《2026初高衔接》[第十一讲]——幂函数及其衍生函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
11
幂函数及其衍生函数
幂函数及其衍生函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
初步认识幂函数
识别幂函数，根据指数判断定义域、
单调性、图象特征
直观想象、数学抽象
认识函数的变换与运算
初步认识图象变换规律，和运算特
点．能分析性质
直观想象、逻辑推理
一幂函数
初中我们接触过三类基础函数：反比例函数y = 1
x 、二次函数y = x2、正比例函数y = x．到了高中，这三
类函数能统一归为同一种函数类型，我们把这类形如y = xα 的函数统称为幂函数．
五个必会幂函数
我们可以采用五点作图法，分别绘制下列各个幂函数的图象，同时结合之前所学的函数相关性质，请完成
对应性质的填写与补充完善．
O
x
y
1
1
y=x-1
y=x2
y=x3
y=x1
y=x
1
2
y=x0
大于1
0到1之间
小于0
y = x
y = x2
y = x3
y =
x
y = 1
x
定义域
R
R
R
0,+∞


x≠0
值
域
R
0,+∞


R
0,+∞


y≠0
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
单增
先减后增
单增
单增
单减
由上述5 个幂函数的图象及其性质，我们可以归纳得出幂函数的图象性质如下：
幂函数y = xα(α = q
p ，p，q ∈Z，p,q 互质) 具有如下性质：
过定点：所有的幂函数在(0, +∞) 都有定义，并且图象都过点
(1,1)
．
单调性：若α > 0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞) 上为
增函数
．
若α < 0，则幂函数的图象在(0, +∞) 上为减函数，在第一象限内图象无限接近x 轴与y 轴．
奇偶性：当α 是整数时，α 为奇数，幂函数为奇函数，α 为偶数，幂函数为
偶函数
．
正弦型三角函数函数的参数与图象
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2 + m - 5)x-m2+2m+3 在(0，+∞) 上单调递增．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 若f(2x - 1) < f(2 - x)，求实数x 的取值范围；
(3) 若正数a，b，满足4a + 2b = m，求1
a + a
b 的最小值．
幂函数f(x) = (m2 + m - 5)x-m2+2m+3 在(0，+∞) 上单调递增，
(1) 依题意，m2+ m - 5 = 1，-m2+ 2m + 3 > 0，解得m = 2，故f(x) = x3；
(2) 由(1) 可知f(x) = x3在定义域内单调递增，因为f(2x - 1) < f(2 - x)，所以2x - 1 < 2 - x，解得x < 1，
所以x 的范围为(-∞，1)；
(3) 由(1) 可知正数a，b，4a + 2b = 2，即2a + b = 1，
所以1
a + a
b = 2a+b
a
+ a
b = 2 + b
a + a
b ≥2 + 2
b
a × a
b = 4，
当且仅当a
b = b
a 时，即a = b = 1
3 时，等号成立，故1
a + a
b 的最小值为4．
1
(★☆☆☆☆)下列函数既是幂函数又是奇函数的是
( A )
A. y = 3 x 　　　
B. y = 1
x2 　　　
C. y = 2x2　　　
D. y = x + 1
x
由幂函数的定义知，y = 2x2，y = x + 1
x 不是幂函数，CD 错误，
y = 3 x = x
1
3 为幂函数，定义域为{x ∣x ∈R}，∵f(-x) = (-x)
1
3 =-x
1
3 ，∴f(x) 为奇函数，∴A 正确，
∵y = 1
x2 为偶函数，∴B 错误，
2
(多选•★☆☆☆☆)已知幂函数f (x) = (m - 2)xm2-2m，则
(
BC
)
A. m = 1
B. f(x) 的定义域为R
C. f(-x) =-f(x)
D. 将函数f(x) 的图象向左平移1 个单位长度得到函数g(x) = (x - 1)3 的图象
由幂函数f (x) = (m - 2)xm2-2m，幂函数的定义可知m - 2 = 1，所以m = 3．
所以f(x) = x3，其定义域为R，故A 错误，B 正确．由于(x) = x3 为奇函数，所以f(-x) =-f(x)，故C
正确．将(x) = x3 的图象向左平移1 个单位长度得到函数y = (x + 1)3 的图象，故D 错误．
2
(★☆☆☆☆)函数y = x
4
3 的图象是
( A )
A.
O
x
y
B.
O
x
y
C.
O
x
y
D.
O
x
y
研究函数y = x
4
3 知，其是一个偶函数，且在(0，+∞) 上增，在(-∞，0) 上减，由此可以
排除C，D，又函数的指数4
3 > 1，故在(0，+∞) 其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A 正确。故选A．
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3
(★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = xα 过点
1
2 ，
2
2


，则不等式f(|x|) ≤2 解集
( D )
A. (0，
2]
B. [0，4]
C. [- 2，
2]
D. [-4，4]
由题意，设f(x) = xα，又幂函数f(x) 过点
1
2 ，
2
2


，
∴f 1
2


=
1
2


α
=
2
2 ，解得α = 1
2 ，即f(x) = x
1
2
∴f(|x|) ≤2，即
|x| ≤2，解得-4 ≤x ≤4 故选：D．
4 (★★★☆☆)幂函数的图象经过点(4，2)，若0 < a < b < 1，则下列各式正确的是
( A )
A. f(a) < f(b) < f 1
b


< f 1
a


B. f 1
a


< f 1
b


< f(b) < f(a)
C. f(a) < f(b) < f 1
a


< f 1
b


D. f 1
a


< f(a) < f 1
b


< f(b)
∵y = xα 过(4，2)，∴4α = 2，解得α = 1
2 ，∴y = x
1
2 ，
∵0 < a < b < 1，∴1
a > 1
b > 1 > b > a > 0，
∴f(a) < f(b) < f 1
b


< f 1
a


．故选：A．
5
(★★★☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 2m - 2)xm-1 在[0，+∞) 上单调递增．
(1) 求m 的值；
(2) 设g(x) 是定义在R 上的奇函数，当x > 0 时，g(x) = f(x) - 2x + 2，求g(x) 的解析式；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < x + a2- a 的解集．
(1) 因为幂函数f(x) = (m2- 2m - 2)xm-1 在[0，+∞) 上单调递增，
所以m2-2m-2=1
m-1>0

，解得m = 3；
(2) 当x > 0 时，g(x) = f(x) - 2x + 2 = x2- 2x + 2，
因为g(x) 为R 上的奇函数，
故x < 0 时，-x > 0，所以g(-x) = x2+ 2x + 2 =-g(x)，
所以g(x) =-x2- 2x - 2，又g(0) = 0，故g(x) =
x2-2x+2，x>0
0，x=0
-x2-2x-2，x<0





；
(3) 由题意关于x 的不等式f(x) < x + a2- a，
即为x2< x + a2- a，
即x2- x - a2+ a < 0，
即[x + (a - 1)] (x - a) < 0，
所以，当1 - a > a，即a < 1
2 时，不等式的解集为(a，1 - a)；
当1 - a = a，即a = 1
2 时，不等式为x- 1
2


2
< 0，解集为∅；
当1 - a < a，即a > 1
2 时，不等式的解集为(1 - a，a)．
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二反比例型（一次分式）函数
前面我们学习了一次分式的分离常数的方法．对于分式f(x) = cx+d
ax+b 可进行如下裂项：
①在函数的分子上配出分母的形式：f(x) =
c
a ax+b


+d- cb
a
ax+b
②列项：f(x) = c
a +
d- cb
a
ax+b .
③令k = d - cb
a ，则函数f(x) = c
a +
k
ax+b
显然上述函数是反比例函数的平移变换得到的．由此我们将形如f(x) = cx+d
ax+b 这样的函数称为反比例型
(一次分式) 函数.
其图象如右：由图可得f(x) = cx+d
ax+b 的性质：
①f(x) 定义域是-∞,- b
a


、- b
a ,+∞


，值域是-∞, c
a


、
c
a ,+∞


②f(x) 在-∞,- b
a


、- b
a ,+∞


上具备唯一单调性
③f(x) 图象关于- b
a , c
a


呈中心对称
每一次都以分离常数的方法去研究分式函数显得复杂与繁琐，我们可以借助一些二级结论来辅助记忆．
对于一次分式函数f(x) = cx+d
ax+b ，它的草图有如下特点与规律：
①它的两条渐近线：x =- b
a ，y = c
a (第一条是分母为零；第二条是变量系数作比)
②通过取特殊值(如x = 0)来判断图象的摆放位置，要么在一三图区，要么在二四图区
反比例型函数快速绘图方法
2 (多选•★☆☆☆☆)已知函数f(x) =-
x
x+1 ，则函数具有下列性质
( ACD )
A. 函数f(x) 的图象关于点(-1，-1) 对称
B. 函数f(x) 在(-1，+∞) 上单调递增
C. 函数f(x) 的图象过原点
D. 函数f(x) 的值域为{y|y ≠-1}
根据课堂内容快速绘制函数图象如图可知：A 正确；
由f(x) 在(-1，+∞) 递减，故B 错；由f(0) = 0，得f(x) 经过原点，C 正确；
由f(x) =-1 +
1
x+1 ，可得f(x) 的值域为{y|y ≠-1}，故D 正确．
故选：ACD．
y
x
f(x)= cx+d
ax+b
x=- b
a
y= c
a
x
y
-1
-1
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6
(★☆☆☆☆)请作出下列函数的草图，并求解其值域
(1) f(x) = 3x-1
x+1 ．
函数f(x) = 3x-1
x+1
= 3 -
4
x+1
作出函数的草图如右图所示
∴函数y = 3x-1
x+1 的值域为{y|y ∈R 且y ≠3}．
(2) f(x) =
2x
x+1 , x ∈[0，+∞

函数f(x) =
2x
x+1
= 2(x+1)-2
x+1
= 2 -
2
x+1
作出函数的草图如右图所示
∴函数y = 3x-1
x+1 的值域为0,2


7
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) =
3
2x-1 (x ∈[2，8])，则
( C )
A. f(x) 是单调递增函数
B. f(x) 是偶函数
C. 函数f(x) 的最小值为f(8)
D. f(2) < f(4) < f(6)
根据课堂内容快速绘制函数图象如图可知：A 错误；
B，定义域不关于原点对称，所以f(x) 是非奇非偶函数，即B 错误；
C，由f(x) =
3
2x-1 在x ∈[2，8] 上单调递减，知f(x)min = f(8)，即C 正确；
D，由f(x) =
3
2x-1 在x ∈[2，8] 上单调递减，知f(2) > f(4) > f(6)，即D 错误．
8
(多选• ★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x+2
x-6 ，下列选项正确的是
(
AD
)
A. 若f(x) = 2，则x = 14
B. 函数f(x) 在定义域内是减函数
C. 若x ∈[2，8] 时，则f(x) 的值域是[-1，5]
D. 若x ∈N，则函数f(x) 有最小值也有最大值
A，由f(x) = 2，可得x+2
x-6 = 2 解，解得x = 14，故A 正确；
B，在(-∞，6) ∪(6，+∞) 上不是单调函数，故B 错误
C，由B 可得，当x ∈[2，6) 时，f(x) ≤f(2) =-1
当x ∈(6，8] 时，f(x) ≥f(8) = 5，所以f(x) 的值域是(-∞，-1] ∪[5，+∞)
当x = 6 时，f(x) 无意义，故C 错误；
当x ∈N 且x ∈(6，+∞) 时，1 < f(x) ≤f(7) = 9 当x ∈N 且x ∈[0，6) 时，-7 = f(5)
≤f(x) ≤f(0) =- 1
3 所以若x ∈N，则函数f(x) 有最小值也有最大值，故D 正确．
f(x)= 3x-1
x+1
x=-1
y=3
x
y
f(x)= 2x
x+1
x=-1
y=2
x
y
x
y
x
y
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9
(★★☆☆☆)若f(x) =-x2+ 2(a - 1)x 与g(x) = ax-1
x-1 在(1，2) 上都是减函数，则a 范围
( C )
A. (-2，-1) ∪(1，2)
B. (-1，0) ∪(0，2]
C. (1，2]
D. [1，2)
函数f(x) =-x2+ 2(a - 1)x 是二次函数，图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x = a - 1；
f(x) 在区间(1，2) 上是减函数时，有a - 1 ≤1，解得a ≤2；
函数g(x) = ax-1
x-1 = a + a-1
x-1 在区间(1，2) 上是减函数时，有a - 1 > 0，得a > 1；综上a ∈(1，2]．
10 (多选•★★★☆☆)函数f(x) = 2x-m
x+1
在区间(n，+∞) 上单调递增，则下列说法正确的是
(
BD
)
A. m <-2
B. m >-2
C. n ≤-1
D. n ≥-1
f(x) = 2x-m
x+1
= 2 - m+2
x+1 的定义域为(-∞，-1) ∪(-1，+∞)，
当m + 2 < 0，即m <-2 时，函数f(x) 在(-∞，-1)，(-1，+∞) 上单调递减，不符合题意；
当m + 2 = 0，即m =-2 时，f(x) = 2 为常数函数，没有单调性，不符合题意；
当m + 2 > 0，即m >-2 时，函数f(x) 在(-∞，-1)，(-1，+∞) 上单调递增，
由函数f(x) 在(n，+∞) 上单调递增，得m >-2，且(n，+∞) ⊆(-1，+∞)，
因此m >-2，且n ≥-1，AC 错误，BD 正确．故选：BD．
11 (多选•★★★☆☆)若函数f(x) = |x|-2
x2-4 + 1，定义域为D，下列结论正确的是
(
AC
)
A. f(x) 的图象关于y 轴对称
B. ∃x ∈D，使f(x) = 5
4
C. f(x) 在[0，2) 和(2，+∞) 上单调递减
D. f(x) 的值域为0，3
2



函数x2 - 4 ≠0，即x ≠-2，且x ≠2，可得D = {x|x ≠-2，且x ≠2}，关于原点对称，f(
-x) = |-x|-2
(-x)2-4
+ 1 = f(x)，可得f(x) 为偶函数，即有f(x) 的图象关于y 轴对称，故A 正确；若f(x) = 5
4 ，
即|x|-2
x2-4 = 1
4 ，化为(|x| -2)2 = 0，解得x =±2，舍去，故B 错误；当x ≥0 时，f(x) = x-2
x2-4 + 1 =
1
x+2
+ 1 在[0，2)，[2，+∞) 递减，故C 正确；当x ≥0 且x ≠2 时，f(x) =
1
x+2 + 1 ∈1，5
4


∪
5
4 ，3
2



，
由偶函数的性质可得f(x) 的值域为1，5
4


∪
5
4 ，3
2



，故D 错误．故选：AC．
12 (★★☆☆☆)已知函数f(x) =
2x
x+1 ．
(1) 用定义证明f(x) 在(1, +∞) 上单调递增；
(2) 对任意x ∈[2，4] 都有f(x) ≤m 成立，求实数m 的取值范围．
(1) 证明：任取1 < x1 < x2 则f(x1) - f(x2) =
2x1
x1+1 -
2x2
x2+1 =
2(x1-x2)
(x1+1)(x2+1) ，
∵1 < x1 < x2，∴x1 - x2 < 0，x1 + 1 > 0，x2 + 1 > 0，
∴f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)．
∴函数f(x) 在(1, +∞) 上单调递增；
(2) ∵函数f(x) 在[2，4] 内为增函数，
∴f(x) 在[2，4] 内的最大值为f(4) = 2×4
4+1 = 8
5 ，
∵f(x) ≤m 在[2，4] 上恒成立，∴m ≥8
5 ，
即实数m 的取值范围为
8
5 ，+∞



．
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三对勾函数
前面我们学习了正反比例和函数f(x) = ax + b
x ，a > 0,b > 0，这个函数在高中阶段我们将其称之为对勾
函数．需要像学习一次函数和二次函数一样，记熟记它的性质和图象．
对勾函数图象性质
解析式
f(x) = ax + b
x
图
像
a > 0，b > 0
a < 0，b < 0
y
x
b
a
2
ab
y=ax
y
x
-
b
a
2
ab
y=ax
渐近线
y 轴和y = ax
定义域
-∞,0


∪0,+∞


值
域
y ϵ -∞,

-2 ab

∪2 ab,

+∞

单调增区间
-∞,

-
b
a


,
b
a ,


+∞

-
b
a ,

0),(0,
b
a

单调减区间
-
b
a ,

0),(0,
b
a

-∞,

-
b
a


,
b
a ,


+∞

3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) =
x2
x+1 ，g(x) = f(x)
x
，则下列选项正确的是
( ABD )
A. 若x >-1，则函数f(x) 的最小值为0
B. 若a > 0，b > 0 且f(a) =
2ab
3b-2 ，则ab ≥16
C. 函数g(x) 的图象关于点(-1，1) 中心对称
D. 若a，b，c 是△ABC 的三边，则g(a) + g(b) > g(c)
A，当x >-1 时，函数f(x) =
x2
x+1 = x + 1 +
1
x+1 - 2 ≥2 - 2 = 0，当且仅当(x + 1)2 =
1，即x = 0 时，等号成立，故A 选项正确；
B，由f(a) =
2ab
3b-2 ，得ab = 2a + 2b ≥4 ab (a > 0，b > 0)，即ab ≥16(当且仅当a = b = 4 时，等号成
立)，故B 选项正确；C，由g(x) = f(x)
x
=
x
x+1 的定义域为{x|x ≠-1 且x ≠0}，可知g(x) 的定义域不关
于点(-1，1) 中心对称，故C 选项错误；
D，g(x) 在(0，+∞) 上单调递增，a，b，c 是△ABC 的三边，则a + b > c，由作差法可得g(a) + g(b) >
g(c)，故D 选项正确．综上，故选：ABD．
115
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13 (★☆☆☆☆)若f(x) = x + 4
x ，下列结论正确的是
( B )
A. f(x) 的最小值为4
B. f(x) 在(0，2) 上单调递减，(2，+∞) 上递增
C. f(x) 的最大值为4
D. f(x) 在(0，2) 上单调递增，(2，+∞) 上递减
函数f(x) = x + 4
x 的定义域为{x|x ≠0}，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A 错；
f(x) 在(0，2) 上单调递减，在(2，+∞) 上单调递增，故B 正确；
函数在定义域上无最大值，故C 错误；
f(x) 在(0，2) 上单调递减，在(2，+∞) 上单调递增，故D 错误．故选：B．
14 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = x
3 + 1
x ，则
(
BD
)
A. f(x) 有最大值
B. 曲线f(x) 有对称中心
C. f(x) 有最小值
D. 曲线f(x) 有对称轴
有课堂所讲授知识和内容可知：f(x) 定义域为x ∈(-∞，0) ∪(0，+∞)，
当x > 0 时，f(x) = x
3 + 1
x ≥2
x
3 ⋅1
x = 2 × 3
- 1
4 ，当且仅当x
3 = 1
x ，即x = 4 3 时等号成立，
当x < 0 时，f(x) =- - x
3 - 1
x


≤-2
- x
3


⋅- 1
x


=-2 × 3
- 1
4 ，当且仅当- x
3 =- 1
x ，即x =
- 4 3 时等号成立，所以f(x) 没有最大值，也没有最小值，故选项A、C 错误；
因为f(-x) = -x
3 + 1
-x =-
x
3 + 1
x


=-f(x)，且函数f(x) 的定义域为x ∈(-∞，0) ∪(0，+∞)，关
于原点对称，所以f(x) 是奇函数，则曲线y = f(x) 有对称中心为(0，0)，故选项B 正确；
对勾函数的图象是双曲线绕坐标原点旋转得到的，双曲线有两条对称轴，
所以函数f(x) = x
3 + 1
x 有两条对称轴，故选项D 正确．故选：BD．
15 (多选•★★★☆☆)对于函数f(x) =
x
1+2x2 ，下列判断正确的是
(
AC
)
A. f(-x) + f(x) = 0
B. 当m ∈(0，1) 时，方程f(x) = m 总有实数解
C. 函数f(x) 的值域为-
2
4 ，
2
4




D. 函数f(x) 的单调递增区间为(-∞，0)
∵f(x) =
1
1
x +2x
，有课堂内容可知，分母是对勾函数，所以整个函数也是奇函数。A 正确
B，当m = 1
2 时，
x
1+2x2 = 1
2 ，2x2- 2x + 1 = 0，Δ = (-2)2- 8 =-4 < 0，无解，所以B 错误；
当x > 0 时，由基本不等式得2x + 1
x ≥2
2x⋅1
x = 2 2，当且仅当2x = 1
x ，x =
2
2
时，等号成立，
所以f(x) =
1
1
x +2x
≤
2
4 ，又由A 可知f(x) =
x
1+2x2 (x ∈R) 为奇函数，
故当x < 0 时，f(x) =
1
1
x +2x
≥-
2
4 ，所以函数f(x) 的值域为-
2
4 ，
2
4




，C 正确；
∵f(-1) = f - 1
2


=- 1
3 ，∴f(x) 在(-∞，0) 上不可能单增，D 错．
116
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
16 (★★★★★)已知函数f(x) = x +
a
x-b (a，b ∈R)．
(1) 求函数y = f(x) 图象的对称中心；
(2) 当a =-1，b = 1 时，用定义证明f(x) 在(1，+∞) 上单调递增；
(3) 当a > 0，b = 0 时，若函数f(x) 在定义域[m，n] 上单调(n > m > 0)，且函数f(x) 的值域为[2m + 1，
2n + 1]，求实数a 的取值范围．
(1)f(x) = x +
a
x-b = x - b +
a
x-b + b，
y = f(x) 可由y = x + a
x 平移变换过来，而y = x + a
x 仅有一个对称中心，
故y = f(x) 只有一个对称中心，
f(b + x) + f(b - x) = b + x + a
x + b - x + a
-x = 2b，
所以(b，b) 是函数f(x) 图象的对称中心．
(2) 证明：f(x) = x -
1
x-1 ，∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1< x2，
有f(x1) - f(x2) = x1-
1
x1-1


- x2-
1
x2-1


= (x1 - x2) -
1
x1-1 -
1
x2-1


= (x1 - x2) 1+
1
(x1-1)(x2-1)


，
由1 < x1< x2，得x1- x2< 0，(x1- 1) (x2- 1) > 0，于是f(x1) - f(x2) < 0，
即f(x1) < f(x2)，
所以，函数f(x) 在区间(1，+∞) 上单调递增．
(3) 根据对勾函数的图象性质可知函数f(x) = x + a
x (a > 0) 在(0，
a] 上递减，在[ a，+∞) 上递增，
①当
a ≤m < n 时，函数f(x) = x + a
x 在区间[m，n] 上单调递增，
于是
f(m)=2m+1
f(n)=2n+1

，所以方程f(x) = 2x + 1 在[ a，+∞) 上有两个不同的根，
即方程x2+ x - a = 0 在[ a，+∞) 上有两个不同的根，
由函数y = x2+ x - a 在[ a，+∞) 上单调递增，故不符合；
②当0 < m < n ≤
a，函数f(x) = x + a
x 在区间[m，n] 上单调递减，
于是
f(m)=2n+1
f(n)=2m+1

，即
m+ a
m =2n+1
n+ a
n =2m+1





，两式相减得m - n + a(n-m)
mn
= 2(n - m)，
所以a = 3mn，将n =
a
3m 代入方程m + a
m = 2n + 1 得m2 - m + 1
3 a = 0，
同理可得n2 - n + 1
3 a = 0，
所以，方程x2 - x + 1
3 a = 0 在(0，
a] 上有两个不同的根，
记g(x) = x2 - x + 1
3 a，则
Δ>0
0<- -1
2 <
a
g(0)>0
g( a)≥0





，解得9
16 ≤a < 3
4 ，
综上所述，实数a 的取值范围是
9
16 ，3
4



．
117
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (多选•★☆☆☆☆)当x <-1 时是增函数的有
(
BC
)
A. y = x2
B. y = 2x
C. y =-
2
x+1
D. y = 2
x
A 错误；y = 2x，一次函数，k > 0，函数值y 随x 的增大而增大，故B 正确；
y =-
2
x+1 ，则当x <-1，y =-
2
x+1 的函数值y 随x 的增大而增大，故C 正确；
y = 2
x ，反比例函数，k > 0，在一三象限内，函数值y 随x 的增大而减小，故D 错误．故选：BC．
2 (★☆☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 3)x-m 在(0，+∞) 上为单调减函数，则实数m 的值为
( D )
A.
3
B. ± 2
C. - 2
D. 2
f(x) 是幂函数，m2 - 3 = 1，m =±2，当m = 2 时，f(x) = x-2 = 1
x2 ，在(0，+∞) 上递
减，合题，当m =-2 时，f(x) = x2，在(0，+∞) 上递增，不符合题意，综上，m 的值为2，D 选项正确．
3 (★★☆☆☆)函数f(x) = x2+3x+4
x
，对于任意x ≥1
2 时下列说法正确的是
( A )
A. 函数最小值为7
B. 函数最小值为23
2
C. 函数最大值为7
D. 函数最大值为23
2
f(x) = x + 4
x + 3 在
1
2 ，2




上单调递减，在[2，+∞) 上单调递增，故当x = 2 时，函数取
得最小值f(2) = 7，没有最大值．
4 (★★☆☆☆)若函数f(x) =
1
x-m 在区间(0，1) 上单调，则m 的取值范围是
( D )
A. (-∞，0)
B. (1，+∞)
C. (-∞，0) ∪(1，+∞)
D. (-∞，0] ∪[1，+∞)
f(x) 在(m，+∞)，(-∞，m) 上单调，且f(x) 在(0，1) 上单调，
∴m ≤0 或m ≥1，∴m 的取值范围是(-∞，0] ∪[1，+∞)．故选：D．
5 (★★☆☆☆)已知命题p：“∃x ∈R，x2- ax + 1 = 0”为假命题，命题q：“f(x) = 2x + a
x 在(0，
1] 上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A．
(1) 求集合∁RA；
(2) 设集合B = {x|3m + 1 ≤x < 2m + 1}，若x ∈∁RA 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(1) 因为命题P 为假命题，所以关于x 的一元二次方程x2- ax + 1 = 0 无解，
即Δ = (-a)2- 4 = a2- 4 < 0，解得-2 < a < 2，
因为命题q 为真命题，当a > 0 时，结合对勾函数的性质可知f(x) = 2x + a
x 在0，
2a
2



上单调递减，
不满足题意；当a ≤0 时，f(x) = 2x + a
x 在(0，1] 上为增函数，满足题意；
故集合A = {a| -2 < a ≤0}，所以∁RA = {x|x ≤-2 或x > 0}；
(2) 由x ∈∁RA 是x ∈B 的必要不充分条件，则B ⊊∁RA，
当B ≠∅时，则3m+1<2m+1
2m+1≤-2

或3m+1<2m+1
3m+1>0

，得m ≤- 3
2 或- 1
3 < m < 0；
当B = ∅时，3m + 1 ≥2m + 1，解得m ≥0，此时满足B ⊊∁RA；
综上所述，m 的取值范围是{m|m ≤- 3
2 或m >- 1
3 }．