二项分布、超几何分布、正态分布专项训练
考点目录
二项分布
超几何分布
正态分布
1．（24-25 高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布
2
500,5
N
（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于500g 的概率为
（ ）．
A．3
8
B．1
4
C．3
4
D．1
8
【答案】A
【详解】每包食盐的质量不低于500g 的概率为
1
2 ，抽取了四包食盐，
则四包食盐质量不低于500g 的包数服从二项分布
1
4, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø，
所以恰有两包食盐的质量不低于500g 的概率为
2
2
2
4
1
1
3
C
1
2
2
8
æ
ö æ
ö
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
．
故选：A
2．（24-25 高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000 名学生，在一次检测考试中，数学成绩
2
95,15
X
N
~
，
若从所有学生中随机抽取10 名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10 名
学生的成绩均在65 分以上的概率为（ ）（参考数据：
(
)
0.68,
(
2
2 )
0.95
P
X
P
X
m
s
m
s
m
s
m
s
-
<
£
+
=
-
<
£
+
=
）
A．
10
0.68
B．
10
0.95
C．
10
0.975
D．
10
0.84
【答案】C
【详解】由
2
(95,15 )
X
N
:
知
(65
125)
0.95
P
X
<
£
=
，
则
(65
95)
0.475
P
X
<
£
=
，
(
65)
0.475
0.5
0.975
P X >
=
+
=
，
可知10 名学生的成绩在65 分以上的人数
~
10,0.975
Y
B
，
所以
10
10
0.975
P Y =
=
，
故选：C．
3．（24-25 高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左移动的
考点一
二项分布
概率为1
4 ，向右移动的概率为3
4 ．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5 次移动后，该质点位与点1的距离不
大于一个单位的概率为（ ）
A．50
243
B．17
512
C．135
512
D．17
81
【答案】C
【详解】由题意，设质点向右移动k 次，向左移动5 k
-
次.
∴最终位置为：
5
1
2
5
x
k
k
k
=
+
-
´ -
=
- ，
∴|
1| 1
x -
£ ，解得：0
2
x
£
£
，
∴0
2
5
2
k
£
-
£
，解得：5
7
2
2
k
£
£
，
∵k 为正整数，
∴
3
k =
，
∴质点向右移动3 次，向左移动5
5
3
2
k
-
=
-
=
次，
∴该质点位与点1的距离不大于一个单位的概率为：
3
2
3
5
3
1
27
1
135
C
10
4
4
64
16
512
P
æ
ö
æ
ö
=
´
´
=
´
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故选：C.
4．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，若正面朝上k 次的概率最大，则k = （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8 次，正面朝上X 次，则
1
~
8, 2
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
则正面朝上k 次的概率为
8
4
8
8
8
1
1
1
C
=
C
C
2
256
256
k
k
P X
k
£
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以
4
k =
.
故选：A.
5．（24-25 高二下·云南昆明·期中·多选）已知在n 重伯努利试验中，每次试验中事件A 发生的概率为
(0
1)
p
p
<
<
，
记试验进行至事件A 发生r 次为止时试验进行的次数为X ，称X 服从负二项分布，记作
~
( , )
X
NB r p ，则下列说法
正确的是（ ）
A．若
1
~
2, 3
X
NBæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
4
(
3)
27
P X =
=
B．若
1
~
1, 2
X
NBæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
2
k
P X
k
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
，
1,2,3
k =
，…
C．若
~
( , )
X
NB r p ，则
1
1
C
1
r
r
k r
k
P X
k
p
p
-
-
-
=
=
-
，k
r
= ，
1
r + ，
2
r +
，…
D．若
~
( , )
X
NB r p ，则当k 取不小于
1
r
p
- 的最小正整数时，
(
)
P X
k
=
最大
【答案】ABD
【详解】对于A，由
1
~
2, 3
X
NBæ
ö
ç
÷
è
ø，则
1
2
1
2
1
2
4
(
3)
C ( ) ( )
3
3
27
P X =
=
=
，故A 正确；
对于B， 由
1
~
1, 2
X
NBæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
1
1
1
1
(1
)
( )
( )
2
2
2
k
k
P X
k
-
=
=
-
=
，
1,2,3
k =
，…，故B 正确；
对于C，因
~
( , )
X
NB r p ，则
1
1
1
1
1
C
(1
)
C
(1
)
r
r
k r
r
r
k r
k
k
P X
k
p
p
p
p
p
-
-
-
-
-
-
-
=
=
-
=
-
，k
r
= ，
1
r + ，
2
r +
，…，故C 错
误；
对于D，因
~
( , )
X
NB r p ，
(
)
P X
k
=
最大时，当且仅当
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
=
³
=
-
ì
í
=
³
=
+
î
成立，
即
1
1
1
1
2
1
1
1
1
C
(1
)
C
(1
)
C
(1
)
C
(1
)
r
r
k r
r
r
k r
k
k
r
r
k r
r
r
k r
k
k
p
p
p
p
p
p
p
p
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
- +
-
ì
-
³
-
í
-
³
-
î
，解得：
1
1
1
k
r
k
p
p
-
-
£
£ +
.
故当k 取不小于
1
r
p
- 的最小正整数时，
(
)
P X
k
=
最大，故D 正确.
故选：ABD.
6．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X 服从两点分布，且
2
0
3
P X =
=
，则
1
3
E X =
B．某实验室有6 只小白鼠，其中有3 只已经测量过某项指标，若从这6 只小白鼠中随机取出3 只，则恰好有
2 只测量过该指标的概率为9
20
C．若随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，则
5
6
P X
P X
=
>
=
D．若随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，且
3
1
Y
X
=
- ，则
15
E Y =
，
16
D Y =
【答案】ABD
【详解】对于A，因为随机变量X 服从两点分布，且
2
0
3
P X =
=
，所以
1
1
3
P X =
=
，所以
2
1
1
0
1
3
3
3
E X =
´
+ ´
=
，所以A 正确；
对于B，恰好有2 只测量过该指标的概率为
2
1
3
3
3
6
C C
9
C
20
P =
=
，所以B 正确；
对于C，因为随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
5
3
5
8
8
2
2
1792
5
C
1
3
3
3
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
6
2
6
8
8
2
2
1792
6
C
1
3
3
3
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，所以
5
6
P X
P X
=
=
=
，所以C 错误；
对于D，因为随机变量X 服从二项分布
2
8, 3
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，则
2
16
8
3
3
E X = ´
=
，
2
1
16
8
3
3
9
D X = ´
´
=
，又
3
1
Y
X
=
- ，所
以
3
1
15
E Y
E X
=
- =
,
9
16
D Y
D X
=
=
，所以D 正确.
故选：ABD
7．（24-25 高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为2
3 ，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n 次，
用X 表示抽到的一等品的件数，若
E X ΢ ，
D X ÎZ ，则满足条件的n 的最小值为 .
【答案】9
【详解】已知
2
~
, 3
X
B n
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
2
3
E X
n
=
，
2
2
2
1
3
3
9
D X
n
n
æ
ö
=
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
E X ÎZ ，
D X ÎZ ，
所以n 是9 的倍数，n 的最小值为9.
故答案为：9.
8．（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0 出发，每隔1s等可能
地向左或向右移动一个单位，共移动6 次.该质点位于4 的概率为
；在该质点有且仅有一次经过点1 的条
件下，共经过两次2 的概率为
.
【答案】
3
32
3
20
【详解】第一空，设质点向右移动的次数为X ，又质点每隔1 秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6
次，且每次移动是相互独立的，则X 服从二项分布
1
6, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，经
6
2
4 1
4
2
+
+ +
分析质点位于4 的位置，则右5 次向左
1 次，则
5
5
6
1
1
3
5
C
2
2
32
P X
æ
ö
=
=
×
=
ç
÷
è
ø
；
第二空，设事件A = “质点有且仅有一次经过1”，事件B = “共两次经过2”，
1A = “质点仅在第1 秒位于1”；
2
A = “质点仅在第3 秒位于1"；”
3
A =“ 质点仅在第5 秒位于1”，
则
1
2
3
,
,
A A A 两两互斥，则
1
2
3
P A
P A
P A
P A
=
+
+
，
仅在第一秒经过1，则质点的走法：RRRLR（第六步不受影响）；RRRR（第五六步不受影响）；RLLRL（第六步不
受影响）；RLLL（第五六步不受影响），
1
6
2
4
2
4
3
2
16
P A
+
+
+
=
=
，
仅在第三秒经过1，则质点的走法：LRRLL（第六步不受影响）；LRRRR（第六步不受影响）
2
6
2
2
1
2
16
P A
+
=
=
，
仅在第五秒经过1，则质点的走法：LLRRR（第六步不受影响）；
LRLRR（第六步不受影响），
3
6
4
1
2
16
P A
=
=
，
则
1
2
3
5
16
P A
P A
P A
P A
=
+
+
=
，又三种情况下，有且仅有一次经过点1 的条件下，共经过两次2 的情况
有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，则
6
3
3
2
64
P AB =
=
.
则
3
3
64
5
20
16
P AB
P B A
P A
=
=
=
∣
.
故答案为：3
32 ；3
20 .
9．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此
前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为2
3 ，乙队获胜的概率为1
3 ，
则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为
．
【答案】64
81
【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数
多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）.
此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于3的概率，即
5
4
3
2
4
3
5
5
2
2
1
2
1
32
5 16 10 8
192
64
C
C
3
3
3
3
3
243
243
81
+ ´
+
´
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
´
´
+
´
´
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
．
故答案为：64
81 ．
10．（24-25 高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6 个红球和4 个黑球，这些球除颜色外完
全相同．游戏规定：每位参与者进行
n n
+
ÎN
次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸
球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将
球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．
(1)若
4
n =
，
（i）求随机变量Y 的分布列和数学期望：
（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为
1P ，无放回摸
球中奖概率为
2P ，求
1P 和
2P 并比较它们大小．
(2)若
10
n =
，求当
(
)
P X
k
=
取得最大值时的k 值，并说明理由．
【答案】(1)（i）分布列见解析，12
5 ；（ii）
1
513
625
P =
，
2
37
42
P =
，
1
2
P
P
<
；
(2)
6
k =
，理由见解析.
【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，
Y 可取0，1，2，3，4，
4
6
4
4
10
C C
(
)
,
0,1,2,3,4
C
k
k
P Y
k
k
-
=
=
=
，
0
4
1
3
2
2
6
4
6
4
6
4
4
4
4
10
10
10
C C
C C
C C
1
4
3
(
0)
, (
1)
, (
2)
,
C
210
C
35
C
7
P Y
P Y
P Y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3
1
4
0
6
4
6
4
4
4
10
10
C C
C C
8
1
(
3)
, (
4)
C
21
C
14
P Y
P Y
=
=
=
=
=
=
，
Y 服从超几何分布，Y 的分布列为：
Y
0
1
2
3
4
P
1
210
4
35
3
7
8
21
1
14
4,
6,
10
n
M
N
=
=
=
，所以
12
( )
5
nM
E Y
N
=
=
；
（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，
在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为
1P ，无放回摸球中奖概率为
2P ，
对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，
3
~
4, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
3
1
2
3
4
4
3
3
216
3
3
216
(
2)
C
1
, (
3)
C
1
,
5
5
625
5
5
625
P X
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
4
0
4
4
3
3
81
(
4)
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
故
1
513
(
2)
(
3)
(
4)
625
P
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
=
，
由（i）可知
2
37
(
2)
(
3)
(
4)
42
P
P Y
P Y
P Y
=
=
+
=
+
=
=
，
因为513
37
625
42
<
，所以
1
2
P
P
<
；
（2）当
10
n =
，则
3
~
10, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，若
(
)
P X
k
=
最大，则
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P X
k
P X
k
P X
k
P X
k
=
³
=
+
ì
í
=
³
=
-
î
，
即
10
1
9
1
10
10
10
1
11
1
10
10
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
3
2
3
2
C
C
5
5
5
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
+
-
-
-
-
ì
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
³
ï
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
í
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
ï
³
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
î
，得28
33
5
5
k
£
£
，又
N
k
+
Î
，
6
k
\
=
，即
6
k =
时，
(
)
P X
k
=
取得最大值．
11．（25-26 高三上·山西长治·开学考试）某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入
第二环节测试，第一环节测试合格的概率为
0
1
p
p
<
<
，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为
3
4 ；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为3
8 ，且每次测试结果相互独
立．
(1)求p 的值；
(2)若连续2 次进行测试，记X 为合格的次数，求X 的分布列及数学期望．
【答案】(1)
1
2
p =
(2)分布列见解析，
3
4
E X =
【详解】（1）设事件A 表示“第一环节测试合格”，事件B 表示“第二环节测试合格”，事件C 表示“最终测试合
格”，
根据题意，由条件概率公式得
3
4
P C
P AB
P A P B A
p
=
=
=
∣
，
已知
3
8
P C =
，则3
3
4
8
p =
，故
1
2
p =
；
（2）由（1）知，该产品测试合格的概率为3
8 ，因连续2 次测试相互独立，
故X 服从二项分布，即
3
2 8
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø
,
，
由二项分布概率公式得
2
2
3
5
C
0,1,2
8
8
k
k
k
P X
k
k
-
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
当
0
k =
时，
0
2 0
0
2
3
5
25
0
C
8
8
64
P X
-
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；
当
1
k = 时，
1
2 1
1
2
3
5
15
1
C
8
8
32
P X
-
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；
当
2
k =
时，
2
2 2
2
2
3
5
9
2
C
8
8
64
P X
-
æ
ö æ
ö
=
=
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
；
X
0
1
2
P
25
64
15
32
9
64
由二项分布期望公式得
3
3
2
8
4
E X =
´
=
．
12．（24-25 高三下·北京·阶段练习）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬
奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12 名学生的竞赛成绩，数据如表：
男生
81
84
86
86
88
91
女生
72
80
84
88
92
97
用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.
(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3 人，记成绩为优秀（
90
>
分）的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为
2
1s ，
2
2s .现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男
生样本，方差记为
2
3s .若新抽到的男生的成绩为87 分，试比较
2
1s 、
2
2s 、
2
3s 的大小关系.（只需写出结论）
【答案】(1) 17
36
(2)分布列见解析，
3
4
E X =
(3)
2
2
2
3
1
2
s
s
s
<
<
【详解】（1）由表格得，抽出的12名学生中，男女生各有6 名，所以男女生各随机选取一人，共有
1
1
6
6
C C
36
=
种组
合，
设“男生成绩高于女生成绩”为事件A ，则
81,72 , 81,80 , 84,72 , 84,80 , 86,72 , 86,80 , 86,84 , 86,72 , 86,80 , 86,84 ,
A =
88,72 , 88,80 , 88,84 , 91,72 , 91,80 , 91,84 , 91,88
，共有17 种组合，所以
17
36
P A =
，
即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为17
36 ；
（2）由表格知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（
90
>
分）的有3人，
由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为1
4 ，
因此，从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数
1
3, 4
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，X 的取值范围为
0,1,2,3 ，
0
3
1
2
0
1
3
3
1
3
27
1
3
27
0
C
,
1
C
4
4
64
4
4
64
P X
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
=
=
=
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
，
2
1
3
0
2
3
3
3
1
3
9
1
3
1
2
C
,
3
C
4
4
64
4
4
64
P X
P X
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
=
=
=
=
=
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
数学期望
1
3
3
4
4
E X = ´
=
；
（3）
2
2
2
3
1
2
s
s
s
<
<
，原因如下：
男生的平均成绩为
1
81 84
86
86
88
91
86
6
x
+
+
+
+
+
=
=
，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
81 86
84
86
86
86
86
86
88
86
91 86
58
9.67
6
6
s
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
=
»
，
女生的平均成绩为
2
72
80
84
88
92
97
85.5
6
x
+
+
+
+
+
=
=
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
72
85.5
80
85.5
84
85.5
88
85.5
92
85.5
97
85.5
395.5
65.92
6
6
s
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
=
»
，
从参加活动的男生中抽取成绩为87 分的男生与表中男生组成新的男生样本，
则
3
81 84
86
86
88
91 87
603
7
7
x
+
+
+
+
+
+
=
=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
603
603
603
603
603
603
603
2884
81
84
86
86
88
91
87
412
7
7
7
7
7
7
7
49
8.41
7
7
49
s
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
=
=
=
»
，
所以
2
2
2
3
1
2
s
s
s
<
<
.
13．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是1
3 ，现在
*
n nÎN
门大炮同时对某一
目标各射击一次.
(1)当
4
n =
时，记目标被击中的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差；
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过99%，至少需要多少门大炮？（lg 2
0.3010
»
，lg3
0.4771
»
）
【答案】(1)分布列见解析，
4
3
E X =
，
8
9
D X =
(2)12 门
【详解】（1）X 的可能取值为0，1，2，3，4，
由
1
4, 3
X
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，有
4
1
16
0
1
3
81
P X
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
4
1
1
32
1
C
1
3
3
81
P X
æ
ö
=
=
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
4
1
1
8
2
C
1
3
3
27
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3
3
4
1
1
8
3
C
1
3
3
81
P X
æ
ö
æ
ö
=
=
´
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
4
4
4
1
1
4
C
3
81
P X
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
è
ø
，
随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
16
81
32
81
8
27
8
81
1
81
有
1
4
4
3
3
E X =
´
=
，
1
1
8
4
1
3
3
9
D X
æ
ö
=
´
´
-
=
ç
÷
è
ø
；
（2）由目标至少被击中一次的概率为
1
2
1
1
1
3
3
n
n
æ
ö
æ
ö
-
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又由目标至少被击中一次的概率超过99%，则
2
1
99%
3
n
æ
ö
-
>
ç
÷
è
ø
，则3
100
2
n
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，
所以
3
2
2
2
2
log 100
11.36
lg3
lg2
0.4771 0.3010
0.1761
n >
=
»
=
»
-
-
，
所以至少需要12 门大炮.
14．（25-26 高三上·浙江湖州·开学考试）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮
比赛从10 道题中任意抽取3 道回答，每答对一道题积1 分．已知小明同学能答对10 道题中的6 道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X 的分布列和期望：
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2 分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功
相互独立，问：小明同学在10 轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】(1)分布列见解析，期望为9
5 ；
(2)小明同学在10 轮闯关比赛中，需7 次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【详解】（1）由题意，
0,1,2,3
X =
，小明能答对10 道题中的6 道题且每答对一道题积1 分，
所以
4
3
3
10
(
0)
30
C
1
C
P X =
=
=
，
2
1
4
6
3
10
C C
3
(
1)
C
10
P X =
=
=
，
1
2
4
6
3
10
C C
1
(
2)
C
2
P X =
=
=
，
3
6
3
10
1
(
3)
6
C
C
P X =
=
=
，
所以X 的分布列如下，
X
0
1
2
3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
所以
1
3
1
1
9
(
)
0
1
2
3
30
10
2
6
5
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
（2）参赛者在一轮比赛中至少积2 分才视为闯关成功，记概率为
1
1
2
2
6
3
P =
+
=
，
若小明在10 轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y ，则
2
(10, )
3
Y
B
:
，
故
10
10
2
2
(
)
C ( ) (1
)
,
0,1,
,10
3
3
k
k
k
P Y
k
k
-
=
=
-
=
L
，
若Y
k
=
(0
10,
N)
k
k
<
<
Î
，则
10
1
1
9
10
10
10
1
1
11
10
10
2
1
2
1
C (
) (
)
C
(
)
(
)
3
3
3
3
2
1
2
1
C (
) (
)
C
(
)
(
)
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
-
-
-
-
-
ì
³
ïïí
ï
³
ïî
，
所以
1
10
10
1
10
10
C
2C
2C
C
k
k
k
k
+
-
ì
³
í
³
î
，则
1
2
10
1
2
1
11
k
k
k
k
ì
³
ïï
-
+
í
ï
³
ï
-
î
，可得19
22
3
3
k
£
£
，即
7
k =
故小明在10 轮闯关比赛中，需7 次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
15．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024 年12 月份生产的N 件产品中随机抽取3 件做质量
分析，已知其中A 等品占2
5 ，B 等品占3
5 ．
(1)当
10
N =
时，
①求出3 件产品中恰有2 件A 等品的概率；
②求出3 件产品中A 等品个数X 的分布列与数学期望；
(2)当总量N 足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024 年全年生产的产品范围
内考虑从
4
N N >
件产品（A，B 等品比例不变）中随机抽取3 件，在超几何分布中A 等品恰有2 件的概率记作
1P ；在二项分布中A 等品恰有2 件的概率记作
2P ．那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过
1
2
0.001
0.001
P
P
-
£
的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．
（参考数据：578
24.04
»
，19297
139
»
）
【答案】(1)①3
10 ；②分布列见解析，6
5
(2)145
【详解】（1）①当
10
N =
时，其中A 等品有
2
10
4
5
´
=
件，B 等品有
3
10
6
5
´
=
件，
则从10 件产品中随机抽取3 件，恰有2 件A 等品的概率为
2
1
4
6
3
10
C C
3
C
10
=
；
②当
10
N =
时，A 等品有4 个，B 等品有6 个．
X 服从超几何分布，X
0
=
，1，2，3，
3
6
3
10
C
1
0
C
6
P X =
=
=
，
2
6
1
4
3
10
C C
1
1
C
2
P X =
=
=
，
2
1
4
6
3
10
C C
3
2
C
10
P X =
=
=
，
3
4
3
10
C
1
3
C
30
P X =
=
=
，
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
6
5
E X =
．
（2）
2
3
5
5
2
1
1
3
1
2
3
2
1
1
C
C
18
5
5
5
5
1
C
25
1
2
1
2
6
N
N
N
N
N
N
N
N
P
N
N
N N
N
æ
ö
æ
ö
-
´
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
=
=
×
-
-
-
-
，
2
2
2
3
2
3
36
C
0.288
5
5
125
P
æ
ö
=
×
=
=
ç
÷
è
ø
，
由于
1
2
0.001
P
P
-
£
，则
2
1
18
5
0.288
0.001
25
1
2
N
N
N
N
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
×
-
£
-
-
，
即
2
1
18
289
5
0.289
25
1
2
1000
N
N
N
N
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
×
£
=
-
-
，
即
2
1
289
25
289
5
1
2
1000
18
720
N
N
N
N
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
£
´
=
-
-
，
由题意易知
1
2
0
N
N
-
-
>
，
从而
2
720
1
289
1
2
5
N
N
N
N
æ
ö
-
£
-
-
ç
÷
è
ø
，
化简得
2
147
578
0
N
N
-
+
³
，
又
0
N >
，于是
578
147
N
N
+
³
．
由于函数
578
y
x
x
=
+
在
0, 578 上单调递减，在
578,+¥ 上单调递增，
而578
24.04
»
，从而
578
y
N
N
=
+
，当
25
N ³
时单调递增，
又
578
142
146.07
147
142
+
»
<
，
578
143
147.04
147
143
+
»
>
．
因此当
143
N ³
时，符合题意，
而又考虑到2
5 N 和3
5 N 都是整数，则N 一定是5 的整数倍，于是
145
N =
．
即N 至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即
1
2
0.001
P
P
-
£
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
1．（24-25 高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6 个红球和4 个白球，从中一次性随机摸
出3个球，用X 表示这3个球中白球的个数，则下列概率中等于
3
3
10
6
3
10
C
C
C
-
的是（ ）
A．
1
P X =
B．
1
P X £
C．
1
P X ³
D．
3
P X =
【答案】C
【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的6 个红球和4 个白球，从中一次性随机摸出3个球，
则
3
10
C 表示从这10个球中随机摸3个球，
3
6
C 表示从6 个红球中摸出3个球，
则
3
3
10
6
C
C
-
表示从这10个球中随机摸3个球，至少有1个白球的摸法种数，
所以
3
3
10
6
3
10
C
C
1
C
P X
-
=
³
.
故选：C.
2．（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）已知6 名同学中有a 名男生，若从这6 名同学中随机抽取2 名作为学生代
表，恰好抽到1 名男生的概率是3
5 ，则a =（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【详解】设抽到的男生数为X ，则X 服从超几何分布，
1
1
6
2
6
6
C C
3
1
C
15
5
a
a
a
a
P X
-
-
=
=
=
=
，解得a =3.
故选：C.
3．（24-25 高二下·广西百色·期末）一批零件共有10 个，其中有2 个不合格品，从这批零件中随机抽取2 个进行检
测，则恰有1 个不合格品的概率为（ ）
A．21
50
B．16
45
C．7
15
D．3
10
【答案】B
【详解】根据题意，恰有1 个不合格品的概率为
1
1
2
8
2
10
C C
16
C
45
p =
=
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10 个，其中有3 个不合格．随机抽取3 个零件进行检测，恰好
有1 件不合格的概率是（ ）
考点二
超几何分布
A．
2
1
3
7
3
10
C C
C
B．
1
2
3
7
3
10
C C
C
C．
1
2
3
10
3
10
C C
C
D．
2
1
3
10
3
10
C C
C
【答案】B
【详解】从10 个零件中抽取3 个的总方式数为
3
10
C ；
不合格零件有3 个，从中选1 个的方式数为
1
3
C ，
合格零件有7 个，从中选2 个的方式数为
2
7
C ，
根据分布乘法计数原理，恰好1 个不合格的总方式数为
1
2
3
7
C
C
´
；
根据古典概型得
1
2
3
7
3
10
C C
C
P =
.
故选：B
5．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习·多选）袋中有10 个大小相同的小球，其中6 个白球和4 个黑球，每次从袋
中随机摸出1 个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2 个球，X 表示摸到白球的个数，设事件A ：第一次摸
到白球，事件B ：第二次摸到白球，则（ ）
A．
3
5
P B =
B．
5
9
P B A =
∣
C．
~
2,4,10
X
H
D．
6
5
E X =
【答案】ABD
【详解】对于A，
6
5
4
6
3
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
10
9
10
9
5
P B
P AB
P AB
P A P B A
P B A
=
+
=
+
=
´
+
´
=
，故A 正确；
对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9 个球，其中5 个白球，所以
5
9
P B A =
∣
，故B 正确；
对于C，X 表示摸到白球的个数，从10 个球中摸2 个球，其中6 个白球，4 个黑球，
所以X 服从超几何分布，即
2,6,10
X
H
~
，故C 不正确；
对于D，
2,6,10
X
H
~
，所以
6
6
2 10
5
E X =
´
=
，故D 正确；
故选：ABD
6．（25-26 高三上·黑龙江绥化·开学考试·多选）一个口袋中有大小相同的2 个白球和4 个黑球，从中随机取出3 个
球，记取出的黑球个数为X ，则下列结论正确的是（ ）
A．X 的可能取值为0，1，2，3
B．
2
1
3
4
2
4
3
3
6
6
C C
C
2
C
C
P X ³
=
+
C．
2
E X =
D．
2
1
4
E
X -
=
【答案】BC
【详解】由题可知X 服从超几何分布，且
4
M =
，
6
N =
，
3
n =
，
3
4
2
3
6
C C
C
k
k
P X
k
-
=
=
，
1,2,3
k =
.
易知X 的可能取值为1，2，3，故选项A 错误；
2
1
3
4
2
4
3
3
6
6
C C
C
2
2
3
C
C
P X
P X
P X
³
=
=
+
=
=
+
，故选项B 正确；
由
4
M =
，
6
N =
，
3
n =
，结合超几何分布的均值公式可得
4
3
2
6
M
E X
n
N
=
´
= ´
=
，故选项C 正确；
由离散型随机变量均值的性质可得
2
1
2
1
3
E
X
E X
-
=
- =
，故选项D 错误.
故选：BC.
7．（23-24 高二下·上海·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7 颗算珠，用梁隔开，梁上
面2 颗叫上珠，下面5 颗叫下珠，若从某一档的7 颗算珠中任取3 颗，记上珠的个数为X，则
(
1)
P X ³
=
．
【答案】5
7
【详解】解：法一：由题意可知，x 的所有可能取值为0，1，2，则
1
2
2
1
2
5
2
5
3
3
7
7
C C
C C
5
(
1)
(
1)
(
2)
C
C
7
P X
P X
P X
³
=
=
+
=
=
+
=
．
法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则
3
5
3
7
C
5
(
1)
1
(
0)
1
C
7
P X
P X
³
= -
=
= -
=
．
故答案为：5
7 ．
8．（25-26 高三上·北京·开学考试）袋中有5 个形状相同的乒乓球，其中3 个黄色2 个白色，现从袋中随机取出3
个球，则恰好有2 个黄色乒乓球的概率是
．
【答案】3
5 /0.6
【详解】设事件A 表示“取出的3 个球中恰好有2 个黄色乒乓球”，
则
2
1
3
2
3
5
C C
3
C
5
P A =
=
，
故答案为：3
5 .
9．（24-25 高二下·江苏泰州·期末）一个口袋中装有10 个红球和20 个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中
摸出5 个球，用随机变量X 表示取到的红球数，则
E X =
，
5
0
(
)
k
P X
k
=
£
=
å
．
【答案】
5
3
13
3
【详解】根据题意，随机变量X 服从超几何分布，
10
20
5
3
5
0
0
C C
2584
0
C
23751
P X =
=
=
，
10
20
5
3
4
0
1
C C
8075
1
C
23751
P X =
=
=
，
3
10
20
5
30
2
C C
2
C
23751
8550
P X =
=
=
，
2
10
20
5
30
3
C C
3
C
23751
3800
P X =
=
=
，
1
10
20
5
30
4
C C
4
C
23751
700
P X =
=
=
，
2
5
0
10
0
5
30
C C
5
C
23751
42
P X =
=
=
，
X 的概率分布如下表所示，
X
0
1
2
3
4
5
P
2584
23751
8075
23751
8550
23751
3800
23751
700
23751
42
23751
由表可知，随机变量X 的均值为
2584
8075
8550
3800
700
42
5
0
1
2
3
4
5
23751
23751
23751
23751
23751
23751
3
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
；
5
0
(
)
(
0)
(
1)
(
2)
(
3)
(
4)
(
5)
k
P X
k
P X
P X
P X
P X
P X
P X
=
£
=
£
+
£
+
£
+
£
+
£
+
£
å
6 (
0)
5 (
1)
4 (
2)
3 (
3)
2 (
4)
(
5)
P X
P X
P X
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
6
(
0)
(
1)
(
2)
(
3)
(
4)
(
5)
P X
P X
P X
P X
P X
P X
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
0
(
0)
(
1)
2 (
2)
3 (
3)
4 (
4)
5 (
5)
P X
P X
P X
P X
P X
P X
-
×
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
5
13
6
6
3
3
E X
=
-
=
-
=
.
故答案为：5
3 ；13
3
10．（24-25 高二下·北京丰台·期末）2025 年4 月25 日下午，第十五届北京国际电影节AIGC 电影单元荣誉盛典在
中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502 部参赛作品，经过激烈角逐，最终79 部佳作入围社会组、高校
组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5 部，其中有4 部荣获“优秀影片”，1 部荣获
“最佳影片”．
(1)从参赛作品中随机选取1 部，求恰好选到入围佳作的概率；
(2)现有1 名同学从青少年组获奖的5 部影片中随机选取3 部观看，设选到“最佳影片”部数为X ，求X 的分布列及
数学期望．
【答案】(1) 79
1502
(2)分布列见解析；期望为3
5
【详解】（1）设事件A 为 “从参赛作品中随机选取1 部，恰好选到入围佳作”，
则
79
( )
1502
P A =
．
（2）由题意知，X 的可能取值为0，1，
3
2
1
4
4
1
3
3
5
5
C
C C
2
3
0
,
1
.
C
5
C
5
P X
P X
=
=
=
=
=
=
X 的分布列如下表所示：
X
0
1
P
2
5
3
5
X 的均值为
2
3
3
(
)
0
1
5
5
5
E X =
´
+ ´
=
．
11．（25-26 高三上·湖北·开学考试）高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推
出七种特色美食，其中有1 种汤类，3 种炒菜类，3 种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）．
(1)小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？
(2)用随机变量X 表示所选美食中米面类的数量，求X 的分布列和期望．
【答案】(1)9
(2)分布列见解析，
12
7
E X =
【详解】（1）汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为
1
3
C ；其他菜类3 种里选择2 种方法数为
2
3
C ；
不同组合共计
1
2
3
3
1 C C
9
´
=
（种）
（2）X 的可能取值有0、1、2、3；
1
3
4
3
4
4
4
4
7
7
C ×C
C
1
12
0
1
C
35
C
35
P X
P X
=
=
=
=
=
=
；
；
2
2
3
1
3
4
3
4
4
4
7
7
C ×C
C ×C
18
4
2
3
C
35
C
35
P X
P X
=
=
=
=
=
=
；
分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
35
12
35
18
35
4
35
所以
12
7
E X =
；
12．（24-25 高二下·内蒙古乌兰察布·期末）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.
现有4 名男教师，2 名女教师报名，本周随机选取2 人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X 的分布列及期望
E X ；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2 项活动，且选择参加1 项或2
项的可能性均为
1
2 ，每名男教师至少从中选择参加2 项活动，且选择参加2 项或3 项的可能性也均为
1
2 ，每人每
参加1 项活动可获得“体育明星”积分3 分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，
求Y 的期望
E Y .
【答案】(1)分布列见解析，2
3
(2)
( )
13
E Y =
【详解】（1）依题意，X 的可能值为0，1，2，X 服从超几何分布，
2
2
4
2
6
C C
(
)
(
0,1,2)
C
k
k
P X
k
k
-
=
=
=
，
2
4
2
6
C
2
(
0)
C
5
P X =
=
=
，
1
1
4
2
2
6
C C
8
(
1)
C
15
P X =
=
=
，
2
2
2
6
C
1
(
2)
C
15
P X =
=
=
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
2
5
8
15
1
15
2
8
1
2
(
)
0
1
2
.
5
15
15
3
E X =
´
+ ´
+ ´
=
（2）设一名女教师参加活动可获得分数为
1
X ，一名男教师参加活动可获得分数为
2
X ，
则
1
X 的所有可能取值为3，6，
2
X 的所有可能取值为6，9，
1
1
1
3
6
2
P X
P X
=
=
=
=
，
1
1
1
9
3
6
2
2
2
E X
= ´
+ ´
=
，
2
2
1
6
9
2
P X
P X
=
=
=
=
，
2
1
1
15
6
9
2
2
2
E X
=
´
+ ´
=
，
有X 名女教师参加活动，则男教师有2
X
-
名参加活动，
9
15 (2
)
15
3
2
2
Y
X
X
X
=
+
-
=
-
，
所以
2
( )
(15
3
)
15
3 (
)
15
3
13
3
E Y
E
X
E X
=
-
=
-
=
- ´
=
.
即两个教师得分之和的期望为13 分.
13．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现
从学校中随机抽取了100 名学生进行调查，得到如下列联表：
性别
愿意参与
不愿意参与
合计
男生
30
20
50
女生
25
25
50
合计
55
45
100
(1)根据小概率值
0.05
a =
的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11 人，再从这11 人中随机抽取3 人
作为竞赛种子选手，记3 人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，
2
P
k
c ³
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联；
(2)答案见解析.
【详解】（1）零假设
0
H ：愿意参与数学建模竞赛与性别无关.
2
2
100
30 25
20 25
1.01
3.841
50 50 55 45
c
´
´
-
´
=
»
<
´
´
´
根据小概率值
0.05
a =
的独立性检验，我们没有充分的证据推断
0
H 不成立，
即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关.
（2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为6
5 .
因此选出11人中，男生人数为
6
11
6
11
´
=
人，女生人数为
5
11
5
11
´
=
人
由题意可知：
0,1,2,3
X =
，X 服从超几何分布，
3
6
5
3
11
C
C
C
k
k
P X
k
-
=
=
，
0,1,2,3
k =
.
3
6
3
11
C
20
4
0
C
165
33
P X =
=
=
=
，
2
1
6
5
3
11
C C
75
5
1
C
165
11
P X =
=
=
=
1
2
6
5
3
11
C C
60
4
2
C
165
11
P X =
=
=
=
，
3
5
3
11
C
10
2
3
C
165
33
P X =
=
=
=
所以这3 人中女生人数X 的概率分布列为：
X
0
1
2
3
P
4
33
5
11
4
11
2
33
4
5
4
2
15
0
1
2
3
33
11
11
33
11
E X =
´ +
´ +
´ +
´ =
14．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12 件，其中有3 件次品，现不放回地随机抽取4 件进行检
验.
(1)求抽到的次品数X 的分布列；
(2)若已知抽到的4 件中至少有1 件次品，求恰好有2 件次品的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)12
41
【详解】（1）X 的可能取值为0,1,2,3，
0
4
1
3
3
9
3
9
4
4
12
12
C C
C C
14
28
0
,
1
C
55
C
55
P X
P X
=
=
=
=
=
=
，
2
2
3
1
3
9
3
9
4
4
12
12
C C
C C
12
1
2
,
3
C
55
C
55
P X
P X
=
=
=
=
=
=
，
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
14
55
28
55
12
55
1
55
（2）记事件A = “抽到的4 件中至少有1 件次品”，事件B = “恰好有2 件次品”，
12
2
12
55
14
1
41
1
55
P AB
P X
P B A
P A
P X
=
\
=
=
=
=
³
-
∣
，
故已知抽到的4 件中至少有1 件次品，恰好有2 件次品的概率为12
41 .
1．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000 名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成
绩X 近似服从正态分布
2
72,8
N
，则数学成绩位于[88,96] 的人数约为（ ）
参考数据：
0.6827
P
x
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，
2
2
0.9545
P
x
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，
3
3
0.9973
P
x
m
s
m
s
-
£
£
+
»
.
A．790
B．2720
C．430
D．1360
【答案】C
【详解】由题意可知，
72,
8
m
s
=
= ，
1
88
96
3
3
2
2
2
P
x
P
x
P
x
m
s
m
s
m
s
m
s
£
£
=
-
£
£
+
-
-
£
£
+
é
ù
ë
û
0.9973
0.
4
1
9545
1
0.02
2
»
=
-
则数学成绩位于[88,96] 的人数约为20000 0.0214
428
´
=
.
故选：C.
2．（24-25 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数
2
2
(
)
2
1
e
(
R,
1,2,3)
2
i
i
x
i
i
x
i
m
s
j
s
p
-
-
=
Î
=
（其中，e为
自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．
1
2
3
s
s
s
=
>
B．
1
3
m
m
>
C．
2
3
s
s
<
D．
1
2
m
m
=
【答案】C
【详解】Q，正态曲线关于x
m
=
对称，且m 越大图像越靠近右边，根据图像知，
第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等，
即
1
2
3
m
m
m
<
=
，故B、D 错误；
Q，s 越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的s 等于第二个图像的s ，且第二个图像的s 比第三个的s 要
小，
\.
1
2
3
s
s
s
=
<
，所以A 错误，C 正确．
故选：C.
考点三
正态分布
3．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）已知随机变量
~
1, 4
X
N
，随机变量
~
2, 4
Y
N
，正实数,a b 满足
P X
a
P Y
b
£
=
³
，则1
4
a
b
+
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由随机变量
~
1, 4
X
N
，可知正态分步曲线关于直线
1
x = 对称，
由随机变量
~
2, 4
Y
N
，可知正态分步曲线关于直线
2
x =
对称，
因为正实数,a b 满足
P X
a
P Y
b
£
=
³
，而且
1
P Y
b
P Y
b
³
= -
<
，
所以有
1
P X
a
P Y
b
£
+
<
= ，
根据正态分布曲线的对称性可知
1
2
3
1
3
3
a
b
a
b
a
b
- =
-
Þ
+
=
Þ
+
= ，
因为,a b 是正实数，
所以1
4
1
4
4
5
4
5
2
3
3
3
3
3
3
3
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
æ
öæ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
×
+
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
即1
4
3
a
b
+
³
，当且仅当4
3
3
a
b
b
a
=
时取等号，
因此当
1,
2
a
b
=
=
时，1
4
a
b
+
的最小值为3，
故选：C
4．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知随机变量X ，Y 均服从正态分布，其中
0,1
X
N
~
，且
2
2
X
Y
+
=
，设函
数
2
1
F x
P Y
x
=
-
<
，则
F x 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
2
1
2
1
2
1
F x
P Y
x
P
x
Y
x
=
-
<
=
- <
<
+
，
因为
1
2
X
Y = -
，所以
2
1 1
2
1
2
X
F x
P
x
x
æ
ö
=
- < -
<
+
ç
÷
è
ø，
即
4
4
4
F x
P
x
X
x
=
-
<
<
-
，
1
4 1
4
4 1
F
x
P
x
X
x
-
=
-
-
<
<
-
-
é
ù
ë
û ＝
4
4
4
P
x
X
x
-
<
<
，
因为
0,1
X
N
:
，所以根据对称性可知
1
F x
F
x
=
-
，
所以函数
F x 的图象关于
1
2
x =
对称，故排除AC；
当
1
2
x =
时，
2
.
1
2
2
2
0 9545
2
F
P
X
P
X
s
s
æ
ö =
- <
<
=
-
<
<
»
ç
÷
è
ø
，所以排除D．
故选：B
5．（25-26 高三上·河北·开学考试·多选）人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺
激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量X ，Y ，且
2
~
300,50
X
N
，
2
~
300,60
Y
N
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
300
E X
=
B．
60
D Y =
C．
280
320
P X
P X
<
>
>
D．
280
280
P X
P Y
<
<
<
【答案】AD
【详解】∵
2
300,50
X
N
~
，∴
300
E X =
，故选项A 正确；
∵
2
300,60
Y
N
~
，∴
2
60
3600
D Y =
=
，故选项B 错误；
∵
2
300,50
X
N
~
，该正态曲线的对称轴为直线
300
x =
，∴由对称性可得
280
320
P X
P X
<
=
>
，故选项C 错
误；
令
300
50
X -
=
x
，
300
60
Y -
=
h
，
∵
2
300,50
X
N
~
，
2
300,60
Y
N
~
，∴
0,1
N
x ~
，
~
0,1
N
h
，
∴
280
300
2
280
50
5
P X
P
P
x
x
-
æ
ö
æ
ö
<
=
<
=
< -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
280
300
1
280
60
3
P Y
P
P
h
h
-
æ
ö
æ
ö
<
=
<
=
< -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
∵
2
1
5
3
-
< -
，∴根据正态曲线的特点可知：
2
1
5
3
P
P
x
h
æ
ö
æ
ö
< -
<
< -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，∴
280
280
P X
P Y
<
<
<
，故选项D 正确.
故选：AD.
6．（25-26 高三上·四川·开学考试·多选）为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.
在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果X 近似服从正态分布
2
,
N m s
.已知
4
2
2
4
P
X
P
X
- <
< -
<
<
<
，则（ ）
A．
0
m >
B．
2
4
s
>
C．
0
0.5
P X >
<
D．
0
0.5
P X <
<
【答案】AD
【详解】根据正态分布的对称性，若
0
m =
，则
4
2
2
4
P
X
P
X
- <
< -
=
<
<
.
由于
4
2
2
4
P
X
P
X
- <
< -
<
<
<
，表明分布中心向右偏移，因此
0
m >
，故A 正确；
方差
2
s 影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小，
当
0.1
m =
且
2
1
s
= 时，满足
4
2
2
4
P
X
P
X
- <
< -
<
<
<
，但
2
4
s <
，
因此
2
s 不一定大于4，故B 错误；
正态分布中，
0.5,
0.5
P X
P X
m
m
<
=
>
=
，由于
0
m >
，正态分布的均值大于0，
故
0
0.5
P X
P X
m
>
>
>
=
，故C 错误；
同理，
0
0.5
P X
P X
m
<
<
<
=
，故D 正确.
故选：AD.
7．（25-26 高三上·四川宜宾·开学考试）已知随机变量X 服从
2
1,
N
s
，若
3
0.1
P X >
=
，则
1
3
P
X
£
£
=
.
【答案】0.4/ 2
5
【详解】由题，
1
3
1
3
0.5
0.1
0.4
P
X
P X
P X
£
£
=
³
-
>
=
-
=
.
故答案为：0.4 .
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）某水泥厂流水线上生产的一批袋装水泥，其重量指标X（单位kg）可以看作一个随
机变量，且
2
~
50,
X
N
s
，对于
51
X ³
或
49
X £
的产品即为不合格，且
51
0.05
P X ³
=
，现从这批袋装水泥中
随机抽取500 袋，用Y 表示这500 袋水泥的重量指标X 位于区间
49,51 的袋数，则随机变量Y 的方差是
.
【答案】45
【详解】由正态分布的性质得，重量指标在区间
49,51 的概率为1 2 0.05
0.9
- ´
=
，
即1 件产品的重量指标位于区间
49,51 的概率为0.9，则
500,0.9
Y
B
:
，
所以随机变量Y 的方差
500 0.9 0.1
45
D Y =
´
´
=
.
故答案为：45
9．（24-25 高二下·山东·阶段练习）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从
2
3,
N
s
，且
3
0.5
0.8
P X -
£
=
，若对该工厂同批生产的3 个零件逐一检查，则仅有1 个零件长度大于3.5 毫米的概率
为
．
【答案】0.243
【详解】根据
3
0.5
0.8
P X -
£
=
可得
3
0.5
1 0.8
0.2
P X -
>
= -
=
，
即
3.5
2.5
0.2
P X
P X
>
+
<
=
，又由对称性可知
3.5
2.5
0.1
P X
P X
>
=
<
=
，
所以
3.5
0.1
P X >
=
，即任取1 个零件其长度大于3.5 毫米的概率为0.1；
因此3 个零件逐一检查，仅有1 个零件的长度大于3.5 毫米的概率为
2
1
3
C
0.1
1 0.1
0.243
P =
´
´
-
=
；
故答案为：0.243
10．（24-25 高二下·甘肃白银·期末）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布
2
10,
X
N
s
:
，质量指标介于8
至12 之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得s 至多为 .
【答案】2
3
【详解】由题可知，
10
m =
，
再根据题意以及正态曲线的特征可知，
10
3
X
s
-
<
的解集
8,12
A Í
.
由
10
3
X
s
-
<
，可得10
3
10
3
X
s
s
-
<
<
+
，
所以
10
3
8,
10
3
12,
s
s
-
³
ì
í
+
£
î
解得
2
3
s £
，故s 至多为2
3 .
故答案为：2
3 .
11．（24-25 高二下·四川内江·阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021 年精准扶贫的工作计划，统
计了2020 年50 位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
(1)根据频率分布直方图，估计这50 位农民的年平均收入又（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表
示）
(2)由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入X 服从正态分布
2
,
N m s
，其中m 近似为年平均收入x ，
2
s 近似
为样本方差
2s ，经计算得
2
1.5
s =
，利用该正态分布，求：
①该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000 位农民．若每位农民的年收入互相独
立，问：这1000 位农民中的年收入不少于17.56 千元的人数最有可能是多少？
②在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的84.135%的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则
此最低年收入标准大约为多少千元？
附：1.5
1.22
»
；若
2
,
X
N m s
~
，则
0.6827
P
X
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，
2
2
0.9545
P
X
m
s
m
s
-
£
£
+
»
，
3
3
0.9973
P
X
m
s
m
s
-
£
£
+
»
．
【答案】(1)20 千元；
(2)①978 人；②18.78 千元．
【详解】（1）由频率分布直方图可知：
17 0 02 18 0 09 19 0 22
20 0 33
21 0 24
22 0.08
23 0.02
20
x =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
.
.
.
.
.
，
故估计50 位农民的年平均收入x 为20 千元．
（2）由题意知
2
~
20,1.22
X
N
，
①由
0.9545
17.56
2
0.5
0.97725
2
P X
P X
m
s
³
=
³
-
=
+
»
，
每个农民的年收入不少于17.56 千元的概率为0.97725，
记1000 个农民的年收入不少于17.56 千元的人数为x ，则
1000,
B
p
x ~
，其中
0.97725
p =
．
于是恰好有k 个农民的年收入不少于17.56 千元的事件概率为：
3
10
1000
(1
)
k
k
k
P
k
C
p
p
x
-
=
=
×
×
-
．
从而由
1001
1
1
1
P
k
k
p
P
k
k
p
x
x
=
-
´
=
>
=
-
´
-
，得
1001
k
p
<
，而1001
978.22725
p =
，
所以当0
978
k
£
£
时，
1
P
k
P
k
x
x
=
-
<
=
，
当979
1000
k
£
£
时，
1
P
k
P
k
x
x
=
-
>
=
由此可知，在所走访1000 位农民中，年收入不少于17.56 千元的人数最有可能是978 人．
②因为
1
0.6827
0.84135
2
2
P X
m
s
>
-
=
+
»
，
20 1.22
18.78
-
=
时，满足题意，即最低年收入标准大约为18.78 千元．
12．（24-25 高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初
赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50 名的学生参加复赛.已知共有2000 名学生参加了初赛，整理数据后，认为
初赛成绩Z 服从正态分布
2
,
N m s
，其中
2
70,
81
m
s
=
=
.
(1)已知小明的初赛成绩为90 分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？
(2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20 道决赛题，每题5 分；③每
答对一道题，决赛成绩加5 分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95 分，他答对每道
题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望.
附：若
2
~
,
Z
N m s
，则
(
)
0.6827, (
2
2 )
0.9545
P
Z
P
Z
m
s
m
s
m
s
m
s
-
£
£
+
»
-
£
£
+
»
，
(
3
3 )
0.9973
P
Z
m
s
m
s
-
£
£
+
»
.
【答案】(1)小明有资格参加决赛.
(2)175
【详解】（1）由题意得
1
(
88)
(
2 )
[1
(
2
2 )]
2
P Z
P Z
P
Z
m
s
m
s
m
s
³
=
³
+
=
-
-
£
£
+
1
(1
0.9545)
0.02275
2
=
´
-
=
，
故全校2000 名参加初赛的学生中成绩不低于88 分的人数为2000
0.02275
45.5
50
´
=
<
，
因为90
88
>
，所以小明有资格参加决赛.
（2）设决赛中学生甲答对的题数为X ，其决赛成绩为Y ，则
5
95
Y
X
=
+
，
由题意得
~
(20,0.8)
X
B
，则
(
)
20
0.8
16
E X =
´
=
，
所以
( )
5 (
)
95
175
E Y
E X
=
+
=
.
13．（24-25 高二下·江西吉安·期末）某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标y 与原材料中某种
关键成分的含量x （单位：% ）之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如下表：
x
2
4
6
8
10
y
30
40
60
50
70
(1)请根据上述数据，求出y 与x 的线性回归方程
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
；（参考公式：
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
-
å
å
，
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
）
(2)经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标Y 服从正态分布
2
,
N m s
，其中
10
s =
，当芯片的性能指标在
2 ,
2
m
s m
s
-
+
之间时，芯片的工作状态最佳.若由（1）中回归方程预测，当关键成分含量为12 时，芯片性能指
标为m .
（i）假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取2000 个，估计性能指标不在
67,87 范围内的芯片个数
（结果保留整数）；（附：若
2
,
Z
N m s
~
，则
(
)
0.6826
P
Z
m
s
m
s
-
<
<
+
»
，
(
2
2 )
0.9544
P
Z
m
s
m
s
-
<
<
+
»
）
（ii）某机器的控制系统使用了
*
3,
n n
n
³
ÎN
个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为
(0
1)
p
p
<
<
，各
个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工作效率最高，其概率记
为
P n .若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为
1
P n +
，试判断
P n 与
1
P n +
的大
小关系并证明.
【答案】(1)
9
23
2
y
x
=
+
(2)（i）635；（ii）答案见解析
【详解】（1）由题意得
2
4
6
8 10
6
5
x
+
+
+ +
=
=
，
30
40
60
50
70
50
5
y
+
+
+
+
=
=
，
所以
1
5
( 4) ( 20)
( 2) ( 10)
0 10
2 0
4 20
180
i
i
i
x
x
y
y
=
å
-
-
= -
´ -
+ -
´ -
+ ´
+ ´ + ´
=
，
1
2
2
2
2
2
5
( 4)
( 2)
0
2
4
40
i
ix
x
=
å
-
= -
+ -
+
+
+
=
，
故
1
5
1
2
5
180
9
9
,
50
6
23
4
ˆ
ˆ
ˆ
0
2
2
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
å
-
-
=
=
=
=
-
=
-
´
=
å
-
，
所以y 关于x 的线性回归方程为
9
23
2
y
x
=
+
.
（2）（i）当
12
x =
时，
9 12
23
77
2
y =
´
+
=
，即
77,
67,
87,
m
m
s
m
s
=
-
=
+
=
已知
(67
87)
0.6828
P
Y
<
<
»
，则
(
87
P Y ³
或
67)
1
(67
87)
0.3174
Y
P
Y
£
= -
<
<
»
，
所以从该批次芯片中随机抽取2000 个，性能指标不在
67,87 范围内的芯片个数约为
2000 0.3174
635
´
»
个.
（ii）记X 为原系统中工作最佳的芯片个数，Y 为增加一个芯片后系统中工作最佳的芯片个数.
由条件可知
,
,
1,
X
B n p
Y
B n
p
~
~
+
当
*
2
1
2,
n
k
k
k
=
-
³
ÎN
时，则原系统中
P n
P X
k
=
³
，新系统中
1
1
P n
P Y
k
+
=
³
+
.
由题意可知
1
1
P Y
k
P X
k
p P X
k
³
+
=
³
+
+
×
=
，
所以
1
1
1
P Y
k
P X
k
P X
k
p P X
k
P X
k
P X
k
é
ù
³
+
-
³
=
³
+
+
×
=
-
³
+
+
=
ë
û
1
2
1
1
C
(1
)
1
0
k
k
k
k
p
P X
k
p
p
p
-
-
=
-
=
=
-
-
<
即
1
P n
P n
>
+
；
当
*
2
2,
n
k k
k
=
³
ÎN
时，则原系统中
1
P n
P X
k
=
³
+
，新系统中
1
1
P n
P Y
k
+
=
³
+
.
由题意可知
1
1
P Y
k
P X
k
p P X
k
³
+
=
³
+
+
×
=
，
所以
1
2
1
1
C
(1
)
0
k
k
k
k
P Y
k
P X
k
p P X
k
p
p
+
³
+
-
³
+
=
×
=
=
-
>
，
即
1
P n
P n
<
+
；
综上，当n 为奇数时，
1
P n
P n
>
+
；当n 为偶数时，
1
P n
P n
<
+
.
14．（24-25 高二下·江苏南京·期中）雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园
科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方
法抽取了500 名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145 分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分
布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩X 近似服从正态分布
2
( ,
)
N m s
,其中m 为样本平均数(同一组数据用
该组数据的区间中点值作代表)，
13.
s =
现从我校所有参赛的学生中随机抽取20 人进行座谈，设其中竞赛成绩超
过122.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的数学期望.
(2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20 个关卡，每个关卡的难
度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为
1
2 ；若前一关通过，则本关通过的概率为1
3 . 已知甲同学第一关通过的概率为4
5 .
（i）求该同学第二关通过的概率；
（ii）记甲同学通过第n 关的概率为
,
nP 当
2
n ³
时，
nP
M
£
恒成立，求M 的最小值.
附：若随机变量X 服从正态分布
2
( ,
),
N m s
则
(
)
0.6827,
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
»
(
2
2 )
0.9545,
(
3
3 )
0.9973.
P
X
P
X
m
s
m
s
m
s
m
s
-
<
£
+
»
-
<
£
+
»
【答案】(1)3.173
(2)（i）11
30 ；（ii）3
7
【详解】（1）因为
80
0.05
90
0.12
100
0.19
110
0.3 120
0.2
130
0.12
140
0.2
109.2
m =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
，
则
2
109.2,13
X
N
~
，所以
1
(
)
(
122.2)
(
)
0.15865
2
P
X
P X
P X
m
s
m
s
m
s
-
-
<
£
+
>
=
>
+
=
=
，
由题知
(20,0.15865)
Y
B
~
，所以
( )
20 0.15865
3.173
E Y
np
=
=
´
=
.
（2）（i）由题知，甲同学第一关通过的概率为4
5 ，即
1
4
5
p =
所以第二关通过的概率为
2
1
1
1
1
1
4
1
4
11
(1
)
(1
)
3
2
3
5
2
5
30
P
P
P
=
+
-
=
´
+
´
-
=
.
（ii）记甲同学第(
N )
n n
*
Î
关通过为事件A， 依题意有
1
4
5
P =
，
当
2
n ³
时，
1
1
1
1
(
)
, (
)
,
(
)
3
2
n
n
n
n
n
n
P A A
P A A
P
P A
-
-
=
=
=
，
所以
1
1
1
1
(
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
n
n
n
n
n
n
n
P A
P A
P A
A
P A
P A
A
-
-
-
-
=
+
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
3
2
6
2
n
n
n
n
P
P
P
P
-
-
-
=
+
-
= -
+
，
所以
1
3
1
3
7
6
7
n
n
P
P -
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，又因为
1
4
5
P =
，则
1
3
0
7
13
35
P -
=
¹
，
所以数列
3
7
nP
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是首项为13
35 ， 公比为
1
6
-
的等比数列，
所以
1
3
13
1
7
35
6
n
nP
-
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
当n 为奇数时，
1
1
3
13
1
3
13 1
7
35
6
7
35 6
n
n
nP
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则
nP 随着n 的增大而减小，所以
1
4
5
nP
P
£
=
，
当n 为偶数时，
1
1
3
13
1
3
13 1
3
7
35
6
7
35 6
7
n
n
n
n
P
P
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
=
-
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又3
4
7
5
<
，所以M 的最小值为3
7 .
15．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组12人.每首参赛
歌曲都需要24 位评委打分（满分为10分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的12个分数中去掉一个最高
分，去掉一个最低分，可求出剩余10个有效得分的平均分P ，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分Q .
参赛选手该歌曲的最终得分为0.6
0.4
P
Q
+
.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎
叶图.
(1)计算A 、B 两小组各自有效得分的均值
A
x 、
B
x 及标准差
As 、
Bs ；
(2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用
（1）的计算结果推断A 、B 两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分
0x ；
(3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中24 位评委所打分数大致服从正态分布
2
0
0.4,
A
B
N x
s
s
+
+
，试估计24 位评委中，打分在9分以上的人数.
参考数据：①A 组12名评委打分总和为84.9，B 组12名评委打分总和为96.2；
2
2
2
2
2
2
2
0.1
2 0.2
0.3
0.5
2 0.6
0.7
1.4
3.6
+ ´
+
+
+ ´
+
+
=
；
2
2
2
2
2
3 0.1
2 0.3
0.4
0.5
2 0.7
1.6
´
+ ´
+
+
+ ´
=
；
②若
2
~
,
X
N m s
，则
0.6826
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
=
，
2
2
0.9544
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
=
，
3
3
0.9974
P
X
m
s
m
s
-
<
£
+
=
.
【答案】(1)
7
A
x =
，
8
Bx =
，
0.6
As =
，
0.4
Bs =
(2)①B 组更有可能是专业评委组，理由见解析；②
0
7.6
x =
(3)大约为4 人
【详解】（1）由题意可知
84.9
8.8
6.1
7
10
A
x
-
-
=
=
，
96.2
9.0
7.2
8
10
Bx
-
-
=
=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1.4
0.5
0.3
0.1
0
0.2
2
0.6
2
0.7
0.6
10
As
+
+
+
+
+ -
´ + -
´ + -
=
=
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0.7
0.4
0.3
0.1
2
0
0.1
0.3
0.5
0.7
0.4
10
Bs
+
+
+
´ +
+ -
+ -
+ -
+ -
=
=
（2）①因为
B
A
s
s
<
，因此B 组更有可能是专业评委组；
②
0
0.6 8
0.4 7
7.6
x =
´ +
´
=
；
（3）由（1）（2）可知，正态分布的参数
0
0.4
8
x
m =
+
=
，
1
A
B
s
s
s =
+
= .
设某评委打出的分数为随机变量X ，则
~
8,1
X
N
，
故
1
9
2
2
P X
P X
P
X
P X
P X
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
£
-
+
>
+
-
-
<
£
+
>
=
>
+
=
=
1 0.6826
0.1587
2
-
=
=
.
24 0.1587
3.8088
´
=
Q
，于是估计24 位评委中，打分在9分以上的人数大约为4 人.
