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专题14 立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：球与截面面积问题................................................................................................................2
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题........................................................................4
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题........................................................................7
题型四：立体几何中的交线问题......................................................................................................12
题型五：空间线段以及线段之和最值问题......................................................................................15
题型六：空间角问题..........................................................................................................................18
题型七：轨迹问题..............................................................................................................................21
题型八：翻折问题..............................................................................................................................24
重难点突破：以立体几何为载体的情境题......................................................................................27
02 重难创新练....................................................................................................................................30
1
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题型一：球与截面面积问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥
的高之比为
，它们的体积之和为
，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
记该截面和球的半径分别为
，由于两个圆锥的高之比为
，
故球心到该截面的距离为
，从而
，
.
而两个圆锥的高分别是
，故体积之和
.
从而
，故
，
.
该球的表面积
.
故选：B.
2．已知正四面体
内接于球O，E 为底面三角形ABC 中边BC 的中点，过点E 作球O 的截面，若存
2
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在半径为
的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，在正四面体
中，设顶点
在底面的射影为
，
则球心
在
上，
在
上，且
,连接
､
，
设正四面体的棱长为
，则
，
则正四面体的高
，
设外接球半径为
，
在
中，
，即
，解得
，
∴在
中，
，
过
点作外接球
的截面，只有当
截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为
，
最大截面圆为过球心的大圆，半径为
，
由题设存在半径为
的截面圆，∴
，解得
，
故选:C.
3
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3．（2024·陕西榆林·一模）已知
是球
的直径
上一点，
，
平面
，
为垂足，
截球
所得截面的面积为
，
为
上的一点，且
，过点
作球
的截面，则所得的截面面
积最小的圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，设截得的截面圆的半径为，球
的半径为
，
因为
，
所以
.由勾股定理，得
，由题意得
，
所以
，解得
，
此时过点
作球
的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.
设球心
到所求截面的距离为
，所求截面的半径为
，则
，
所以只需球心
到所求截面的距离
最大即可，
而当且仅当
与所求截面垂直时，球心
到所求截面的距离
最大，
即
，所以
.
故选：C
4
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题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
4．（多选题）如图，正方体
的棱长为1，线段
上有两个动点
，且
，则下
列结论中错误的是（ ）
A．
B．
平面ABCD
C．三棱锥
的体积为定值
D．
的面积与
的面积相等
【答案】AD
【解析】对A，不妨取点
与点
重合，
因为
平面
，
在平面
内，且不过点
，
所以
异面，即此时
异面，A 错误；
对B，因为
平面
A1B1C1D1，且平面
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，B 正确，不符合题意；
对C，易知，点
到平面
的距离为定值，又
，
所以三棱锥
的体积为定值，C 正确；
对D，记
的中点分别为
，连接
，
易知
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
是平面
内的两条相交直线，
5
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所以
平面
，
又
平面
，所以
，所以
，
所以
，D 错误.
故选：AD
5．（多选题）在正八面体
中，所有棱长均为1，点
为正方形
的中心，点
为正八
面体内切球球面上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．正八面体内切球的表面积
B．正八面体的体积为
C．
的范围是
D．若
,
，二面角
的平面角为
，则
为定值
【答案】ACD
【解析】A.由题意得，可以只分析正四棱锥
，易得正四棱锥的高为
，
侧面正三角形的高为
，因此由等面积法可得
，解得
，
所以表面积为
，故A 正确；
6
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B．正四面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，
因此
，故B 错误；
C．取
中点
，
，
而点
到
的距离为
，
因此
的最小值为
，最大值为
，
，
代入数据可得
的范围是
，故C 正确；
D．过点
作
，交
于点
，
交
于点
,
因此
,
即为二面角
的平面角
，
在三角形
中，
，
在三角形
中，
，
7
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所以
，
化简可知
因此
，因此D 正确.
故选：ACD
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
6．（多选题）在正方体
中，点
满足
，其中
，
，则
（ ）
A．当
时，
平面
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，
的面积为定值
D．当
时，直线
与
所成角的范围为
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，如下图，当
时，
点在面对角线
上运动，
又
平面
，所以
平面
，
在正方体
中，
且
，则四边形
为平行四边形，
所以，
，
平面
，
平面
，
平面
，
同理可证
平面
，
，所以，平面
平面
，
8
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平面
，所以，
平面
，A 正确；
对于B 选项，当
时，如下图，
点在棱
上运动，
三棱锥
的体积
为定值，B 正确；
对于C 选项，当
时，如图，
点在棱
上运动，过
作
于
点，
则
，其大小随着
的变化而变化，C 错误；
对于D 选项，如图所示，当
时，
，
，
三点共线，
因为
且
,所以四边形
为平行四边形，所以
，
9
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所以
或其补角是直线
与
所成角，
在正
中，
的取值范围为
，D 正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2024·湖南常德·一模）已知正方形
边长为4，将
沿
向上翻折，使点
与
点
重合，设点为翻折过程中点
的位置（不包含在点
处的位置），则下列说法正确的有（ ）
A．无论点在何位置，总有
B．直线
与平面
所成角的最大值为
C．三棱锥
体积的范围为
D．当平面
平面
时，三棱锥
的内切球的半径为
【答案】ACD
【解析】
对于A，设
是正方形
的中心，则
.
过
在正方形
上方作直线
，使得
平面
，
，
10
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再在平面
内以
为圆心，
为半径作圆
，
则的轨迹为圆
位于正方形
上方的部分（不含点
）.
由于
平面
，
在平面
内，故
.
而
，
和
在平面
内交于点
，所以
平面
.
又因为
在平面
内，所以
，A 正确；
对于B，由于
平面
，平面
的两直线
和
相交，
故直线
与平面
所成角即为
，
而当在圆
的上半部分（不含点
）运动时，
的范围是
，B 错误；
对于C，由于到平面
的距离
的取值范围是
，即
，
而三棱锥
的体积
，故其取值范围是
，C 正确；
对于D，若平面
平面
，由于
平面
，
在平面
内，
故
.
而平面
平面
，
在平面
内，
，平面
和平面
的交线是
，
故
平面
.
而
平面
，故
位于同一直线上，而
，且
均在正方形
上方，故
点和点
重合.
设三棱锥
的内切球半径为.
由于
，故
.
而
，
，且由C 选项的计算可知
.
11
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故
，得
，D 正确.
故选：ACD.
8．（多选题）（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，点E，F 分别
是
和
的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F 到平面EAC 的距离为
D．过E 作平面
与平面ACE 垂直，当
与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
【答案】BCD
【解析】在棱长为2 的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
12
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则
，
对于A，
，显然
与
不共线，即
与
不平行，A 错误；
对于B，
，
，因此
，B 正确；
对于C，
，设平面
的法向量
，
则
，令
，得
，而
，
点F 到平面
的距离为
，C 正确；
对于D，过点
垂直于平面
的直线与平面
A1B1C1D1相交，令交点为
，
则
，点
，由
，得
，即
，
当平面
经过直线
并绕着直线
旋转时，平面
与平面
A1B1C1D1的交线绕着点
旋转，
当交线与线段
，
都相交时，
与正方体所成截面为三角形，
令平面
与平面
A1B1C1D1的交线交
于点G，交
于点H，设
，
，
，
，由
，
得
，
，
斜边
上的高
，
则截面
边
上的高
，
截面
的面积
，
13
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当
时，
，
，
所以
，D 正确.
故选：BCD
题型四：立体几何中的交线问题
9．（2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2 的正三棱锥
中，点
为线段
上一点，且
，
则以
为球心，
为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
中点
，连接
、
，则有
，
，
又
，
、
平面
，故
平面
，
又
平面
，故
，又
，
，
、
平面
，故
平面
，
又
、
平面
，故
，
，
由正三棱锥的性质可得
、
、
两两垂直，
故
，即以
为球心，
为半径的球面与侧面
的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为
.
故选：C.
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10．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱
中，
，
为棱
的中点，
则以
为球心，2 为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为球
的半径为2，所以球
不与侧而
及侧面
相交，
连接
．由题得
，
．所以
，
所以球
与侧面
交于点
，
，与侧面
交于点
，
．
在正六边形
中，易得
，因为
平面
，
平面
．
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
，且
，又
，
．
所以球
与侧面
的交线为以
为直径的半圆，同理可得球
与侧面
的交线为以
为直径
的半圆．
由题易得
，则球
与上底面
及下底面
的交线均为
个半径为
的圆．
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
．
故选：D．
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11．（多选题）已知在正方体
中，
，点
，
，
分别在棱
，
和
上，
且
，
，
，记平面
与侧面
，底面
的交线分别为
，
，则（ ）
A．
的长度为
B．
的长度为
C．
的长度为
D．
的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接
并延长交
的延长线于
，连接
并延长交
于点，
交
的延长线于点
，连接
，交
于点
，连接
，
则
即为
，
即为
，
由
，得
，所以
，
，
由
，得
，则
，
16
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所以
，故C 错误，D 项正确；
由
，得
，
又易知
，得
，所以
，
所以
，故A 项正确，B 项错，
故选：AD.
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
12．在正方体
中，
为棱
的中点，
分别为
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】将正方体的侧面
与
展开到同一平面
在同一平面内可知
的最小值就是点
到
的距离，
正方体
中，
为棱
的中点，所以
，
，
是正方形，所以
故答案为：
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13．（2024·安徽·模拟预测）已知正方体
的体积为8，且
，则当
取得最小值时，三棱锥
的外接球体积为 .
【答案】
/
【解析】由题意得，
，将平面
展成与平面
同一平面，
当点
共线时，此时
最小，
在展开图中作
，垂足为N，
因为
为等腰直角三角形，所以
，
，
由
得，
，解得
，
在正方体
，过点
作
，垂足为
，则
，
如图，以D 为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
因为
，所以
，
又因为
平面
，且
，
所以
平面
，
18
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因为
，
所以三棱锥
外接球的球心在
上，
设球心为
，设
，则
，
因为
，
所以
，
解得
，即
，所以外接球
，
所以三棱锥
外接球的体积
，
故答案为：
.
14．如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
为线段
的中点，
分别为线段
和线段
上任意一点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
平面
，
面
，所以
，
又因为
，
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
在
中，可得
，
19
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在
中，
，
故
，
则
，
又因为
，
所以
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
当
时，
为
的中点，此时当
时，
为
的中点，
综上所述，
的最小值是
.
故答案为：
题型六：空间角问题
15．正三棱锥
和正三棱锥
共底面
，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，
点
和点
在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面
所成的角分别为
，则当
最
大时，
【答案】
20
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【解析】如图：设
在平面
的射影为
，根据正三棱锥和球的对称性知：球心O 在线段PQ 上.
取
中点
，连接
，则
，又
平面
，
所以
,
分别为两个正三棱锥的侧面与底面
所成的角，
记
，
不妨设
，
，
所以
则
所以
，
当且仅当
时等号成立，
由于
，
故当
最大时，
.
故答案为：
16．（2024·山东青岛·三模）已知长方体
中，
，点
为矩形
21
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A1B1C1D1 内一动点，记二面角
的平面角为
，直线
与平面
所成的角为
，若
，
则三棱锥
体积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，作
平面
，垂足为
，再作
，垂足为
，
连接
，则
，
，由
，则
，
又
、
平面
，故
，
，则
，
由抛物线定义可知，
的轨迹为以
为焦点，以
为准线的抛物线一部分，
所以
的轨迹为以
为焦点，以
为准线的抛物线一部分，
当点
到线段
距离最短时，三角形
面积最小，即三棱锥
体积最小，
取
中点
为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，
，
则直线
的方程为：
，即
，
抛物线的方程为
，则
，
由题意，令
，得
，代入
，得
，
所以点
的坐标为
，所以
到直线
的最短距离为：
，因为
，
所以
，
所以三棱锥
体积的最小值为
.
故答案为：
.
22
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17．（2024·河南周口·模拟预测）已知点S，A，B，C 均在半径为4 的球O 的表面上，且
平面
，
，
，
，点M 在
上，当直线
与平面
所成的角最大时，
．
【答案】
【解析】
设
的外接圆的圆心为
，半径为
，设
的中点为
，
外接球的球心为
，连接
，则
平面
，
，
因为
平面
，故
，故
四点共面，
而
平面
，故
，故
，
故四边形
为矩形.
而
，故
，故
.
在
中，
，
故
，故
，故
，
故
，
因为
平面
，故
为直线
与平面
所成的角，
当
长度最小时，
最大值，此时
，故
.
23
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故答案为：
题型七：轨迹问题
18．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥
中，已知
与
均是边长为4 的正三角形，
，
为侧棱
的中点，
为三棱锥
的外接球
表面上一动点，若异面直线
，
始终
保持垂直，则动点
的轨迹围成图形的周长为 ．
【答案】
/
【解析】如图，取
的中点
，连接
，
，
，
则
，
，
平面
，
所以
平面
，则
，
又
，所以
，所以
．
过
作
于
，设动点
的轨迹所在平面为
，则平面
经过点
且
，
所以点
的轨迹为平面
截三棱锥
的外接球所得的截面圆．
设
，
的中心分别为
，
，连接
，
，
，易知
平面
，
平面
，
且
，
，
，
四点共面，
由题可得
，
，所以
．
又
，则三棱锥
的外接球半径
．
易知平面
平面
，点
到平面
的距离
，
24
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故平面
截外接球所得截面圆的半径
，
所以截面圆的周长
，即所求周长为
．
故答案为：
19．如图，在棱长为
的正方体
中，
为面
上的动点，
，
则动点
的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图，连接
，由正方体的性质可得，
平面
，
则
平面
，又
平面
，则
，
又
平面
，
则
平面
，又
平面
，则
，
因为
平面
，则
平面
，不妨设垂足为
，
则
，
又因为
，解得
，所以动点
的轨迹是在平面
中，
以正
的中心
为圆心，
为半径的圆弧，如图4，即动点
的轨迹为劣弧
；
如图5，过
作
的垂线，垂足为
，连接
，在
中，
，
25
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，
所以
，又因为
，所以
，所以
，
所以
，所以动点
的轨迹长度为
．
故答案为：
.
20．已知菱形
的各边长为2，
.如图所示，将
沿
折起，使得
到达点的位置，
连接
，得到三棱锥
，此时
，
是线段
中点，点
在三棱锥
的外接球上运动，
且始终保持
，则三棱锥
外接球半径为 ，则点
的轨迹的周长为 .
【答案】
/
【解析】取
中点
，则
，
，
，
平面
,
平面
，
，又
，
，
作
于
，设点
轨迹所在平面为
，
则平面
经过点
且
，
26
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设三棱锥
外接球的球心为
，
，
的中心分别为
，
，
易知
平面
，
平面
，且
，
，
，
四点共面，
由题可得
，
，
在
△
，得
，又
，
则三棱锥
外接球半径
，
易知
到平面
的距离
，
故平面
截外接球所得截面圆的半径为
，
截面圆的周长为
，即点
轨迹的周长为
．
故答案为：
，
．
题型八：翻折问题
21．（多选题）已知平行四边形
中，
，将
沿着
翻折使点
到达点
且
不在平
面
内，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
可能与直线
垂直
B．直线
可能与直线
垂直
C．直线
可能与直线
垂直
D．直线
不可能与直线
垂直
【答案】AB
27
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【解析】
当平面
与平面
垂直时，平面PBD 与平面BCD 相交于BD，
由
，可得
平面
，
平面
，
此时
，
，则A 正确，D 错误；
而
，即直线
与直线
所成角为
，只要
,
此时
为等腰直角三角形.
在以
中点为圆心，半径为
的圆上，
则根据直径AP 所对圆周角为直角，即
.满足题意.
所以存在点
，使得
，B 正确；
由
可得
，所以
为锐角，则
为锐角，所以C 错误.
故选：AB.
22．（多选题）如图，等边三角形
的边长为4，E 为边
的中点，
于D.将
沿
翻
折至
的位置，连接
.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥
的体积的最大值是
C．存在某个位置，使
28
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D．在线段
上，存在点M 满足
，使
为定值
【答案】ABD
【解析】对于A：因为
，即
，
，
因为
，
，
面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于B：当平面
平面
时，四棱锥
的体积最大.
由A 易知
为二面角
的平面角，此时
.
即
，
，
，
，
面
，
此时
平面
，即
为四棱锥底面
上的高，
由题意可得
，
四棱锥
的体积的最大值为：
，故B 正确；
对于C：假设存在某个位置，使得
，连接
，由正三角形性质得
，
因为
，
，
面
，所以
平面
，
由
平面
，所以
，由A 知
，
因为
，
，
面
，所以
平面
，
29
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由
平面
，所以
，则
，与题设矛盾，假设不成立，故C 错误；
对于D：由题设，点M 在线段
上，且
，
取
的中点N，连接NB，则
，
，
由底面三角形
的边长为4，则
，
，
，
因为
平面
，所以
面
，
面
，所以
，
所以
为直角三角形，且
，
，故
为定值，故D 正确.
故选：ABD.
23．（多选题）在矩形
中，
，E 为线段
的中点，将
沿直线
翻折成
．
若M 为线段
的中点，则在
从起始到结束的翻折过程中，（ ）
A．存在某位置，使得
B．存在某位置，使得
C．
的长为定值
D．
与
所成角的正切值的最小值为
【答案】BCD
【解析】如图，
30
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设
的中点
，连接
，则
，若
，由
，
平面
，
可得
平面
，
平面
，则可证出
，显然矛盾
，故 A 错误；
因为
，所以当
平面
，由
平面
可得
，由
，
平面
，即可得
平面
，再由
平面
，则有
，故B 正确；
取
中点
，
，
，
，且
方向相同，
所以
为定值，所以
为定值，故C 正确；
不妨设
，以
分别为
轴，如图建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，设
与
所成角为
，
则
，即
与
所成最小角的余弦值为
，此时
，故
D 正确.
故选：BCD
重难点突破：以立体几何为载体的情境题
24．连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列
；
是体积为1 的正四面体，
是以
的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正
四面体所构成的新多面体.则
的体积为 .
【答案】
31
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【解析】如图，画出了
，因为
有4 个面，则
有24 个面，归纳可知
有
个面，
这个数即是
到
时增加的小正四面体的个数，
由于新增加的每一个小正四面体的体积是前一个小正四面体体积的
，
归纳得
到
时增加的每个小正四面体的体积为
，
所以
比
的体积增加了
，
所以
的体积为
.
故答案为：
.
25．在空间直角坐标系中，定义点
和点
两点之间的“直角距离”
．若
和
两点之间的距离是
，则
和
两点之间的“直角距离”的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以设
，
其中
，因此
32
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，
因为
，所以
，因此
，
设
，
于是有
，
因为
，所以
，
因此当
且
时，即当
且
时，
有最大值
，
当
且
或
时，
有最小值，
此时
，
或
，
所以
的最小值
，
综上，
和
两点之间的“直角距离”的取值范围是
.
故答案为：
26．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为：
，其中
为多面体M 的所有与点
33
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P 相邻的顶点，且平面
，平面
，
，平面
和平面
遍历多面体M 的所有以点P 为
公共点的面，在长方体
中，
，
，点S 为底面
A1B1C1D1的中心，记三
棱锥
在点A 处的离散曲率为
，四棱锥
在点S 处的离散曲率为n，则
．
【答案】
【解析】在长方体
中,
,
故三棱锥
在点A 处的离散曲率
；
设
交于O,连接
,
，
，四边形
为正方形，
则
,
,故
,同理
,
四棱锥
为正四棱锥，而
,则四棱锥
每个侧面都为正三角形，
所以
,
故四棱锥
在点S 处的离散曲率
，
故
，
34
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故答案为：
1．（2025·广东佛山·一模）已知直线
与平面
所成的角为
，若直线
，直线
，设
与
的
夹角为
，
与
的夹角为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】如图，设斜线
为直线
，平面
为平面
，且
，
由图可知
，当
恰为
时，此时
与
的夹角为
；
当
为
时，
，
由于
，知
，
故由
在
上单调递减得
，知
.综上可知
；
由于
，故
是二面角
所成角，即
，
35
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，
由于
，则
，
故由
在
上单调递增得
，即
，可知
.
故选：A
2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）将2 个棱长均为2 的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若将这2 个直三棱柱合成1 个高为4 的直三棱柱，上下底面外心连线段中点
是其外接球球心，
，其外接球半径为
．
若将这2 个直三棱柱合成1 个高为2 的直四棱柱，
上下底面对角线交点连线段中点为
，
，
，
，因此所得球半径为
．
36
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故该球体的体积的最小值为
．
故选：C．
3．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为，球的体积为
，所以球的半径
，
设正四棱锥的底面边长为
，则
，解得
，
所以正四棱锥的体积
，
则
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
37
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故当
时，正四棱锥的体积
取得最大值，最大值为
.
故选：C
4．（2024·河南·模拟预测）已知长方体
的表面积与体积在数值上相等，若
，则
该长方体的体积的最小值为（ ）
A．
B．81
C．
D．243
【答案】D
【解析】设
，
，
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，且
，（当
时，不存在
），
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
单调递增，
当
时取得极小值，也为最小值，此时
，
故选：D.
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知一圆锥的底面半径为，
为其高，
是其底面⊙
的两条
相互垂直的直径，
为
中点，那么平面
与该圆锥的截面是一条抛物线
.设
的侧面积与底面积
的比值为
，
的焦点到其准线的距离为
，则
的值为：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，设
，
，
38
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设以点
为顶点，直线
为对称轴的抛物线标准方程为
，
由点
在此抛物线上，得
，因此
，
圆锥侧面积
，底面积
，因此
，
所以
.
故选：A
6．若在长方体
中，
．则四面体
与四面体
公共部分的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】如图：
取
与
的交点为
，取
中点
，连接
，交
于点
，
则三棱锥
即为四面体
与四面体
的公共部分.
39
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因为
.
又
，所以
，所以
.
过
作
于点
，
因为
平面
，
平面
，所以
.
因为
，
平面
，所以
平面
.
所以
为
到平面
的距离，其值为
，
点
为
的中点，所以点
到平面
的距离为：
.
所以
.
故选：C
7．（2024·重庆·模拟预测）正三棱台
三侧棱的延长线交于点
，如果
，三棱台
的体积为
，
的面积为
，那么侧棱
与底面所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过
作
面
于
，交面
于
，连接
，
正三棱台
三侧棱的延长线交于点
，所以三棱锥
为正三棱锥，
又因为
，则
，所以
，又
的面积为
，
40
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所以
，则
，
解得
，所以
，设
的边长为
，则
，解得
，
又三棱锥
为正三棱锥，所以
是
的中心，
又易知
边上的高线长为
，所以
，
又
面
，所以
为侧棱
与底面所成的角，则
，
故选：D.
8．（2022·贵州毕节·三模）在正四棱锥
中，底面边长为
，侧棱长为4，点
是底面
内
一动点，且
，则当
，
两点间距离最小时，直线
与直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意作图如图所示，连接
，
交于点
，连接
，
因为四棱锥
为正四棱锥，可得
底面
．
41
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由底面边长为
，可得
，所以
，
在
中，
，
，可得
，
又由
，在
中，可得
，
即点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，
所以当点
为圆与
的交点时，
，
两点间距离最小，最小值为
．
以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴和
轴，建立空间直角坐标系，
可得
，
，
，
，
则
，
，可得
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为
，故A 正确.
故选：A.
9．（多选题）（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱
的底面是梯形，
，
是棱
的中点，
是棱
上一动点（不包含端点），则
（ ）
A．
与平面
有可能平行
B．
与平面
有可能平行
C．三角形
周长的最小值为
42
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D．三棱锥
的体积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，连接
，当Q 为
的中点时，
，
因为
，
∥
，
∥
，
，
所以
，
∥
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
与
互相平分，设
与
交于点
，连接
，
因为P 是棱
的中点，所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，
所以
∥平面BPQ，故A 正确；
对于B，
，又
平面BPQ，BD 与平面BPQ 只能相交，
所以
与平面BPQ 只能相交，故B 错；
对于C，
，把
沿
展开与
在同一平面（如图），
则当B，P，Q 共线时，
有最小值，
在直角梯形
中，
，
，
，
，
则
，
所以
，
43
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所以
，
所以三角形BPQ 周长的最小值为
，故C 正确；
对于D，
，因
为定值，因为
∥
，
∥
，
所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，
所以
∥平面ABP，故Q 到平面ABP 的距离也为定值，所以
为定值．所以D 正确，
故选：ACD．
10．（多选题）（2024·安徽淮南·一模）如图，在正方体
中，
是对应棱的中点，
则（ ）
A．直线
∥平面
B．直线
平面
C．直线
与
的夹角为
D．平面
与平面
的交线平行于
44
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【答案】BCD
【解析】以点
为原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正
方体的棱长为2，
则由题意可得，
，
，
对于A，设平面
的法向量为⃗n1=(x1, y1, z1)，因为
，
所以
，令
，解得
，
所以平面
的法向量可以为
，
注意到
，
而
，
从而直线
与平面
不平行，故A 错误；
对于B，注意到
，
，所以
，
所以
，这表明
也是平面
的法向量，
故直线
平面
，故B 正确；
45
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对于C，
，
所以直线
与
的夹角的余弦值为
，
所以直线
与
的夹角为
，故C 正确；
对于D，设平面
与平面
的交线为，
因为平面
平面
A1B1C1D1，平面
平面
，平面
平面
直线，
所以直线
直线，即平面
与平面
的交线平行于
，故D 正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，M，N 分
别是AB，AD 的中点，P 为线段
上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．当点P 为
中点时，过M、N、P 三点的平面截正方体所得截面面积为
C．不存在点P 使得
D．异面直线BC 与MP 所成的最大角为45°
【答案】AB
【解析】对于A，点
到平面
的距离为
为定值，
又
，
46
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所以
，即三棱锥
的体积为定值，故A 正确；
对于D，设
中点为
，连接
，则
，
则
即为异面直线
与
所成的角，
在
中，
，
所以异面直线
与
所成的最小角为45°，故D 不正确；
对于C，若
为
中点，则
平面
，所以
，
又
，
面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故C 不正确；
对于B，分别取
的中点
，连接
，
则过
、
、
三点的平面截正方体所得截面为正六边形，
面积为
，故B 正确．
故选：AB．
47
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12．（多选题）（2024·江苏苏州·一模）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
分别在线
段
上运动，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥
体积最大值为
C．
的最小值为6
D．存在点
，使得
【答案】ABD
【解析】选项A，因为
平面
，
平面
，所以
，A 正确；
选项B，
，
又
，当且仅当
时，
，
所以
，B 正确；
选项C，取
中点
，连接
，
则
，
，
，当且仅当
三点共线时等号成立，
所以
的最小值为
，C 错；
48
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选项D，若
，由选项A，
，而
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，反过来，由
也能证得
，
设
，则
，
因为
，
，所以
，
所以
，从而
，即
，
设
，
，
，
所以
在
上有解，即存在
，使得
，D 正确．
故选：ABD．
13．（2024·重庆·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为
，且
，侧面与下底面所
成的二面角大小为
，若四棱台的体积
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】设正四棱台为
，
如下图，延长棱台母线交于点，过作
平面
于G，交平面
A1B1C1D1于O，连接S，G 与AB 中
点F，
交
于P
49
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因为侧面与下底面所成的二面角大小为
，所以
.
过
作
于
，则
，所以
，
，
又因为
所以
，所以
，则
的最大值为2.
故答案为：
.
14．（2024·福建·模拟预测）如图，已知菱形
中，
，
，
为边
的中点，将
沿
翻折成
（点
位于平面
上方），连接
和
，
为
的中点，
在平面
的射影为
，则在翻折过程中，点
的轨迹的长度为 ，三棱锥
体积最大
值为 .
【答案】 √3
3 /1
3 √3
【解析】取
的中点为
，连接
，如下图所示：
50
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由
为
的中点，可得
，且
；
又
为边
的中点，所以
，且
，
则
，故
点的轨迹与
点轨迹相同，
因为菱形
中，
，
，
为边
的中点，
所以
，则
，
又
平面
，所以
平面
，
在翻折过程中，
点由
的中点翻折到
的中点过程中，
的轨迹是以
为圆心，
为半径的半圆，
则
点的轨迹是以
的中点为圆心，
为半径的半圆，
所以
点的轨迹是半径为
的半圆，
则
在平面
的射影为
的轨迹应为圆的直径，
所以点
的轨迹的长度为1；
当
时，由于
平面
，
所以
平面
，即又因为
是定值，
故此时三棱锥
体积最大，
在
中，易得
，
，
所以
，
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故三棱锥
体积最大值为
.
故答案为：1；
.
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥
的四个顶点均位于一个半径为
的球
的球面上，
，
，
，平面
经过点
，则当
的体积取最大值时，直线
与平面
所成角的正弦值为： .
【答案】
/
【解析】由条件：
在一个圆周上运动，由平面
与平面
固定，所以
到平面
的距离为定值，
由
，要使得
最大，只需要
最大，
由
经过球心
，所以
的外接圆就是球的大圆，半径为
，
由于
，所以当
时，
最大，此时
到
的距离为：
，即最大面积为
;
取
为
中点，连接
，由于
，所以由勾股定理可知：
，即
为
的外心，由球的性质可知：
平面
，
再取
为
中点，因为
，所以
，且
经过点
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
在平面
内，过
作
，因为平面
平面
，
所以
平面
，即
，
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则△
∽△
，
，
，
又
，所以
，可算得
，
连
，
，故：
，
所以
.
故答案为：
.
16．（2025·上海·模拟预测）已知P 是一个圆锥的顶点，
是母线，
，该圆锥的底面半径是1．
B、C 分别在圆锥的底面上，则异面直线
与
所成角的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，过
作
交底面圆锥于
点，连接
，
因为
，则
为异面直线
与
所成角，
所以
，
又
，所以
，即
，
因为
，函数
在
上单调递减，所以
，
故异面直线
与
所成角的最小值为
.
故答案为：
.
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