᦙ的大小关系是：ܧܪ൏ܧᦙ；依据是：垂线段最短；
故答案为：ܧܪ൏ܧᦙ；垂线段最短．
考点三平行公理的应用
1．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（
）
A．①②③
B．②③
C．①②
D．①③
【答案】D
【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂
直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答．
【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线；
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在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线；
在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线；
故选：D．
2．如图，过点P 作直线݈
的平行线，可作的平行线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可．
【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
过点P 作直线݈
的平行线，可作的平行线有1 条，
故选：A
3．如图是一个可折叠的衣架，ܣܤ是地平线，当סܯܲܤ〮סܲܤܣ时，ܲܯ∥ܣܤ；סܰܲ
ܣ〮סܲܣܤ时，ܲܰ
∥ܣܤ，
就可以确定点ܰ
，ܲ，ܯ在同一直线上，这样判定的依据是（
）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【详解】解：根据题意，可知当סܯܲܤ〮סܲܤܣ时，ܲܯ∥ܣܤ；סܰܲ
ܣ〮סܲܣܤ时，ܲܰ
∥ܣܤ，就可以确
定点ܰ
，ܲ，ܯ在同一直线上；
依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
故选：C
4．如图，ܯܥ∥ܣܤ，ܰܥ∥ܣܤ，则点M，C，N 在同一条直线上，理由是
.
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【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行
【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得．
【详解】解：∵ܯܥ∥ܣܤ，ܰܥ∥ܣܤ，且ܯܥ、ܰܥ经过点C，
∴过ܣܤ外一点C 的直线ܯܥ和ܰ
ܥ都平行于直线ܣܤ，
∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，
∴点M，C，N 在一条直线上，
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
5．已知a，b，c 为不重合的三条直线，ܽ
∥ܾ
，ܾ
∥ܿ，则ܽ
∥ܿ．理由是
．
【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【分析】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行．注意：平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平
行时应用．
【详解】解：∵ܽ
∥ܾ
，ܾ
∥ܿ，（已知），
∴ܽ
∥ܿ（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
考点四平行线的判定-同位角相等两直线平行
1．如图，已知סͳ 〮סʹ，证明ܣܤ∥ܥܦ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，证明סͳ 〮ס͵，即可解答，解答此题的关键是注意平行线的判定定
理．
【详解】解：∵סͳ 〮סʹ，
סͳ 〮סʹ 〮ס͵，
ܣܤ∥ܥܦ．
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2．如图，ܦܧ平分סܤܦܥ，若סͳ 〮͵ͷι，סʹ 〮䁡˘ι，ܣܤ与ܥܦ平行吗？为什么？
【答案】平行，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，根据ܦܧ平分סܤܦܥ，סͳ 〮͵ͷι，得出סܤܦܥ〮䁡˘ι，
再结合同位角相等，两直线平行，即可作答．
【详解】解：ܣܤ与ܥܦ平行，理由如下：
∵ܦܧ平分סܤܦܥ，סͳ 〮͵ͷι，
סܤܦܥ〮ʹסͳ 〮䁡˘ι
∵סʹ 〮䁡˘ι，
סͳ 〮סʹ，
ܣܤ∥ܥܦ．
3．问题：如图，ܣܤ与ܥܦ相交于点ᦙ，ᦙܣ平分סܧᦙܦ，סܤ〮סܥᦙܤ．请说明ܤܥ和ᦙܧ的位置关系．
下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程．
解：ܤܥ∥ᦙܧ．理由如下：
∵ᦙܣ平分סܧᦙܦ，
∴סܣᦙܧ〮__________（
）．
∵ܣܤ与ܥܦ相交于点ᦙ，
∴סܥᦙܤ〮סܣᦙܦ（
）．
∴סܥᦙܤ〮__________（等量代换）．
∵סܤ〮סܥᦙܤ，
∴סܤ〮__________．
∴ܤܥ∥ᦙܧ（
）．
【答案】סܣᦙܦ；角平分线的定义；对顶角相等；סܣᦙܧ；סܣᦙܧ；同位角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对
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顶角相等证明סܤ〮סܥᦙܤ，则可证明סܤ〮סܣᦙܧ，据此可证明结论．
【详解】解：ܤܥ∥ᦙܧ．理由如下：
∵ᦙܣ平分סܧᦙܦ，
∴סܣᦙܧ〮סܣᦙܦ（角平分线的定义）．
∵ܣܤ与ܥܦ相交于点ᦙ，
∴סܥᦙܤ〮סܣᦙܦ（对顶角相等）．
∴סܥᦙܤ〮סܣᦙܧ（等量代换）．
∵סܤ〮סܥᦙܤ，
∴סܤ〮סܣᦙܧ．
∴ܤܥ∥ᦙܧ（同位角相等，两直线平行）．
4．如图，סܤ〮䁡˘ι，סܣܥܧ〮ͳʹ˘ι，ܥܦ平分סܣܥܧ，求证：ܣܤ∥ܥܦ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得סܦܥܧ〮
ͳ
ʹ סܣܥܧ〮䁡˘ι，
结合已知可得סܤ〮סܦܥܧ，根据同位角相等两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵ܥܦ平分סܣܥܧǡסܣܥܧ〮ͳʹ˘ι，
∴סܦܥܧ〮
ͳ
ʹ סܣܥܧ〮䁡˘ι．
∵סܤ〮䁡˘ι，
∴סܤ〮סܦܥܧ，
∴ܣܤ∥ܥܦ．
考点五平行线的判定-内错角相等两直线平行
1．如图，已知ܤܥ平分סܣܥܦ，且סͳ 〮סʹ，请说明ܣܤ∥ܥܦ的理由．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查的是平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关
键．证明סʹ 〮סܤܥܦ，最后再利用内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵ܤܥ平分סܣܥܦ，
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∴סͳ 〮סܤܥܦ．
又∵סͳ 〮סʹ，
∴סʹ 〮סܤܥܦ．
∴ܣܤ∥ܥܦ．
2．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ܣܤܥ中，ܥܦ٣ ܣܤ于点ܦǡܧ是ܣܥ上一点，且סͳ סʹ 〮ͻ˘ι．
请说明：ܦܧ∥ܤܥ．
解：∵ܥܦ٣ ܣܤ（已知），
∴סܣܦܥ〮_____________（_______________）．
∴סͳ _____________〮ͻ˘ι．
∵סͳ סʹ 〮ͻ˘ι（已知），
∴_____________=_____________（_____________）．
∴ܦܧ∥ܤܥ（__________________________）．
【答案】ͻ˘ι；垂直的定义；סܥܦܧ；סܥܦܧ；סʹ ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据垂直的定义得到סͳ סܥܦܧ〮ͻ˘ι，结合题意得到סʹ 〮סܥܦܧ，由内错角相等，两直线平行即可求
解．
【详解】解：：∵ܥܦ٣ ܣܤ（已知），
∴סܣܦܥ〮ͻ˘ι（垂直的定义），
∴סͳ סܥܦܧ〮ͻ˘ι，
∵סͳ סʹ 〮ͻ˘ι（已知），
∴סܥܦܧ〮סʹ（同角的余角相等），
∴ܦܧ∥ܤܥ（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ͻ˘ι；垂直的定义；סܥܦܧ；סܥܦܧ；סʹ ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
3．如图所示，已知סܣܧܦ〮䁡ʹι，סʹ 〮͵ͳι，ܧܨ平分סܣܧܦ，可以判断ܤܦ∥ܧܨ吗？为什么？
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【答案】ܤܦ∥ܧܨ，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出סͳ 〮͵ͳι，
那么סͳ 〮סʹ 〮͵ͳι，根据内错角相等，两直线平行即可证明ܤܦ∥ܧܨ．
【详解】解：可以判断ܤܦ∥ܧܨ，理由如下：
∵סܣܧܦ〮䁡ʹι，ܧܨ平分סܣܧܦ，
∴סͳ 〮
ͳ
ʹ סܣܧܦ〮͵ͳι．
∵סʹ 〮͵ͳι，
∴סͳ 〮סʹ，
∴ܤܦ∥ܧܨ．
4．如图，已知ܣܤ٣ ܤܥ，ܥܦ٣ ܤܥ，סͳ 〮סʹ，ܤܧ与ܥܨ平行吗？
【答案】ܤܧ∥ܥܨ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到סܧܤܥ〮סܤܥܨ是解题的关键．由ܣܤ٣ ܤܥ，ܥܦ٣
ܤܥ得到סܣܤܥ〮סܤܥܦ〮ͻ˘ι，继而סܧܤܥ〮סܤܥܨ，即可求证．
【详解】解：ܤܧ∥ܥܨ，理由如下，
证明，∵ܣܤ٣ ܤܥ，ܥܦ٣ ܤܥ，
∴סܣܤܥ〮סܤܥܦ〮ͻ˘ι，
∵סͳ 〮סʹ，
∴סܧܤܥ〮סܤܥܨ，
∴ܤܧ∥ܥܨ．
考点六平行线的判定-同旁内角互补两直线平行
1．如图，ܤܧ平分סܣܤܦ，ܦܧ平分סܤܦܥ，且סߙסߚ〮ͻ˘ι，求证：ܣܤ∥ܥܦ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义，结合已知条件，推出סܣܤܦסܤܦܥ〮ͳൌ˘ι，
即可得证．
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【详解】证明：∵ܤܧ平分סܣܤܦ，ܦܧ平分סܤܦܥ，
∴סܣܤܦ〮ʹߙǡסܤܦܥ〮ʹߚ，
∵סߙסߚ〮ͻ˘ι，
∴סܣܤܦסܤܦܥ〮ʹߙʹߚ〮ͳൌ˘ι，
∴ܣܤ∥ܥܦ．
2．如图，סͳ 〮͵ʹι，סܤ〮ͷൌι，ܣܤ٣ ܣܥ．试说明ܣܦ∥ܤܥ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．先求解
סܤܣܦ〮ͳʹʹι，证明סܦܣܤסܤ〮ͳൌ˘ι即可．
【详解】解：∵ܣܤ٣ ܣܥ，
∴סܤܣܥ〮ͻ˘ι．
又∵סͳ 〮͵ʹι，
∴סܤܣܦ〮ͳʹʹι，
∵סܤ〮ͷൌι，
∴סܦܣܤסܤ〮ͳൌ˘ι，
∴ܣܦ∥ܤܥ．
3．填空：如图，סͳ סʹ 〮ͳൌ˘ι，סͳ 〮ס͵，图中哪些直线会平行？
解：∵סͳ סʹ 〮ͳൌ˘ι（已知），
∴________∥________（同旁内角互补，两直线平行），
又∵סͳ 〮ס͵（________），
∴סʹ ס________〮ͳൌ˘ι（________），
∴ܧܨ∥ܩܪ（________）．
【答案】ܣܤ；ܥܦ；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．利用同旁内角
互补，两直线平行证明ܣܤ∥ܥܦ，根据סͳ סʹ 〮ͳൌ˘ι，סͳ 〮ס͵，得出סʹ ס͵ 〮ͳൌ˘ι，根据同旁内
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角互补，两直线平行证明ܧܨ∥ܩܪ．
【详解】解：∵סͳ סʹ 〮ͳൌ˘ι（已知），
∴ܣܤ∥ܥܦ（同旁内角互补，两直线平行），
又∵סͳ 〮ס͵（已知），
∴סʹ ס͵ 〮ͳൌ˘ι（等量代换），
∴ܧܨ∥ܩܪ（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：ܣܤ；ܥܦ；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
4．已知：如图，直线ܰ
ܨ与直线ܣܤ、ܥܦ分别交于点E、F，直线ܣܯ与直线ܪܤ交于点A，且סͳ 〮סͶ 〮ͳ˘ͷι，
סʹ 〮䁡ͷι，试说明：ܣܯ∥ܰܨ，ܣܤ∥ܥܦ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证סܯܣܧ〮סʹ，可得
ܣܯ∥ܰܨ，再证ס͵ סͶ 〮ͳ˘ͷι 䁡ͷι 〮ͳൌ˘ι，可证ܣܤ∥ܥܦ．
【详解】证明：∵סͳ 〮סͶ 〮ͳ˘ͷι，סʹ 〮䁡ͷι，
∴סܯܣܧ〮ͳൌ˘ι െͳ˘ͷι 〮䁡ͷι 〮סʹ，
∴ܣܯ∥ܰܨ，
∵סͳ 〮סͶ 〮ͳ˘ͷι，סʹ 〮䁡ͷι，
∴סʹ 〮ס͵ 〮䁡ͷι，
∴ס͵ סͶ 〮ͳ˘ͷι 䁡ͷι 〮ͳൌ˘ι，
∴ܣܤ∥ܥܦ．
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知识目标复核
1. 平面内两直线的位置关系
2. 用直尺、三角板画平行线
3. 平行公理的应用
4. 平行线的判定-同位角相等两直线平行
5. 平行线的判定-内错角相等两直线平行
6. 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行
一．选择题
1．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（
）
A．1 个或3 个
B．0 个或2 个
C．1 个或2 个或3 个
D．0 个或1 个或2 个或3 个
【答案】D
【分析】本题考查直角的交点个数问题，当三条直线平行时，三条直线没有交点，三条直线两两相交时
至少有一个交点，至多有3 个交点，即可得出结果．
【详解】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点，
三条直线两两相交时，如图：
可能有1 个，2 个或3 个交点，
故选D．
2．如图1 为一长方体水果箱，图2 为其模型，则模型中与ܣܩ平行的棱共有（
）
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A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可．
【详解】解：由题意可知：ܣܩ∥ܥܧǡܣܩ∥ܤܪǡܥܧ∥ܦܨ，
∴ܣܩ∥ܤܪ∥ܥܧ∥ܦܨ，
故模型中与ܣܩ平行的棱共有3 条；
故选C．
3．如图，直线݈ͳ、݈ʹ被l 所截，下列说理过程正确的是（
）
A．因为סͳ 与סʹ 互补，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
B．因为סʹ 〮ס͵，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
C．因为סͳ 〮סʹ，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
D．因为סͳ 〮ס͵，所以݈ͳ ∥݈
ʹ
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁
内角互补，两直线平行是解题关键．根据平行线判定定理逐一判断即可得答案．
【详解】解：A．סͳ 与סʹ 不是同旁内角，݈ͳ、݈ʹ不平行，故该选项错误，不符合题意，
B．因为סʹ ס͵ 〮ͳൌ˘ι，所以݈ͳ ∥݈
ʹ，故该选项错误，不符合题意，
C．סͳ 与סʹ 不是同位角或内错角，݈ͳ、݈ʹ不平行，故该选项错误，不符合题意，
D．因为סͳ 〮ס͵，所以݈ͳ ∥݈
ʹ，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
4．小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出סͳ 〮סʹ 〮䁡ͷι，
从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（
）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定方法，由图可得和是一对סͳ 和סʹ 是内错角，根据内错角相等，两直
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线平行即可判断．
【详解】解：∵סͳ 〮סʹ 〮䁡ͷι，
∴内错角相等，两直线平行，
即学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，
故选：C
5．如图，下列推理中，正确的是（
）
A．如果סʹ 〮סͶ，那么ܣܦ∥ܤܥ
B．如果סܦסͶ 〮ͳൌ˘ι，那么ܣܤ∥ܥܦ
C．如果סͳ 〮ס͵，那么ܣܦ∥ܤܥ
D．如果סܤסʹ 〮ͳൌ˘ι，那么ܣܦ∥ܤܥ
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 如果סʹ 〮סͶ，那么ܣܤ∥ܥܦ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果סܦסͶ 〮ͳൌ˘ι，不能得出ܣܤ∥ܥܦ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 如果סͳ 〮ס͵，那么ܣܦ∥ܤܥ，故该选项正确，符合题意；
D. 如果סܤסʹ 〮ͳൌ˘ι，不能得出ܣܦ∥ܤܥ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
6．下列条件：①סܤ〮סܦ，②סܦܣܥ〮סܤܥܣ，③סܤܣܥ〮סܦܥܣ，④סܤסܤܣܦ〮ͳൌ˘ל中，能判断ܣܦ∥ܤܥ
的是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉平行线的判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法进
行逐一判断即可．
【详解】解：当סܤ〮סܦ时，无法判定ܣܦ∥ܤܥ，故①错误；
当סܦܣܥ〮סܤܥܣ时，根据内错角相等，两直线平行可判定ܣܦ∥ܤܥ，故②正确；
当סܤܣܥ〮סܦܥܣ时，由内错角相等，两直线平行可判定ܣܤ∥ܥܦ，但不能判定ܣܦ∥ܤܥ，故③错误；
当סܤסܤܣܦ〮ͳൌ˘ל时，由同旁内角互补两直线平行可判定ܣܦ∥ܤܥ，故④正确；
综上，正确的有②④；
故选：D．
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二、填空题
7．如图，从正方形ܣܤܥܦ中写出互相平行的边：
【答案】ܣܦ∥ܤܥ，ܣܤ∥ܥܦ
【分析】本题主要考查了平行线的识别，正方形对边平行，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，ܣܦ∥ܤܥ，ܣܤ∥ܥܦ，
故答案为：ܣܦ∥ܤܥ，ܣܤ∥ܥܦ．
8．如图，在长方体ܣܤܥܦെܧܨܩܪ中，与线段ܣܤ平行的线段有
．
【答案】ܧܨ，ܪܩ，ܦܥ
【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可．
【详解】解：与ܣܤ线段平行的线段有：ܧܨ、ܪܩ、ܦܥ．
故答案为：ܧܨ、ܪܩ、ܦܥ．
9．若ܽ
∥ܾ，݈∥ܽ
，则݈
与ܾ
的位置关系是
．
【答案】平行
【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据
平行公理进行求解即可．
【详解】解：∵ܽ∥ܾ，݈∥ܽ
，
∴݈∥ܾ
，
∴则݈
与ܾ
的位置关系是是平行，
故答案为：平行．
10．如图，请添加一个条件，使得ܣܤ∥ܥܦ，则可以添加的条件是
．（写出一个即可）．
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【答案】סܥ〮סܣܧܥ（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：添加的条件是סܥ〮סܣܧܥ，理由如下：
∵סܥ〮סܣܧܥ，
∴ܣܤ∥ܥܦ（内错角相等，两直线平行），
故答案为：סܥ〮סܣܧܥ（答案不唯一）．
11．如图，若将木条ܽ
绕点ᦙ旋转后使其与木条ܾ
平行，则旋转的最小角度为
．
【答案】ൌͷι/ൌͷ 度
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线
平行可得当סܣᦙܤ〮䁡ͷι时，ܽ∥ܾ，进而算出答案．
【详解】解：∵当סܣᦙܤ〮䁡ͷι时，ܽ∥ܾ
∴旋转的最小角度为ͳͷ˘ι െ䁡ͷι 〮ൌͷι，
故答案为：ൌͷι．
12．如图，סͳ 〮ͳͳൌιǡסʹ 〮Ͷͷι，若使ܾ
∥ܿ，则可将直线ܾ
绕点ܣ逆时针旋转
度．
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【答案】ͳ䁡
【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角，求出旋转前ס͵ 的度数，再根据סʹ 〮ס͵ 时，ܾ∥ܿ，求
出旋转的角度即可．
【详解】解：∵סͳ 〮ͳͳൌι，
∴ס͵ 〮ͳൌ˘ι െסͳ 〮䁡ʹι，
当סʹ 〮ס͵ 〮Ͷͷι时，ܾ∥ܿ，
䁡ʹι െͶͷι 〮ͳ䁡ι，
∴将直线ܾ
绕点ܣ逆时针旋转ͳ䁡度，可以得到ܾ
∥ܿ；
故答案为：17．
三、解答题
13．如图，点A，B，E 在一条直线上．在空格上填写推理的依据．
(1)∵סͳ 〮ס͵（已知），∴ܣܤ∥ܦܥ（
）
(2)∵סܦܣܧ〮סܥܤܧ（已知）， ܣܦ∥ܤܥ（
）；
(3)∵סܥܦܣסܦܣܤ〮ͳൌ˘ι（已知），∴ܣܤ∥ܦܥ（
）
【答案】(1)内错角相等，两直线平行
(2)同位角相等，两直线平行
(3)同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进
行求解．
【详解】（1）解：∵סͳ 〮ס͵（已知），
∴ܣܤ∥ܦܥ（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行；
（2）解：∵סܦܣܧ〮סܥܤܧ（已知），
ܣܦ∥ܤܥ（同位角相等，两直线平行），
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故答案为：同位角相等，两直线平行；
（3）解：∵סܥܦܣסܦܣܤ〮ͳൌ˘ι（已知），
∴ܣܤ∥ܦܥ（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
14．如图，סͳ 〮סʹ，ס͵ סͶ 〮ͳൌ˘ι．试说明：ܣܥ∥ܨܩ．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）：
解：因为סͳ 〮סʹ，
所以______∥______（____________）．
因为ס͵ סͶ 〮ͳൌ˘ι，
所以______∥______（____________），
所以ܣܥ∥ܨܩ（____________）．
【答案】ܣܥ；ܦܧ；内错角相等，两直线平行；ܦܧ；ܨܩ；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条
直线的两条直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定、平行公理的推论．先根据סͳ 〮סʹ 可得ܣܥ∥ܦܧ，再根据ס͵ סͶ 〮
ͳൌ˘ι可得ܦܧ∥ܨܩ，然后根据平行公理的推论即可得证．
【详解】解：因为סͳ 〮סʹ，
所以ܣܥ∥ܦܧ（内错角相等，两直线平行）．
因为ס͵ סͶ 〮ͳൌ˘ι，
所以ܦܧ∥ܨܩ（同旁内角互补，两直线平行），
所以ܣܥ∥ܨܩ（平行于同一条直线的两条直线平行）．
15．如图，ܤܥ٣ ܣܥ于点ܥ，סܧܤܥסܣܥܦ〮ͻ˘ι，求证：ܤܧ∥ܥܦ
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到סܤܥܦסܦܥܣ〮ͻ˘ι，再
由已知条件推出סܧܤܥ〮סܤܥܦ，据此可证明ܤܧ∥ܥܦ．
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【详解】证明：∵ܤܥ٣ ܣܥ，
סܤܥܦסܦܥܣ〮ͻ˘ι，
∵סܧܤܥסܣܥܦ〮ͻ˘ל，
סܧܤܥ〮סܤܥܦ，
ܤܧ∥ܥܦ．
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